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बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। व्यंजक में पदों की घातें 6, 3, 1 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 6 है। इसलिए सही उत्तर 6 है। 7 गुणांक है, घात नहीं, इसलिए 7 को डिग्री नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले चर की घात देखें, गुणांक की संख्या नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. The exponents of the terms are 6, 3, 1, and 0, and the greatest is 6. Therefore, the correct answer is 6. The number 7 is a coefficient, not an exponent, so it is not the degree. Exam tip: For degree, check the exponent of the variable, not the numerical coefficient.
\(k=2\) रखने पर \((k-2)=0\) हो जाता है, इसलिए \(x^5\) वाला पद शून्य हो जाता है। बहुपद \(3x^2-1\) बचता है, जिसकी सबसे बड़ी घात \(2\) है। अतः इसकी डिग्री \(2\) है। \(5\) मूल व्यंजक में दिख रहा था, लेकिन उसका गुणांक शून्य होने के कारण वह डिग्री में शामिल नहीं होगा। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान को रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Substituting \(k=2\) gives \((k-2)=0\), so the \(x^5\) term becomes zero. The polynomial left is \(3x^2-1\), whose highest exponent is \(2\). Therefore, its degree is \(2\). Although \(5\) appears in the original expression, that term has a zero coefficient and does not count. Exam tip: substitute the given value and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
पद \(0x^7\) का मान शून्य है, इसलिए यह बहुपद की डिग्री में योगदान नहीं देता। शेष व्यंजक \(4x^3-2x+6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है। अतः इसकी डिग्री \(3\) है। \(7\) चुनना गलत होगा, क्योंकि उसका गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The term \(0x^7\) is zero, so it does not contribute to the degree of the polynomial. In the remaining expression, \(4x^3-2x+6\), the highest power of \(x\) is \(3\). Therefore, its degree is \(3\). Choosing \(7\) would be incorrect because its coefficient is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
तीसरा व्यंजक बहुपद है क्योंकि घातें (3), (1) और (0) हैं। सबसे बड़ी घात (3) है। / The third expression is a polynomial because the powers are (3), (1), and (0). The highest power is (3).
\(5x^3-\sqrt{2}x+7\) में x की घातें 3, 1 और 0 हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{2}\) जैसा अपरिमेय गुणांक मान्य है। B में \(x^{-1}\) आता है। परीक्षा टिप: केवल चर की घातें जाँचें। / In \(5x^3-\sqrt{2}x+7\), the powers of x are 3, 1, and 0, all non-negative integers. An irrational coefficient such as \(\sqrt{2}\) is allowed. Option B has \(x^{-1}\). Exam tip: check exponents of the variable, not the type of coefficient.
\(x^3\) पद का गुणांक स्पष्ट रूप से (0) है। शून्य गुणांक वाला पद डिग्री नहीं बदलता। / The coefficient of the \(x^3\) term is clearly (0). A zero-coefficient term does not change the degree.
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है। इसलिए \(x^3\) वाला पद समाप्त होना चाहिए, अर्थात उसका गुणांक शून्य होना चाहिए: \(m+1=0\)। अतः \(m=-1\) है। इस मान पर व्यंजक \(5x-6\) बनता है, जो रेखीय बहुपद है। \(m=0\) लेने पर \(x^3+5x-6\) मिलता है, जिसकी घात 3 है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद को रेखीय बनाने के लिए उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1. Therefore, the \(x^3\) term must vanish, so its coefficient must be zero: \(m+1=0\). Hence, \(m=-1\). For this value, the expression becomes \(5x-6\), which is a linear polynomial. If \(m=0\), the expression is \(x^3+5x-6\), which has degree 3. Exam tip: To make a polynomial linear, set the coefficient of its highest-degree term to zero.
B. नहीं, क्योंकि \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है/No, because \(\sqrt{x^2}=|x|\)
Explanation
Simple Explanation
नहीं। वास्तविक \(x\) के लिए \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, न कि हमेशा \(x\)। अतः दिया गया व्यंजक \(4x^2+|x|+1\) बनता है। \(|x|\) को \(x\) की गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह \(x\) में बहुपद नहीं है। विकल्प A केवल \(x\geq0\) के लिए सही है। परीक्षा टिप: वर्गमूल में \(x^2\) दिखे तो सीधे \(x\) न लिखें; पहले \(|x|\) लिखें। / No. For real \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always \(x\). Thus the expression becomes \(4x^2+|x|+1\). Since \(|x|\) cannot be written as a term having a non-negative integral power of \(x\), the expression is not a polynomial in \(x\). Option A is true only when \(x\geq0\). Exam tip: whenever you see \(\sqrt{x^2}\), write \(|x|\) first, not simply \(x\).
B. शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती और अशून्य नियतांक की डिग्री (0) होती है/The zero polynomial degree is not defined and a non-zero constant has degree (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
जब \(a=0\) रखते हैं, तो \(ax^4=0\) हो जाता है और बहुपद \(2x^3-x+1\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(x^4\) वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ, फिर शेष पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / On putting \(a=0\), \(ax^4=0\), so the polynomial becomes \(2x^3-x+1\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 3; therefore, its degree is 3. Option 4 is incorrect because the \(x^4\) term becomes zero. Exam tip: first remove terms with zero coefficients, then identify the highest remaining exponent.
\(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\) में चर \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है, भले ही इसमें केवल एक पद दिखाई देता है। इसके विपरीत, \(9x^2\), \(7x\) और \(11\) में \(x\) की घात क्रमशः 2, 1 और 0 है, अतः वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले चर को घात के रूप में लिखकर उसकी घात जाँचें। / In \(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers, so this is not a polynomial even though it appears to have just one term. In contrast, \(9x^2\), \(7x\), and \(11\) have exponents 2, 1, and 0 respectively, so they are polynomials. Exam tip: Rewrite a square root involving a variable as an exponent and check that exponent.
बहुपद के मानक रूप में पदों को चर की घातों के घटते क्रम में लिखा जाता है। विकल्प B में घातों का क्रम 5, 2, 1, 0 है: \(x^5+3x^2-2x+7\)। इसलिए यह मानक रूप है। विकल्प A में \(x^5\) बीच में है, इसलिए पद घटती घातों के क्रम में नहीं हैं। परीक्षा टिप: मानक रूप पहचानने के लिए सबसे बड़ी घात से स्थिर पद तक घातों का क्रम जाँचें। / In the standard form of a polynomial, terms are arranged in descending powers of the variable. In option B, the powers are 5, 2, 1, and 0: \(x^5+3x^2-2x+7\). Hence, it is in standard form. In option A, \(x^5\) appears after lower-degree terms, so the terms are not in descending order. Exam tip: Check that powers go from the highest power down to the constant term.
बहुपद में पदों को घात के अनुसार देखें: 2x-6, -5x-2 और 4। इसमें x-5 वाला कोई पद नहीं है, इसलिए x-5 का गुणांक 0 होता है। -5, x-2 का गुणांक है, x-5 का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद न दिया हो, उसका गुणांक हमेशा 0 लिखें। / The terms of the polynomial are 2x-6, -5x-2, and 4. There is no term containing x-5, so the coefficient of x-5 is 0. Note that -5 is the coefficient of x-2, not x-5. Exam tip: If a power is missing in a polynomial, its coefficient is always 0.
