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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो (A) से (A) पर बनने वाले कुल संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If \(A=\{1,2,3\}\), how many total relations can be formed from (A) to (A)?

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Correct Answer

A. \(2^9\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(3\times 3=9\) क्रमित युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(3\times 3=9\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए कुल संबंध \(2^9\) होंगे। / A relation is any subset of \(A\times A\), so the number of relations is \(2^9\).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल के युग्म गिनें, फिर उपसमुच्चय लगाएं। / In exams, count the ordered pairs first and then use the subset count.

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Question 2/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है?

If (A) has (4) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^{12}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में (16) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains (16) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिवर्ती संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं, इसलिए बाकी (12) युग्मों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। / A reflexive relation must contain the (4) diagonal pairs, so the remaining (12) pairs are optional.

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्ती संबंधों की गिनती में हमेशा अनिवार्य विकर्ण युग्म घटाएं। / For reflexive relation counts, subtract the compulsory diagonal pairs.

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Question 3/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी है?

How many symmetric relations are there on \(A=\{1,2,3\}\)?

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Correct Answer

C. \(2^6\)

Step 1

Concept

तीन विकर्ण युग्म अपने आप स्वतंत्र रहते हैं। / The three diagonal pairs are independently optional.

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण से बाहर के (6) युग्म (3) जोड़ों में बंटते हैं, हर जोड़ा साथ में चुना जाता है या छोड़ा जाता है। / The (6) off-diagonal pairs form (3) reverse-pair groups, and each group is chosen together or not chosen.

Step 3

Exam Tip

सममित संबंध के लिए स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं, इसलिए \(2^6\)। / Thus there are (3+3=6) independent choices, giving \(2^6\).

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Question 4/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर प्रतिवर्ती तथा सममित दोनों प्रकार के संबंधों की संख्या कितनी है?

How many relations on \(A=\{1,2,3\}\) are both reflexive and symmetric?

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Correct Answer

D. \(2^3\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के कारण तीनों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces all three diagonal pairs to be present.

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण से बाहर केवल तीन विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। / Outside the diagonal, only the three reverse-pair groups are independent.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल चुनाव \(2^3\) हैं; विकर्ण युग्मों को दोबारा न गिनें। / Therefore the total number is \(2^3\); do not count the diagonal choices again.

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Question 5/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों के समुच्चय पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (aRb) तभी जब (a-b) संख्या (5) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?

On the set of integers, relation (R) is defined by (aRb) if (a-b) is divisible by (5). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) संख्या (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) विभाज्य है तो (b-a) भी विभाज्य है, और दो ऐसे अंतर जोड़ने पर संक्रामकता मिलती है। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), and adding two such differences gives transitivity.

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाले संबंधों में अक्सर समतुल्यता बनती है। / Remainder-based relations often form equivalence relations.

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Question 6/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (R) दिया है: (aRb) तभी जब \(a\le b\)। इस संबंध के बारे में सही कथन कौन सा है?

For real numbers, relation (R) is defined by (aRb) iff \(a\le b\). Which statement is correct?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहींreflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए प्रतिवर्ती है। / For every (a), \(a\le a\), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रामी है। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

\(2\le 3\) सही है पर \(3\le 2\) गलत, इसलिए सममित नहीं। / Since \(2\le 3\) is true but \(3\le 2\) is false, it is not symmetric.

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Question 7/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R={(a,b):a\) संख्या (b) को विभाजित करती है(}) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation \(R={(a,b):a\) divides (b)(}). What type of relation is it?

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Correct Answer

C. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहींreflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संक्रामी है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

\(1\mid 2\) सही है पर \(2\mid 1\) गलत, इसलिए सममित नहीं। / Since \(1\mid 2\) is true but \(2\mid 1\) is false, it is not symmetric.

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Question 8/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). What type of relation is it?

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Correct Answer

D. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

तीनों विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। / All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) is accompanied by ((2,1)), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है; इसलिए संक्रामी भी है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present; hence transitivity also holds.

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Question 9/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है। किस गुण का अभाव है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\). Which property is missing?

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Correct Answer

A. संक्रामकताtransitivity

Step 1

Concept

सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / All diagonal pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) मौजूद हैं, तो संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

((1,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,3)) is absent, so transitivity fails.

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Question 10/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि कोई संबंध सममित और प्रतिसममित दोनों है, तो विकर्ण से बाहर के युग्मों के बारे में कौन सा कथन सही है?

If a relation is both symmetric and antisymmetric, what is true about its off-diagonal pairs?

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Correct Answer

B. विकर्ण से बाहर कोई विपरीत युग्म साथ नहीं हो सकताno reverse pair can occur off the diagonal

Step 1

Concept

सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिसममितता कहती है कि अलग (a,b) के लिए दोनों साथ नहीं हो सकते। / Antisymmetry says that for \(a\ne b\), both cannot be present together.

Step 3

Exam Tip

इसलिए अलग अवयवों के बीच युग्म लेना हो तो सावधानी से केवल एक दिशा ली जा सकती है। / Therefore, for distinct elements, no two-way off-diagonal pair can occur.

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Question 11/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध कौन सा होगा?

Which is the smallest reflexive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?

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Correct Answer

C. ({(1,1),(2,2),(3,3)})

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध में हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। / A reflexive relation must contain each element paired with itself.

Step 2

Why this answer is correct

सबसे छोटा संबंध केवल आवश्यक विकर्ण युग्म रखेगा। / The smallest such relation contains only the required diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

अतिरिक्त युग्म जोड़ने से संबंध प्रतिवर्ती तो रहेगा, पर न्यूनतम नहीं रहेगा। / Adding extra pairs keeps it reflexive but no longer smallest.

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Question 12/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध के लिए कौन सा कथन हमेशा सही है?

Which statement is always true for the universal relation on a set (A)?

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Correct Answer

D. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता हैit is reflexive, symmetric and transitive

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains every pair in \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए विकर्ण, विपरीत और संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म सब मौजूद रहते हैं। / Therefore all diagonal, reverse, and transitivity-required pairs are present.

Step 3

Exam Tip

सभी युग्म होने का अर्थ यह नहीं कि यह कठिन है; गुण सीधे पूरे कार्तीय गुणनफल से मिलते हैं। / When all pairs are present, the relation automatically satisfies these three properties.

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Question 13/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

किस समुच्चय पर रिक्त संबंध प्रतिवर्ती माना जा सकता है?

On which set can the empty relation be considered reflexive?

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Correct Answer

A. केवल रिक्त समुच्चय परonly on the empty set

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए हर \(a\in A\) पर ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए शर्त का उल्लंघन करने वाला अवयव नहीं मिलता। / The empty set has no element that can violate this condition.

Step 3

Exam Tip

अरिक्त समुच्चय में कम से कम एक विकर्ण युग्म चाहिए, इसलिए रिक्त संबंध प्रतिवर्ती नहीं होगा। / On a non-empty set, at least one diagonal pair is required, so the empty relation is not reflexive.

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Question 14/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) संबंध (A) पर समतुल्यता संबंध है, तो उसके द्वारा बनने वाले वर्गों के बारे में सही कथन क्या है?

If (R) is an equivalence relation on (A), which statement about its equivalence classes is correct?

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Correct Answer

B. वे (A) को असंयुक्त भागों में बांटते हैंthey partition (A) into disjoint parts

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / An equivalence relation is reflexive, symmetric, and transitive.

Step 2

Why this answer is correct

इन गुणों से हर अवयव ठीक एक वर्ग में आता है और अलग वर्ग आपस में नहीं मिलते। / These properties make every element belong to exactly one class, and distinct classes do not overlap.

Step 3

Exam Tip

वर्गों का आकार समान होना जरूरी नहीं, इसलिए भागों की बात याद रखें। / The classes need not have equal size, so remember the partition idea.

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Question 15/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिले। (0) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) iff (a) and (b) leave the same remainder when divided by (4). What is the equivalence class of (0)?

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Correct Answer

C. ({..., -8,-4,0,4,8,...})

Step 1

Concept

(0) के वर्ग में वे संख्याएं आएंगी जिनका (4) से भाग देने पर शेष (0) हो। / The class of (0) contains integers that leave remainder (0) on division by (4).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसी संख्याएं (4) के गुणज हैं। / These are exactly the multiples of (4).

Step 3

Exam Tip

शेषफल वर्ग लिखते समय ऋणात्मक और धनात्मक दोनों गुणजों को ध्यान में रखें। / When writing remainder classes, include both negative and positive multiples.

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Question 16/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b):a+b\) सम है(}) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R={(a,b):a+b\) is even(}). What type of relation is it?

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Correct Answer

D. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) सम हो तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान समता वाले दो संबंध जुड़ें तो पहला और तीसरा भी समान समता वाले होंगे, इसलिए संक्रामी है। / If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other, so it is transitive.

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Question 17/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b) परिमेय हो। यह संबंध किस प्रकार का है?

On real numbers, (aRb) iff (a-b) is rational. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) परिमेय है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) परिमेय है तो (b-a) भी परिमेय है। / If (a-b) is rational, then (b-a) is rational.

Step 3

Exam Tip

दो परिमेय अंतरों का योग परिमेय होता है, इसलिए संक्रामकता भी मिलती है। / The sum of two rational differences is rational, so transitivity also holds.

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Question 18/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2=b^2\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^2=b^2\). What type of relation is it?

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Correct Answer

B. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a^2=a^2\), इसलिए प्रतिवर्ती है। / For every (a), \(a^2=a^2\), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए सममित है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रामी है। / If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so it is transitive.

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Question 19/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a<b)। कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) iff (a<b). Which statement is correct?

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Correct Answer

C. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामीneither reflexive nor symmetric but transitive

Step 1

Concept

(a<a) कभी सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

(2<3) सही है पर (3<2) गलत, इसलिए सममित नहीं है।

Step 3

Exam Tip

यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए संक्रामी है। / If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.

