100 results found for "Proof of irrationality of √2, √3, √5" in Class 10.
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा भाग विरोधाभास की विधि को दर्शाता है?
Which part of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\) shows proof by contradiction?
#real-numbers
#root2
#contradiction-method
#proof
A पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
B सीधे \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय लिख देना / Directly writing that \(\sqrt{2}\) is irrational
C केवल \(\sqrt{2}\) का मान निकालना / Only finding the value of \(\sqrt{2}\)
D केवल (2) को अभाज्य लिखना / Only writing that (2) is prime
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Correct Answer
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। / Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। / Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है। / In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result.
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिला। यह किस वर्गमूल की अपरिमेयता सिद्धि से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=3q^2\) is obtained. This is related to the irrationality proof of which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। / Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें। / Identify the square root from the factor in the equation.
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किस कथन से स्पष्ट होता है कि \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का प्रमाण दशमलव पर आधारित नहीं है?
Which statement shows that the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\) is not based on decimals?
#real-numbers
#root2
#decimal-vs-proof
#irrationality
A प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है / The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
B प्रमाण केवल (1.414) लिखने पर आधारित है / The proof is based only on writing (1.414)
C प्रमाण मापन पट्टी से किया जाता है / The proof is done using a ruler
D प्रमाण अनुमान से पूरा होता है / The proof is completed by guessing
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Correct Answer
A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है / The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) का दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं देता। / A decimal approximation of \(\sqrt{2}\) does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
असली प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / The real proof assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में तार्किक प्रमाण को प्राथमिकता दें। / In exams, give priority to logical proof.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में किस प्रकार के प्रमाण का प्रयोग सबसे सामान्य है?
Which type of proof is most commonly used to prove the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#proof-method
#irrationality
#hard
A विरोधाभास द्वारा प्रमाण / Proof by contradiction
B आरेख द्वारा प्रमाण / Proof by diagram
C मापन द्वारा प्रमाण / Proof by measurement
D अनुमान द्वारा प्रमाण / Proof by guess
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Correct Answer
A. विरोधाभास द्वारा प्रमाण / Proof by contradiction
Step 1
Concept
इन प्रमाणों में पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। / In these proofs, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलने से असंभव स्थिति आती है। / Then an impossible situation appears because numerator and denominator get a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहते हैं। / Hence this is called proof by contradiction.
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किस विकल्प में अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास की विधि का सही अर्थ है?
Which option correctly explains proof by contradiction in irrationality proofs?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
#hard
A जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B सही उत्तर को बिना कारण लिख देना / Write the correct answer without reason
C हर संख्या को दशमलव में बदलना / Convert every number into decimal form
D केवल अनुमान से निष्कर्ष निकालना / Conclude only by guessing
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Correct Answer
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
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कौन सा विकल्प परीक्षा में अपरिमेयता की सिद्धि लिखते समय सबसे उपयोगी सावधानी है?
Which option is the most useful precaution while writing an irrationality proof in an exam?
#exam tip
#proof writing
#irrationality
#class 10
A विरोधाभास किस शर्त से आ रहा है, यह स्पष्ट लिखना / Clearly write which condition creates the contradiction
B केवल उत्तर लिखना / Write only the answer
C हर को शून्य मानना / Assume the denominator zero
D वर्गमूल को अंदर की संख्या मानना / Treat the square root as the number inside
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Correct Answer
A. विरोधाभास किस शर्त से आ रहा है, यह स्पष्ट लिखना / Clearly write which condition creates the contradiction
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास आता है। / At the end, contradiction comes from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
अंतिम पंक्ति में विरोधाभास का कारण साफ लिखना अंक दिलाता है। / Clearly writing the reason for contradiction helps in exams.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता लिखते समय कौन सी सावधानी सबसे जरूरी है?
In an exam, which precaution is most important while writing the irrationality proof of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam tip
#proof writing
#irrationality
#class 10
A हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना / Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
B केवल दशमलव मान लिखना / Write only the decimal value
C वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर लिखना / Write the square root equal to the number inside
D हर को शून्य मानना / Assume the denominator zero
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Correct Answer
A. हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना / Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
Step 1
Concept
ऐसे प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / Such proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास साफ लिखना सबसे जरूरी है। / In exams, clearly writing the coprime contradiction is most important.
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परीक्षा में अपरिमेयता सिद्धि लिखते समय अंतिम पंक्ति में क्या स्पष्ट लिखना चाहिए?
In an exam, what should be clearly written in the last line of an irrationality proof?
#exam writing
#proof tip
#irrationality
#class 10
A मान्यता से विरोधाभास आया, इसलिए दी गई संख्या अपरिमेय है / The assumption led to a contradiction, so the given number is irrational
B दशमलव मान ही पर्याप्त है / The decimal value is enough
C अंश और हर लिखना जरूरी नहीं / It is not necessary to write numerator and denominator
D वर्ग करना जरूरी नहीं / Squaring is not necessary
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Correct Answer
A. मान्यता से विरोधाभास आया, इसलिए दी गई संख्या अपरिमेय है / The assumption led to a contradiction, so the given number is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में वह मान्यता सहअभाज्य शर्त से टकराती है। / At the end, that assumption contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / In the last line, clearly write both the contradiction and irrationality.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानने के बाद अगला सही कदम क्या है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), what is the next correct step?
#sqrt2 proof
#squaring
#irrationality
#class 10
A दोनों ओर वर्ग करना / Square both sides
B दोनों ओर (2) जोड़ना / Add (2) to both sides
C दोनों ओर (b) घटाना / Subtract (b) from both sides
D सीधे (a=b) लिखना / Directly write (a=b)
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Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग करना / Square both sides
Step 1
Concept
प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानते हैं। / In the proof, we assume \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करते हैं। / To remove the square root, we square both sides.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में वर्ग करने का चरण छोड़े बिना लिखें। / In exams, do not skip the squaring step.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता लिखते समय सबसे सुरक्षित अंतिम वाक्य कौन सा है?