\(x^{-\frac{1}{3}}\) में घात ऋणात्मक और भिन्न दोनों है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{-\frac{1}{3}}\), the power is both negative and fractional. Such a power is not valid in a polynomial.
यहाँ \(0x^4\) और \(0x^3\) के गुणांक शून्य हैं, इसलिए ये पद बहुपद के मानक रूप में नहीं गिने जाते। अतः \(p(x)=5x-2\) है, जिसकी उच्चतम घात 1 है; इसलिए यह रेखीय बहुपद है। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक शून्य होता है, जबकि यहाँ \(5x\) और \(-2\) शून्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें। / The coefficients of \(0x^4\) and \(0x^3\) are zero, so these terms do not count in the standard form of the polynomial. Thus, \(p(x)=5x-2\), whose highest power of \(x\) is 1; therefore, it is a linear polynomial. It is not a zero polynomial because the coefficients of \(5x\) and \(-2\) are non-zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree of a polynomial.
A. सरल करने पर इसमें \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) पद आता है, जिसमें \(x\) की घात ऋणात्मक है/On simplifying, it contains the term \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), in which the exponent of \(x\) is negative.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^3+1}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x}=x^2+x^{-1}\)। बहुपद में चर की प्रत्येक घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(x^{-1}\) की घात \(-1\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(x^3\), द्विपद अंश या अचर पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को पहले सरल करें और फिर चर की घातों की जाँच करें। / \(\frac{x^3+1}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x}=x^2+x^{-1}\). In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(x^{-1}\) has exponent \(-1\), so the expression is not a polynomial. Having \(x^3\), a binomial numerator, or a constant term does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: simplify the expression first, then check the exponents of the variable.
C. बहुपद \(5\) की डिग्री \(5\) है।/The degree of the polynomial \(5\) is \(5\).
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C में कथन गलत है। \(5\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है, \(5\) नहीं। किसी बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है; नियतांक पद में \(x\) नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) मानी जाती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय गुणांक नहीं, केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Option C is incorrect. \(5\) is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\), not \(5\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable; a constant has no variable term, so its degree is \(0\). Exam tip: while finding degree, look at the highest power of the variable, not at the coefficient.
A. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(x\) का एक घातांक \(-1\) है।/It is not a polynomial because one exponent of \(x\) is \(-1\).
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घातांक केवल ऋणेतर पूर्णांक होते हैं, जैसे \(0,1,2,\ldots\)। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(-5x^{-1}\) बहुपद का पद नहीं हो सकता। वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है; घातांकों का ऋणेतर पूर्णांक होना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले प्रत्येक चर का घातांक जाँचें। / In a polynomial, the exponents of a variable must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(-5x^{-1}\) cannot be a polynomial term. Having real coefficients is not sufficient; the exponents must also be non-negative integers. Exam tip: before identifying an expression as a polynomial, check every exponent of the variable.
B. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
बहुपद का अग्रणी पद वह पद होता है जिसकी चर की घात सबसे अधिक होती है। दिए गए बहुपद में \(3x^4\), \(-2x^2\), \(x\) और \(-5\) की घातें क्रमशः 4, 2, 1 और 0 हैं। इसलिए सबसे अधिक घात वाला अग्रणी पद \(3x^4\) है। \(-2x^2\) अगला उच्च-घात वाला पद है, पर उसकी घात 2 है। परीक्षा टिप: अग्रणी पद पहचानने के लिए सबसे बड़ी घात वाला पद देखें। / The leading term of a polynomial is the term with the greatest exponent of the variable. In the given polynomial, the exponents of \(3x^4\), \(-2x^2\), \(x\), and \(-5\) are 4, 2, 1, and 0 respectively. Hence, \(3x^4\) is the leading term. Although \(-2x^2\) has the next highest power, its exponent is only 2. Exam tip: identify the term with the greatest exponent to find the leading term.
बहुपद की डिग्री 2 होने के लिए उच्चतम घात वाले पद \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। अतः \(2d-6=0\), जिससे \(2d=6\) और \(d=3\) मिलता है। \(d=2\) या \(d=4\) रखने पर \(x^4\) का गुणांक शून्य नहीं होगा, इसलिए डिग्री 4 रहेगी। परीक्षा टिप: डिग्री कम करने वाले प्रश्नों में सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले शून्य कीजिए। / For the polynomial to have degree 2, the coefficient of the highest-power term \(x^4\) must be zero. Thus, \(2d-6=0\), so \(2d=6\) and \(d=3\). If \(d=2\) or \(d=4\), the coefficient of \(x^4\) is not zero, so the degree remains 4. Exam tip: In questions where the degree is reduced, first set the coefficient of the highest power equal to zero.
B. यह \(x\neq0\) पर \(x^2+1\) के बराबर है पर मूल रूप में चर हर में है/It equals \(x^2+1\) for \(x\neq0\) but originally has variable in denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल व्यंजक में \(\frac{x}{x}\) में चर हर में है। सरल रूप डोमेन को ध्यान में रखकर लिया जाता है। / In the original expression, \(\frac{x}{x}\) has a variable in the denominator. The simplified form is taken with domain in mind.
अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A non-zero constant polynomial has degree (0). The degree of the zero polynomial is not defined.
यहाँ \(x^0=1\) है, इसलिए व्यंजक \(x^4+x^2+1\) बनता है। बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जो \(4\) है। अतः सही उत्तर \(4\) है। \(2\) केवल एक पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को सरल करके सबसे बड़ी घात पहचानें। / Since \(x^0=1\), the expression becomes \(x^4+x^2+1\). The degree of a polynomial is the highest exponent of \(x\) in any term, which is \(4\). Therefore, the correct answer is \(4\). \(2\) is the exponent of one term, not the highest exponent. Exam tip: Simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the greatest exponent.
\(\sqrt{x+1}\) में चर मूल चिह्न के अंदर है। इसे बहुपद की मान्य घातों में नहीं लिखा जाता। / In \(\sqrt{x+1}\), the variable is inside a radical sign. It is not written using valid polynomial powers.
(b=0) होने से \(x^6\) पद हट जाता है और \(a\neq0\) से \(x^4\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (4) है। / Since (b=0), the \(x^6\) term disappears, and since \(a\neq0\), the \(x^4\) term remains. So the degree is (4).
बहुपद के पद जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होते हैं: \(2x^3\), \(-4x^2\), \(6x\) और \(-8\)। इन चारों पदों के गुणांक क्रमशः \(2,-4,6,-8\) हैं, जो सभी अशून्य हैं। इसलिए अशून्य पदों की संख्या \(4\) है। \(6\) गुणांक \(6x\) का मान है, पदों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक धनात्मक या ऋणात्मक पद को अलग गिनें। / The terms of the polynomial are separated by plus or minus signs: \(2x^3\), \(-4x^2\), \(6x\), and \(-8\). Their coefficients are \(2,-4,6,-8\), all of which are non-zero. Hence, there are \(4\) non-zero terms. The number \(6\) is the coefficient of \(6x\), not the number of terms. Exam tip: Count every positive or negative expression separated by signs as one term.
