A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। चरण 2: फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है।
Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Identify the square root from the factor in the equation. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। चरण 3: समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें।
A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है/The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
Step 1
Concept
A decimal approximation of \(\sqrt{2}\) does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, give priority to logical proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं देता। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: परीक्षा में तार्किक प्रमाण को प्राथमिकता दें।
In these proofs, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then an impossible situation appears because numerator and denominator get a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence this is called proof by contradiction. चरण 1: इन प्रमाणों में पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। चरण 2: फिर अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलने से असंभव स्थिति आती है। चरण 3: इसलिए इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहते हैं।
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं।
A. विरोधाभास किस शर्त से आ रहा है, यह स्पष्ट लिखना/Clearly write which condition creates the contradiction
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, contradiction comes from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Clearly writing the reason for contradiction helps in exams. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास आता है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास का कारण साफ लिखना अंक दिलाता है।
A. हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना/Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
Step 1
Concept
Such proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
In exams, clearly writing the coprime contradiction is most important. चरण 1: ऐसे प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: परीक्षा में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास साफ लिखना सबसे जरूरी है।
A. मान्यता से विरोधाभास आया, इसलिए दी गई संख्या अपरिमेय है/The assumption led to a contradiction, so the given number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, that assumption contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
In the last line, clearly write both the contradiction and irrationality. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में वह मान्यता सहअभाज्य शर्त से टकराती है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
In exams, do not skip the squaring step. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानते हैं। चरण 2: वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करते हैं। चरण 3: परीक्षा में वर्ग करने का चरण छोड़े बिना लिखें।
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to a contradiction in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
When the assumption is false, the given number is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write both the contradiction and the conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। चरण 2: जब मान्यता गलत निकलती है, तो दी गई संख्या अपरिमेय सिद्ध होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में विरोधाभास और निष्कर्ष दोनों साफ लिखें।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the condition of a lowest-form fraction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
Avoid unnecessary decimals in exams. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें।
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। चरण 2: विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता/A decimal approximation is not a complete proof
Step 1
Concept
(1.732) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.
Step 3
Exam Tip
In exams, write a logical proof, not an approximation. चरण 1: (1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। चरण 2: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें।
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
Do not say only odd; mention primality for a complete proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। चरण 3: केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें।
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है/(3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
This gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। चरण 2: फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। चरण 3: यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है।
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write these two small steps clearly. चरण 1: पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। चरण 3: प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें।
A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof is based on rational assumption and divisibility.
Step 3
Exam Tip
To save time, write only the logical steps. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण परिमेय मान्यता और विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: समय बचाने के लिए केवल तार्किक कदम लिखें।
A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता/The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
Step 1
Concept
Looking at the decimal only gives an idea.
Step 2
Why this answer is correct
A complete proof assumes rationality and shows the common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, write a proof, not a guess. चरण 1: दशमलव को देखकर केवल अनुमान बनता है। चरण 2: पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर साझा गुणनखंड का विरोधाभास दिखाते हैं। चरण 3: परीक्षा में अनुमान नहीं, प्रमाण लिखें।
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\)/Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
Apply the prime-factor rule carefully. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें।
A. मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\)/Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
Step 1
Concept
The correct proof starts by assuming the number is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(a^2=5b^2\), and divisibility by (5) is then forced on both variables.
Step 3
Exam Tip
Keeping the order correct makes the proof clear. चरण 1: सही प्रमाण हमेशा परिमेय मानकर शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(a^2=5b^2\) बनता है और फिर (5) की विभाज्यता दोनों पर आती है। चरण 3: क्रम सही रखने से पूरा प्रमाण साफ बनता है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
This contradiction completes the proof. चरण 1: प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
Therefore we write (a=2k), where (k) is an integer. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (a=2k) लिखते हैं, जहां (k) पूर्णांक है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है/From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for writing (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: यही आगे (p=5k) लिखने का आधार है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में/In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The prime-number rule is the backbone of the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है।
D. \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q)/From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we conclude \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
This gives (p) even, but not directly (p=2q).
Step 3
Exam Tip
The correct form is (p=2r), where (r) is an integer. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष निकलता है। चरण 2: इससे (p) सम है, लेकिन सीधे (p=2q) नहीं लिख सकते। चरण 3: सही रूप (p=2r) होता है, जहां (r) पूर्णांक है।
B. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
To prove irrationality, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
So at the beginning, \(\sqrt{3}\) is assumed rational.
