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द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यक समान होते हैं जब विविक्तक \(b^2-4ac=0\) हो। विकल्प A में \(36-4\times1\times9=0\) है। विकल्प B में विविक्तक 4 है, इसलिए उसके शून्यक अलग हैं। परीक्षा टिप: समान शून्यकों के लिए विविक्तक को शून्य जाँचें। / A quadratic \(ax^2+bx+c\) has equal zeroes when its discriminant \(b^2-4ac\) is zero. For option A, \(36-4\times1\times9=0\). Option B has discriminant 4, so its zeroes are distinct. Exam tip: check whether the discriminant is zero for equal zeroes.
\(7x^2-3x+1\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। विकल्प B की घात 3 है। परीक्षा में सबसे बड़ी घात देखकर वर्ग पहचानें। / In \(7x^2-3x+1\), the highest power of \(x\) is 2, so it is quadratic. Option B has highest power 3 and is cubic. Exam tip: identify the degree from the greatest exponent.
\(x^2+7x+10\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=49-40=9\) पूर्ण वर्ग है। इसके मूल \(-5\) और \(-2\) हैं, अतः \((x+5)(x+2)\) मिलता है। परीक्षा में विवर्तक के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / For \(x^2+7x+10\), the discriminant is \(b^2-4ac=49-40=9\), a perfect square. Its roots are \(-5\) and \(-2\), so it factors as \((x+5)(x+2)\). In exams, check whether the discriminant is a perfect square.
A में समूह बनाने पर \(p(x+y)+q(x+y)\) मिलता है; अतः दोनों समूहों में \(x+y\) समान द्विपद है। B में \(x+y\) और \(x-y\) अलग हैं। परीक्षा में पहले हर जोड़ी का सामान्य गुणनखंड निकालें। / In A, grouping gives \(p(x+y)+q(x+y)\), so \(x+y\) is the common binomial in both groups. In B, the binomials are \(x+y\) and \(x-y\). Exam tip: factor each pair first and then compare the remaining binomials.
\(8x^3+27y^3=(2x)^3+(3y)^3\) घनों का योग है। \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) से इसका एक गुणनखंड \(2x+3y\) मिलता है। \(8x^3-27y^3\) में \(2x-3y\) आता है। परीक्षा में पहले पदों को पूर्ण घन के रूप में पहचानें। / \(8x^3+27y^3=(2x)^3+(3y)^3\) is a sum of cubes. Using \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), one factor is \(2x+3y\). In contrast, \(8x^3-27y^3\) gives \(2x-3y\). Exam tip: first rewrite terms as perfect cubes.
\(x^2-10x+25\) में विवर्तक \(b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=0\) है, इसलिए इसके दोनों रैखिक गुणनखंड समान हैं: \((x-5)^2\)। विकल्प B का विवर्तक धनात्मक है, इसलिए उसके दो अलग गुणनखंड होंगे। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड के लिए विवर्तक शून्य जाँचें। / For \(x^2-10x+25\), the discriminant is \(b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=0\), so it has equal linear factors: \((x-5)^2\). Option B has a positive discriminant and therefore two distinct factors. Exam tip: a zero discriminant indicates a repeated factor.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार \(x+2\) गुणनखंड होने के लिए \(x=-2\) रखने पर बहुपद का मान 0 होना चाहिए। विकल्प A में \(-8+12-4=0\) है। विकल्प B में मान \(-4\) आता है। परीक्षा में गुणनखंड जाँचने हेतु संबंधित शून्य मान रखें। / By the Factor Theorem, \(x+2\) is a factor only if the polynomial becomes 0 at \(x=-2\). For option A, \(-8+12-4=0\). Option B gives \(-4\), so it is not divisible by \(x+2\). Exam tip: substitute the zero of the linear factor.