In an exam, what is the safest final sentence while writing the irrationality proof of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam writing
#irrationality proof
#class 10
A यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
B यह संख्या हमेशा पूर्णांक है / This number is always an integer
C यह संख्या शून्य के बराबर है / This number is equal to zero
D यह प्रमाण पूरा नहीं हुआ / This proof is not complete
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Correct Answer
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। / The rational assumption leads to a contradiction in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
जब मान्यता गलत निकलती है, तो दी गई संख्या अपरिमेय सिद्ध होती है। / When the assumption is false, the given number is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
अंतिम वाक्य में विरोधाभास और निष्कर्ष दोनों साफ लिखें। / In the final sentence, clearly write both the contradiction and the conclusion.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का सही संक्षिप्त प्रमाण विचार है?
Which option is the correct short proof idea for the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#short proof
#class 10
A परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
B क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि हर वर्गमूल परिमेय होता है / Because every square root is rational
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Correct Answer
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है। / This contradicts the condition of a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा कथन अनावश्यक है?
Which statement is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#unnecessary-step
#proof-writing
A \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=3q^2\) बनाना / Forming \(p^2=3q^2\)
D \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दिखाना / Showing \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। / The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें। / Avoid unnecessary decimals in exams.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष सबसे अंत में लिखना चाहिए?
Which conclusion should be written at the very end of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#final-conclusion
#proof-writing
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
B (2) अपरिमेय है / (2) is irrational
C (p=q) है / (p=q)
D अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
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Correct Answer
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। / The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। / The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational.
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यदि कोई छात्र \(\sqrt{3}\approx1.732\) लिखकर उसे अपरिमेय सिद्ध मान लेता है, तो मुख्य कमी क्या है?
If a student writes \(\sqrt{3}\approx1.732\) and treats it as proof of irrationality, what is the main weakness?
#real-numbers
#root3
#decimal-approximation
#proof-quality
A दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता / A decimal approximation is not a complete proof
B दशमलव लिखना हमेशा निषिद्ध है / Writing decimals is always forbidden
C (1.732) एक पूर्णांक है / (1.732) is an integer
D \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\) becomes true
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Correct Answer
A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता / A decimal approximation is not a complete proof
Step 1
Concept
(1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। / (1.732) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। / To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें। / In exams, write a logical proof, not an approximation.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लिखते समय कौन-सा तर्क सबसे मजबूत माना जाएगा?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which reasoning is strongest while writing \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)?
#real-numbers
#root3
#prime-divisibility
#proof-detail
A क्योंकि (3) विषम है / Because (3) is odd
B क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
C क्योंकि (p) हमेशा (3) होता है / Because (p) is always (3)
D क्योंकि (q) शून्य है / Because (q) is zero
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Correct Answer
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। / Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें। / Do not say only odd; mention primality for a complete proof.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (3) की भूमिका सही बताई गई है?
Which option correctly states the role of (3) in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#prime-role
#proof-concept
A (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है / (3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
B (3) हर को शून्य बना देता है / (3) makes the denominator zero
C (3) भिन्न को पूर्णांक बना देता है / (3) makes the fraction an integer
D (3) को (2) में बदल दिया जाता है / (3) is changed into (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है / (3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। / From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। / Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है। / This gives a common factor in numerator and denominator.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में \(5\mid x^2\) से (x=5m) तक जाने में कौन-सी बात छिपी है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{5}\), what idea is hidden in moving from \(5\mid x^2\) to (x=5m)?
#real-numbers
#root5
#multiple-form
#proof-detail
A \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप / \(5\mid x\) and then multiple form
B (x=5) अवश्य / (x=5) necessarily
C (x) शून्य है / (x) is zero
D (x) (2) से विभाज्य है / (x) is divisible by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप / \(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। / First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। / Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें। / In the proof, write these two small steps clearly.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में अनावश्यक है?
Which option is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#unnecessary-step
#proof-writing
A \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=5q^2\) बनाना / Forming \(p^2=5q^2\)
D \(5\mid p\) और \(5\mid q\) दिखाना / Showing \(5\mid p\) and \(5\mid q\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
असली प्रमाण परिमेय मान्यता और विभाज्यता पर आधारित है। / The real proof is based on rational assumption and divisibility.
Step 3
Exam Tip
समय बचाने के लिए केवल तार्किक कदम लिखें। / To save time, write only the logical steps.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के लिए केवल अधूरा संकेत है, पूर्ण प्रमाण नहीं?
Which option is only an incomplete hint for the irrationality of \(\sqrt{5}\), not a full proof?
#real-numbers
#root5
#decimal
#proof-quality
A \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
B मानें \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=5q^2\)
D (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
Step 1
Concept
दशमलव को देखकर केवल अनुमान बनता है। / Looking at the decimal only gives an idea.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर साझा गुणनखंड का विरोधाभास दिखाते हैं। / A complete proof assumes rationality and shows the common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान नहीं, प्रमाण लिखें। / In exams, write a proof, not a guess.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने का कारण क्या है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\), why does \(a^2=5b^2\) imply that (a) is divisible by (5)?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#proof
#hard
A क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
D क्योंकि (a) हमेशा (25) होता है / Because (a) is always (25)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। / Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें। / Apply the prime-factor rule carefully.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही क्रम दिया गया है?
Which option gives the correct order of proof for the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#proof-order
#hard
A मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
B पहले \(5\mid b\), फिर \(\sqrt{5}=a+b\) / First \(5\mid b\), then \(\sqrt{5}=a+b\)
C मानें \(\sqrt{5}=a\), फिर (a=5b) / Assume \(\sqrt{5}=a\), then (a=5b)
D पहले (a=b), फिर (5=1) / First (a=b), then (5=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
Step 1
Concept
सही प्रमाण हमेशा परिमेय मानकर शुरू होता है। / The correct proof starts by assuming the number is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(a^2=5b^2\) बनता है और फिर (5) की विभाज्यता दोनों पर आती है। / Squaring gives \(a^2=5b^2\), and divisibility by (5) is then forced on both variables.