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Question 20/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Which property does this relation satisfy?

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Correct Answer

D. सममितsymmetric

Step 1

Concept

((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। / ((1,2)) appears with ((2,1)), and ((2,3)) appears with ((3,2)).

Step 2

Why this answer is correct

हर मौजूद युग्म का उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए सममित है। / Every present pair has its reverse present, so the relation is symmetric.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण युग्म नहीं हैं, इसलिए इसे प्रतिवर्ती या समतुल्यता न मानें। / Since diagonal pairs are missing, do not call it reflexive or equivalence.

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Question 21/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या का सही सूत्र कौन सा है?

If (A) has (n) elements, which formula gives the total number of relations on (A)?

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Correct Answer

A. \(2^{n^2}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

हर संबंध इन \(n^2\) युग्मों का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। / Every relation can be any subset of these \(n^2\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल संबंधों के लिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n^2}\) याद रखें। / Therefore, the total number of relations is \(2^{n^2}\).

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Question 22/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या का सही सूत्र कौन सा है?

If (A) has (n) elements, which formula gives the number of reflexive relations on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^{n^2-n}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में कुल \(n^2\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) होगी। / The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the count is \(2^{n^2-n}\).

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Question 23/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या का सही सूत्र कौन सा है?

If (A) has (n) elements, which formula gives the number of symmetric relations on (A)?

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Correct Answer

C. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)

Step 1

Concept

(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण से बाहर (\frac{n(n-1)}{2}) विपरीत युग्म समूह होते हैं। / The off-diagonal pairs form (\frac{n(n-1)}{2}) reverse-pair groups.

Step 3

Exam Tip

कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए उत्तर \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), giving \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

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Question 24/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर प्रतिवर्ती और सममित दोनों संबंधों की संख्या का सही सूत्र कौन सा है?

If (A) has (n) elements, which formula gives the number of relations that are both reflexive and symmetric on (A)?

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Correct Answer

D. \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के कारण सभी (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes all (n) diagonal pairs compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता के लिए विकर्ण से बाहर केवल विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। / For symmetry, only the off-diagonal reverse-pair groups are independent.

Step 3

Exam Tip

ऐसे समूह (\frac{n(n-1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).

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Question 25/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(1,3)\}\). Which property does this relation satisfy?

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Correct Answer

A. संक्रामीtransitive

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)), which is present.

Step 2

Why this answer is correct

बाकी संभावित संक्रामी स्थितियों में भी जरूरी युग्म उपलब्ध हैं या शर्त बनती ही नहीं। / Other possible chains either have the required pair or do not form a chain.

Step 3

Exam Tip

((3,3)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें। / Since ((3,3)) is missing, do not call it reflexive.

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Question 26/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। समतुल्यता न होने का मुख्य कारण क्या है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). What is the main reason it is not an equivalence relation?

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Correct Answer

B. ((1,3)) और ((3,1)) का अभावabsence of ((1,3)) and ((3,1))

Step 1

Concept

विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / Diagonal pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए गैर-विकर्ण युग्म अपने उल्टे युग्मों के साथ हैं, इसलिए सममितता है। / Each non-diagonal pair has its reverse, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing; hence transitivity fails.

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Question 27/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि किसी संबंध में ((a,b)) और ((b,c)) के होने पर हमेशा ((a,c)) भी हो, तो वह संबंध कौन सा गुण रखता है?

If a relation always contains ((a,c)) whenever it contains ((a,b)) and ((b,c)), which property does it have?

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Correct Answer

C. संक्रामकताtransitivity

Step 1

Concept

यह शर्त दो जुड़े युग्मों से तीसरे युग्म की मांग करती है। / The condition demands a third pair from two connected pairs.

Step 2

Why this answer is correct

यही संक्रामकता की मूल पहचान है। / This is exactly the definition of transitivity.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में ((a,b)) और ((b,c)) देखकर तुरंत ((a,c)) खोजें। / In exams, whenever you see ((a,b)) and ((b,c)), immediately check for ((a,c)).

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Question 28/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b): |a-b|\) सम है(}) है। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R={(a,b): |a-b|\) is even(}). How many equivalence classes are formed?

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Correct Answer

D. (2)

Step 1

Concept

(|a-b|) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। / (|a-b|) being even means (a) and (b) have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4}) का बनेगा। / Thus one class is ({1,3}) and the other is ({2,4}).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में पहले छिपे हुए समूह पहचानें। / In such questions, identify the hidden grouping first.

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Question 29/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेष हो। (2) का वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) iff (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). What is the class of (2)?

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Correct Answer

A. ({2,5})

Step 1

Concept

(2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में जिन संख्याओं का शेष (2) है, वे (2) और (5) हैं। / In (A), the numbers with remainder (2) are (2) and (5).

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता वर्ग बनाते समय केवल उसी समुच्चय के अवयव लिखें। / While forming an equivalence class, include only elements from the given set.

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Question 30/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b):a-b\) विषम है(}) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R={(a,b):a-b\) is odd(}). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामीsymmetric but neither reflexive nor transitive

Step 1

Concept

(a-a=0) विषम नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / (a-a=0) is not odd, so it is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) विषम है, तो (b-a) भी विषम होगा, इसलिए सममित है। / If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

(1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) गलत है क्योंकि अंतर सम है। / (1R2) and (2R3) hold, but (1R3) fails because the difference is even.

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Question 31/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है। यह संबंध किस प्रकार का है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहींreflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता टूटने वाली कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए यह संक्रामी माना जाएगा। / No chain creates a missing required pair, so it is transitive.

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Question 32/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) और (S), (A) पर प्रतिवर्ती संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) and (S) are reflexive relations on (A), which statement about \(R\cap S\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. \(R\cap S\) प्रतिवर्ती होगा\(R\cap S\) will be reflexive

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने से (R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। / Since (R) and (S) are reflexive, every ((a,a)) belongs to both.

Step 2

Why this answer is correct

जो युग्म दोनों में समान हैं, वे प्रतिच्छेद में रहेंगे। / Pairs common to both remain in the intersection.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी विकर्ण युग्म \(R\cap S\) में भी होंगे। / Hence all diagonal pairs remain in \(R\cap S\), so it is reflexive.

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Question 33/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) और (S), (A) पर सममित संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) and (S) are symmetric relations on (A), which statement about \(R\cup S\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(R\cup S\) सममित होगा\(R\cup S\) will be symmetric

Step 1

Concept

यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it lies in (R) or (S).

Step 2

Why this answer is correct

जिस संबंध में वह युग्म है, सममितता के कारण उसका उल्टा भी उसी संबंध में होगा। / In whichever relation it lies, symmetry gives its reverse in the same relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए उल्टा युग्म संघ में भी होगा। / Therefore the reverse pair also lies in the union.

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Question 34/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) और (S), (A) पर संक्रामी संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) and (S) are transitive relations on (A), which statement about \(R\cup S\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह हमेशा संक्रामी नहीं होताit is not always transitive

Step 1

Concept

संक्रामकता में दो युग्मों से तीसरे युग्म की जरूरत होती है। / Transitivity needs a third pair from two connected pairs.

Step 2

Why this answer is correct

संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलता। / In a union, one pair may come from (R) and the other from (S), so the needed third pair may be absent.

Step 3

Exam Tip

संक्रामी संबंधों के संघ को बिना जांचे संक्रामी न मानें। / Do not assume the union of transitive relations is transitive.

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Question 35/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) का संक्रामी बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म जोड़ना होगा?

For \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which minimum pair must be added to make it transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. ((1,3))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) एक श्रृंखला बनाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a chain.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) का होना जरूरी है। / Transitivity then requires ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में बीच वाला अवयव समान देखकर पहला और तीसरा अवयव जोड़ें। / In such questions, match the middle element and connect the first element to the third.

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Question 36/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2)\}\) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म जोड़ना होगा?

For \(R=\{(1,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which minimum pair must be added to make it symmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. ((2,1))

Step 1

Concept

सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.

Step 2

Why this answer is correct

यहां ((1,2)) है, इसलिए ((2,1)) जोड़ना जरूरी है। / Since ((1,2)) is present, ((2,1)) must be added.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण युग्म सममितता के लिए अपने आप उल्टे होते हैं, पर यहां मुख्य कमी उल्टा युग्म है। / Diagonal pairs are their own reverses, but the missing reverse pair is the key issue here.

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Question 37/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए न्यूनतम कितने युग्म जोड़ने होंगे?

For \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), how many minimum pairs must be added to make it reflexive?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में इनमें से कोई भी विकर्ण युग्म नहीं है। / None of these diagonal pairs is present in the given relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए तीनों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore, all three diagonal pairs must be added.

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Question 38/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=5\}\) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b=5\}\). Which property does this relation satisfy?

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Correct Answer

B. सममितsymmetric

Step 1

Concept

यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) also holds.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So whenever ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) is also in it.

Step 3

Exam Tip

लेकिन ((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं मिलते, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें। / But pairs such as ((1,1)) are absent, so it is not reflexive.

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Question 39/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b>0)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff (a-b>0). What type of relation is it?

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Correct Answer

C. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामीneither reflexive nor symmetric but transitive

Step 1

Concept

(a-a=0), जो (0) से बड़ा नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / (a-a=0), which is not greater than (0), so it is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(3R2) सही है पर (2R3) गलत है, इसलिए सममित नहीं है। / (3R2) holds but (2R3) does not, so it is not symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए संक्रामी है। / If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.

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Question 40/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) दोनों सम हैं या दोनों विषम हैं(}) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) are both even or both odd(}). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या अपने जैसी ही समता रखती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / Every number has the same parity as itself, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) की समता समान है, तो (b) और (a) की भी समान है। / If (a) and (b) have the same parity, then (b) and (a) also have the same parity.

Step 3

Exam Tip

समान समता का संबंध आगे भी समान समता देता है, इसलिए संक्रामी है। / Same parity passes through a middle element, so the relation is transitive.