\(5\), \(x\) का एक नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसे \(5x^0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें \(x\) की घात \(0\) है, जो एक पूर्ण संख्या है। \(7y^2+3\) में \(y\) चर है, इसलिए इसे \(x\) का बहुपद नहीं माना जाता। \(\frac{1}{x}\) में \(x\) की घात \(-1\) और \(\sqrt{x}\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) होती है; अतः ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / \(5\) is a constant polynomial in \(x\), because it can be written as \(5x^0\). The exponent of \(x\) is \(0\), which is a whole number. \(7y^2+3\) has \(y\) as its variable, so it is not treated as a polynomial in \(x\). In \(\frac{1}{x}\), the exponent of \(x\) is \(-1\), and in \(\sqrt{x}\), it is \(\frac{1}{2}\); therefore, neither is a polynomial in \(x\). Exam tip: exponents of the variable in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / Fractional coefficients are real numbers. The variable powers are (2), (1), and (0), so the degree is (2).
\(2x^2-\pi x+\sqrt{11}\) एक बहुपद है क्योंकि इसके गुणांक \(2\), \(-\pi\) और \(\sqrt{11}\) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं। \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) में भिन्न घात होती है, जबकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) और \(x^{-\pi}\) में ऋणात्मक घातें हैं; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है; गुणांक वास्तविक हो सकते हैं, जैसे \(\pi\) और \(\sqrt{11}\)। / \(2x^2-\pi x+\sqrt{11}\) is a polynomial because its coefficients \(2\), \(-\pi\), and \(\sqrt{11}\) are real numbers, and the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all non-negative integers. \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) has a fractional exponent, while \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) and \(x^{-\pi}\) have negative exponents, so they are not polynomials. Exam tip: variable exponents in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\); coefficients may be any real numbers, including \(\pi\) and \(\sqrt{11}\).
B. क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) में \(x\) की घात भिन्नात्मक है/Because \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) has a fractional exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल अऋणात्मक पूर्णांक—जैसे 0, 1, 2, 3—हो सकती हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है, अतः \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है, जो पूर्णांक नहीं है। इसलिए \(q(x)\) बहुपद नहीं है। \(x^2\) की घात 2 मान्य है और अचर पद 1 भी बहुपद में मान्य होता है; पदों की संख्या से बहुपद होना तय नहीं होता। परीक्षा टिप: चर के मूल चिह्न या भिन्नात्मक घात को देखकर व्यंजक को बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponents of the variable must be non-negative integers, such as 0, 1, 2, or 3. Here, \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), so the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), which is not an integer. Therefore, \(q(x)\) is not a polynomial. The exponent 2 in \(x^2\) is valid, and the constant term 1 is also allowed; the number of terms does not decide whether an expression is a polynomial. Exam tip: a root of a variable or a fractional exponent signals a non-polynomial.
नियतांक बनने के लिए (n-4=0) और (n+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (n) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (n-4=0) and (n+1=0) are needed. One value of (n) cannot satisfy both conditions.
बहुपद 3x-4-2x-2+5 में x-3 का कोई पद तथा x का कोई पद नहीं है। किसी घात का पद अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक 0 माना जाता है। अतः x-3 और x के गुणांक क्रमशः 0 और 0 हैं। विकल्प A में 3 और -2 वास्तव में x-4 तथा x-2 के गुणांक हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में छूटे हुए घातों के गुणांक हमेशा 0 लिखें। / In the polynomial 3x-4-2x-2+5, there is no x-3 term and no x term. The coefficient of a missing power is taken as 0. Hence, the coefficients of x-3 and x are 0 and 0 respectively. In option A, 3 and -2 are actually the coefficients of x-4 and x-2. Exam tip: Always assign coefficient 0 to any missing power in a polynomial.
\(\frac{5}{x+2}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{5}{x+2}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(r=0) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (2) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (r=0), the coefficient of \(x^3\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (2). Therefore the degree is (2).
\(0x^5+0x^2+0\) में \(x\) की प्रत्येक घात का गुणांक 0 है और स्थिर पद भी 0 है। इसलिए यह सभी \(x\) के लिए 0 के बराबर शून्य बहुपद है। \(0x^5+x=x\) शून्य बहुपद नहीं है, क्योंकि \(x\) का गुणांक 1 है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को शून्य बहुपद मानने से पहले उसके सभी गुणांकों और स्थिर पद को 0 जाँचें। / In \(0x^5+0x^2+0\), the coefficient of every power of \(x\) is 0, and the constant term is also 0. Hence, it equals 0 for every value of \(x\) and is the zero polynomial. \(0x^5+x=x\) is not a zero polynomial because the coefficient of \(x\) is 1. Exam tip: to identify a zero polynomial, check that every coefficient, including the constant term, is 0.
\(-4x^2+7x-2\) की डिग्री (2) है और अग्रणी गुणांक (-4) है। दोनों शर्तें इसी में पूरी होती हैं। / \(-4x^2+7x-2\) has degree (2) and leading coefficient (-4). Both conditions are satisfied here.
पहले \(x^2\) को \((x+1)\) से गुणा करने पर \(x^3+x^2\) मिलता है। अतः व्यंजक \(x^3+x^2-x^3+4\) बनता है। यहाँ \(x^3-x^3=0\), इसलिए शेष बहुपद \(x^2+4\) है। विकल्प A में \(-x^3\) को नहीं हटाया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First, multiplying \(x^2\) by \((x+1)\) gives \(x^3+x^2\). Thus, the expression becomes \(x^3+x^2-x^3+4\). Since \(x^3-x^3=0\), the remaining polynomial is \(x^2+4\). Option A fails to cancel the \(-x^3\) term. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms having the same power of the variable.
बहुपद \(x^2+4\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है। अचर पद \(4\) की घात 0 मानी जाती है, इसलिए यह डिग्री को नहीं बढ़ाता। अतः बहुपद की डिग्री 2 है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए उसके सरल रूप में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In the polynomial \(x^2+4\), the highest power of \(x\) is 2. The constant term \(4\) has degree 0, so it does not increase the degree. Therefore, the degree of the polynomial is 2. Exam tip: Find the degree by identifying the highest exponent of the variable in the simplified polynomial.
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) और \(-\frac{1}{5}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (2) और (1) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / \(\sqrt{3}\) and \(-\frac{1}{5}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (2), and (1), so the degree is (2).
(s=2) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (3) हो जाता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (s=2) makes the coefficient of \(x^4\) equal to (0) and the coefficient of \(x^3\) equal to (3). So the highest power is (3).
\(2x^3+5x-1\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) है। / In \(2x^3+5x-1\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. So the coefficient of \(x^2\) is (0).
\(x^2\) से भाग देने पर \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) और \(\frac{x^2}{x^2}=1\) मिलता है। इसलिए सरल रूप \(x^2-1\) है। / Dividing by \(x^2\) gives \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) and \(\frac{x^2}{x^2}=1\). Therefore the simplified form is \(x^2-1\).