Step 3
Exam Tip
क्रम सही रखने से पूरा प्रमाण साफ बनता है। / Keeping the order correct makes the proof clear.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि को सही ढंग से पूरा करता है?
Which option correctly completes the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#completion
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B \(\sqrt{3}=3\), इसलिए सिद्धि पूरी / \(\sqrt{3}=3\), so the proof is complete
C (q=0), इसलिए विरोधाभास है / (q=0), so there is contradiction
D (p=q), इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / (p=q), so \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है। / This contradiction completes the proof.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि में अंतिम निष्कर्ष से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), which statement should come just before the final conclusion?
#sqrt3 proof
#pre final step
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B (q=0), इसलिए भिन्न नहीं बन सकती / (q=0), so the fraction cannot be formed
C \(\sqrt{3}=3\), इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{3}=3\), so it is a contradiction
D (p=q), इसलिए प्रमाण पूरा है / (p=q), so the proof is complete
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलने पर (a) के लिए सही रूप कौन सा है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after getting \(a^2=2b^2\), which is the correct form for (a)?
#sqrt2 proof
#even number
#class 10
A (a=2k)
B (a=3k)
C (a=5k)
D (a=bk)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=2k) लिखते हैं, जहां (k) पूर्णांक है। / Therefore we write (a=2k), where (k) is an integer.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सही मध्य चरण है?
Which statement is a correct middle step in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#middle step
#class 10
A \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
B \(p^2=5q^2\) से (q=0) / From \(p^2=5q^2\), (q=0)
C \(p^2=5q^2\) से \(\sqrt{5}=5\) / From \(p^2=5q^2\), \(\sqrt{5}=5\)
D \(p^2=5q^2\) से (p=q) / From \(p^2=5q^2\), (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही आगे (p=5k) लिखने का आधार है। / This is the basis for writing (p=5k).
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (5) के अभाज्य होने का उपयोग कहां होता है?
Where is the fact that (5) is prime used in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#prime number
#divisibility
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में / In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
B (q=0) मानने में / In assuming (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\) लिखने में / In writing \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q) सिद्ध करने में / In proving (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में / In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है। / The prime-number rule is the backbone of the proof.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत कदम है?
Which statement is a wrong step in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#common mistake
#sqrt2 proof
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) / If (p=2r), then \(p^2=4r^2\)
D \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष निकलता है। / From \(p^2=2q^2\), we conclude \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) सम है, लेकिन सीधे (p=2q) नहीं लिख सकते। / This gives (p) even, but not directly (p=2q).
Step 3
Exam Tip
सही रूप (p=2r) होता है, जहां (r) पूर्णांक है। / The correct form is (p=2r), where (r) is an integer.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण की सही शुरुआत कौन सी है?
What is the correct beginning of the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#beginning
#class 10
A मान लें \(\sqrt{3}=3\) है / Assume \(\sqrt{3}=3\)
B मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
C मान लें (3=0) है / Assume (3=0)
D मान लें \(\sqrt{3}\) ऋणात्मक है / Assume \(\sqrt{3}\) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उलटी बात मानते हैं। / To prove irrationality, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शुरुआत में \(\sqrt{3}\) को परिमेय माना जाता है। / So at the beginning, \(\sqrt{3}\) is assumed rational.
Step 3
Exam Tip
फिर उसे सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। / Then it is written as a fraction in lowest form.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण की सही शुरुआत है?
Which option is the correct beginning of the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#beginning
#class 10
A मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
B मान लें \(\sqrt{3}=3\) है / Assume \(\sqrt{3}=3\)
C मान लें (3=0) है / Assume (3=0)
D मान लें \(\sqrt{3}\) पूर्ण वर्ग है / Assume \(\sqrt{3}\) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए विपरीत मान्यता लेते हैं। / To prove irrationality, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। / So first we assume \(\sqrt{3}\) is rational.
Step 3
Exam Tip
फिर उसे \(\frac{a}{b}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / Then we write it as \(\frac{a}{b}\) in lowest form.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण को पूरा करता है?
Which statement completes the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 conclusion
#proof completion
#class 10
A अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / Therefore \(\sqrt{5}\) is an integer
C अतः \(\sqrt{5}=25\) / Therefore \(\sqrt{5}=25\)
D अतः (5) परिमेय नहीं है / Therefore (5) is not rational
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Correct Answer
A. अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता से (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The rational assumption makes both (a) and (b) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए निष्कर्ष है कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Therefore the conclusion is that \(\sqrt{5}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में गलत प्रमाण विधि है?
Which option is a wrong proof method in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#wrong method
#hard
#class 10
A \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है कहना / Saying \(p^2\) is divisible by (3)
C (p=3k) लिखना / Writing (p=3k)
D \(q^2=3k^2\) से (q) (3) से विभाज्य है कहना / Saying (q) is divisible by (3) from \(q^2=3k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। / This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
सही तरीका (p=3k) लिखना है। / The correct way is to write (p=3k).
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\), (p=3k), और \(q^2=3k^2\) आया। यह किस वर्गमूल से जुड़ा प्रमाण है?
In a proof, \(p^2=3q^2\), (p=3k), and \(q^2=3k^2\) appear. This proof is related to which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
समीकरण में मुख्य गुणनखंड (3) है। / The main factor in the equation is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{3}\) की सिद्धि से आता है। / \(p^2=3q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण का गुणनखंड देखें। / To identify the proof, look at the factor in the equation.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही है लेकिन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में मुख्य रूप से नहीं आता?
Which statement is correct in the proof of \(\sqrt{3}\) but is not the main step in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt3 proof
#comparison
#class 10
A यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
C यदि (p=2k), तो \(p^2=4k^2\) / If (p=2k), then \(p^2=4k^2\)
D दोनों (p) और (q) सम हैं / Both (p) and (q) are even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड काम करता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), factor (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) (3) से विभाज्य कहा जाता है। / So if \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में संबंधित संख्या का गुणनखंड पहचानें। / Identify the relevant factor in each proof.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के लिए सबसे अच्छा परीक्षा-सूत्र कौन-सा है?