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Question 41/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\le b\}\) है। संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\le b\}\). How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (10)

Step 1

Concept

(a=1) के लिए (4) विकल्प, (a=2) के लिए (3), (a=3) के लिए (2), और (a=4) के लिए (1) विकल्प हैं। / For (a=1), there are (4) choices; for (a=2), (3); for (a=3), (2); and for (a=4), (1).

Step 2

Why this answer is correct

कुल (4+3+2+1=10) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (4+3+2+1=10).

Step 3

Exam Tip

क्रमित युग्म गिनते समय पहले अवयव को स्थिर करके दूसरे विकल्प गिनें। / To count ordered pairs, fix the first element and count possible second elements.

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Question 42/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a+b\) सम है(}) है। संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R={(a,b):a+b\) is even(}). How many ordered pairs are in the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (13)

Step 1

Concept

योग सम होने के लिए दोनों संख्याएं सम या दोनों विषम होनी चाहिए। / The sum is even when both numbers are odd or both are even.

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (3) विषम और (2) सम संख्याएं हैं, इसलिए युग्म \(3^2+2^2=9+4=13\) होंगे। / (A) has (3) odd and (2) even numbers, so pairs are \(3^2+2^2=9+4=13\).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में क्रमित युग्म होने के कारण वर्ग गिनती लगती है। / Since the pairs are ordered, use square counts for each group.

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Question 43/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर \(R={(a,b):a\) संख्या (b) को विभाजित करती है(}) है। (R) में ((3,12)) और ((12,3)) के बारे में सही कथन क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), \(R={(a,b):a\) divides (b)(}). Which statement about ((3,12)) and ((12,3)) is correct?

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Correct Answer

C. ((3,12)) है पर ((12,3)) नहीं है((3,12)) is present but ((12,3)) is absent

Step 1

Concept

(3) संख्या (12) को विभाजित करती है, इसलिए ((3,12)) संबंध में है। / (3) divides (12), so ((3,12)) belongs to the relation.

Step 2

Why this answer is correct

(12) संख्या (3) को विभाजित नहीं करती, इसलिए ((12,3)) संबंध में नहीं है। / (12) does not divide (3), so ((12,3)) does not belong.

Step 3

Exam Tip

इसी कारण विभाज्यता संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता। / This is why the divisibility relation is generally not symmetric.

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Question 44/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb) है, तो ([a]) और ([b]) के बारे में सही कथन क्या है?

If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is true about ([a]) and ([b])?

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Correct Answer

D. ([a]=[b])

Step 1

Concept

(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) belong to the same group.

Step 2

Why this answer is correct

समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के अवयवों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements of the same group have the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

वर्गों के लिए याद रखें कि दो वर्ग या तो पूरी तरह समान होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either identical or disjoint.

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Question 45/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\). Why is it not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((2,3)) का अभाव संक्रामकता तोड़ता हैabsence of ((2,3)) breaks transitivity

Step 1

Concept

सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / All diagonal pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी हैं, इसलिए सममितता है। / The reverses of ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing; hence transitivity fails.

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Question 46/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान संबंध में कितने युग्म होंगे?

How many ordered pairs are in the identity relation on \(A=\{1,2,3,4\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (4)

Step 1

Concept

पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (4) अवयव हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म होंगे। / Since (A) has (4) elements, it has (4) diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध को सार्वत्रिक संबंध से अलग रखें; सार्वत्रिक में (16) युग्म होते। / Do not confuse identity relation with the universal relation, which would have (16) pairs.

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Question 47/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5\}\), तो (A) से (B) तक बनने वाले कुल संबंधों की संख्या क्या है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5\}\), what is the total number of relations from (A) to (B)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(2^6\)

Step 1

Concept

\(A\times B\) में \(3\times 2=6\) क्रमित युग्म होंगे। / \(A\times B\) has \(3\times 2=6\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(A) से (B) तक कोई भी संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है। / Any relation from (A) to (B) is a subset of \(A\times B\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / Hence the total number of relations is \(2^6\).

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Question 48/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=A\times A\) है। यह कौन सा संबंध है?

On \(A=\{1,2,3\}\), relation \(R=A\times A\). Which relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. सार्वत्रिक संबंधuniversal relation

Step 1

Concept

\(A\times A\) में संभव सभी क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

जब संबंध में ये सभी युग्म शामिल हों, तो उसे सार्वत्रिक संबंध कहते हैं। / When a relation contains all these pairs, it is called the universal relation.

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए दोनों में अंतर रखें। / The identity relation contains only diagonal pairs, so keep the two ideas separate.

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Question 49/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) है। यह संबंध प्रतिसममित है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\). Is this relation antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं हैyes, because no reverse off-diagonal pair occurs together

Step 1

Concept

प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। / Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.

Step 2

Why this answer is correct

यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs do not violate antisymmetry.

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Question 50/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। इससे बनने वाले समतुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). What are the equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ({1,2}) और ({3})({1,2}) and ({3})

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,1)) बताते हैं कि (1) और (2) एक ही वर्ग में हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) show that (1) and (2) are in the same class.

Step 2

Why this answer is correct

(3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग ({3}) बनेगा। / (3) is related only to itself, so it forms the separate class ({3}).

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े हुए अवयवों को एक समूह में रखें। / While forming equivalence classes, group elements connected by the relation.

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Question 51/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (3) तत्व हैं, तो (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो स्वपरक और सममित दोनों हों?

If (A) has (3) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^3\)

Step 1

Concept

स्वपरकता के कारण तीनों स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

अलग तत्वों के बिना क्रम वाले युग्मों की संख्या (3) है और प्रत्येक को जोड़े सहित लेना या छोड़ना है। / There are (3) unordered pairs of distinct elements, and each pair-group may be included or excluded.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संख्या \(2^3\) होगी। / Therefore, the total number is \(2^3\).

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Question 52/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (3) तत्व हैं, तो (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो सममित और प्रतिसममित दोनों हों?

If (A) has (3) elements, how many relations on (A) are both symmetric and antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^3\)

Step 1

Concept

सममितता अलग तत्वों के उल्टे युग्म मांगती है। / Symmetry asks for reverse pairs between distinct elements.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म नहीं लिए जा सकते। / Antisymmetry forbids both directions between distinct elements, so no non-self pair can be included.

Step 3

Exam Tip

केवल तीन स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^3\) है। / Only the three self-pairs are free, giving \(2^3\) relations.

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Question 53/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (3) तत्व हैं, तो (A) पर स्वपरक और प्रतिसममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (3) elements, what is the number of reflexive and antisymmetric relations on (A)?

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Correct Answer

A. \(3^3\)

Step 1

Concept

स्वपरकता के कारण तीन स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

प्रत्येक अलग तत्वों की जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं: पहला दिशा युग्म, दूसरा दिशा युग्म, या कोई नहीं। / For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the other direction, or none.

Step 3

Exam Tip

ऐसी जोड़ियां (3) हैं, इसलिए संख्या \(3^3\) है। / There are (3) such pairs, so the number is \(3^3\).

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Question 54/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) को संक्रामक बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म जोड़ना होगा?

For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which minimum pair must be added to make it transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। / Transitivity needs ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है, जो अनुपस्थित है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is missing.

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम जोड़ में केवल वही जरूरी युग्म जोड़ा जाता है। / For minimum addition, add only the required missing pair.

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Question 55/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) है, तो संक्रामक आवरण में कौन से अतिरिक्त युग्म अवश्य आएंगे?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), which additional pairs must appear in the transitive closure?

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Correct Answer

A. ((1,3),(2,4),(1,4))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

लंबी कड़ियों में नए बने युग्मों से भी संक्रामकता जांचें। / In long chains, also check pairs created during closure.

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Question 56/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित हैBecause ((1,3)) is missing

Step 1

Concept

संबंध स्वपरक और सममित है। / The relation is reflexive and symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity needs ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

((1,3)) नहीं है, इसलिए समतुल्यता संबंध नहीं बनता। / ((1,3)) is missing, so it is not an equivalence relation.

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Question 57/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर विभाजन ({{1,4},{2,3}}) से बने समतुल्यता संबंध में कितने युग्म होंगे?

For the partition ({{1,4},{2,3}}) of \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the equivalence relation formed by it?

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Correct Answer

C. 8

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध में प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी संभव क्रमित युग्म लिए जाते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों वर्गों में (2) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has (2) elements, so each contributes \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+4=8) होंगे। / Total pairs are (4+4=8).

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Question 58/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर विभाजन ({{1,2,3},{4}}) से बने समतुल्यता संबंध में कितने युग्म होंगे?

For the partition ({{1,2,3},{4}}) of \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the equivalence relation formed by it?

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Correct Answer

A. 10

Step 1

Concept

पहले वर्ग ({1,2,3}) से \(3^2=9\) क्रमित युग्म बनते हैं। / The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दूसरे वर्ग ({4}) से \(1^2=1\) युग्म बनता है। / The class ({4}) gives \(1^2=1\) pair.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (9+1=10) होंगे। / Total pairs are (9+1=10).

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Question 59/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो (1) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

If (aRb) on \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) when \(a\equiv b \pmod{3}\), what is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. ({1,4})

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर (1) का शेष (1) है। / Dividing (1) by (3) gives remainder (1).

Step 2

Why this answer is correct

(4) का भी (3) से भाग देने पर शेष (1) है। / Dividing (4) by (3) also gives remainder (1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। / Therefore, the class of (1) is ({1,4}).

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Question 60/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) यदि (a-b) (4) से विभाज्य है, तो (3) का समतुल्यता वर्ग क्या है?

If (aRb) on \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) when (a-b) is divisible by (4), what is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

A. ({3,7})

Step 1

Concept

(3) को (4) से भाग देने पर शेष (3) आता है। / Dividing (3) by (4) gives remainder (3).

Step 2

Why this answer is correct

(7) को (4) से भाग देने पर भी शेष (3) आता है। / Dividing (7) by (4) also gives remainder (3).

