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सबसे बड़ी घात (6) है। बहुपद की डिग्री सबसे बड़ी घात से मिलती है। / The highest power is (6). The degree of a polynomial is found from the highest power.
डिग्री (4) तभी रहेगी जब \(x^4\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(a-3\neq0\) होना चाहिए। / The degree remains (4) only when the coefficient of \(x^4\) is not zero. Hence \(a-3\neq0\).
(k=2) रखने पर \(x^5\) का गुणांक (0) हो जाता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (k=2) makes the coefficient of \(x^5\) equal to (0). The remaining highest power is (2).
\(x^2+1\) बहुपद है और इसकी डिग्री (2) है। रेखीय बहुपद की डिग्री (1) होती है। / \(x^2+1\) is a polynomial and its degree is (2). A linear polynomial has degree (1).
\(0x^7\) पद शून्य हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (3) है। / The term \(0x^7\) becomes zero. In the remaining polynomial, the highest power is (3).
तीसरा व्यंजक बहुपद है क्योंकि घातें (3), (1) और (0) हैं। सबसे बड़ी घात (3) है। / The third expression is a polynomial because the powers are (3), (1), and (0). The highest power is (3).
\(x^3\) पद का गुणांक स्पष्ट रूप से (0) है। शून्य गुणांक वाला पद डिग्री नहीं बदलता। / The coefficient of the \(x^3\) term is clearly (0). A zero-coefficient term does not change the degree.
रेखीय बनने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए। इसलिए (m+1=0) से (m=-1)। / To become linear, the coefficient of \(x^3\) must be (0). So (m+1=0) gives (m=-1).
B. शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती और अशून्य नियतांक की डिग्री (0) होती है/The zero polynomial degree is not defined and a non-zero constant has degree (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\) है। चर की भिन्न घात होने से यह बहुपद नहीं है। / \(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\). Due to a fractional power of the variable, it is not a polynomial.
मानक रूप में पद घटती घातों में लिखे जाते हैं। \(x^5+3x^2-2x+7\) इसी क्रम में है। / In standard form, terms are written in descending powers. \(x^5+3x^2-2x+7\) follows this order.
इस बहुपद में \(x^5\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^5\) का गुणांक (0) माना जाता है। / The \(x^5\) term is absent in this polynomial. So the coefficient of \(x^5\) is taken as (0).
\(x^{-\frac{1}{3}}\) में घात ऋणात्मक और भिन्न दोनों है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{-\frac{1}{3}}\), the power is both negative and fractional. Such a power is not valid in a polynomial.
शून्य गुणांक वाले उच्च घात पद हट जाते हैं। बचा हुआ (5x-2) रेखीय बहुपद है। / Higher-power terms with zero coefficients disappear. The remaining (5x-2) is a linear polynomial.
A. क्योंकि सरल करने पर \(x^2+\frac{1}{x}\) मिलता है/Because simplifying gives \(x^2+\frac{1}{x}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\) है। \(\frac{1}{x}\) में (x) की घात (-1) है। / \(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\). In \(\frac{1}{x}\), the power of (x) is (-1).
अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। (5) की डिग्री (5) नहीं होती। / A non-zero constant polynomial has degree (0). The degree of (5) is not (5).
रेखीय बनने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(b^2-1=0\) से \(b=\pm1\) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^2\) must be (0). From \(b^2-1=0\), we get \(b=\pm1\).
\(c\neq0\) होने पर \(x^5\) पद मौजूद रहेगा। इसलिए सबसे बड़ी घात (5) होगी। / When \(c\neq0\), the \(x^5\) term remains present. Therefore the highest power will be (5).
\(x^3+4x-2\) बहुपद है और उसमें \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) है। / \(x^3+4x-2\) is a polynomial and it has no \(x^2\) term. So the coefficient of \(x^2\) is (0).
B. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
अग्रणी पद सबसे बड़ी घात वाला पद होता है। यहां सबसे बड़ी घात (4) है। / The leading term is the term with the highest power. Here the highest power is (4).
B. यह \(x\neq0\) पर \(x^2+1\) के बराबर है पर मूल रूप में चर हर में है/It equals \(x^2+1\) for \(x\neq0\) but originally has variable in denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल व्यंजक में \(\frac{x}{x}\) में चर हर में है। सरल रूप डोमेन को ध्यान में रखकर लिया जाता है। / In the original expression, \(\frac{x}{x}\) has a variable in the denominator. The simplified form is taken with domain in mind.
अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A non-zero constant polynomial has degree (0). The degree of the zero polynomial is not defined.
\(\sqrt{x+1}\) में चर मूल चिह्न के अंदर है। इसे बहुपद की मान्य घातों में नहीं लिखा जाता। / In \(\sqrt{x+1}\), the variable is inside a radical sign. It is not written using valid polynomial powers.
(b=0) होने से \(x^6\) पद हट जाता है और \(a\neq0\) से \(x^4\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (4) है। / Since (b=0), the \(x^6\) term disappears, and since \(a\neq0\), the \(x^4\) term remains. So the degree is (4).
(x) के संदर्भ में (5) नियतांक बहुपद है। इसमें (x) की घात (0) मानी जा सकती है। / With respect to (x), (5) is a constant polynomial. It can be considered to have power (0) of (x).
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / Fractional coefficients are real numbers. The variable powers are (2), (1), and (0), so the degree is (2).
\(\pi\) और \(\sqrt{11}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\pi\) and \(\sqrt{11}\) are real coefficients. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
B. क्योंकि \(\sqrt{x}\) की घात \(\frac{1}{2}\) है/Because \(\sqrt{x}\) has power \(\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है। भिन्न घात बहुपद की परिभाषा में मान्य नहीं होती। / \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\). A fractional power is not valid in the definition of a polynomial.
नियतांक बनने के लिए (n-4=0) और (n+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (n) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (n-4=0) and (n+1=0) are needed. One value of (n) cannot satisfy both conditions.
\(x^4+2x\) बहुपद है और इसकी डिग्री (4) है। इसलिए इसकी डिग्री (1) या (0) नहीं है। / \(x^4+2x\) is a polynomial and its degree is (4). So its degree is neither (1) nor (0).
इस बहुपद में \(x^3\) और (x) पद नहीं हैं। इसलिए दोनों के गुणांक (0) हैं। / The \(x^3\) and (x) terms are absent in this polynomial. Therefore both coefficients are (0).
\(\frac{5}{x+2}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{5}{x+2}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(r=0) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (2) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (r=0), the coefficient of \(x^3\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (2). Therefore the degree is (2).
पहले व्यंजक के सभी पदों के गुणांक (0) हैं। इसलिए यह शून्य बहुपद है। / All terms in the first expression have coefficient (0). Therefore it is the zero polynomial.
\(-4x^2+7x-2\) की डिग्री (2) है और अग्रणी गुणांक (-4) है। दोनों शर्तें इसी में पूरी होती हैं। / \(-4x^2+7x-2\) has degree (2) and leading coefficient (-4). Both conditions are satisfied here.
(x-2(x+1)=x-3+x-2), फिर \(-x^3\) से \(x^3\) कट जाता है। सरल रूप \(x^2+4\) है। / (x-2(x+1)=x-3+x-2), then \(-x^3\) cancels \(x^3\). The simplified form is \(x^2+4\).
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) और \(-\frac{1}{5}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (2) और (1) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / \(\sqrt{3}\) and \(-\frac{1}{5}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (2), and (1), so the degree is (2).
(s=2) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (3) हो जाता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (s=2) makes the coefficient of \(x^4\) equal to (0) and the coefficient of \(x^3\) equal to (3). So the highest power is (3).
\(x\neq0\) पर \(\frac{2x^2}{x}=2x\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+2x\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{2x^2}{x}=2x\). Therefore the simplified form is \(x^3+2x\).
\(2x^3+5x-1\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) है। / In \(2x^3+5x-1\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. So the coefficient of \(x^2\) is (0).
\(x^2\) से भाग देने पर \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) और \(\frac{x^2}{x^2}=1\) मिलता है। इसलिए सरल रूप \(x^2-1\) है। / Dividing by \(x^2\) gives \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) and \(\frac{x^2}{x^2}=1\). Therefore the simplified form is \(x^2-1\).
डिग्री (5) तभी होगी जब \(x^5\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(a-2\neq0\) होना चाहिए। / The degree will be (5) only when the coefficient of \(x^5\) is not zero. Therefore \(a-2\neq0\).
(k=-3) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (k=-3) makes the coefficient of \(x^6\) equal to (0). In the remaining polynomial, the highest power is (2).
रेखीय बनने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (m-4=0) से (m=4) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^3\) must be (0). From (m-4=0), we get (m=4).
C. क्योंकि (x+4) मूल चिह्न के अंदर है/Because (x+4) is inside a radical sign
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x+4}\) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x+4}\) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore the whole expression is not a polynomial.