What is the best exam formula for proving irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#exam-tip
#proof-structure
A दशमलव लिखो और उत्तर दे दो / Write the decimal and answer
B सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो / Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
C हर बार हर को शून्य रखो / Make the denominator zero every time
D हर वर्गमूल को पूर्णांक मानो / Treat every square root as an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो / Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
Step 1
Concept
पहले \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में मानें। / First assume \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करके संबंधित अभाज्य (r) की विभाज्यता से \(r\mid p\) और \(r\mid q\) दिखाएँ। / Square and use the related prime (r) to show \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखें। / Finally write the contradiction with coprimality.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता से जुड़ा सबसे अच्छा परीक्षा सुझाव कौन-सा है?
What is the best exam tip related to the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#exam-tip
#proof-writing
A सरलतम परिमेय रूप, वर्ग, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखें / Write lowest rational form, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
B केवल दशमलव मान याद करें / Memorize only decimal values
C हर वर्गमूल को पूर्णांक मानें / Treat every square root as an integer
D हर प्रमाण में (q=0) रखें / Put (q=0) in every proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम परिमेय रूप, वर्ग, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखें / Write lowest rational form, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
पहले \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिखें। / First write \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य गुणनखंड से अंश और हर दोनों की विभाज्यता दिखाएँ। / Then square and use the related prime factor to show divisibility of both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास साफ लिखें। / Finally state the contradiction with coprimality clearly.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{r}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कौन-सा निष्कर्ष लिया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what conclusion is used in proving the irrationality of \(\sqrt{r}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-divisibility
#irrationality
#hard
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(r^2\mid x\)
D (x) अवश्य (1) है / (x) must be (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the base.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। / Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है। / This general rule works for the proofs of (2,3,5).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया है, तो \(p^2=2q^2\) से कौन सा तर्क सबसे सटीक है?
While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, which reasoning from \(p^2=2q^2\) is most accurate?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#hard
#class 10
A \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / \(p^2\) is even, so (p) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
C (p=2q), इसलिए (p) सम है / (p=2q), so (p) is even
D (p=q), इसलिए विरोधाभास है / (p=q), so there is a contradiction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / \(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। / If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें। / Do not directly write (p=2q); first use divisibility.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में उलटी मान्यता क्या ली जाती है?
What opposite assumption is taken while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#irrationality proof
#contradiction
#sqrt2
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=0\) है / \(\sqrt{2}=0\)
D \(\sqrt{2}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{2}\) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में जिस बात को सिद्ध करना हो, उसकी उलटी बात मानी जाती है। / In contradiction, we assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
यहां सिद्ध करना है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए शुरुआत में उसे परिमेय मानते हैं। / Here we want to prove \(\sqrt{2}\) irrational, so we first assume it rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में उलटी मान्यता साफ लिखें। / In exams, write the opposite assumption clearly.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण को सबसे साफ ढंग से शुरू करता है?
Which statement starts the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\) most clearly?
#real-numbers
#root5
#opening-statement
#rational-form
A मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
B मान लें \(\sqrt{5}=5\) / Assume \(\sqrt{5}=5\)
C मान लें (b=0) / Assume (b=0)
D मान लें (a=b) / Assume (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानते हैं। / For contradiction, first assume \(\sqrt{5}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय रूप को सरलतम भिन्न में लिखते हैं, जहाँ \(b\neq0\)। / Write the rational form as a lowest-form fraction with \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यह शुरुआत बाद के विरोधाभास को मजबूत बनाती है। / This start makes the later contradiction strong.
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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में (p=3r) सिद्ध हो चुका है, तो आगे (q) पर निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कदम सही है?
If (p=3r) has been proved in the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which step is correct to conclude about (q)?
#real-numbers
#root3
#substitution
#q-divisibility
A (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना / Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
B सीधे (q=p) लिखना / Directly write (q=p)
C सीधे (q=0) लिखना / Directly write (q=0)
D (3) को (2) से बदल देना / Replace (3) by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना / Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
(p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। / Substitute (p=3r) in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
\(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। / From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें। / Do not conclude about (q) without substitution.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण को सही ढंग से सामान्यीकृत करता है?
Which statement correctly generalizes the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#generalization
#root3
#prime-root
A अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
B हर (r) के लिए \(\sqrt{r}=r\) होता है / For every (r), \(\sqrt{r}=r\)
C हर विषम (r) का वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root of every odd (r) is an integer
D हर वर्गमूल दशमलव से सिद्ध होता है / Every square root is proved using decimals
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Correct Answer
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से साझा गुणनखंड मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the prime nature of (3) gives the common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यही तरीका किसी अभाज्य (r) पर भी लागू किया जा सकता है। / The same method can be applied to any prime (r).
Step 3
Exam Tip
सामान्यीकरण करते समय अभाज्य होने की शर्त न भूलें। / While generalizing, do not forget the condition that (r) is prime.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे गंभीर त्रुटि है?
Which option is the most serious error in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
C वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) / After squaring, \(p^2=2q^2\)
D (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) / Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने पर (p) सम होना चाहिए। / If \(p^2\) is even, then (p) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में छोटी तार्किक गलती पूरी दलील बदल सकती है। / In proofs, a small logical error can change the whole argument.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य क्यों असंभव है?
Why is it impossible for both (p) and (q) to be divisible by (5) in the irrationality proof of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#coprime
#impossibility
A क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है। / So this situation goes against the starting condition.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are divisible by (3), what will be said about the fraction?