पद 0x-8 का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य पद है और बहुपद की डिग्री तय करने में शामिल नहीं होगा। शेष बहुपद -5x-4+3x-2-6 में x की सबसे बड़ी घात 4 है। अतः इसकी डिग्री 4 है। 8 चुनना गलत होगा, क्योंकि शून्य गुणांक वाला पद बहुपद का प्रभावी पद नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The coefficient of 0x-8 is 0, so it is a zero term and does not determine the degree of the polynomial. In the remaining polynomial, -5x-4+3x-2-6, the highest power of x is 4. Therefore, its degree is 4. Choosing 8 would be incorrect because a term with coefficient zero is not an effective term of the polynomial. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms before finding the degree.
(k=-3) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (k=-3) makes the coefficient of \(x^6\) equal to (0). In the remaining polynomial, the highest power is (2).
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है। दिए गए व्यंजक में x का घात 3 वाला पद \((m-4)x^3\) है। इसे हटाने के लिए इसका गुणांक शून्य होना चाहिए: \(m-4=0\)। अतः \(m=4\) पर व्यंजक \(7x-2\) बनता है, जो रेखीय बहुपद है। \(m=0\) या \(m=-4\) रखने पर x³ का गुणांक शून्य नहीं होता, इसलिए बहुपद घन ही रहता है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात घटाने के लिए उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1. In the given expression, the degree-3 term is \((m-4)x^3\). Its coefficient must be zero to remove this term: \(m-4=0\). Hence, \(m=4\), and the expression becomes \(7x-2\), which is linear. For \(m=0\) or \(m=-4\), the coefficient of x³ is not zero, so the polynomial remains cubic. Exam tip: To reduce the degree of a polynomial, set the coefficient of its highest-degree term to zero.
C. क्योंकि (x+4) मूल चिह्न के अंदर है/Because (x+4) is inside a radical sign
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x+4}\) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x+4}\) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore the whole expression is not a polynomial.
बहुपद में x वाला पद 0x है। किसी पद में x से गुणा होने वाली संख्या उसका गुणांक कहलाती है, इसलिए x का गुणांक 0 है। 5 अचर पद है, जबकि -2, x² के गुणांक को दर्शाता है। परीक्षा टिप: जिस घात के पद का गुणांक पूछा हो, उसी घात वाले पद को पहचानें; पद न दिखे तो उसका गुणांक 0 माना जाता है। / In the polynomial, the term containing x is 0x. The number multiplying x is called its coefficient, so the coefficient of x is 0. Here, 5 is the constant term, while -2 is the coefficient of x². Exam tip: Identify the term with the requested power of x; if that term is absent, its coefficient is 0.
पहले व्यंजक में सबसे बड़ी घात (3) है और सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। / In the first expression, the highest power is (3), and all powers are valid. So it is a cubic polynomial.
A. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर में (x) है, इसलिए इसे सीधे बहुपद नहीं कहते। सरल रूप के लिए \(x\neq0\) की शर्त ध्यान रखें। / In the original form, (x) is in the denominator, so it is not directly called a polynomial. For simplification, keep the condition \(x\neq0\) in mind.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^4}{x}=x^3\) और \(\frac{2x}{x}=2\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+2\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^4}{x}=x^3\) and \(\frac{2x}{x}=2\). So the simplified form is \(x^3+2\).
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ पद x-3 और 2 हैं; x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 0 केवल अशून्य अचर बहुपद की डिग्री होता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल रूप में लिखें और चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. Here, the terms are x-3 and 2, and the greatest power of x is 3. Hence, the degree is 3. Option 0 is the degree only of a non-zero constant polynomial. Exam tip: First write the polynomial in simplified form, then identify the highest exponent of the variable.
C. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / (|x|) is not written as a term with non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
नियतांक बनने के लिए (r-1=0) और (r+2=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (r-1=0) and (r+2=0) are required. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
(x) के संदर्भ में (y) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
बहुपद में केवल \(4x^6\), \(-3x^4\) और \(2\) पद हैं। इसमें \(x^5\) तथा \(x\) के पद नहीं हैं; अनुपस्थित पद का गुणांक \(0\) माना जाता है। इसलिए दोनों गुणांक \(0\) हैं। \(6\) और \(1\) क्रमशः घात हैं, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: किसी घात का पद न दिखे तो उसका गुणांक हमेशा \(0\) लिखें। / The polynomial contains only the terms \(4x^6\), \(-3x^4\), and \(2\). There is no \(x^5\) term or \(x\) term, and the coefficient of a missing term is taken as \(0\). Hence, both coefficients are \(0\). The numbers \(6\) and \(1\) are exponents, not coefficients. Exam tip: if a term of a given power is absent, its coefficient is always \(0\).
\(\frac{7}{x-3}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{7}{x-3}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(n=1) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (n=1), the coefficient of \(x^4\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (3). Therefore the degree is (2).
\(-5x^4+x^2-7\) की डिग्री (4) है और अग्रणी गुणांक (-5) है। इसलिए दोनों शर्तें पूरी हैं। / \(-5x^4+x^2-7\) has degree (4) and leading coefficient (-5). Therefore both conditions are satisfied.
पहले \(x^3\) को \((x-2)\) से गुणा करें: \(x^3(x-2)=x^4-2x^3\)। अतः पूरा व्यंजक \(x^4-2x^3-x^4+6x\) होगा। यहाँ \(x^4-x^4=0\), इसलिए शेष बहुपद \(-2x^3+6x\) है। विकल्प A में \(-x^4\) को रद्द नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First multiply \(x^3\) by \((x-2)\): \(x^3(x-2)=x^4-2x^3\). Thus, the expression becomes \(x^4-2x^3-x^4+6x\). Since \(x^4-x^4=0\), the remaining polynomial is \(-2x^3+6x\). Option A incorrectly leaves the \(-x^4\) term uncancelled. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms with the same power of the variable.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो।
\(-2x^3+6x\) में पदों की घातें क्रमशः 3 और 1 हैं। सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। 6 गुणांक है, घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की घात देखें, गुणांक को नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. In
\(-2x^3+6x\), the exponents of x are 3 and 1. The greatest exponent is 3, so its degree is 3. The number 6 is a coefficient, not an exponent. Exam tip: To find a degree, look at the powers of the variable, not the coefficients.
B. यह बहुपद है और डिग्री (3) है/It is a polynomial and degree is (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\pi\) और \(-\frac{2}{7}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (3), और (1) हैं, इसलिए डिग्री (3) है। / \(\pi\) and \(-\frac{2}{7}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (3), and (1), so the degree is (3).
(c=0) होने पर \(x^5\) पद हट जाता है और \(x^4\) का गुणांक (1) रहता है। इसलिए डिग्री (4) है। / When (c=0), the \(x^5\) term disappears and the coefficient of \(x^4\) remains (1). Therefore the degree is (4).
बहुपद की कोटि उसके चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है।
इस बहुपद में
\(x^2+x-1\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की सबसे बड़ी घात \(1\) होती है, जबकि त्रिघात बहुपद में घात \(3\) होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए पहले उसे सरल रूप में लिखकर सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is determined by the highest power of its variable. In \(x^2+x-1\), the highest power of \(x\) is \(2\), so it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has highest power \(1\), whereas a cubic polynomial has highest power \(3\). Exam tip: first write the polynomial in simplified form, then identify its highest exponent.