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाले तत्व एक ही समतुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder lie in the same equivalence class.

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Question 61/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a+b) सम है, तो (R) के युग्मों की संख्या कितनी होगी?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a+b) is even, how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

C. 8

Step 1

Concept

योग सम तभी होगा जब दोनों संख्याएं समान समता की हों। / The sum is even only when both numbers have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

विषम वर्ग ({1,3}) से (4) युग्म और सम वर्ग ({2,4}) से (4) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives (4) pairs and the even class ({2,4}) gives (4) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+4=8) हैं। / Total pairs are (4+4=8).

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Question 62/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a+b) विषम है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a+b) is odd, which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. सममित है पर स्वपरक नहींSymmetric but not reflexive

Step 1

Concept

(a+b=b+a), इसलिए यदि ((a,b)) है तो ((b,a)) भी होगा। / Since (a+b=b+a), if ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.

Step 2

Why this answer is correct

((a,a)) में (2a) सम होता है, इसलिए स्वयं युग्म नहीं मिलते। / For ((a,a)), (2a) is even, so no self-pair appears.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह सममित है पर स्वपरक नहीं है। / Hence it is symmetric but not reflexive.

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Question 63/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a) (b) को विभाजित करता है, तो कौन सा युग्म (R) में नहीं होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a) divides (b), which pair will not be in (R)?

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Correct Answer

D. ((4,2))

Step 1

Concept

((a,b)) तभी होगा जब (a), (b) को विभाजित करे। / ((a,b)) appears only when (a) divides (b).

Step 2

Why this answer is correct

(4), (2) को विभाजित नहीं करता। / (4) does not divide (2).

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता संबंध में क्रमित युग्म का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / In divisibility relations, the order of the pair is very important.

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Question 64/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय ({1,2,3,6}) पर विभाज्यता संबंध में सबसे छोटा और सबसे बड़ा तत्व क्रमशः कौन से हैं?

In the divisibility relation on ({1,2,3,6}), what are the least and greatest elements respectively?

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Correct Answer

A. (1) और (6)

Step 1

Concept

सबसे छोटा तत्व सभी को विभाजित करता है, इसलिए (1) सबसे छोटा है। / The least element divides every element, so (1) is least.

Step 2

Why this answer is correct

सबसे बड़ा तत्व ऐसा होता है जिसे सभी तत्व विभाजित करें, इसलिए (6) सबसे बड़ा है। / The greatest element is divisible by every element, so (6) is greatest.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता में छोटा-बड़ा सामान्य संख्या क्रम जैसा नहीं, संबंध के अनुसार देखा जाता है। / In divisibility, least and greatest are judged by the relation, not by usual size only.

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Question 65/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय ({2,3,6}) पर विभाज्यता संबंध में सबसे छोटा तत्व कौन सा है?

In the divisibility relation on ({2,3,6}), which is the least element?

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Correct Answer

D. कोई नहींNone

Step 1

Concept

सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करना चाहिए। / A least element must divide every element.

Step 2

Why this answer is correct

(2), (3) को विभाजित नहीं करता और (3), (2) को विभाजित नहीं करता। / (2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए कोई ऐसा तत्व नहीं है जो सभी को विभाजित करे। / Hence no element divides all elements.

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Question 66/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,4,8\}\) पर विभाज्यता संबंध है, तो यह संबंध किस प्रकार का है?

If divisibility relation is defined on \(A=\{1,2,4,8\}\), what type of relation is it?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए स्वपरकता है। / Every number divides itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(a) (b) को और (b) (a) को विभाजित करे तो (a=b), इसलिए प्रतिसममितता है। / If (a) divides (b) and (b) divides (a), then (a=b), so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता की कड़ी संक्रामक होती है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / Divisibility is transitive, so it is a partial order relation.

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Question 67/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

अलग तत्वों के लिए कोई उल्टा युग्म साथ में नहीं है, इसलिए प्रतिसममितता है। / No reverse pair appears with a distinct pair, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता भी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.

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Question 68/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), तो (R) आंशिक क्रम संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not a partial order relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि प्रतिसममितता नहीं हैBecause antisymmetry is absent

Step 1

Concept

आंशिक क्रम के लिए प्रतिसममितता जरूरी है। / A partial order needs antisymmetry.

Step 2

Why this answer is correct

यहां \(1\ne2\) होते हुए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / Here \(1\ne2\), yet both ((1,2)) and ((2,1)) are present.

Step 3

Exam Tip

अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म प्रतिसममितता तोड़ देते हैं। / Two-way pairs between distinct elements break antisymmetry.

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Question 69/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) एक संबंध है और \(R^{-1}=R\), तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित है?

If (R) is a relation and \(R^{-1}=R\), which conclusion is definite?

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Correct Answer

A. (R) सममित है(R) is symmetric

Step 1

Concept

\(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा हो जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.

Step 2

Why this answer is correct

यदि विलोम लेने पर वही संबंध मिले, तो हर युग्म का उल्टा पहले से मौजूद है। / If the inverse is the same relation, every reverse pair is already present.

Step 3

Exam Tip

यही सममित संबंध की पहचान है। / This is exactly the identity of a symmetric relation.

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Question 70/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), तो \(R^{-1}\circ R\) में कौन सा युग्म होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), which pair will be in \(R^{-1}\circ R\)?

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Correct Answer

A. ((1,1))

Step 1

Concept

\(R^{-1}\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R^{-1}\)। / In \(R^{-1}\circ R\), ((a,c)) appears when some (b) satisfies \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R^{-1}\).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1) के लिए \((1,2)\in R\) और \((2,1)\in R^{-1}\) है। / For (a=1), \((1,2)\in R\) and \((2,1)\in R^{-1}\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((1,1)) इस संयोजन में आता है। / Hence ((1,1)) belongs to this composition.

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Question 71/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,4),(3,4)\}\), तो \(R^{-1}\) में कौन सा युग्म अवश्य होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,4),(3,4)\}\), which pair must be in \(R^{-1}\)?

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Correct Answer

C. ((4,2)) और ((4,3)) दोनोंBoth ((4,2)) and ((4,3))

Step 1

Concept

विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों स्थान बदलते हैं। / In an inverse relation, the two entries of every pair are interchanged.

Step 2

Why this answer is correct

((2,4)) से ((4,2)) और ((3,4)) से ((4,3)) मिलते हैं। / ((2,4)) gives ((4,2)), and ((3,4)) gives ((4,3)).

Step 3

Exam Tip

विलोम निकालते समय सभी युग्मों को अलग-अलग उलटें। / Reverse every pair separately while finding the inverse.

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Question 72/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=A\times A\) है, तो (R) के बारे में कौन सा कथन गलत है?

If \(R=A\times A\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement about (R) is false?

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Correct Answer

A. यह रिक्त संबंध हैIt is an empty relation

Step 1

Concept

\(A\times A\) में सभी संभव युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible pairs.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह रिक्त संबंध नहीं हो सकता, बल्कि सार्वत्रिक संबंध है। / Therefore, it cannot be empty; it is the universal relation.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध स्वपरक, सममित और संक्रामक होता है। / The universal relation is reflexive, symmetric and transitive.

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Question 73/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) अरिक्त है और \(R=\varnothing\), तो कौन सा कथन गलत है?

If (A) is non-empty and \(R=\varnothing\), which statement is false?

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Correct Answer

A. (R) स्वपरक है(R) is reflexive

Step 1

Concept

अरिक्त समुच्चय पर स्वपरकता के लिए स्वयं युग्म चाहिए। / On a non-empty set, reflexivity needs self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई भी युग्म नहीं है, इसलिए स्वयं युग्म भी नहीं हैं। / The empty relation has no pair, so self-pairs are absent.

Step 3

Exam Tip

रिक्त संबंध सममित और संक्रामक हो सकता है, पर अरिक्त समुच्चय पर स्वपरक नहीं। / The empty relation may be symmetric and transitive, but it is not reflexive on a non-empty set.

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Question 74/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\), तो (R) प्रतिसममित है या नहीं?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) antisymmetric?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म हों। / Antisymmetry fails when both directions exist for distinct elements.

Step 2

Why this answer is correct

यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती। / So antisymmetry is not violated.

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Question 75/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि कोई संबंध सममित और प्रतिसममित दोनों है, तो अलग तत्वों \(a\ne b\) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है?

If a relation is both symmetric and antisymmetric, what is correct for distinct elements \(a\ne b\)?

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Correct Answer

A. ((a,b)) संबंध में नहीं हो सकता((a,b)) cannot be in the relation

Step 1

Concept

यदि ((a,b)) हो और संबंध सममित हो, तो ((b,a)) भी होगा। / If ((a,b)) is present and the relation is symmetric, then ((b,a)) is also present.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिसममितता कहती है कि दोनों होने पर (a=b) होना चाहिए। / Antisymmetry says both can occur only when (a=b).

Step 3

Exam Tip

\(a\ne b\) के लिए यह संभव नहीं, इसलिए ऐसा युग्म नहीं हो सकता। / For \(a\ne b\), this is impossible, so such a pair cannot be present.

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Question 76/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\), तो (R) आंशिक क्रम संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not a partial order relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि संक्रामकता नहीं हैBecause transitivity is absent

Step 1

Concept

आंशिक क्रम के लिए स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता चाहिए। / A partial order needs reflexivity, antisymmetry and transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संक्रामकता नहीं है और संबंध आंशिक क्रम नहीं है। / Thus transitivity is absent, so it is not a partial order.

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Question 77/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,4),(1,4)\}\), तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,4),(1,4)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the correct statement about (R)?

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Correct Answer

A. यह आंशिक क्रम संबंध हैIt is a partial order relation

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

अलग तत्वों के कोई उल्टे युग्म साथ नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। / No reverse pair is present for distinct elements, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present, so transitivity holds.