#real-numbers
#root3
#fraction
#lowest-form
A भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
B भिन्न अवश्य शून्य थी / The fraction was necessarily zero
C भिन्न अवश्य पूर्णांक थी / The fraction was necessarily an integer
D भिन्न का हर शून्य था / The denominator of the fraction was zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। / So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है। / This directly contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) किस कारण (3) से विभाज्य है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), why is \(p^2\) divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#real-numbers
#root3
#equation
#divisibility
A क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
B क्योंकि (q) हमेशा (3) है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) हमेशा (q) है / Because (p) is always (q)
D क्योंकि (3) सम है / Because (3) is even
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Correct Answer
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। / Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की। / Understand divisibility of the square first, then of the original number.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत तर्क दिखाता है?
Which option shows an incorrect argument in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / \(p^2=2q^2\) implies \(p^2\) is even
C (p) सम है तो (p=2r) / If (p) is even, then (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) से (q) सम है / \(q^2=2r^2\) implies (q) is even
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम होगा। / If \(p^2\) is even, then (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
गलती पहचानने वाले प्रश्नों में छोटे नियम बहुत ध्यान से जाँचें। / In error-based questions, check small rules carefully.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p=2r) रखने के बाद कौन-सा समीकरण सही बनता है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2r), which equation is correct?
#real-numbers
#root2
#substitution
#algebra
A \(q^2=2r^2\)
B \(q^2=r^2\)
C \(p^2=q^2\)
D \(q=2r^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=2r^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। / Put (p=2r) in \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। / Then \(4r^2=2q^2\), so \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है। / This step completes the proof that (q) is even.
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कौन सा वर्गमूल परिमेय है, इसलिए उस पर \(\sqrt{2}\) जैसी अपरिमेयता सिद्धि लागू नहीं होती?
Which square root is rational, so an irrationality proof like \(\sqrt{2}\) does not apply to it?
#perfect square
#rational square root
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{4}\)
D \(\sqrt{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(\sqrt{4}\)
Step 1
Concept
(4) पूर्ण वर्ग है। / (4) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / Square roots of perfect squares are rational.
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कौन सा वर्गमूल इस अध्याय की अपरिमेयता सिद्धि का उदाहरण नहीं है क्योंकि वह परिमेय है?
Which square root is not an example of irrationality proof in this chapter because it is rational?
#rational square root
#perfect square
#class 10
A \(\sqrt{9}\)
B \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{9}\)
Step 1
Concept
(9) पूर्ण वर्ग है। / (9) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। / \(\sqrt{9}=3\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध करने की जरूरत नहीं होती। / A square root of a perfect square does not need an irrationality proof.
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किस विकल्प में विरोधाभास द्वारा प्रमाण का सही अर्थ दिया गया है?
Which option correctly explains proof by contradiction?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
A जिस बात को सिद्ध करना है, उसे सीधे याद करके लिख देना / Write the statement directly by memory
B विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
C दशमलव मान निकालकर निष्कर्ष देना / Find the decimal value and conclude
D केवल चित्र बनाकर उत्तर देना / Draw only a diagram and answer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। / In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। / Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method.
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एक प्रमाण में \(p^2=5q^2\), फिर (p=5k), फिर \(q^2=5k^2\) मिला। यह किस संख्या की अपरिमेयता से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=5q^2\), then (p=5k), then \(q^2=5k^2\) are obtained. This is related to the irrationality of which number?
#identify proof
#sqrt5
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{25}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
समीकरण में मुख्य गुणनखंड (5) है। / The main factor in the equation is (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=5q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{5}\) के प्रमाण से आता है। / \(p^2=5q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण में गुणनखंड देखें। / To identify the proof, look at the factor in the equation.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=2k^2\) मिल जाए, तो (q) के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(q^2=2k^2\) is obtained, what conclusion follows about (q)?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#class 10
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है। / So (q) is even, which helps form the contradiction.
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प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों माना जाता है?
Why are (p) and (q) assumed to be coprime in the proof?
#coprime
#rational form
#irrationality proof
#class 10
A क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है / Because a rational number is written in its simplest form
B क्योंकि दोनों हमेशा बराबर होते हैं / Because both are always equal
C क्योंकि दोनों शून्य होते हैं / Because both are zero
D क्योंकि दोनों अपरिमेय होते हैं / Because both are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है / Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। / In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Getting another common factor later contradicts this condition.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन प्रमाण को अधूरा छोड़ देगा?
Which statement would leave the proof of \(\sqrt{2}\) incomplete?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#proof-writing
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
B (p=2k) रखकर \(q^2=2k^2\) पाना / Putting (p=2k) and getting \(q^2=2k^2\)
C (q) सम सिद्ध करना / Proving (q) even
D दोनों सम होने से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction because both are even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
(p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। / Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा। / Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को पूरा करने में मदद करता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which conclusion helps complete the proof?
#real-numbers
#root2
#even-square
#contradiction
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। / \(q^2=2k^2\) shows that \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। / If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है। / Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध हो गया है और \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है। अब सबसे सही अगला कदम कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) has been proved even and \(\frac{a}{b}\) is in lowest form. What is the most correct next step?
#sqrt2 proof
#proof order
#hard
#class 10
A (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
B यहीं विरोधाभास लिख देना / Write contradiction here itself
C (a=b) मान लेना / Assume (a=b)
D \(\sqrt{2}=2\) लिख देना / Write \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। / Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। / Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले। / Contradiction occurs only when both have common factor (2).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
D \(\sqrt{3}=9\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{3}=9\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। / Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{3}\).
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण को अधूरा छोड़ देता है?
Which statement leaves the proof of \(\sqrt{5}\) incomplete?
#sqrt5 proof
#incomplete proof
#hard
#class 10
A केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (5)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction with coprime condition
D अंत में \(\sqrt{5}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{5}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। / \(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिला। कौन सा निष्कर्ष प्रमाण के क्रम के अनुसार पहले आएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest form, \(a^2=2b^2\) is obtained. Which conclusion comes first according to proof order?