Step 3
Exam Tip
Then it is written as a fraction in lowest form. चरण 1: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उलटी बात मानते हैं। चरण 2: इसलिए शुरुआत में \(\sqrt{3}\) को परिमेय माना जाता है। चरण 3: फिर उसे सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है।
A. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
To prove irrationality, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
So first we assume \(\sqrt{3}\) is rational.
Step 3
Exam Tip
Then we write it as \(\frac{a}{b}\) in lowest form. चरण 1: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए विपरीत मान्यता लेते हैं। चरण 2: इसलिए पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 3: फिर उसे \(\frac{a}{b}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं।
A. अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (a) and (b) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the conclusion is that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मान्यता से (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसलिए निष्कर्ष है कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना/Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
The correct way is to write (p=3k). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। चरण 3: सही तरीका (p=3k) लिखना है।
\(p^2=3q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
To identify the proof, look at the factor in the equation. चरण 1: समीकरण में मुख्य गुणनखंड (3) है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{3}\) की सिद्धि से आता है। चरण 3: प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण का गुणनखंड देखें।
A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), factor (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Identify the relevant factor in each proof. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड काम करता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) (3) से विभाज्य कहा जाता है। चरण 3: हर प्रमाण में संबंधित संख्या का गुणनखंड पहचानें।
B. सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो/Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
Step 1
Concept
First assume \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Square and use the related prime (r) to show \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Finally write the contradiction with coprimality. चरण 1: पहले \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में मानें। चरण 2: वर्ग करके संबंधित अभाज्य (r) की विभाज्यता से \(r\mid p\) और \(r\mid q\) दिखाएँ। चरण 3: अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखें।
A. सरलतम परिमेय रूप, वर्ग, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखें/Write lowest rational form, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
First write \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Then square and use the related prime factor to show divisibility of both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Finally state the contradiction with coprimality clearly. चरण 1: पहले \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिखें। चरण 2: फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य गुणनखंड से अंश और हर दोनों की विभाज्यता दिखाएँ। चरण 3: अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास साफ लिखें।
A prime factor appears in a square only if it appears in the base.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).
Step 3
Exam Tip
This general rule works for the proofs of (2,3,5). चरण 1: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। चरण 2: इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। चरण 3: यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है।
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/\(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not directly write (p=2q); first use divisibility. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। चरण 3: सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें।
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction, we assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
Here we want to prove \(\sqrt{2}\) irrational, so we first assume it rational.
Step 3
Exam Tip
In exams, write the opposite assumption clearly. चरण 1: विरोधाभास विधि में जिस बात को सिद्ध करना हो, उसकी उलटी बात मानी जाती है। चरण 2: यहां सिद्ध करना है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए शुरुआत में उसे परिमेय मानते हैं। चरण 3: परीक्षा में उलटी मान्यता साफ लिखें।
A. मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\)/Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
For contradiction, first assume \(\sqrt{5}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Write the rational form as a lowest-form fraction with \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This start makes the later contradiction strong. चरण 1: विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: परिमेय रूप को सरलतम भिन्न में लिखते हैं, जहाँ \(b\neq0\)। चरण 3: यह शुरुआत बाद के विरोधाभास को मजबूत बनाती है।
A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना/Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3r) in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Do not conclude about (q) without substitution. चरण 1: (p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। चरण 2: \(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। चरण 3: बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें।
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime nature of (3) gives the common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The same method can be applied to any prime (r).
Step 3
Exam Tip
While generalizing, do not forget the condition that (r) is prime. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 2: यही तरीका किसी अभाज्य (r) पर भी लागू किया जा सकता है। चरण 3: सामान्यीकरण करते समय अभाज्य होने की शर्त न भूलें।
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
If \(p^2\) is even, then (p) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
In proofs, a small logical error can change the whole argument. चरण 1: \(p^2\) सम होने पर (p) सम होना चाहिए। चरण 2: (p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में छोटी तार्किक गलती पूरी दलील बदल सकती है।
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे/Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against the starting condition. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है।
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी/The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This directly contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है।
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है/Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Understand divisibility of the square first, then of the original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। चरण 2: बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की।
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
If \(p^2\) is even, then (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
In error-based questions, check small rules carefully. चरण 1: यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम होगा। चरण 2: (p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। चरण 3: गलती पहचानने वाले प्रश्नों में छोटे नियम बहुत ध्यान से जाँचें।
This step completes the proof that (q) is even. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। चरण 2: \(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है।
Square roots of perfect squares are rational. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं।
A square root of a perfect square does not need an irrationality proof. चरण 1: (9) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध करने की जरूरत नहीं होती।
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method. चरण 1: विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। चरण 2: फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं।
\(p^2=5q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
To identify the proof, look at the factor in the equation. चरण 1: समीकरण में मुख्य गुणनखंड (5) है। चरण 2: \(p^2=5q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{5}\) के प्रमाण से आता है। चरण 3: प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण में गुणनखंड देखें।
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
So (q) is even, which helps form the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है।
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है/Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Getting another common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना/From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete. चरण 1: (p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। चरण 2: आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा।
If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। चरण 3: अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है।
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना/Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
Contradiction occurs only when both have common factor (2). चरण 1: केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। चरण 2: (a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है/After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete. चरण 1: \(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Do not change the order of conclusions in exams. चरण 1: \(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। चरण 3: परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है/After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है।
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Only then a contradiction arises through common factor (2). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। चरण 3: तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा।
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है/This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Skipping order is considered an error in proof writing. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है।
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना/Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So directly concluding about (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है।
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है/First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Skipping the order makes the proof weak. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है।
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना/Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Then common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=3k), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (3). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) आता है। चरण 3: तब (q) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना/Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
Finding both even contradicts the coprime condition. चरण 1: विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। चरण 3: दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद/After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (5). चरण 1: पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Keeping the order correct makes the proof strong. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है।
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं/Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास/Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं/Assuming rationality makes numerator and denominator of the lowest fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that numerator and denominator are both even.