पहले व्यंजक में सबसे बड़ी घात (3) है और सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। / In the first expression, the highest power is (3), and all powers are valid. So it is a cubic polynomial.
A. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर में (x) है, इसलिए इसे सीधे बहुपद नहीं कहते। सरल रूप के लिए \(x\neq0\) की शर्त ध्यान रखें। / In the original form, (x) is in the denominator, so it is not directly called a polynomial. For simplification, keep the condition \(x\neq0\) in mind.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^4}{x}=x^3\) और \(\frac{2x}{x}=2\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+2\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^4}{x}=x^3\) and \(\frac{2x}{x}=2\). So the simplified form is \(x^3+2\).
C. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / (|x|) is not written as a term with non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
\(a\neq0\) होने से \(x^7\) पद मौजूद रहेगा। इसलिए सबसे बड़ी घात (7) है। / Since \(a\neq0\), the \(x^7\) term remains present. Therefore the highest power is (7).
(a=0) होने से \(x^7\) पद हट जाता है। \(b\neq0\) होने से \(x^3\) पद बचता है। / When (a=0), the \(x^7\) term disappears. Since \(b\neq0\), the \(x^3\) term remains.
रेखीय बनने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(t^2-4=0\) से \(t=\pm2\) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^2\) must be (0). From \(t^2-4=0\), we get \(t=\pm2\).
नियतांक बनने के लिए (r-1=0) और (r+2=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (r-1=0) and (r+2=0) are required. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
(x) के संदर्भ में (y) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
इस बहुपद में \(x^5\) और (x) पद अनुपस्थित हैं। इसलिए दोनों के गुणांक (0) हैं। / The \(x^5\) and (x) terms are absent in this polynomial. Therefore both coefficients are (0).
\(\frac{7}{x-3}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{7}{x-3}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(n=1) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (n=1), the coefficient of \(x^4\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (3). Therefore the degree is (2).
\(-5x^4+x^2-7\) की डिग्री (4) है और अग्रणी गुणांक (-5) है। इसलिए दोनों शर्तें पूरी हैं। / \(-5x^4+x^2-7\) has degree (4) and leading coefficient (-5). Therefore both conditions are satisfied.
(x-3(x-2)=x-4-2x-3), फिर \(-x^4\) से \(x^4\) कट जाता है। सरल रूप \(-2x^3+6x\) है। / (x-3(x-2)=x-4-2x-3), then \(-x^4\) cancels \(x^4\). The simplified form is \(-2x^3+6x\).
B. यह बहुपद है और डिग्री (3) है/It is a polynomial and degree is (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\pi\) और \(-\frac{2}{7}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (3), और (1) हैं, इसलिए डिग्री (3) है। / \(\pi\) and \(-\frac{2}{7}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (3), and (1), so the degree is (3).
(c=0) होने पर \(x^5\) पद हट जाता है और \(x^4\) का गुणांक (1) रहता है। इसलिए डिग्री (4) है। / When (c=0), the \(x^5\) term disappears and the coefficient of \(x^4\) remains (1). Therefore the degree is (4).
\(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\) जब \(x\neq-1\)। इसलिए सरल रूप \(x^2+x-1\) है। / \(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\) when \(x\neq-1\). So the simplified form is \(x^2+x-1\).
\(\sqrt{5}\) अशून्य नियतांक बहुपद है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / \(\sqrt{5}\) is a non-zero constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
(b=0) होने से \(x^5\) पद हट जाता है। \(a\neq0\) होने से \(x^2\) पद बचता है। / Since (b=0), the \(x^5\) term disappears. Since \(a\neq0\), the \(x^2\) term remains.
\(0x^2\) शून्य पद है, इसलिए उसे नहीं गिनते। बाकी (4) पद अशून्य हैं। / \(0x^2\) is a zero term, so it is not counted. The remaining (4) terms are non-zero.
(x) के संदर्भ में \(3y^2-5y+1\) में कोई (x) पद नहीं है। इसलिए यह (x) में नियतांक बहुपद माना जा सकता है। / With respect to (x), \(3y^2-5y+1\) has no (x) term. So it can be treated as a constant polynomial in (x).
B. यह बहुपद है और डिग्री (3) है/It is a polynomial and degree is (3)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न और अपरिमेय वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य हैं। सबसे बड़ी घात (3) है। / Fractional and irrational real coefficients are valid in a polynomial. The highest power is (3).