\(3x^2+6x+5x+10\) को \((3x^2+6x)+(5x+10)\) लिखने पर \(3x(x+2)+5(x+2)\) मिलता है। समान द्विपद \((x+2)\) लेने पर गुणनखंडन संभव है। परीक्षा में पहले प्रत्येक समूह का HCF निकालें। / Write \(3x^2+6x+5x+10\) as \((3x^2+6x)+(5x+10)\), giving \(3x(x+2)+5(x+2)\). The common binomial \((x+2)\) allows factorisation. In exams, first take the HCF from each group.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए यह द्विपद का पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में स्थिर पद 25 होना चाहिए। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so it is a perfect-square binomial. In option B, the constant should be 25. Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
यदि \(x-2y\) गुणनखंड है, तो \(x=2y\) रखने पर बहुपद का मान 0 होगा। विकल्प A में \(3(2y)^2-2(2y)y-8y^2=12y^2-4y^2-8y^2=0\) है। परीक्षा में रैखिक गुणनखंड जाँचने के लिए यह प्रतिस्थापन विधि अपनाएँ। / If \(x-2y\) is a factor, substituting \(x=2y\) must make the polynomial zero. For option A, \(3(2y)^2-2(2y)y-8y^2=12y^2-4y^2-8y^2=0\). Exam tip: test a linear factor by using its zero value.
विकल्प A में समूह बनाने पर 3x(x+2)+5(x+2) मिलता है। यहाँ (x+2) उभयनिष्ठ द्विपद है, इसलिए गुणनखंडन (3x+5)(x+2) होगा। परीक्षा में दोनों समूहों का समान द्विपद जाँचें। / In option A, grouping gives 3x(x+2)+5(x+2). The common binomial is (x+2), so it factorises as (3x+5)(x+2). Exam tip: check that both groups contain the same binomial.
\(9p^2=(3p)^2\) और \(16q^2=(4q)^2\) हैं तथा मध्य पद \(-2(3p)(4q)=-24pq\) है। अतः यह \((3p-4q)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह अवश्य मिलाएँ। / \(9p^2=(3p)^2\) and \(16q^2=(4q)^2\), while the middle term is \(-2(3p)(4q)=-24pq\). Hence it is \((3p-4q)^2\). In exams, always match the sign of the middle term.
\(m^2+16=m^2+4^2\) दो वर्गों का योग है, इसलिए इसका पूर्णांकीय गुणांकों में गुणनखंडन नहीं होता। अन्य विकल्प \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) के रूप में टूटते हैं। परीक्षा टिप: पहले योग और अंतर पहचानें। / \(m^2+16=m^2+4^2\) is a sum of two squares, so it has no factorisation into non-constant polynomials with integer coefficients. The other options use \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\). Exam tip: distinguish a sum from a difference of squares.
विकल्प A में \(49p^2=(7p)^2\) और \(25q^2=(5q)^2\) हैं। अतः \(49p^2-25q^2=(7p)^2-(5q)^2=(7p-5q)(7p+5q)\)। विकल्प B पूर्ण वर्गों का योग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने से पहले दोनों पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें। / In option A, \(49p^2=(7p)^2\) and \(25q^2=(5q)^2\). Therefore, \(49p^2-25q^2=(7p)^2-(5q)^2=(7p-5q)(7p+5q)\). Option B is a sum, not a difference, of perfect squares. Exam tip: before applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), check that both terms are perfect squares.
\(x^2+8x+16\) में पहला और अंतिम पद क्रमशः \(x^2\) और \(4^2\) हैं तथा मध्य पद \(2\times x\times4=8x\) है। इसलिए यह \((x+4)^2\) है। विकल्प B में अंतिम पद 16 नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाइए। / In \(x^2+8x+16\), the first and last terms are \(x^2\) and \(4^2\), and the middle term is \(2\times x\times4=8x\). Hence it is \((x+4)^2\). Option B does not have 16 as the last term. Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(x^2-49=x^2-7^2\) है, इसलिए \(x^2-49=(x+7)(x-7)\)। दोनों गुणनखंड केवल चिह्न में भिन्न हैं। \(x^2+49\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के पूर्ण वर्ग जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so it factors as \((x+7)(x-7)\). The factors differ only by sign. \(x^2+49\) is a sum of squares. Exam tip: first check whether both terms are perfect squares.