#sqrt2 proof
#even square
#hard
#class 10
A \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
B (b) सम है / (b) is even
C (a=b)
D (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। / So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें। / Do not change the order of conclusions in exams.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण की सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
D \(\sqrt{5}=25\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{5}=25\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(p^2=2q^2\) मिलने के बाद कौन सा कथन सही है लेकिन अभी प्रमाण पूरा नहीं करता?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(p^2=2q^2\), which statement is correct but does not yet complete the proof?
#sqrt2 proof
#incomplete step
#hard
#class 10
A (p) सम है / (p) is even
B (p=q)
C (q=0)
D \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) सम है / (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। / But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा। / Only then a contradiction arises through common factor (2).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि कोई कहे कि \(p^2=2q^2\) से (p) और (q) दोनों तुरंत सम हैं, तो सही टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if someone says that \(p^2=2q^2\) immediately makes both (p) and (q) even, what is the correct comment?
#sqrt2 proof
#proof sequence
#hard
#class 10
A यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
D इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
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Correct Answer
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। / After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है। / Skipping order is considered an error in proof writing.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा चरण क्रम की दृष्टि से गलत है?
Which step is wrong in order in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#error spotting
#hard
A \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(p^2=5q^2\) that \(p^2\) is divisible by (5)
C (p) (5) से विभाज्य है इसलिए (p=5k) लिखना / Writing (p=5k) because (p) is divisible by (5)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(q^2=5k^2\) that (q) is divisible by (5)
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है। / So directly concluding about (q) is an order mistake.
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=2q^2\) से \(q^2\) सम लिखता है, तो यह क्यों जल्दबाजी है?
If someone writes \(q^2\) is even directly from \(p^2=2q^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), why is this a rushed step?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
B क्योंकि \(q^2\) कभी सम नहीं हो सकता / Because \(q^2\) can never be even
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (2) अभाज्य नहीं है / Because (2) is not prime
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Correct Answer
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है। / Skipping the order makes the proof weak.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सही क्रम दिखाता है?
Which option shows the correct order in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
B पहले (q=0) मानना, फिर वर्ग करना / First assume (q=0), then square
C \(\sqrt{5}=5\) मानना, फिर निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{5}=5\), then write conclusion
D दशमलव मान लिखकर रुक जाना / Write decimal value and stop
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है। / Then common factor (5) in both gives the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कहा जाता?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why is (q) not directly said to be divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
A पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं होता / Because (q) is never divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
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Correct Answer
A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) आता है। / After substituting (p=3k), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। / Then (q) is concluded divisible by (3).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में अधूरा प्रमाण दिखाता है?
Which option shows an incomplete proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#incomplete proof
#class 10
A केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (5)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction using coprime condition
D अंत में \(\sqrt{5}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{5}\) is irrational
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Correct Answer
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। / \(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is incomplete without contradiction and conclusion.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही क्रम कौन सा है?
What is the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
B दशमलव मान लिखना, उत्तर याद करना, प्रमाण रोकना / Write decimal value, memorize answer, stop proof
C \(\sqrt{2}=2\) मानना, वर्ग करना, निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{2}=2\), square, write conclusion
D (q=0) मानना, भिन्न बनाना, निष्कर्ष लिखना / Assume (q=0), make fraction, write conclusion
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। / Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Finding both even contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) मिलने के बाद (q) (5) से विभाज्य कब सिद्ध होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), when is (q) proved divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
B सीधे \(p^2=5q^2\) देखकर / Directly by looking at \(p^2=5q^2\)
C (q=0) मानने के बाद / After assuming (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) लिखने के बाद / After writing \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / Then (q) is concluded divisible by (5).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कह सकते?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why can we not directly say (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
A क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं हो सकता / Because (q) can never be divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
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Correct Answer
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Keeping the order correct makes the proof strong.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि के क्रम को सही बताता है?
Which statement gives the correct order of the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
B मानें \(\sqrt{5}=5\), फिर (p=q) लिखें / Assume \(\sqrt{5}=5\), then write (p=q)
C पहले (q=0) मानें, फिर वर्ग करें / First assume (q=0), then square
D दशमलव मान लिखकर प्रमाण पूरा करें / Write decimal value and finish proof
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Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है। / Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही संक्षिप्त ढांचा देता है?
Which option gives the correct short structure of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof structure
#class 10
A परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
B वर्ग करें, दशमलव निकालें, उत्तर याद करें / Square, find decimal, memorize answer
C पूर्ण वर्ग मानें, हर शून्य करें, निष्कर्ष लें / Assume perfect square, make denominator zero, conclude
D परिमेय मानें, (p=q) लिखें, प्रमाण पूरा करें / Assume rational, write (p=q), finish proof
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Correct Answer
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। / Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both even contradict the coprime condition.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का मुख्य विचार सबसे अच्छा व्यक्त हुआ है?
Which option best expresses the main idea behind the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#main-idea
#irrationality
#hard
A परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rationality makes numerator and denominator of the lowest fraction both even
B \(\sqrt{2}\) का मान (2) के बराबर है / \(\sqrt{2}\) equals (2)
C (2) का वर्गमूल हमेशा पूर्णांक होता है / The square root of (2) is always an integer
D हर दशमलव संख्या परिमेय होती है / Every decimal number is rational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rationality makes numerator and denominator of the lowest fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न बनाया जाता है। / \(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows that numerator and denominator are both even.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा संभव नहीं, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This is impossible in lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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किस कथन का उपयोग \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे आवश्यक है?
Which statement is most essential in proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#prime-divisibility
#hard
A यदि (3) किसी अभाज्य (p) को भाग दे तो वह \(p^2\) को भी भाग देगा / If (3) divides a prime (p), it also divides \(p^2\)
B यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
C हर वर्ग संख्या (3) से विभाज्य होती है / Every square number is divisible by (3)
D हर विषम संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य होता है / The square of every odd number is divisible by (3)
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Correct Answer
B. यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। / The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है। / Writing this prime-number property clearly helps in scoring well.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का सही छोटा कारण है?