Step 3
Exam Tip
This is impossible in lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न बनाया जाता है। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा संभव नहीं, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
Writing this prime-number property clearly helps in scoring well. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। चरण 3: अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं/Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives both numerator and denominator even.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोध करता है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then a contradiction is shown using the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is called the method of contradiction. चरण 1: तीनों प्रमाणों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं। चरण 2: फिर सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास दिखाते हैं। चरण 3: इसलिए इसे विरोधाभास विधि कहा जाता है।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (5)
Step 1
Concept
We assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows numerator and denominator both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम रूप के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) and squaring gives \(a^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (a) and (b) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This is impossible in a lowest-form fraction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को \(\frac{a}{b}\) मानकर वर्ग करने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। चरण 3: अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\)/Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
Step 1
Concept
The rational assumption begins with a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=3q^2\), and then (3) divides first (p), then (q).
Step 3
Exam Tip
This order makes the answer organized. चरण 1: परिमेय मान्यता सरलतम भिन्न से शुरू होती है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है और फिर (3) पहले (p), फिर (q) को भाग देता है। चरण 3: यही क्रम उत्तर को व्यवस्थित बनाता है।
A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता/A finite decimal approximation is not a proof
Step 1
Concept
(2.236) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not write a decimal approximation in place of proof. चरण 1: (2.236) केवल अनुमानित मान है, पूरा मान नहीं। चरण 2: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में दशमलव अनुमान को प्रमाण की जगह न लिखें।
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा/Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore lowest form must be stated at the beginning. चरण 1: विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। चरण 2: यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। चरण 3: इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{5}\) is rational
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we first assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
Writing the method clearly at the start strengthens the answer. चरण 1: विरोधाभास की विधि में जिस बात को गलत सिद्ध करना है, पहले उसे सही मानते हैं। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। चरण 3: शुरुआत में विधि साफ लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
B. (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/(p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Apply the prime factor rule to the correct number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को सही संख्या पर लगाएं।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction appears with the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
The final line should clearly state the contradiction and irrationality conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता लेकर शुरुआत करते हैं। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखना चाहिए।
If prime (r) divides \(x^2\), then it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
This rule is used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\). चरण 1: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े के रूप में आते हैं। चरण 2: यदि अभाज्य (r), \(x^2\) को विभाजित करता है, तो (x) को भी विभाजित करेगा। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में काम आता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना/Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction
Step 1
Concept
All three proofs start with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, the same prime factor is found common in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This is impossible in a lowest-form fraction, so the proof is completed by contradiction. चरण 1: तीनों प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में वही अभाज्य गुणनखंड साझा मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास से सिद्धि पूरी होती है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
In all three, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है।
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This goes against their being coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational, but irrational. चरण 1: परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality gives a common factor in (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the condition that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the original assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने से (p) और (q) में साझा गुणनखंड मिला। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
Mentioning this reason makes the proof complete in exams. चरण 1: \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। चरण 2: यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। चरण 3: परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore mention lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। चरण 3: इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें।
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows the final common factor. चरण 1: (a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है।
Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
This form helps prove divisibility of (b) next. चरण 1: \(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। चरण 3: यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है।
The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
Without mentioning primality, this step looks incomplete. चरण 1: \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। चरण 3: बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा।