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Question 78/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध (R) को (aRb) यदि \(|a-b|\le1\) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा गुण नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), relation (R) is defined by (aRb) if \(|a-b|\le1\). Which property is absent?

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Correct Answer

A. संक्रामकताTransitivity

Step 1

Concept

(|a-a|=0), इसलिए स्वपरकता है। / (|a-a|=0), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है क्योंकि (|1-3|=2), इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is absent because (|1-3|=2), so transitivity fails.

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Question 79/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (|a-b|) (2) से विभाज्य है, तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (|a-b|) is divisible by (2), what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(|a-a|=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए स्वपरकता है। / (|a-a|=0) is divisible by (2), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान समता की कड़ी आगे भी समान समता देती है, इसलिए संक्रामकता है। / Same parity continues through a chain, so it is transitive.

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Question 80/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a+b=5), तो (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a+b=5), which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. यह सममित है पर स्वपरक नहींIt is symmetric but not reflexive

Step 1

Concept

(a+b=5) होने पर (b+a=5) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((a,a)) के लिए (2a=5) चाहिए, जो इस समुच्चय में किसी पूर्णांक (a) के लिए नहीं है। / For ((a,a)), we need (2a=5), which is not true for any integer in the set.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध सममित है पर स्वपरक नहीं। / Hence the relation is symmetric but not reflexive.

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Question 81/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a+b=5), तो (R) संक्रामक क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a+b=5), why is (R) not transitive?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं हैBecause ((1,4)) and ((4,1)) are present but ((1,1)) is not

Step 1

Concept

(1+4=5), इसलिए ((1,4)) और ((4,1)) संबंध में हैं। / Since (1+4=5), ((1,4)) and ((4,1)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के अनुसार इनसे ((1,1)) चाहिए। / Transitivity would require ((1,1)).

Step 3

Exam Tip

((1,1)) नहीं है क्योंकि \(1+1\ne5\), इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,1)) is absent because \(1+1\ne5\), so transitivity fails.

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Question 82/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)\}\), तो (R) से बने समतुल्यता वर्ग कौन से हैं?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what are the equivalence classes formed by (R)?

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Correct Answer

A. ({1,2}) और ({3})({1,2}) and ({3})

Step 1

Concept

(1) और (2) दोनों दिशाओं में संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। / (1) and (2) are related in both directions, so they are in one class.

Step 2

Why this answer is correct

(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं। / Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).

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Question 83/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं, तो (R) में कौन सा युग्म नहीं होगा?

If the classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,2}) and ({3,4}), which pair will not be in (R)?

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Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर युग्म बनते हैं। / In an equivalence relation, pairs are formed only within the same class.

Step 2

Why this answer is correct

(1) वर्ग ({1,2}) में है और (3) वर्ग ({3,4}) में है। / (1) is in ({1,2}), while (3) is in ({3,4}).

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के बीच ((1,3)) नहीं होगा। / Hence ((1,3)) will not be in the relation.

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Question 84/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) है, तो इसे समतुल्यता संबंध बनाने के लिए कौन से युग्म जोड़ने होंगे?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pairs must be added to make it an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((2,3)) और ((3,2))((2,3)) and ((3,2))

Step 1

Concept

(2) का संबंध (1) से है और (1) का संबंध (3) से है। / (2) is related to (1), and (1) is related to (3).

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के लिए (2) का संबंध (3) से होना चाहिए। / Transitivity requires (2) to be related to (3).

Step 3

Exam Tip

सममितता बनाए रखने के लिए ((2,3)) और ((3,2)) दोनों जोड़ने होंगे। / To preserve symmetry, both ((2,3)) and ((3,2)) must be added.

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Question 85/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो \(R^{-1}\) में कौन सा युग्म होगा लेकिन (R) में नहीं होगा?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pair will be in \(R^{-1}\) but not in (R)?

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Correct Answer

A. ((2,1))

Step 1

Concept

विलोम संबंध में ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) आएगा। / The inverse relation contains the reverse ((2,1)) of ((1,2)).

Step 2

Why this answer is correct

((2,1)) मूल संबंध में नहीं है। / ((2,1)) is not in the original relation.

Step 3

Exam Tip

विलोम संबंध की तुलना करते समय हर गैर-स्वयं युग्म को उलटकर देखें। / While comparing inverse and original relation, reverse each non-self pair.

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Question 86/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) किससे अधिक मिलता-जुलता है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which description fits (R) best?

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Correct Answer

A. स्वपरक, प्रतिसममित और संक्रामकReflexive, antisymmetric and transitive

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म होने से स्वपरकता है। / All self-pairs make it reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

अलग तत्वों के उल्टे युग्म साथ नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। / No reverse pair exists for distinct elements, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.

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Question 87/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\), तो (R) सममित है पर स्वपरक क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) symmetric but not reflexive?

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Correct Answer

A. हर उल्टा युग्म है पर स्वयं युग्म नहीं हैंEvery reverse pair is present but self-pairs are absent

Step 1

Concept

सभी अलग युग्मों के उल्टे युग्म मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Every distinct pair has its reverse, so symmetry holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) अनुपस्थित हैं। / ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are absent.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध सममित है, लेकिन स्वपरक नहीं है। / Hence the relation is symmetric but not reflexive.

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Question 88/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) संक्रामक है या नहीं?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) transitive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मांगती है। / The main chain ((1,2)) and ((2,3)) requires ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) संबंध में मौजूद है। / ((1,3)) is present.

Step 3

Exam Tip

कोई अन्य ऐसी कड़ी नहीं है जो नया अनुपस्थित युग्म मांगे, इसलिए संबंध संक्रामक है। / No other chain asks for a new missing pair, so the relation is transitive.

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Question 89/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), तो (R) संक्रामक क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not transitive?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित हैBecause ((1,3)) is missing

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के लिए ((1,3)) जरूरी है। / Transitivity requires ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Since ((1,3)) is missing, the relation is not transitive.

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Question 90/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) ऐसा संबंध है जिसमें दो वर्ग ({1,3}) और ({2,4}) बनते हैं, तो (R) में कुल कितने युग्म होंगे?

If a relation (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) forms two classes ({1,3}) and ({2,4}), how many pairs will be in (R)?

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Correct Answer

C. 8

Step 1

Concept

प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / All ordered pairs within each class are included.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों वर्गों में (2) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक वर्ग \(2^2=4\) युग्म देता है। / Both classes have (2) elements, so each class gives \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+4=8) हैं। / Total pairs are (4+4=8).

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Question 91/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) सभी तत्वों को एक ही समतुल्यता वर्ग में रखता है, तो (R) कौन सा संबंध होगा?

If a relation (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) puts all elements in one equivalence class, what relation is (R)?

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Correct Answer

A. सार्वत्रिक संबंधUniversal relation

Step 1

Concept

एक ही वर्ग का अर्थ है कि हर तत्व हर दूसरे तत्व से संबंधित है। / One equivalence class means every element is related to every other element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(A\times A\) के सभी युग्म संबंध में होंगे। / Therefore, all pairs of \(A\times A\) are in the relation.

Step 3

Exam Tip

ऐसा संबंध सार्वत्रिक संबंध कहलाता है। / Such a relation is the universal relation.

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Question 92/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) के सभी समतुल्यता वर्ग एक-एक तत्व वाले हैं, तो (R) कौन सा संबंध होगा?

If all equivalence classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are singletons, what relation is (R)?

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Correct Answer

A. सर्वसम संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

एक-एक तत्व वाले वर्ग का अर्थ है कि कोई अलग तत्व आपस में संबंधित नहीं है। / Singleton classes mean no two distinct elements are related.

Step 2

Why this answer is correct

हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित रहेगा। / Every element is related only to itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध सर्वसम संबंध होगा। / Hence the relation is the identity relation.

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Question 93/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (R) स्वपरक और सममित है तथा \((1,2),(2,3)\in R\), तो (R) को समतुल्यता संबंध बनाने के लिए कौन सा युग्म अवश्य चाहिए?

If (R) on \(A=\{1,2,3\}\) is reflexive and symmetric and \((1,2),(2,3)\in R\), which pair is necessary to make (R) an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

समतुल्यता के लिए संक्रामकता भी जरूरी है। / Equivalence also requires transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

स्वपरकता से स्वयं युग्म मिलते हैं, पर यह तीसरा युग्म संक्रामकता से आता है। / Reflexivity gives self-pairs, but this third pair comes from transitivity.

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Question 94/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (R) आंशिक क्रम संबंध है और \((1,2),(2,1)\in R\), तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

If (R) is a partial order relation on \(A=\{1,2,3\}\) and \((1,2),(2,1)\in R\), what conclusion follows?

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Correct Answer

A. यह असंभव है क्योंकि \(1\ne2\)This is impossible because \(1\ne2\)

Step 1

Concept

आंशिक क्रम संबंध प्रतिसममित होता है। / A partial order relation is antisymmetric.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिसममितता में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों होने पर (a=b) होना चाहिए। / In antisymmetry, if both ((a,b)) and ((b,a)) are present, then (a=b).

Step 3

Exam Tip

यहां \(1\ne2\), इसलिए ऐसी स्थिति आंशिक क्रम में संभव नहीं है। / Here \(1\ne2\), so this situation is impossible in a partial order.

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Question 95/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) स्वपरक और संक्रामक है, तो (R) का सममित होना किससे तय होगा?

If (R) is reflexive and transitive, what decides whether (R) is symmetric?

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Correct Answer

A. हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) होनाPresence of ((b,a)) with every ((a,b))

Step 1

Concept

स्वपरकता और संक्रामकता सममितता को अपने आप नहीं देतीं। / Reflexivity and transitivity do not automatically give symmetry.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every pair.

Step 3

Exam Tip

इसलिए अलग से उल्टे युग्मों की जांच जरूरी है। / Therefore, reverse pairs must be checked separately.

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Question 96/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3),(3,1)\}\), तो कौन सा गुण निश्चित रूप से टूटता है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property definitely fails?