\(9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2\)। यहाँ मध्य पद \(-2(3x)(2y)=-12xy\) है। विकल्प B में अंतिम पद \(4y^2\) नहीं है। परीक्षा में पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / \(9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2\). Its middle term is \(-2(3x)(2y)=-12xy\). In option B, the last term is not \(4y^2\). Exam tip: check the middle term using twice the product of the square roots.
\(16a^2=(4a)^2\) और \(25b^2=(5b)^2\) हैं तथा मध्य पद \(-2\times4a\times5b=-40ab\) है। इसलिए यह \((4a-5b)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद का चिह्न अवश्य जाँचें। / Here \(16a^2=(4a)^2\) and \(25b^2=(5b)^2\), while the middle term is \(-2\times4a\times5b=-40ab\). Hence it is \((4a-5b)^2\). Exam tip: always verify the sign of the middle term.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए यह द्विपद का पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में स्थिर पद \(5^2=25\) होना चाहिए, 20 नहीं। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so it is a perfect square of a binomial. In option B, the constant term should be \(5^2=25\), not 20. Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
घन द्विपद पहचान है \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), इसलिए A सही है। B में अंतिम पद का चिन्ह गलत है। परीक्षा में गुणांकों का क्रम 1, 3, 3, 1 याद रखें। / The cube identity is \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), so A is correct. In B, the sign of the last term is wrong. Exam tip: remember the coefficient pattern 1, 3, 3, 1.
\(x^2+4x+4=(x+2)^2\) है। किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह सदैव ऋणेतर है। \(x^2-4\) में \(x=0\) रखने पर मान ऋणात्मक मिलता है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद जाँचें। / \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). The square of every real number is never negative, so this polynomial is always non-negative. In contrast, \(x^2-4\) is negative at \(x=0\). Exam tip: check whether the middle term is twice the product of the terms in the binomial.
\((x+y+z)^2\) में तीनों वर्ग पदों के साथ प्रत्येक युग्म-गुणनफल का गुणांक 2 होता है। इसलिए विकल्प A सही है। B में गुणांक 1 हैं। परीक्षा टिप: सभी मिश्रित पदों के गुणांक जाँचें। / In \((x+y+z)^2\), the square terms appear along with twice each pairwise product. Hence A is correct. In B, the mixed-term coefficients are 1, not 2. Exam tip: check every mixed-term coefficient.
विकल्प A का स्थिर पद \(-18\) है। दो स्थिर पदों का गुणनफल ऋणात्मक होने पर उनके चिह्न विपरीत होते हैं: \(x^2-7x-18=(x-9)(x+2)\)। परीक्षा में पहले स्थिर पद का चिह्न देखें। / Option A has constant term \(-18\). A negative product means the two constant terms must have opposite signs: \(x^2-7x-18=(x-9)(x+2)\). Exam tip: inspect the sign of the constant term first.
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-2\), इसलिए रेखा नीचे उतरती है, तथा \(c=5>0\), इसलिए y-अक्ष पर कटान मूल बिंदु से ऊपर है। विकल्प C की ढाल सही है, पर उसका y-अवरोध ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: ढाल का चिन्ह और स्थिरांक का चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For option A, \(m=-2\) gives a downward slope, while \(c=5>0\) places the y-intercept above the origin. Option C also has a negative slope, but its intercept is below the origin. Exam tip: check the signs of \(m\) and \(c\) separately.
रैखिक बहुपद \(p(x)=ax+b\) में x को 1 बढ़ाने पर p(x) में \(a\) का परिवर्तन होता है। यहाँ \(a=-3\) है, इसलिए मान हर चरण में 3 घटता है। \(-3x^2+11\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial \(p(x)=ax+b\), increasing x by 1 changes p(x) by \(a\). Here \(a=-3\), so the value falls by 3 each step. \(-3x^2+11\) is not linear. Exam tip: a negative coefficient of x indicates linear decay.
\(P(t)=80-5t\) में \(t\) का घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(-5\) गुणांक बताता है कि हर एक समय-इकाई पर राशि 5 घटती है। \(80+5t\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए \(t\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(P(t)=80-5t\), the power of \(t\) is 1, so it is linear. The coefficient \(-5\) means the quantity falls by 5 per time unit. \(80+5t\) represents growth, not decay. Exam tip: for linear decay, check for a negative coefficient of \(t\).
रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(a\), x में 1 इकाई वृद्धि पर होने वाला परिवर्तन बताता है। यहाँ परिवर्तन \(-7\) होना चाहिए, इसलिए \(45-7x\) सही है। \(45+7x\) में मान 7 बढ़ता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial \(ax+b\), the coefficient \(a\) gives the change when x increases by 1. The required change is \(-7\), so \(45-7x\) is correct. In \(45+7x\), the value rises by 7. Exam tip: decay has a negative coefficient of x.
\(7-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 घटता है। \(3x-7\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(7-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so the value falls by 3 for every increase of 1 in x. \(3x-7\) represents growth. Exam tip: linear decay always has a negative coefficient of x.
\(y=8-3x\) में x का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए x बढ़ने पर y समान दर से घटता है; यही रैखिक क्षय है। \(8+3x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में x के गुणांक का चिन्ह देखें। / In \(y=8-3x\), the coefficient of x is negative, so y decreases at a constant rate as x increases; this is linear decay. \(8+3x\) shows growth. Exam tip: check the sign of the x-coefficient.
\(7-3x\) एक रैखिक बहुपद है और x का गुणांक \(-3\) है। इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 से घटता है। \(x^2-3x+7\) में परिवर्तन की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: स्थिर वृद्धि/क्षय के लिए x की घात 1 देखें। / \(7-3x\) is a linear polynomial with coefficient \(-3\) of x. Thus, for every increase of 1 in x, its value decreases by 3. In \(x^2-3x+7\), the rate of change is not constant. Exam tip: constant growth or decay requires degree 1.
निम्नलिखित में से कौन-सा बहुपद समय \(t\) के साथ किसी राशि के रैखिक क्षय को दर्शाता है, जहाँ \(t\) का गुणांक प्रत्येक इकाई समय में होने वाली कमी बताता है?
\(P(t)=120-5t\) में \(t\) की घात 1 है और उसका गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए मान हर इकाई समय में 5 घटता है। \(120-5t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडल की घात सदैव 1 होती है। / In \(P(t)=120-5t\), the power of \(t\) is 1 and its coefficient is negative, so the value decreases by 5 per unit time. \(120-5t^2\) is not linear. Exam tip: a linear model always has degree 1.
\(12-3x\) प्रथम घात का बहुपद है और \(x\) का गुणांक \(-3\) है। इसलिए \(x\) में हर 1 की वृद्धि पर मात्रा 3 से घटती है। \(12-3x^2\) में परिवर्तन समान नहीं होता। परीक्षा टिप: रेखीय क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / \(12-3x\) is a first-degree polynomial with coefficient \(-3\) of \(x\). Thus, the quantity decreases by 3 for every increase of 1 in \(x\). \(12-3x^2\) is not linear because its rate changes. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of \(x\).
\(24-3x\) एक रैखिक बहुपद है और x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में 1 की वृद्धि पर मान 3 से घटता है। जाँचें: \(P(x+1)-P(x)=-3\)। \(24-3x^2\) में कमी की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा में घात 1 और ऋणात्मक गुणांक पहचानें। / \(24-3x\) is linear, and its coefficient of x is \(-3\); therefore, the value falls by 3 for each one-unit increase in x. Check: \(P(x+1)-P(x)=-3\). In \(24-3x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: look for degree 1 with a negative coefficient.
\(18-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर राशि 3 इकाई घटती है। \(18+3x\) बढ़ोतरी दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है। / In \(18-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so the quantity falls by 3 units for every 1-unit rise in x. \(18+3x\) shows growth instead. Exam tip: a linear polynomial has x to the power 1.
\(P(x)=240-8x\) में स्थिर पद 240 आरंभिक मान देता है और x का गुणांक \(-8\) है, इसलिए x बढ़ने पर मान घटता है। \(240+8x\) में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल क्षय दर्शाती है। / In \(P(x)=240-8x\), the constant term 240 is the initial value and the coefficient \(-8\) shows a decrease as x increases. \(240+8x\) represents growth. Exam tip: a negative slope indicates decay.