क्योंकि \(x^0=1\), इसलिए दिया गया व्यंजक \(x^5+x^3+1\) है। बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जो यहाँ \(5\) है। \(3\) केवल दूसरे पद \(x^3\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को स्थिरांक में बदलें, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Since \(x^0=1\), the expression becomes \(x^5+x^3+1\). The degree of a polynomial is the highest power of its variable, which is \(5\) here. \(3\) is only the power of the term \(x^3\), not the degree of the whole polynomial. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the greatest exponent of the variable.
बहुपद के पद हैं: \(6x^4\), \(-2x^3\), \(0x^2\), \(5x\) और \(-9\)। \(0x^2\) का गुणांक 0 है, इसलिए यह अशून्य पद नहीं है। शेष चार पद अशून्य हैं, अतः सही उत्तर 4 है। 5 चुनना एक सामान्य भूल है, क्योंकि उसमें शून्य पद को भी गिन लिया जाता है। परीक्षा टिप: केवल उन पदों को गिनें जिनका गुणांक शून्य न हो। / The terms are \(6x^4\), \(-2x^3\), \(0x^2\), \(5x\), and \(-9\). Since the coefficient of \(0x^2\) is 0, it is not a non-zero term. The other four terms are non-zero, so the answer is 4. Choosing 5 is a common mistake because it counts the zero term as well. Exam tip: Count only terms whose coefficients are not zero.
(x) के संदर्भ में \(3y^2-5y+1\) में कोई (x) पद नहीं है। इसलिए यह (x) में नियतांक बहुपद माना जा सकता है। / With respect to (x), \(3y^2-5y+1\) has no (x) term. So it can be treated as a constant polynomial in (x).
बहुपद में चर \(x\) की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है तथा उसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं। विकल्प A में \(2\), \(-\pi\) और \(\sqrt{13}\) सभी वास्तविक हैं, जबकि \(x\) की घातें \(3\), \(2\) और \(0\) हैं। विकल्प B में \(x\) की घात \(-\sqrt{2}\), विकल्प C में \(\frac{1}{2}\), और विकल्प D में \(-1\) है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(x\) यदि वर्गमूल के भीतर या हर में हो, तो उसकी घात को पहले जाँचें। / In a polynomial, the exponent of the variable \(x\) must be a non-negative integer, while coefficients may be any real numbers. In option A, \(2\), \(-\pi\), and \(\sqrt{13}\) are real coefficients, and the exponents of \(x\) are \(3\), \(2\), and \(0\). Option B has exponent \(-\sqrt{2}\), option C has exponent \(\frac{1}{2}\), and option D has exponent \(-1\); hence they are not polynomials. Exam tip: When \(x\) is under a root or in a denominator, check its exponent first.
C. क्योंकि \(x^{\frac{1}{2}}\) की घात भिन्न है/Because \(x^{\frac{1}{2}}\) has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{1}{2}}\) में चर की घात भिन्न है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{\frac{1}{2}}\), the variable has a fractional power. Such a power is not valid in a polynomial.
नियतांक बनने के लिए \(x^3\) और \(x^2\) दोनों के गुणांक (0) चाहिए। (u-5=0) से दोनों पद हट जाते हैं। / To become constant, the coefficients of both \(x^3\) and \(x^2\) must be (0). From (u-5=0), both terms disappear.
इन तीनों घातों वाले पद बहुपद में अनुपस्थित हैं। इसलिए इनके गुणांक (0), (0), और (0) हैं। / The terms with these three powers are absent in the polynomial. Therefore their coefficients are (0), (0), and (0).
(r=2) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / For (r=2), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (1). Therefore the degree is (4).
विकल्प D में \(x^0=1\) होता है, इसलिए यह व्यंजक स्थिर बहुपद \(1\) है, शून्य बहुपद नहीं। विकल्प B में \(x^0-1=1-1=0\) है, इसलिए वह शून्य बहुपद है। परीक्षा टिप: घात \(0\) वाले पद को पहले \(1\) में बदलकर व्यंजक को सरल करें। / In option D, \(x^0=1\), so the expression is the constant polynomial \(1\), not the zero polynomial. In contrast, option B simplifies as \(x^0-1=1-1=0\), so it is a zero polynomial. Exam tip: simplify terms with exponent \(0\) first.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है और उस पद का गुणांक अग्रणी गुणांक कहलाता है। \(-6x^3+x^2-5\) में सबसे बड़ी घात 3 है तथा \(x^3\) का गुणांक \(-6\) है, जो ऋणात्मक है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A की डिग्री 3 है, लेकिन उसका अग्रणी गुणांक \(4\) धनात्मक है। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात वाला पद पहचानें, फिर उसके गुणांक का चिह्न जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable, and the coefficient of that term is called the leading coefficient. In \(-6x^3+x^2-5\), the greatest exponent is 3 and the coefficient of \(x^3\) is \(-6\), which is negative. Therefore, option B is correct. Option A also has degree 3, but its leading coefficient, \(4\), is positive. Exam tip: identify the highest-power term first, then check the sign of its coefficient.
पहले वितरण गुण का प्रयोग करें: \(x^2(x^2-3)=x^4-3x^2\)। अतः पूरा व्यंजक \(x^4-3x^2-x^4+2x\) होगा। समान पद \(x^4\) और \(-x^4\) का योग शून्य है, इसलिए सरल रूप \(-3x^2+2x\) मिलता है। विकल्प A में \(x^4\) के विपरीत चिह्न वाले पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद केवल समान घात वाले पदों को ही मिलाएँ। / First apply the distributive property: \(x^2(x^2-3)=x^4-3x^2\). Therefore, the expression becomes \(x^4-3x^2-x^4+2x\). The like terms \(x^4\) and \(-x^4\) add to zero, leaving \(-3x^2+2x\). Option A incorrectly combines the \(x^4\) terms, which have opposite signs. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms with the same power of the variable.
B. चर का घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए; \(-1\) घात मान्य नहीं है।/The exponent of the variable must be a non-negative integer; an exponent of \(-1\) is not allowed.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घात \(0,1,2,\ldots\) होते हैं। यहाँ \(x^{-1}=1/x\) है, इसलिए चर हर में आ जाता है और व्यंजक बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक घात को तुरंत जाँचें। / In a polynomial, variable exponents are \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=1/x\), so the variable occurs in the denominator and the expression is not a polynomial. Exam tip: check negative exponents first.
\(h=1\) रखने पर व्यंजक \((1-1)x^6+(1+2)x^3-4x+9\) बनता है, अर्थात \(3x^3-4x+9\)। \(x^6\) का गुणांक शून्य होने से वह पद समाप्त हो जाता है। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(3\) है। \(6\) चुनना गलत होगा, क्योंकि शून्य गुणांक वाला \(x^6\) पद बहुपद का भाग नहीं रहता। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटाएँ, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Substituting \(h=1\) gives \((1-1)x^6+(1+2)x^3-4x+9=3x^3-4x+9\). The \(x^6\) term disappears because its coefficient is zero. The highest power of \(x\) remaining is \(3\), so the degree is \(3\). Choosing \(6\) would be incorrect because a term with a zero coefficient is not part of the polynomial. Exam tip: after substituting a parameter value, remove all zero-coefficient terms before identifying the highest exponent.