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Correct Answer

A. प्रतिसममितताAntisymmetry

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता नहीं टूटती। / All self-pairs are present, so reflexivity does not fail.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne3\)। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present while \(1\ne3\).

Step 3

Exam Tip

यह प्रतिसममितता को निश्चित रूप से तोड़ता है। / This definitely breaks antisymmetry.

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Question 97/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3)\}\), तो सममितता के लिए कौन सा युग्म अनुपस्थित है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pair is missing for symmetry?

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Correct Answer

A. ((3,2))

Step 1

Concept

सममितता में हर अलग युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every non-self pair.

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) दिया है लेकिन उसका उल्टा ((3,2)) नहीं है। / ((2,3)) is present, but its reverse ((3,2)) is absent.

Step 3

Exam Tip

केवल एक अनुपस्थित उल्टा युग्म भी सममितता रोक देता है। / Even one missing reverse pair prevents symmetry.

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Question 98/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(1,4)\}\), तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(1,4)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म होने से स्वपरकता है। / All self-pairs make it reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

अलग युग्मों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। / Reverse pairs of distinct elements are absent, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

सभी आगे की कड़ियां जैसे ((1,2),(2,3)) से ((1,3)) और ((2,3),(3,4)) से ((2,4)) पूरी हैं। / Forward chains such as ((1,2),(2,3)) giving ((1,3)), and ((2,3),(3,4)) giving ((2,4)), are complete.

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Question 99/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}\), तो (R) आंशिक क्रम संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), why is (R) not a partial order relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((1,4)) अनुपस्थित हैBecause ((1,4)) is missing

Step 1

Concept

आंशिक क्रम के लिए संक्रामकता जरूरी है। / A partial order requires transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, या ((1,2)), ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), and ((1,2)) with ((2,4)) also requires ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

((1,4)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / Since ((1,4)) is missing, transitivity fails.

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Question 100/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर कोई संबंध स्वपरक, सममित और प्रतिसममित तीनों है, तो वह संबंध कौन सा हो सकता है?

If a relation on \(A=\{1,2,3\}\) is reflexive, symmetric and antisymmetric all together, which relation can it be?

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Correct Answer

A. सर्वसम संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

स्वपरकता के कारण सभी स्वयं युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity makes all self-pairs compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। / Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल स्वयं युग्मों वाला सर्वसम संबंध ही संभव है। / Therefore, only the identity relation is possible.

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Question 101/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो स्वपरक और सममित दोनों हों?

If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?

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Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

स्वपरकता के कारण (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। / Reflexivity makes (4) self-pairs compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

अलग तत्वों की बिना क्रम वाली जोड़ियां \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं और हर जोड़ी को दोनों दिशाओं सहित लेना या छोड़ना है। / There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered distinct pairs and each pair-group may be included or excluded.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे। / Hence the number of relations is \(2^6\).

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Question 102/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो (A) पर स्वपरक और प्रतिसममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (4) elements, what is the number of reflexive and antisymmetric relations on (A)?

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Correct Answer

B. \(3^6\)

Step 1

Concept

स्वपरकता के कारण सभी (4) स्वयं युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes all (4) self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

अलग तत्वों की \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) जोड़ियों में हर जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं। / For each of the \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered distinct pairs, there are three choices.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संख्या \(3^6\) होगी। / Therefore, the count is \(3^6\).

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Question 103/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो (A) पर सममित और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both symmetric and antisymmetric?

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Correct Answer

A. \(2^4\)

Step 1

Concept

सममितता अलग युग्म के उल्टे युग्म को चाहती है। / Symmetry asks for reverse pairs.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए केवल स्वयं युग्म चुने जा सकते हैं। / Antisymmetry forbids two-way pairs between distinct elements, so only self-pairs may be chosen.

Step 3

Exam Tip

(4) स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^4\) है। / There are (4) free self-pairs, so the count is \(2^4\).

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Question 104/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), तो (R) के संक्रामक आवरण में कुल कितने युग्म होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), how many pairs will be in the transitive closure of (R)?

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Correct Answer

C. 6

Step 1

Concept

मूल युग्म तीन हैं। / The original relation has three pairs.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता से ((1,3)), ((2,4)) और ((1,4)) और जुड़ते हैं। / Transitivity adds ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (3+3=6) होंगे। / Total pairs are (3+3=6).

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Question 105/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}\), तो इसे संक्रामक बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म जोड़ना होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}\), which minimum pair must be added to make it transitive?

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Correct Answer

A. ((1,4))

Step 1

Concept

((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,4)) also require ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

यही एक मुख्य अनुपस्थित युग्म है, इसलिए इसे जोड़ना होगा। / This is the key missing pair, so it must be added.

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Question 106/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर विभाजन ({{1,2},{3,4,5}}) से बने समतुल्यता संबंध में कितने युग्म होंगे?

For the partition ({{1,2},{3,4,5}}) of \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in the equivalence relation formed by it?

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Correct Answer

C. 13

Step 1

Concept

वर्ग ({1,2}) से \(2^2=4\) युग्म बनते हैं। / The class ({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग ({3,4,5}) से \(3^2=9\) युग्म बनते हैं। / The class ({3,4,5}) gives \(3^2=9\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+9=13) होंगे। / Total pairs are (4+9=13).

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Question 107/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर विभाजन ({{1},{2,3},{4,5}}) से बने समतुल्यता संबंध में कितने युग्म होंगे?

For the partition ({{1},{2,3},{4,5}}) of \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in the equivalence relation formed by it?

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Correct Answer

C. 9

Step 1

Concept

एक तत्व वाले वर्ग से \(1^2=1\) युग्म मिलता है। / The singleton class gives \(1^2=1\) pair.

Step 2

Why this answer is correct

दो-दो तत्व वाले दोनों वर्गों से \(2^2+2^2=8\) युग्म मिलते हैं। / The two classes with two elements each give \(2^2+2^2=8\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (1+8=9) होंगे। / Total pairs are (1+8=9).

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Question 108/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) यदि \(a\equiv b \pmod{2}\), तो (R) में कुल कितने युग्म होंगे?

If (aRb) on \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) when \(a\equiv b \pmod{2}\), how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

B. 18

Step 1

Concept

सम वर्ग ({2,4,6}) और विषम वर्ग ({1,3,5}) बनेंगे। / The even class is ({2,4,6}) and the odd class is ({1,3,5}).

Step 2

Why this answer is correct

प्रत्येक वर्ग में (3) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class has (3) elements, so each gives \(3^2=9\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (9+9=18) होंगे। / Total pairs are (9+9=18).

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Question 109/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) यदि (a-b) (3) से विभाज्य है, तो (2) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

If (aRb) on \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) when (a-b) is divisible by (3), what is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({2,5,8})

Step 1

Concept

(2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) है। / Dividing (2) by (3) gives remainder (2).

Step 2

Why this answer is correct

(5) और (8) का भी शेष (2) है। / (5) and (8) also leave remainder (2).

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाले तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder lie in the same class.

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Question 110/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) यदि \(a\equiv b \pmod{4}\), तो (1) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

If (aRb) on \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) when \(a\equiv b \pmod{4}\), what is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. ({1,5})

Step 1

Concept

(1) को (4) से भाग देने पर शेष (1) है। / Dividing (1) by (4) gives remainder (1).

Step 2

Why this answer is correct

(5) को भी (4) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / Dividing (5) by (4) also gives remainder (1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) का वर्ग ({1,5}) है। / Therefore, the class of (1) is ({1,5}).

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Question 111/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) यदि (a+b) सम है, तो (R) में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), if (aRb) when (a+b) is even, how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

C. 13

Step 1

Concept

योग सम होने के लिए दोनों तत्व समान समता के होने चाहिए। / For the sum to be even, both elements must have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

विषम वर्ग ({1,3,5}) से \(3^2=9\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3,5}) gives \(3^2=9\) pairs and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (9+4=13) हैं। / Total pairs are (9+4=13).

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Question 112/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) यदि (a+b) विषम है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), if (aRb) when (a+b) is odd, how many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 12

Step 1

Concept

योग विषम तब होगा जब एक तत्व विषम और दूसरा सम हो। / The sum is odd when one element is odd and the other is even.

Step 2

Why this answer is correct

विषम तत्व (3) और सम तत्व (2) हैं। / There are (3) odd and (2) even elements.

Step 3

Exam Tip

दोनों दिशाओं के कारण कुल युग्म \(3\cdot2+2\cdot3=12\) होंगे। / Both directions give \(3\cdot2+2\cdot3=12\) pairs.

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Question 113/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (aRb) यदि (a) (b) को विभाजित करता है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,6\}\), if (aRb) when (a) divides (b), how many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 9

Step 1

Concept

(1) सभी चार तत्वों को विभाजित करता है। / (1) divides all four elements.

Step 2

Why this answer is correct

(2), (2) और (6) को विभाजित करता है; (3), (3) और (6) को विभाजित करता है; (6) केवल (6) को विभाजित करता है। / (2) divides (2) and (6); (3) divides (3) and (6); (6) divides only (6).

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+2+2+1=9) हैं। / Total pairs are (4+2+2+1=9).

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Question 114/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{2,3,4,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध है, तो सबसे बड़ा तत्व कौन सा है?

If divisibility relation is defined on \(A=\{2,3,4,6,12\}\), which is the greatest element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 12

Step 1

Concept

सबसे बड़ा तत्व वह है जिसे समुच्चय के सभी तत्व विभाजित करें। / The greatest element is the one divisible by every element of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(2,3,4,6,12) सभी (12) को विभाजित करते हैं। / (2,3,4,6,12) all divide (12).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (12) सबसे बड़ा तत्व है। / Hence (12) is the greatest element.

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Question 115/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{2,4,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध है, तो सबसे छोटा तत्व कौन सा है?

If divisibility relation is defined on \(A=\{2,4,6,12\}\), which is the least element?

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Correct Answer

A. 2

Step 1

Concept

सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करता है। / The least element divides every element in the set.