\(\pi\) और \(\sqrt{13}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (3), (2), और (0) हैं। / \(\pi\) and \(\sqrt{13}\) are real coefficients. The powers of (x) are (3), (2), and (0).
C. क्योंकि \(x^{\frac{1}{2}}\) की घात भिन्न है/Because \(x^{\frac{1}{2}}\) has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{1}{2}}\) में चर की घात भिन्न है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{\frac{1}{2}}\), the variable has a fractional power. Such a power is not valid in a polynomial.
नियतांक बनने के लिए \(x^3\) और \(x^2\) दोनों के गुणांक (0) चाहिए। (u-5=0) से दोनों पद हट जाते हैं। / To become constant, the coefficients of both \(x^3\) and \(x^2\) must be (0). From (u-5=0), both terms disappear.
इन तीनों घातों वाले पद बहुपद में अनुपस्थित हैं। इसलिए इनके गुणांक (0), (0), और (0) हैं। / The terms with these three powers are absent in the polynomial. Therefore their coefficients are (0), (0), and (0).
(r=2) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / For (r=2), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (1). Therefore the degree is (4).
\(x^0-1=1-1=0\) है, इसलिए यह भी शून्य बहुपद है? ध्यान दें कि विकल्प (C) शून्य ही है। / \(x^0-1=1-1=0\), so this is also the zero polynomial. Check simplification before choosing.
\(-6x^3+x^2-5\) की डिग्री (3) है और अग्रणी गुणांक (-6) है। इसलिए यह सही विकल्प है। / \(-6x^3+x^2-5\) has degree (3) and leading coefficient (-6). Therefore it is the correct option.
(x-2\(x^2-3\)=x-4-3x-2), फिर \(-x^4\) से \(x^4\) कटता है। सरल रूप \(-3x^2+2x\) है। / (x-2\(x^2-3\)=x-4-3x-2), then \(-x^4\) cancels \(x^4\). The simplified form is \(-3x^2+2x\).
सरल रूप में सबसे बड़ी घात (2) है। इसलिए यह द्विघात बहुपद है। / In the simplified form, the highest power is (2). Therefore it is a quadratic polynomial.
(h=1) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) हो जाता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (h=1) makes the coefficient of \(x^6\) equal to (0). The remaining highest power is (3).
डिग्री (2) के लिए \(x^4\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (2a+6=0) से (a=-3) मिलता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^4\) must be (0). From (2a+6=0), we get (a=-3).
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^5}{x}=x^4\) और \(\frac{x}{x}=1\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^4-1\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^5}{x}=x^4\) and \(\frac{x}{x}=1\). So the simplified form is \(x^4-1\).
नियतांक बनने के लिए (v+1=0) और (v-2=0) दोनों चाहिए। एक ही (v) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (v+1=0) and (v-2=0) are required. One value of (v) cannot satisfy both conditions.
\(4x^2-9\) की डिग्री (2) है और (x) पद अनुपस्थित है। इसलिए (x) का गुणांक (0) है। / \(4x^2-9\) has degree (2), and the (x) term is absent. So the coefficient of (x) is (0).
\(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) जब \(x\neq2\)। इसलिए सरल रूप \(x^3+x+2\) है। / \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) when \(x\neq2\). Therefore the simplified form is \(x^3+x+2\).
डिग्री (6) के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(a+4\neq0\) होना चाहिए। / For degree (6), the coefficient of \(x^6\) must not be zero. So \(a+4\neq0\).
(k=5) रखने पर \(x^7\) का गुणांक (0) हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (k=5) makes the coefficient of \(x^7\) equal to (0). In the remaining polynomial, the highest power is (3).
रेखीय बनने के लिए \(x^4\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (m+6=0) से (m=-6) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^4\) must be (0). From (m+6=0), we get (m=-6).
C. क्योंकि (2x-1) मूल चिह्न के अंदर है/Because (2x-1) is inside a radical sign
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2x-1}\) बहुपद की मान्य घातों वाला पद नहीं है। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{2x-1}\) is not a term with valid polynomial powers. Therefore the whole expression is not a polynomial.
पहले व्यंजक में सबसे बड़ी घात (2) है और सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह द्विघात बहुपद है। / In the first expression, the highest power is (2), and all powers are valid. So it is a quadratic polynomial.
A. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर में \(x^2\) है। बहुपद रूप के लिए सरल करते समय डोमेन शर्त भी ध्यान रखनी होती है। / In the original form, \(x^2\) is in the denominator. While simplifying to polynomial form, the domain condition must also be considered.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^5}{x^2}=x^3\) और \(\frac{3x^2}{x^2}=3\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+3\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^5}{x^2}=x^3\) and \(\frac{3x^2}{x^2}=3\). So the simplified form is \(x^3+3\).
C. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद की तरह नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / (|x|) is not written as a term with non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
\(a\neq0\) होने से \(x^8\) पद मौजूद रहेगा। इसलिए सबसे बड़ी घात (8) है। / Since \(a\neq0\), the \(x^8\) term remains present. Therefore the highest power is (8).
(a=0) होने से \(x^8\) पद हट जाता है। \(b\neq0\) होने से \(x^6\) पद मौजूद रहता है। / When (a=0), the \(x^8\) term disappears. Since \(b\neq0\), the \(x^6\) term remains present.
रेखीय बनने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(t^2-9=0\) से \(t=\pm3\) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^3\) must be (0). From \(t^2-9=0\), we get \(t=\pm3\).
नियतांक बनने के लिए (r+4=0) और (r-1=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (r+4=0) and (r-1=0) are required. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
(x) के संदर्भ में \(y^2\) और (-2y) गुणांक हैं। (x) की घातें (3), (1), और (0) हैं। / With respect to (x), \(y^2\) and (-2y) are coefficients. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
इन तीनों घातों वाले पद अनुपस्थित हैं। इसलिए इनके गुणांक (0), (0), और (0) हैं। / The terms with these three powers are absent. Therefore their coefficients are (0), (0), and (0).
(n=-2) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (3) है। / Putting (n=-2), the coefficient of \(x^6\) is (0) and the coefficient of \(x^3\) is (3). Therefore the degree is (3).
\(-7x^5+x^2-4\) की डिग्री (5) है और अग्रणी गुणांक (-7) है। इसलिए यह सही विकल्प है। / \(-7x^5+x^2-4\) has degree (5) and leading coefficient (-7). Therefore it is the correct option.
(x-2\(x^3-4\)=x-5-4x-2), फिर \(-x^5\) से \(x^5\) कट जाता है। सरल रूप \(3x^2\) है। / (x-2\(x^3-4\)=x-5-4x-2), then \(-x^5\) cancels \(x^5\). The simplified form is \(3x^2\).
B. द्विघात एकपदी बहुपद/Quadratic monomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
\(3x^2\) में एक पद है और सबसे बड़ी घात (2) है। इसलिए यह द्विघात एकपदी बहुपद है। / \(3x^2\) has one term and the highest power is (2). So it is a quadratic monomial polynomial.
B. यह बहुपद है और डिग्री (4) है/It is a polynomial and degree is (4)
Explanation
Simple Explanation
\(-\sqrt{5}\) और \(\frac{3}{8}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (4), और (1) हैं। / \(-\sqrt{5}\) and \(\frac{3}{8}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (4), and (1).
(c=0) पर \(x^8\) पद हट जाता है और \(x^5\) का गुणांक (2) रहता है। इसलिए डिग्री (5) है। / For (c=0), the \(x^8\) term disappears and the coefficient of \(x^5\) remains (2). Therefore the degree is (5).
\(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) जब \(x\neq3\)। इसलिए सरल रूप \(x^3+x+3\) है। / \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) when \(x\neq3\). Therefore the simplified form is \(x^3+x+3\).
(a=0) होने से \(x^6\) पद हटता है और \(b\neq0\) होने से \(x^4\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (4) है। / Since (a=0), the \(x^6\) term disappears, and since \(b\neq0\), the \(x^4\) term remains. So the degree is (4).
\(0x^4\) और (0x) शून्य पद हैं। बाकी \(8x^5\), \(-3x^2\), और (6) तीन अशून्य पद हैं। / \(0x^4\) and (0x) are zero terms. The remaining \(8x^5\), \(-3x^2\), and (6) are three non-zero terms.
B. यह बहुपद है और डिग्री (4) है/It is a polynomial and degree is (4)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न और अपरिमेय वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। सबसे बड़ी घात (4) है। / Fractional and irrational real coefficients are valid in a polynomial. The highest power is (4).
C. क्योंकि \(x^{\frac{3}{2}}\) की घात भिन्न है/Because \(x^{\frac{3}{2}}\) has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है। बहुपद में भिन्न घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the variable has a fractional power. Fractional powers are not valid in a polynomial.