बहुपद की डिग्री 2 होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए, जबकि \(x^2\) का गुणांक 5 शून्य नहीं है। इसलिए \(2a+6=0\) रखने पर \(a=-3\) प्राप्त होता है। \(a=-6\) रखने पर \(x^4\) का गुणांक \(-6\) रहता है, इसलिए डिग्री 4 होगी। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले जाँचें। / For the polynomial to have degree 2, the coefficient of \(x^4\) must be zero, while the coefficient of \(x^2\), which is 5, remains non-zero. Thus, \(2a+6=0\) gives \(a=-3\). If \(a=-6\), the coefficient of \(x^4\) is \(-6\), so the degree remains 4. Exam tip: In a polynomial with a parameter, first check the coefficient of the highest power.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^5}{x}=x^4\) और \(\frac{x}{x}=1\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^4-1\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^5}{x}=x^4\) and \(\frac{x}{x}=1\). So the simplified form is \(x^4-1\).
बहुपद \(x^4-1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। अतः इस बहुपद की डिग्री \(4\) है। स्थिर पद \(-1\) की घात \(0\) होती है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर डिग्री ज्ञात करें। / In the polynomial \(x^4-1\), the highest exponent of \(x\) is \(4\). Therefore, its degree is \(4\). The constant term \(-1\) has degree \(0\), so it does not determine the degree. Exam tip: find the highest exponent of the variable in a polynomial to determine its degree.
नियतांक बनने के लिए (v+1=0) और (v-2=0) दोनों चाहिए। एक ही (v) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (v+1=0) and (v-2=0) are required. One value of (v) cannot satisfy both conditions.
\(4x^2-9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। इसमें \(x\) वाला रैखिक पद नहीं है; अतः \(x\) का गुणांक \(0\) है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपस्थित पद का गुणांक हमेशा \(0\) माना जाता है। / In \(4x^2-9\), the highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is \(2\). There is no linear \(x\)-term, so the coefficient of \(x\) is \(0\). In option B, the coefficient of \(x\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: the coefficient of a missing term is always \(0\).
बहुपद की डिग्री वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^9\) शून्य पद है, इसलिए \(x^9\) को नहीं गिना जाएगा। शेष पदों में \(6x^5\) की घात सबसे बड़ी है, अतः बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प 9 गलत है क्योंकि उसका गुणांक 0 है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, \(0x^9\) is a zero term, so \(x^9\) is not considered. Among the remaining terms, \(6x^5\) has the highest power; therefore, the degree is 5. Option 9 is incorrect because its coefficient is 0. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
(k=5) रखने पर \(x^7\) का गुणांक (0) हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (k=5) makes the coefficient of \(x^7\) equal to (0). In the remaining polynomial, the highest power is (3).
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है। दिए गए व्यंजक में \(x^4\) का गुणांक \(m+6\) है। इसे रेखीय बनाने के लिए यह गुणांक 0 होना चाहिए: \(m+6=0\)। अतः \(m=-6\) होगा और बहुपद \(-2x+9\) बन जाएगा, जिसकी घात 1 है। \(m=0\) रखने पर \(6x^4\) पद बना रहता है, इसलिए वह रेखीय नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य हो सकता है या नहीं, जाँचें। / A linear polynomial has degree 1. In the given expression, the coefficient of \(x^4\) is \(m+6\). For the polynomial to become linear, this coefficient must be zero: \(m+6=0\). Hence, \(m=-6\), and the polynomial becomes \(-2x+9\), which has degree 1. If \(m=0\), the term \(6x^4\) remains, so it is not linear. Exam tip: Before deciding the degree of a polynomial, check whether the coefficient of the highest-power term can become zero.
C. क्योंकि (2x-1) मूल चिह्न के अंदर है/Because (2x-1) is inside a radical sign
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2x-1}\) बहुपद की मान्य घातों वाला पद नहीं है। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{2x-1}\) is not a term with valid polynomial powers. Therefore the whole expression is not a polynomial.
बहुपद में किसी पद का गुणांक उस चर-पद के साथ गुणा होने वाली संख्या होती है। यहाँ \(x^4\) का पद \(0x^4\) है, इसलिए उसका गुणांक 0 है। 5, \(x^5\) का गुणांक है और -3, (x) का गुणांक है; ये \(x^4\) के गुणांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: जिस घात का गुणांक पूछा हो, उसी घात वाले पद को खोजें; पद न दिखे तो उसका गुणांक 0 होता है। / In a polynomial, the coefficient is the number multiplying the specified variable term. Here, the term in \(x^4\) is \(0x^4\), so its coefficient is 0. The number 5 is the coefficient of \(x^5\), while -3 is the coefficient of (x), not of \(x^4\). Exam tip: Find the term with the requested exponent; if it is absent, its coefficient is 0.
पहले व्यंजक में सबसे बड़ी घात (2) है और सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह द्विघात बहुपद है। / In the first expression, the highest power is (2), and all powers are valid. So it is a quadratic polynomial.
A. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर में \(x^2\) है। बहुपद रूप के लिए सरल करते समय डोमेन शर्त भी ध्यान रखनी होती है। / In the original form, \(x^2\) is in the denominator. While simplifying to polynomial form, the domain condition must also be considered.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^5}{x^2}=x^3\) और \(\frac{3x^2}{x^2}=3\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+3\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^5}{x^2}=x^3\) and \(\frac{3x^2}{x^2}=3\). So the simplified form is \(x^3+3\).
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। \(x^3+3\) में \(x^3\) की घात 3 है, जबकि स्थिरांक 3 की घात 0 मानी जाती है। इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 0 केवल स्थिर बहुपद के लिए होता है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करें, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. In \(x^3+3\), the term \(x^3\) has exponent 3, while the constant term 3 has degree 0. Therefore, the degree of the polynomial is 3. Option 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify first, then identify the highest power of the variable.
C. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद की तरह नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / (|x|) is not written as a term with non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
नियतांक बनने के लिए (r+4=0) और (r-1=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (r+4=0) and (r-1=0) are required. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
\(x\) के सापेक्ष \(y\) को गुणांक माना जाता है। विकल्प A में \(x\) की घातें \(3,1\) और \(0\) हैं, जो सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए \(y^2x^3-2yx+5\), \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(x\) हर में है, इसलिए उसकी घात \(-1\) है; विकल्प C में \(x\) की घात \(\frac12\) है; और विकल्प D में घात \(-2\) है। अतः ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: जिस चर में बहुपद पूछा हो, केवल उसी चर की घातों को जाँचें; वे \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए। / With respect to \(x\), \(y\) is treated as a coefficient. In option A, the powers of \(x\) are \(3,1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, \(y^2x^3-2yx+5\) is a polynomial in \(x\). In option B, \(x\) is in the denominator, so its exponent is \(-1\); in C, the exponent of \(x\) is \(\frac12\); and in D, it is \(-2\). Hence, these are not polynomials in \(x\). Exam tip: check exponents only of the variable in question; they must be \(0,1,2,\ldots\).