Step 2

Why this answer is correct

(2), (2,4,6,12) सभी को विभाजित करता है। / (2) divides (2,4,6,12).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (2) सबसे छोटा तत्व है। / Therefore, (2) is the least element.

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Question 116/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{2,3,5,30\}\) पर विभाज्यता संबंध है, तो सबसे छोटा तत्व कौन सा है?

If divisibility relation is defined on \(A=\{2,3,5,30\}\), which is the least element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. कोई नहींNone

Step 1

Concept

सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करना चाहिए। / A least element must divide every element.

Step 2

Why this answer is correct

(2), (3) को नहीं विभाजित करता और (3), (2) को नहीं विभाजित करता। / (2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए इस समुच्चय में कोई सबसे छोटा तत्व नहीं है। / Hence this set has no least element.

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Question 117/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,4),(1,4)\}\), तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,4),(1,4)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। / No two-way pair exists between distinct elements, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present, so transitivity holds.

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Question 118/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}\), तो (R) आंशिक क्रम संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), why is (R) not a partial order relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि ((1,4)) अनुपस्थित हैBecause ((1,4)) is missing

Step 1

Concept

आंशिक क्रम के लिए संक्रामकता जरूरी है। / A partial order requires transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

((1,4)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / Since ((1,4)) is missing, transitivity fails.

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Question 119/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\), तो कौन सा गुण निश्चित रूप से टूटता है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property definitely fails?

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Correct Answer

A. प्रतिसममितताAntisymmetry

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\)। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present while \(1\ne2\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिसममितता निश्चित रूप से टूटती है। / Therefore, antisymmetry definitely fails.

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Question 120/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) सममित है और \((3,5)\in R\), तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is symmetric and \((3,5)\in R\), which statement about \(R^{-1}\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \((3,5)\in R^{-1}\)

Step 1

Concept

सममितता से \((5,3)\in R\) भी होगा। / By symmetry, \((5,3)\in R\) also holds.

Step 2

Why this answer is correct

विलोम लेने पर \((5,3)\in R\) से \((3,5)\in R^{-1}\) मिलता है। / Taking inverse, \((5,3)\in R\) gives \((3,5)\in R^{-1}\).

Step 3

Exam Tip

सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) याद रखना उपयोगी है। / For a symmetric relation, remember \(R^{-1}=R\).

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Question 121/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,4),(4,1)\}\), तो \(R^{-1}\) कौन सा है?

If \(R=\{(1,2),(2,4),(4,1)\}\), what is \(R^{-1}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(2,1),(4,2),(1,4)})

Step 1

Concept

विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों स्थान बदलते हैं। / In the inverse relation, the two entries of each pair are interchanged.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)), ((2,4)), ((4,1)) क्रमशः ((2,1)), ((4,2)), ((1,4)) बनते हैं। / ((1,2)), ((2,4)), and ((4,1)) become ((2,1)), ((4,2)), and ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

विलोम निकालते समय युग्मों का क्रम नहीं, प्रत्येक युग्म के भीतर का क्रम बदलता है। / While finding inverse, reverse entries inside each pair.

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Question 122/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) और \(S=\{(2,4),(3,5)\}\), तो \(S\circ R\) कौन सा है?

If \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) and \(S=\{(2,4),(3,5)\}\), what is \(S\circ R\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,4),(2,5)})

Step 1

Concept

\(S\circ R\) में पहले (R) और फिर (S) लगाया जाता है। / In \(S\circ R\), apply (R) first and then (S).

Step 2

Why this answer is correct

(1) से (2) और (2) से (4) मिलता है, इसलिए ((1,4)) आएगा; (2) से (3) और (3) से (5) मिलता है, इसलिए ((2,5)) आएगा। / (1) goes to (2), and (2) goes to (4), giving ((1,4)); (2) goes to (3), and (3) goes to (5), giving ((2,5)).

Step 3

Exam Tip

संयोजन में बीच वाला तत्व समान होना चाहिए। / The middle element must match in composition.

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Question 123/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\), तो \(R\circ R\) में कौन सा युग्म अवश्य होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\), which pair must be in \(R\circ R\)?

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Correct Answer

A. ((1,1))

Step 1

Concept

\(R\circ R\) में ((a,c)) तब होगा जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / In \(R\circ R\), ((a,c)) occurs when some (b) satisfies \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) मिलता है। / ((1,2)) and ((2,1)) give ((1,1)).

Step 3

Exam Tip

संयोजन में दो जुड़े युग्मों की कड़ी देखें। / In composition, look for connected pairs.

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Question 124/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) सममित है लेकिन समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) symmetric but not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि स्वपरकता नहीं हैBecause reflexivity is absent

Step 1

Concept

हर युग्म का उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए सममितता है। / Every pair has its reverse, so it is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) नहीं हैं, इसलिए स्वपरकता नहीं है। / ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are absent, so reflexivity is missing.

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता के लिए स्वपरकता, सममितता और संक्रामकता तीनों जरूरी हैं। / An equivalence relation needs reflexivity, symmetry and transitivity.

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Question 125/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर कोई संबंध स्वपरक, सममित और प्रतिसममित तीनों है, तो उसमें कितने युग्म होंगे?

If a relation on \(A=\{1,2,3\}\) is reflexive, symmetric and antisymmetric all together, how many pairs will it have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 3

Step 1

Concept

स्वपरकता से तीन स्वयं युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity requires three self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। / Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) होंगे, यानी (3) युग्म। / So only ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) remain, giving (3) pairs.

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Question 126/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कोई संबंध स्वपरक, सममित और प्रतिसममित तीनों है, तो वह कौन सा संबंध होगा?

If a relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) is reflexive, symmetric and antisymmetric all together, which relation will it be?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सर्वसम संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

स्वपरकता सभी स्वयं युग्मों को अनिवार्य करती है। / Reflexivity makes all self-pairs compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

सममित और प्रतिसममित साथ होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं रह सकते। / Symmetry and antisymmetry together do not allow non-self pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध केवल सर्वसम संबंध होगा। / Hence the relation must be the identity relation.

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Question 127/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) अरिक्त समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध है, तो कौन सा कथन हमेशा सही है?

If (R) is the universal relation on a non-empty set (A), which statement is always true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (R) समतुल्यता संबंध है(R) is an equivalence relation

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में सभी स्वयं युग्म होते हैं, इसलिए स्वपरकता है। / A universal relation contains all self-pairs, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

हर युग्म का उल्टा भी होता है, इसलिए सममितता है। / It also contains every reverse pair, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

सभी युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Since all pairs are present, transitivity also holds, making it an equivalence relation.

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Question 128/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2\}\) पर सार्वत्रिक संबंध है, तो क्या वह प्रतिसममित है?

If the universal relation is on \(A=\{1,2\}\), is it antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों होते हैं। / The universal relation contains both ((1,2)) and ((2,1)).

Step 2

Why this answer is correct

\(1\ne2\), इसलिए प्रतिसममितता की शर्त टूटती है। / Since \(1\ne2\), antisymmetry fails.

Step 3

Exam Tip

दो या अधिक तत्वों पर सार्वत्रिक संबंध सामान्यतः प्रतिसममित नहीं होता। / On a set with two or more elements, the universal relation is usually not antisymmetric.

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Question 129/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1\}\) पर सार्वत्रिक संबंध है, तो कौन सा कथन सही है?

If the universal relation is on \(A=\{1\}\), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह स्वपरक, सममित, संक्रामक और प्रतिसममित हैIt is reflexive, symmetric, transitive and antisymmetric

Step 1

Concept

एक तत्व वाले समुच्चय पर केवल ((1,1)) युग्म होता है। / On a one-element set, the only pair is ((1,1)).

Step 2

Why this answer is correct

यही युग्म सभी जरूरी शर्तों को पूरा करता है। / This pair satisfies all required conditions.

Step 3

Exam Tip

एक तत्व वाले समुच्चय में कई गुण एक साथ पूरे हो सकते हैं। / On a singleton set, many relation properties can hold together.

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Question 130/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(3,1)\}\), तो (R) संक्रामक क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित हैBecause ((1,3)) is missing

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / Transitivity requires ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

((1,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / Since ((1,3)) is missing, the relation is not transitive.

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Question 131/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(2,1),(3,2)\}\), तो (R) क्या है?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(2,1),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what is (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सार्वत्रिक संबंधUniversal relation

Step 1

Concept

\(A=\{1,2,3\}\) के लिए \(A\times A\) में (9) युग्म होते हैं। / For \(A=\{1,2,3\}\), \(A\times A\) has (9) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में वे सभी (9) युग्म मौजूद हैं। / The given relation contains all (9) pairs.

Step 3

Exam Tip

सभी संभव युग्मों वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध है। / A relation containing all possible pairs is the universal relation.

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Question 132/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के समतुल्यता वर्ग ({1,4}), ({2}), ({3}) हैं, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

If equivalence classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,4}), ({2}), and ({3}), how many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

वर्ग ({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The class ({1,4}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

({2}) और ({3}) से (1+1) युग्म मिलते हैं। / The singleton classes ({2}) and ({3}) give (1+1) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+1+1=6) हैं। / Total pairs are (4+1+1=6).

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Question 133/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के समतुल्यता वर्ग ({1,2,3,4}) ही हैं, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

If the only equivalence class of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) is ({1,2,3,4}), how many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. 16

Step 1

Concept

एक ही वर्ग होने का अर्थ है कि सभी तत्व आपस में संबंधित हैं। / One class means all elements are related to one another.

Step 2

Why this answer is correct

(4) तत्वों वाले एक वर्ग से \(4^2=16\) क्रमित युग्म बनते हैं। / A class with (4) elements gives \(4^2=16\) ordered pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध सार्वत्रिक होगा और उसमें (16) युग्म होंगे। / Hence the relation is universal and has (16) pairs.