Which option is the correct short reason for the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 short reason
#irrationality
#class 10
A परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
B क्योंकि (2) ऋणात्मक है / Because (2) is negative
C क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) है / Because \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Because every square root is an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों सम मिलते हैं। / The proof gives both numerator and denominator even.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोध करता है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This contradicts lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में कौन सी विधि समान है?
Which method is common in proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#method of contradiction
#irrationality
#class 10
A वर्गमूल विधि / Square root method
B विरोधाभास विधि / Method of contradiction
C मापन विधि / Measurement method
D अनुमान विधि / Estimation method
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Correct Answer
B. विरोधाभास विधि / Method of contradiction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास दिखाते हैं। / Then a contradiction is shown using the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसे विरोधाभास विधि कहा जाता है। / Therefore it is called the method of contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का सही संक्षिप्त कारण है?
Which option is the correct short reason for the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 explanation
#irrationality
#class 10
A परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (5)
B क्योंकि (5) पूर्ण वर्ग है / Because (5) is a perfect square
C क्योंकि \(\sqrt{5}=25\) है / Because \(\sqrt{5}=25\)
D क्योंकि हर अभाज्य संख्या का वर्गमूल परिमेय होता है / Because the square root of every prime number is rational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / We assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows numerator and denominator both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / This contradicts lowest form, so \(\sqrt{5}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का सही संक्षिप्त कारण है?
Which option is the correct short reason for the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 explanation
#irrationality
#class 10
A परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
B क्योंकि (3) सम संख्या है / Because (3) is an even number
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) है / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को \(\frac{a}{b}\) मानकर वर्ग करने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) and squaring gives \(a^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। / This makes both (a) and (b) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है। / This is impossible in a lowest-form fraction.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही अंतिम वाक्य है?
Which option gives the correct final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#final-statement
#proof-writing
A अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
B अतः (5) अपरिमेय है / Hence (5) is irrational
C अतः \(\sqrt{5}=5\) / Hence \(\sqrt{5}=5\)
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
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Correct Answer
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। / The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। / The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के सही क्रम को दर्शाता है?
Which option shows the correct order for proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#proof-order
#sequence
A मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\) / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
B मानें (p=q), फिर \(\sqrt{3}=1\) / Assume (p=q), then \(\sqrt{3}=1\)
C मानें (q=0), फिर विरोधाभास / Assume (q=0), then contradiction
D मानें \(\sqrt{3}=3\), फिर \(p^2=q^2\) / Assume \(\sqrt{3}=3\), then \(p^2=q^2\)
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Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\) / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता सरलतम भिन्न से शुरू होती है। / The rational assumption begins with a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है और फिर (3) पहले (p), फिर (q) को भाग देता है। / Squaring gives \(p^2=3q^2\), and then (3) divides first (p), then (q).
Step 3
Exam Tip
यही क्रम उत्तर को व्यवस्थित बनाता है। / This order makes the answer organized.
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यदि कोई छात्र \(\sqrt{5}\) को परिमेय सिद्ध करने के लिए केवल \(\sqrt{5}\approx2.236\) लिखता है, तो यह तर्क क्यों अधूरा है?
If a student writes only \(\sqrt{5}\approx2.236\) to prove rationality or irrationality, why is this argument incomplete?
#real-numbers
#root5
#decimal-approximation
#proof-quality
A दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता / A finite decimal approximation is not a proof
B दशमलव लिखना हमेशा गलत होता है / Writing decimals is always wrong
C (2.236) एक पूर्णांक है / (2.236) is an integer
D \(\sqrt{5}\) का वर्ग (2.236) है / The square of \(\sqrt{5}\) is (2.236)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता / A finite decimal approximation is not a proof
Step 1
Concept
(2.236) केवल अनुमानित मान है, पूरा मान नहीं। / (2.236) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना पड़ता है। / To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में दशमलव अनुमान को प्रमाण की जगह न लिखें। / In exams, do not write a decimal approximation in place of proof.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) में (a) और (b) को सहअभाज्य न लेने से प्रमाण में क्या कमी आ जाएगी?
While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), what weakness occurs if (a) and (b) in \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) are not taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#proof-logic
A साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
B वर्ग करना संभव नहीं होगा / Squaring will not be possible
C (3) अभाज्य नहीं रहेगा / (3) will no longer be prime
D \(\sqrt{3}\) पूर्णांक बन जाएगी / \(\sqrt{3}\) will become an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। / Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है। / Therefore lowest form must be stated at the beginning.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही अंतिम वाक्य है?
Which option gives the correct final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#final-statement
#proof-writing
A अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{2}\) परिमेय है / Hence \(\sqrt{2}\) is rational
C अतः (2) अपरिमेय है / Hence (2) is irrational
D अतः (p) और (q) दोनों शून्य हैं / Hence (p) and (q) are both zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। / The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। / When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उचित अंतिम वाक्य है?
Which option gives a proper final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
#hard
A अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}\) एक पूर्ण वर्ग है / Hence \(\sqrt{3}\) is a perfect square
C अतः (3) परिमेय नहीं है / Hence (3) is not rational
D अतः हर संख्या अपरिमेय है / Hence every number is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। / The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। / Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में सबसे पहले कौन-सी मान्यता ली जाती है?
What is the first assumption made while proving the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction-method
#proof
#hard
A मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{5}\) is rational
B मान लें \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / Assume \(\sqrt{5}\) is an integer
C मान लें (5) सम है / Assume (5) is even
D मान लें (5=0) है / Assume (5=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{5}\) is rational
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में जिस बात को गलत सिद्ध करना है, पहले उसे सही मानते हैं। / In proof by contradiction, we first assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। / So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
शुरुआत में विधि साफ लिखने से उत्तर मजबूत बनता है। / Writing the method clearly at the start strengthens the answer.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(p^2=3q^2\) मिला। यहां (p) के लिए सही कारण सहित निष्कर्ष कौन सा है?