बहुपद \(9x^7-2x^5+4\) में केवल \(x^7\), \(x^5\) और स्थिर पद \(4\) हैं। इसमें \(x^6\), \(x^4\) तथा \(x\) वाले पद नहीं हैं, इसलिए इन तीनों के गुणांक क्रमशः \(0, 0, 0\) हैं। \(-2\), \(x^5\) का गुणांक है, \(x^4\) का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद बहुपद में न दिखे, उसका गुणांक हमेशा \(0\) होता है। / The polynomial \(9x^7-2x^5+4\) contains only an \(x^7\) term, an \(x^5\) term, and the constant term \(4\). It has no \(x^6\), \(x^4\), or \(x\) term, so their coefficients are \(0, 0, 0\), respectively. The number \(-2\) is the coefficient of \(x^5\), not of \(x^4\). Exam tip: if a power of the variable is missing from a polynomial, its coefficient is \(0\).
(n=-2) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (3) है। / Putting (n=-2), the coefficient of \(x^6\) is (0) and the coefficient of \(x^3\) is (3). Therefore the degree is (3).
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है और उस पद का गुणांक अग्रणी गुणांक कहलाता है। \(-7x^5+x^2-4\) में सबसे बड़ी घात 5 है तथा \(x^5\) का गुणांक \(-7\) है, जो ऋणात्मक है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C का अग्रणी गुणांक ऋणात्मक है, लेकिन उसकी डिग्री केवल 4 है। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात पहचानें, फिर उसी पद का गुणांक देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable, and the coefficient of that term is the leading coefficient. In \(-7x^5+x^2-4\), the highest power is 5 and the coefficient of \(x^5\) is \(-7\), which is negative. Hence, option B is correct. Option C has a negative leading coefficient, but its degree is only 4. Exam tip: identify the highest-power term first, then check its coefficient.
पहले \(x^2\) को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें: \(x^2(x^3-4)=x^5-4x^2\)। अतः पूरा व्यंजक \(x^5-4x^2-x^5+7x^2\) होगा। समान पद \(x^5-x^5=0\) कट जाते हैं और \(-4x^2+7x^2=3x^2\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(3x^2\) है। \(x^5+3x^2\) तब मिलता यदि \(-x^5\) पद को न मिलाया जाए। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद केवल समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First distribute \(x^2\) to each term inside the bracket: \(x^2(x^3-4)=x^5-4x^2\). The expression becomes \(x^5-4x^2-x^5+7x^2\). The like terms \(x^5-x^5=0\) cancel, and \(-4x^2+7x^2=3x^2\). Hence, the simplified expression is \(3x^2\). \(x^5+3x^2\) would result if the \(-x^5\) term were not combined. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms with the same variable and exponent.
बहुपद 3x-2 में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपद है। चर x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद कहलाता है। इसलिए सही उत्तर द्विघात एकपद है। रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है, जबकि अचर बहुपद की घात 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The expression 3x-2 has only one term, so it is a monomial. The highest power of x is 2; therefore, its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. Hence, it is a quadratic monomial. A linear polynomial has degree 1, while a constant polynomial has degree 0. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the highest exponent of the variable.
B. यह बहुपद है और डिग्री (4) है/It is a polynomial and degree is (4)
Explanation
Simple Explanation
\(-\sqrt{5}\) और \(\frac{3}{8}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (4), और (1) हैं। / \(-\sqrt{5}\) and \(\frac{3}{8}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (4), and (1).
(c=0) पर \(x^8\) पद हट जाता है और \(x^5\) का गुणांक (2) रहता है। इसलिए डिग्री (5) है। / For (c=0), the \(x^8\) term disappears and the coefficient of \(x^5\) remains (2). Therefore the degree is (5).
बहुपद की कोटि उसके चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(x^3+x+3\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने से पहले उसे सरल करके सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is determined by the highest power of the variable having a non-zero coefficient. In \(x^3+x+3\), the highest power of x is 3, so it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2. Exam tip: simplify the expression first and then identify its highest power.
यह व्यंजक एक बहुपद है क्योंकि इसकी सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं। यहाँ \(x^0=1\) होता है, इसलिए व्यंजक \(x^6+x^4+1\) बनता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 6 है, अतः इसकी डिग्री 6 है। 4 केवल एक पद की घात है, बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे स्थिर पदों को सरल करें, फिर सबसे बड़ी घात पहचानें। / This is a polynomial because all powers of \(x\) are non-negative integers. Since \(x^0=1\), the expression becomes \(x^6+x^4+1\). The highest power of \(x\) is 6, so its degree is 6. The number 4 is the degree of only one term, not of the whole polynomial. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the highest exponent.
(a=0) होने से \(x^6\) पद हटता है और \(b\neq0\) होने से \(x^4\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (4) है। / Since (a=0), the \(x^6\) term disappears, and since \(b\neq0\), the \(x^4\) term remains. So the degree is (4).
दिए गए व्यंजक में पद हैं: \(8x^5\), \(0x^4\), \(-3x^2\), \(0x\) और \(6\)। जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे शून्य पद होते हैं; इसलिए \(0x^4\) और \(0x\) नहीं गिने जाते। केवल \(8x^5\), \(-3x^2\) और \(6\) अशून्य पद हैं, अतः उत्तर 3 है। 4 चुनना गलत होगा क्योंकि उसमें एक शून्य गुणांक वाला पद भी गिन लिया जाएगा। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करते समय पहले 0 गुणांक वाले पद हटा दें। / The terms in the expression are \(8x^5\), \(0x^4\), \(-3x^2\), \(0x\), and \(6\). Any term with coefficient 0 is a zero term, so \(0x^4\) and \(0x\) are not counted. Only \(8x^5\), \(-3x^2\), and \(6\) are non-zero terms; therefore, the answer is 3. Choosing 4 would incorrectly include a term with zero coefficient. Exam tip: First remove all terms with coefficient 0 before counting polynomial terms.
C. क्योंकि \(x^{\frac{3}{2}}\) की घात भिन्न है/Because \(x^{\frac{3}{2}}\) has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है। बहुपद में भिन्न घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the variable has a fractional power. Fractional powers are not valid in a polynomial.
नियतांक बनने के लिए \(x^4\) और (x) दोनों के गुणांक (0) चाहिए। (u+2=0) से दोनों पद हट जाते हैं। / To become constant, the coefficients of both \(x^4\) and (x) must be (0). From (u+2=0), both terms disappear.
दिया गया बहुपद \(6x^8-5x^6+3\) है। इसमें \(x^7\), \(x^5\) और \(x\) वाले कोई पद नहीं हैं, इसलिए इन तीनों का गुणांक \(0\) है। \(6\) और \(-5\) क्रमशः \(x^8\) तथा \(x^6\) के गुणांक हैं, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: जिस घात का पद बहुपद में न दिखे, उसका गुणांक हमेशा \(0\) मानें। / The polynomial is \(6x^8-5x^6+3\). It has no terms containing \(x^7\), \(x^5\), or \(x\), so the coefficient of each of these powers is \(0\). The numbers \(6\) and \(-5\) are coefficients of \(x^8\) and \(x^6\), respectively, so option A is not correct. Exam tip: If a power of a variable is absent from a polynomial, its coefficient is \(0\).