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Question 134/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के सभी समतुल्यता वर्ग एक-एक तत्व वाले हैं, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

If all equivalence classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are singletons, how many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 4

Step 1

Concept

एक-एक तत्व वाले वर्ग में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। / Singleton classes mean each element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए केवल चार स्वयं युग्म बनेंगे। / Therefore, only four self-pairs are formed.

Step 3

Exam Tip

यह सर्वसम संबंध है और इसमें (4) युग्म हैं। / This is the identity relation and it has (4) pairs.

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Question 135/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (R) स्वपरक और सममित है तथा ((1,2)) और ((2,3)) (R) में हैं, तो समतुल्यता संबंध बनाने के लिए कौन से युग्म अवश्य होने चाहिए?

If (R) on \(A=\{1,2,3\}\) is reflexive and symmetric and ((1,2)) and ((2,3)) are in (R), which pairs must be present to make it an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((1,3)) और ((3,1))((1,3)) and ((3,1))

Step 1

Concept

स्वपरकता से स्वयं युग्म पहले से मिलते हैं और सममितता से उल्टे युग्म मिलते हैं। / Reflexivity gives self-pairs, and symmetry gives reverse pairs.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)) by transitivity.

Step 3

Exam Tip

सममितता बनाए रखने के लिए ((3,1)) भी चाहिए। / To keep symmetry, ((3,1)) is also needed.

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Question 136/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a+b=5), तो (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a+b=5), how many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 4

Step 1

Concept

(a+b=5) बनाने वाले युग्म खोजें। / Find pairs whose sum is (5).

Step 2

Why this answer is correct

((1,4)), ((2,3)), ((3,2)), ((4,1)) मिलते हैं। / The pairs are ((1,4)), ((2,3)), ((3,2)), and ((4,1)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / Therefore, there are (4) pairs.

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Question 137/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a+b=5), तो कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a+b=5), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह सममित है पर स्वपरक और संक्रामक नहींIt is symmetric but neither reflexive nor transitive

Step 1

Concept

(a+b=5) होने पर (b+a=5), इसलिए सममितता है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

कोई ((a,a)) नहीं है क्योंकि (2a=5) नहीं हो सकता। / No self-pair exists because (2a=5) is not possible in the set.

Step 3

Exam Tip

((1,4)) और ((4,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((1,4)) and ((4,1)) would require ((1,1)), which is absent, so it is not transitive.

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Question 138/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(|a-b|\le1\), तो (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(|a-b|\le1\), how many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 7

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मिलते हैं। / All self-pairs ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are included.

Step 2

Why this answer is correct

अंतर (1) वाले युग्म ((1,2)), ((2,1)), ((2,3)), ((3,2)) भी मिलते हैं। / Pairs with difference (1), namely ((1,2)), ((2,1)), ((2,3)), and ((3,2)), are also included.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (3+4=7) हैं। / Total pairs are (3+4=7).

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Question 139/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(|a-b|\le1\), तो कौन सा गुण नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(|a-b|\le1\), which property is absent?

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Correct Answer

A. संक्रामकताTransitivity

Step 1

Concept

(|a-a|=0), इसलिए स्वपरकता है। / (|a-a|=0), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। / (|a-b|=|b-a|), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent, so transitivity fails.

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Question 140/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (|a-b|) सम है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (|a-b|) is even, how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

C. 8

Step 1

Concept

सम अंतर का अर्थ है कि दोनों तत्व समान समता के हैं। / Even difference means the two elements have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

विषम वर्ग ({1,3}) से (4) और सम वर्ग ({2,4}) से (4) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives (4) pairs and the even class ({2,4}) gives (4) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (8) होंगे। / Total pairs are (8).

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Question 141/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (|a-b|) सम है, तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (|a-b|) is even, what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(|a-a|=0) सम है, इसलिए स्वपरकता है। / (|a-a|=0) is even, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान समता आगे भी समान समता देती है, इसलिए संक्रामकता है। / Same parity continues through a chain, so it is transitive.

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Question 142/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि \(a\le b\), तो (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when \(a\le b\), how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

C. 10

Step 1

Concept

(1) से (1,2,3,4) तक चार युग्म मिलते हैं। / From (1), we get four pairs with (1,2,3,4).

Step 2

Why this answer is correct

(2) से तीन, (3) से दो और (4) से एक युग्म मिलता है। / From (2), we get three pairs; from (3), two pairs; from (4), one pair.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+3+2+1=10) हैं। / Total pairs are (4+3+2+1=10).

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Question 143/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a<b), तो (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a<b), how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

(1) से (2,3,4) तक तीन युग्म बनते हैं। / From (1), pairs with (2,3,4) are formed.

Step 2

Why this answer is correct

(2) से (3,4) तक दो युग्म और (3) से (4) तक एक युग्म बनता है। / From (2), pairs with (3,4) are formed, and from (3), one pair with (4) is formed.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (3+2+1=6) हैं। / Total pairs are (3+2+1=6).

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Question 144/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a<b), तो कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a<b), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह संक्रामक है पर स्वपरक नहींIt is transitive but not reflexive

Step 1

Concept

(a<a) कभी सही नहीं होता, इसलिए स्वपरकता नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए संक्रामकता है। / If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

दिशा वाले संबंध में सममितता की अपेक्षा न करें। / Do not expect symmetry in a directed order relation.

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Question 145/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि \(a\le b\), तो कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when \(a\le b\), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह आंशिक क्रम संबंध हैIt is a partial order relation

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए स्वपरकता है। / For every (a), \(a\le a\), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\le b\) और \(b\le a\) से (a=b), इसलिए प्रतिसममितता है। / If \(a\le b\) and \(b\le a\), then (a=b), so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

\(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is a partial order relation.

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Question 146/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\), तो (R) से कौन सा विभाजन बनता है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), which partition is formed by (R)?

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Correct Answer

A. ({{1,2},{3,4}})

Step 1

Concept

(1) और (2) आपस में दोनों दिशाओं में संबंधित हैं। / (1) and (2) are related in both directions.

Step 2

Why this answer is correct

(3) और (4) भी दोनों दिशाओं में संबंधित हैं। / (3) and (4) are also related in both directions.

Step 3

Exam Tip

इसलिए विभाजन ({{1,2},{3,4}}) है। / Hence the partition is ({{1,2},{3,4}}).

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Question 147/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं, तो (R) में कौन सा युग्म अवश्य होगा?

If the classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,2}) and ({3,4}), which pair must be in (R)?

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Correct Answer

A. ((3,4))

Step 1

Concept

एक ही समतुल्यता वर्ग के अंदर सभी क्रमित युग्म होते हैं। / Within the same equivalence class, all ordered pairs are present.

Step 2

Why this answer is correct

(3) और (4) एक ही वर्ग ({3,4}) में हैं। / (3) and (4) are in the same class ({3,4}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((3,4)) अवश्य संबंध में होगा। / Hence ((3,4)) must belong to the relation.

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Question 148/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं, तो कौन सा युग्म (R) में नहीं होगा?

If the classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,2}) and ({3,4}), which pair will not be in (R)?

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Correct Answer

A. ((2,3))

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध में अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं बनते। / In an equivalence relation, pairs are not formed across different classes.

Step 2

Why this answer is correct

(2) वर्ग ({1,2}) में है और (3) वर्ग ({3,4}) में है। / (2) is in ({1,2}), while (3) is in ({3,4}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((2,3)) संबंध में नहीं होगा। / Hence ((2,3)) will not be in the relation.

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Question 149/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (R) सममित है और \(R\circ R\) में ((1,3)) है, तो किस प्रकार की कड़ी संभव हो सकती है?

If (R) is symmetric on \(A=\{1,2,3\}\) and ((1,3)) is in \(R\circ R\), what type of chain may be possible?

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Correct Answer

A. किसी (b) के लिए \((1,b)\in R\) और \((b,3)\in R\)For some (b), \((1,b)\in R\) and \((b,3)\in R\)

Step 1

Concept

संयोजन \(R\circ R\) में दो युग्मों की कड़ी देखी जाती है। / Composition \(R\circ R\) is checked through a chain of two pairs.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) आने के लिए कोई बीच का तत्व (b) चाहिए जिससे (1) से (b) और (b) से (3) संबंध बने। / For ((1,3)) to appear, there must be some middle element (b) with (1) related to (b) and (b) related to (3).

Step 3

Exam Tip

संयोजन के प्रश्नों में बीच वाले तत्व को खोजें। / In composition questions, look for the middle element.

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Question 150/150 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(1,4)\}\), तो (R) के बारे में कौन सा कथन गलत है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(1,4)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), which statement about (R) is false?

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Correct Answer

A. यह सममित हैIt is symmetric

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

उल्टे अलग युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है और सभी आगे की कड़ियां पूरी हैं। / There are no reverse non-self pairs, and all forward chains are complete, so it is antisymmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता वाला कथन गलत है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is absent, so the statement that it is symmetric is false.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Relations Hard Quiz

यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो (A) से (A) पर बनने वाले कुल संबंधों की संख्या कितनी होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर प्रतिवर्ती तथा सममित दोनों प्रकार के संबंधों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों के समुच्चय पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (aRb) तभी जब (a-b) संख्या (5) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (R) दिया है: (aRb) तभी जब \(a\le b\)। इस संबंध के बारे में सही कथन कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R={(a,b):a\) संख्या (b) को विभाजित करती है(}) है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है। किस गुण का अभाव है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि कोई संबंध सममित और प्रतिसममित दोनों है, तो विकर्ण से बाहर के युग्मों के बारे में कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध कौन सा होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध के लिए कौन सा कथन हमेशा सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस समुच्चय पर रिक्त संबंध प्रतिवर्ती माना जा सकता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) संबंध (A) पर समतुल्यता संबंध है, तो उसके द्वारा बनने वाले वर्गों के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिले। (0) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b):a+b\) सम है(}) है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b) परिमेय हो। यह संबंध किस प्रकार का है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2=b^2\)। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a<b)। कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

Concept

Why this answer is correct