While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) is obtained. Which conclusion about (p) with reason is correct?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#real numbers
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) वर्ग है / (p) is divisible by (2) because \(p^2\) is a square
B (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
C (p=q) क्योंकि दोनों वर्ग हैं / (p=q) because both are squares
D (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (5) because (3) is prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को सही संख्या पर लगाएं। / Apply the prime factor rule to the correct number.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय सबसे महत्वपूर्ण अंतिम पंक्ति कौन सी होगी?
In an exam, what is the most important final line while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam tip
#final conclusion
#proof writing
#class 10
A यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
B दशमलव मान लगभग पर्याप्त है / The approximate decimal value is enough
C अतः दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है / Hence the given number is a perfect square
D अतः हर शून्य है / Hence the denominator is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता लेकर शुरुआत करते हैं। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / At the end, a contradiction appears with the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखना चाहिए। / The final line should clearly state the contradiction and irrationality conclusion.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो अपरिमेयता के प्रमाणों में कौन सा नियम प्रयोग किया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), which rule is used in irrationality proofs?
#prime divisibility
#proof rule
#class 10
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(x=r^2\)
D (r=x+1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अभाज्य (r), \(x^2\) को विभाजित करता है, तो (x) को भी विभाजित करेगा। / If prime (r) divides \(x^2\), then it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में काम आता है। / This rule is used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में किस बात से प्रमाण पूरा होता है?
What completes the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common proof structure
#irrationality proof
#hard
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना / Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction
B दशमलव मान लिखकर उत्तर देना / Writing the decimal value as the answer
C हर को शून्य मानकर गणना करना / Calculating by assuming denominator zero
D वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना / Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होते हैं। / All three proofs start with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में वही अभाज्य गुणनखंड साझा मिल जाता है। / At the end, the same prime factor is found common in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास से सिद्धि पूरी होती है। / This is impossible in a lowest-form fraction, so the proof is completed by contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान अंतिम विचार है?
Which statement is the common final idea in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common proof idea
#irrationality proof
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator being non-zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। / In all three, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में अंत में कौन सी बात सिद्ध होती है?
What is proved at the end in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 conclusion
#irrationality
#class 10
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
B \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
C \(\sqrt{2}=2\)
D \(\sqrt{2}=0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the initial assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण से सही निष्कर्ष कौन सा है?
Which conclusion is correct from the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 conclusion
#irrationality
#class 10
A \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
C \(\sqrt{3}=3\)
D \(\sqrt{3}\) प्राकृतिक संख्या है / \(\sqrt{3}\) is a natural number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This goes against their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational, but irrational.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण का सही अंतिम निष्कर्ष कौन सा है?
What is the correct final conclusion of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#final conclusion
#sqrt2
#irrationality
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
D \(\sqrt{2}=1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने से (p) और (q) में साझा गुणनखंड मिला। / Assuming rationality gives a common factor in (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts the condition that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the original assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(5\mid b^2\), तो \(5\mid b\) लिखते समय कौन-सी बात जरूर जोड़नी चाहिए?
In the proof for \(\sqrt{5}\), while writing \(5\mid b\) from \(5\mid b^2\), what must be added?
#real-numbers
#root5
#prime-condition
#proof-detail
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (b=5) है / (b=5)
C (b=0) है / (b=0)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। / The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। / This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है। / Mentioning this reason makes the proof complete in exams.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने पर (q) को सम कहने का कारण क्या है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), why is (q) called even after getting \(q^2=2k^2\)?
#real-numbers
#root2
#q-even
#proof-step
A क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है / Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
B क्योंकि (k=0) है / Because (k=0)
C क्योंकि (q) हमेशा (2) है / Because (q) is always (2)
D क्योंकि (q) और (p) बराबर हैं / Because (q) and (p) are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है / Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Thus both (p) and (q) are found even.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का अंतिम वाक्य सबसे ठीक है?
Which option gives the most appropriate final sentence for the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
A अतः (3) अपरिमेय है / Hence (3) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}=3\) / Hence \(\sqrt{3}=3\)
C अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। / The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। / That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\) का प्रमाण लिखते समय यदि कोई \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानता है पर सरलतम रूप नहीं लिखता, तो क्या समस्या होगी?
While writing the proof for \(\sqrt{2}\), if someone assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) but does not mention lowest form, what problem occurs?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
A वर्ग करना असंभव हो जाएगा / Squaring will become impossible
B (2) अभाज्य नहीं रहेगा / (2) will not remain prime
C साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
D (q) अपने आप शून्य हो जाएगा / (q) will automatically become zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। / Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें। / Therefore mention lowest form at the start.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (b) की विभाज्यता का सही आधार दिया गया है?
Which option gives the correct basis for divisibility of (b) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#b-divisibility
#proof-step
A (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
B (a=5k) रखने पर (b=5) / Putting (a=5k) gives (b=5)
C (a=5k) रखने पर (b=a) / Putting (a=5k) gives (b=a)
D (a=5k) रखने पर (b=0) / Putting (a=5k) gives (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
(a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the final common factor.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) सिद्ध होने के बाद (a=5t) लिखा गया। यह किस बात का संकेत है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), after \(5\mid a\) is proved from \(a^2=5b^2\), (a=5t) is written. What does this indicate?
#real-numbers
#root5
#multiple-form
#proof-step
A (a) और (b) बराबर हैं / (a) and (b) are equal
B (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
C (b=5) है / (b=5)
D \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
Step 1
Concept
\(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। / \(5\mid a\) means (a) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। / Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है। / This form helps prove divisibility of (b) next.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) लेते समय कौन-सी शर्त आवश्यक है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), which condition is necessary while taking \(5\mid y\) from \(5\mid y^2\)?
#real-numbers
#root5
#prime-condition
#proof-detail
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (5) सम है / (5) is even
C (y) शून्य है / (y) is zero
D (y) ऋणात्मक है / (y) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। / The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। / Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा। / Without mentioning primality, this step looks incomplete.
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