(r=3) पर \(x^7\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (2) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / For (r=3), the coefficient of \(x^7\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (2). Therefore the degree is (4).
पहले वितरित करें: \(x^3(x^2-5)=x^5-5x^3\)। इसलिए पूरा व्यंजक \(x^5-5x^3-x^5+9x^3\) बनता है। \(x^5-x^5=0\) और \(-5x^3+9x^3=4x^3\), अतः सही उत्तर \(4x^3\) है। \(x^5+4x^3\) गलत है क्योंकि \(x^5\) वाले पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First distribute: \(x^3(x^2-5)=x^5-5x^3\). Thus, the expression becomes \(x^5-5x^3-x^5+9x^3\). Here \(x^5-x^5=0\) and \(-5x^3+9x^3=4x^3\), so the correct answer is \(4x^3\). \(x^5+4x^3\) is incorrect because the \(x^5\) terms cancel each other. Exam tip: after opening brackets, combine only like terms with the same power of the variable.
बहुपद 4x-3 में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदी है। इसमें चर x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः इसकी घात 3 है और यह त्रिघात बहुपद कहलाता है। द्विघात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या से एकपदी/द्विपदी आदि और चर की उच्चतम घात से बहुपद का प्रकार पहचानें। / The expression 4x-3 has only one term, so it is a monomial. The highest power of x is 3; therefore, its degree is 3 and it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, so option B is not correct. Exam tip: use the number of terms to identify monomial/binomial, and the highest exponent to identify the degree.
B. यह बहुपद है और डिग्री (5) है/It is a polynomial and degree is (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(-\frac{4}{9}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (5), और (2) हैं। / \(\sqrt{2}\) and \(-\frac{4}{9}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (5), and (2).
(d=-1) रखने पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (d=-1) makes the coefficient of \(x^5\) equal to (0) and the coefficient of \(x^2\) equal to (1). So the highest power is (2).
डिग्री (3) के लिए \(x^6\) का गुणांक (0) होना चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (2a-8=0) से (a=4) मिलता है। / For degree (3), the coefficient of \(x^6\) must be (0) and the coefficient of \(x^3\) must remain non-zero. From (2a-8=0), (a=4).
C. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर (x-2) है, इसलिए यह सीधे बहुपद नहीं कहलाता। सरल करने पर भी \(x\neq2\) की शर्त रहती है। / In the original form, the denominator is (x-2), so it is not directly called a polynomial. Even after simplifying, the condition \(x\neq2\) remains.
बहुपद की कोटि उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। (x+2) में x की घात 1 है, इसलिए इसकी कोटि 1 है और यह रेखीय बहुपद है। द्विघात बहुपद में x की घात 2 वाला पद, जैसे x², होना चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए पहले उसे सरल करके चर की उच्चतम घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. In (x+2), the highest power of x is 1, so its degree is 1 and it is a linear polynomial. A quadratic polynomial must contain a term with x raised to the power 2, such as x². Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest power of the variable.
विकल्प B में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए x का घातांक \(-1\) हो जाता है। x में बहुपद के प्रत्येक पद में x का घातांक 0 या धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए। विकल्प A, C और D में x के सभी घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: जिस व्यंजक में चर हर में हो या उसका घातांक ऋणात्मक हो, वह बहुपद नहीं होता। / Option B contains \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so x has exponent \(-1\). In a polynomial in x, every exponent of x must be a non-negative integer. Options A, C, and D have only non-negative integer exponents, so they are polynomials. Exam tip: if a variable appears in the denominator or has a negative exponent, the expression is not a polynomial.
\(3x^4-2x^2+9\) में चर वाले अशून्य पदों की घातें (4) और (2) हैं। दोनों सम और मान्य घातें हैं। / In \(3x^4-2x^2+9\), the non-zero variable term powers are (4) and (2). Both are even and valid powers.
नियतांक बनने के लिए \(w^2-1=0\) और (w-1=0) दोनों चाहिए। दोनों शर्तें साथ में (w=1) पर पूरी होती हैं। / To become constant, both \(w^2-1=0\) and (w-1=0) are needed. Both conditions are satisfied together at (w=1).
(z=-2) पर \(x^5\) और \(x^3\) दोनों के गुणांक (0) हो जाते हैं। बची हुई सबसे बड़ी घात (1) है। / For (z=-2), the coefficients of both \(x^5\) and \(x^3\) become (0). The remaining highest power is (1).
\(2^x\) में चर घात के स्थान पर है। बहुपद में चर आधार में होता है और उसकी घात अऋणात्मक पूर्णांक होती है। / In \(2^x\), the variable is in the exponent. In a polynomial, the variable is the base with a non-negative integer power.
(x) के संदर्भ में (6y-4) अशून्य नियतांक है। इसलिए यह (x) में डिग्री (0) का बहुपद है। / With respect to (x), (6y-4) is a non-zero constant. Therefore it is a polynomial in (x) of degree (0).
व्यंजक x-4-4x-2+4 में केवल x-4, x-2 और अचर पद 4 हैं। इसमें न तो x-3 पद है और न ही x पद; अनुपस्थित किसी भी घात के पद का गुणांक 0 माना जाता है। इसलिए x-3 और x के गुणांक क्रमशः 0 और 0 हैं। -4, x-2 का गुणांक है, x या x-3 का नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद को x की घातों के घटते क्रम में लिखकर अनुपस्थित पदों के लिए 0 गुणांक पहचानें। / The expression x-4-4x-2+4 contains only the x-4 term, the x-2 term, and the constant term 4. It has neither an x-3 term nor an x term, so the coefficient of each missing power is taken as 0. Hence, the coefficients of x-3 and x are 0 and 0 respectively. The number -4 is the coefficient of x-2, not of x or x-3. Exam tip: Write a polynomial in descending powers of x and assign coefficient 0 to every missing power.
A. \(x^5+x^2+1\) में \(x^4\) और \(x^3\) के गुणांक 0 हैं/In \(x^5+x^2+1\), the coefficients of \(x^4\) and \(x^3\) are 0.
Explanation
Simple Explanation
\(x^5+x^2+1\) एक बहुपद है, क्योंकि इसके सभी घातांक 0 या धनात्मक पूर्णांक हैं। इसमें \(x^4\) और \(x^3\) के पद लिखे नहीं हैं, इसलिए उनके गुणांक 0 माने जाते हैं। अतः यह लुप्त घातों वाला (अपूर्ण) बहुपद है। विकल्प D गलत है क्योंकि बहुपद की उच्चतम घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। परीक्षा टिप: किसी अनुपस्थित घात वाले पद का गुणांक हमेशा 0 लिखें। / \(x^5+x^2+1\) is a polynomial because all its exponents are non-negative integers. The \(x^4\) and \(x^3\) terms are absent, so their coefficients are taken as 0. Hence, it is a polynomial with missing powers. Option D is incorrect because the highest power is 5, so its degree is 5. Exam tip: Write 0 as the coefficient of every missing power.