नियतांक बनने के लिए \(x^4\) और (x) दोनों के गुणांक (0) चाहिए। (u+2=0) से दोनों पद हट जाते हैं। / To become constant, the coefficients of both \(x^4\) and (x) must be (0). From (u+2=0), both terms disappear.
इन घातों वाले पद बहुपद में नहीं हैं। इसलिए तीनों गुणांक (0) हैं। / The terms with these powers are not present in the polynomial. Therefore all three coefficients are (0).
(r=3) पर \(x^7\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (2) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / For (r=3), the coefficient of \(x^7\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (2). Therefore the degree is (4).
(x-3\(x^2-5\)=x-5-5x-3), फिर \(-x^5\) से \(x^5\) कटता है। सरल रूप \(4x^3\) है। / (x-3\(x^2-5\)=x-5-5x-3), then \(-x^5\) cancels \(x^5\). The simplified form is \(4x^3\).
\(4x^3\) में एक पद है और सबसे बड़ी घात (3) है। इसलिए यह त्रिघात एकपदी बहुपद है। / \(4x^3\) has one term and the highest power is (3). So it is a cubic monomial polynomial.
B. यह बहुपद है और डिग्री (5) है/It is a polynomial and degree is (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(-\frac{4}{9}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (5), और (2) हैं। / \(\sqrt{2}\) and \(-\frac{4}{9}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (5), and (2).
(d=-1) रखने पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (d=-1) makes the coefficient of \(x^5\) equal to (0) and the coefficient of \(x^2\) equal to (1). So the highest power is (2).
डिग्री (3) के लिए \(x^6\) का गुणांक (0) होना चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (2a-8=0) से (a=4) मिलता है। / For degree (3), the coefficient of \(x^6\) must be (0) and the coefficient of \(x^3\) must remain non-zero. From (2a-8=0), (a=4).
C. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर (x-2) है, इसलिए यह सीधे बहुपद नहीं कहलाता। सरल करने पर भी \(x\neq2\) की शर्त रहती है। / In the original form, the denominator is (x-2), so it is not directly called a polynomial. Even after simplifying, the condition \(x\neq2\) remains.
(\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2) जब \(x\neq2\)। पहले गुणनखंड बनाएं। / (\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2) when \(x\neq2\). Factor first.
\(2x^4-5x^2+1\) बहुपद है और इसमें \(x^3\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^3\) का गुणांक (0) है। / \(2x^4-5x^2+1\) is a polynomial and the \(x^3\) term is absent. So the coefficient of \(x^3\) is (0).
\(3x^4-2x^2+9\) में चर वाले अशून्य पदों की घातें (4) और (2) हैं। दोनों सम और मान्य घातें हैं। / In \(3x^4-2x^2+9\), the non-zero variable term powers are (4) and (2). Both are even and valid powers.
नियतांक बनने के लिए \(w^2-1=0\) और (w-1=0) दोनों चाहिए। दोनों शर्तें साथ में (w=1) पर पूरी होती हैं। / To become constant, both \(w^2-1=0\) and (w-1=0) are needed. Both conditions are satisfied together at (w=1).
(z=-2) पर \(x^5\) और \(x^3\) दोनों के गुणांक (0) हो जाते हैं। बची हुई सबसे बड़ी घात (1) है। / For (z=-2), the coefficients of both \(x^5\) and \(x^3\) become (0). The remaining highest power is (1).
\(2^x\) में चर घात के स्थान पर है। बहुपद में चर आधार में होता है और उसकी घात अऋणात्मक पूर्णांक होती है। / In \(2^x\), the variable is in the exponent. In a polynomial, the variable is the base with a non-negative integer power.
(x) के संदर्भ में (6y-4) अशून्य नियतांक है। इसलिए यह (x) में डिग्री (0) का बहुपद है। / With respect to (x), (6y-4) is a non-zero constant. Therefore it is a polynomial in (x) of degree (0).
इस बहुपद में \(x^3\) और (x) पद नहीं हैं। इसलिए दोनों गुणांक (0) हैं। / The \(x^3\) and (x) terms are not present in this polynomial. Therefore both coefficients are (0).
A. \(x^5+x^2+1\) में \(x^4\) और \(x^3\) के गुणांक (0) हैं/In \(x^5+x^2+1\), coefficients of \(x^4\) and \(x^3\) are (0)
Explanation
Simple Explanation
अनुपस्थित पदों के गुणांक (0) माने जाते हैं। यहां \(x^4\) और \(x^3\) पद नहीं हैं। / Coefficients of absent terms are taken as (0). Here the \(x^4\) and \(x^3\) terms are absent.