\(7-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x बढ़ने पर मान समान दर से घटता है। \(2x-7\) में धनात्मक गुणांक वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(7-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so the value falls by the same amount for every unit increase in x. \(2x-7\) shows growth because its coefficient is positive. Exam tip: decay has a negative x-coefficient.
रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(x\) का गुणांक \(a\) ऋणात्मक होने पर \(x\) बढ़ने के साथ बहुपद का मान घटता है। \(-3x+7\) में गुणांक \(-3\) है। परीक्षा टिप: केवल \(x\) के गुणांक का चिह्न देखें। / In a linear polynomial \(ax+b\), the value decreases as \(x\) increases when the coefficient \(a\) is negative. In \(-3x+7\), the coefficient of \(x\) is \(-3\). Exam tip: check the sign of the \(x\)-coefficient first.
\(20-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 3 इकाई घटता है। \(7x+4\) वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(20-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so y falls by 3 units for every increase of 1 in x. \(7x+4\) represents growth. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
\(12-3t\) में \(t\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए समय बढ़ने पर मान हर इकाई समय में 3 घटता है। \(3t+12\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए \(t\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(12-3t\), the coefficient of \(t\) is \(-3\), so the value falls by 3 for each unit increase in time. \(3t+12\) represents growth. Exam tip: for linear decay, check for a negative coefficient of \(t\).
\(75-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर राशि 4 इकाई घटती है। \(75+4x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(75-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so the quantity falls by 4 units for every increase of 1 in x. \(75+4x\) shows linear growth. Exam tip: for linear decay, look for a negative coefficient of x.
\(120-8t\) में \(t\) की घात 1 है और उसका गुणांक \(-8\) है, इसलिए मात्रा हर समय-इकाई में 8 घटती है। \(120+8t\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(120-8t\), the highest power of \(t\) is 1 and its coefficient is \(-8\), so the quantity decreases by 8 per time unit. \(120+8t\) shows growth. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of the variable.
रैखिक बहुपद का रूप \(a+bx\) होता है। यहाँ \(b=-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 घटता है। \(12-3x^2\) क्षय दिखाता है, पर वह रैखिक नहीं है। परीक्षा में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक जाँचें। / A linear polynomial has the form \(a+bx\). Here \(b=-3\), so the value decreases by 3 for every increase of 1 in x. \(12-3x^2\) also decreases but is not linear. In exams, check that the power of x is 1 and its coefficient is negative.
\(P(t)=45-3t\) में \(t\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए हर एक समय-इकाई पर राशि 3 घटती है। \(45+3t\) वृद्धि दिखाता है, जबकि \(t^2\) वाली कमी समान दर की नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक कमी में चर का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(P(t)=45-3t\), the coefficient of \(t\) is \(-3\), so the quantity decreases by 3 for each one-unit increase in time. \(45+3t\) shows growth, while a \(t^2\) term does not give a constant rate. Exam tip: linear decay has degree 1 and a negative variable coefficient.
विकल्प A में दोनों बहुपद समान हैं, इसलिए उनका अंतर \((2x+3)-(2x+3)=0\) है। अतः प्राप्त बहुपद शून्य बहुपद है। विकल्प B में अंतर \(6\) आता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: दो बहुपदों का अंतर शून्य होने के लिए उनके संगत पदों के गुणांक समान होने चाहिए। / In option A, both polynomials are identical, so their difference is \((2x+3)-(2x+3)=0\). Hence, the result is the zero polynomial. In option B, the difference is \(6\), not zero. Exam tip: For the difference of two polynomials to be zero, the coefficients of their corresponding terms must be equal.
विकल्प B में \((3x+4)+(-3x+5)=3x-3x+4+5=9\) होता है। \(x\) वाले पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, इसलिए योग नियतांक बहुपद \(9\) है। विकल्प C में नियतांक पद निरस्त होते हैं, लेकिन योग \(2x\) रहता है, जो रेखीय बहुपद है। परीक्षा टिप: नियतांक योग पाने के लिए दोनों बहुपदों के \(x\) के गुणांक विपरीत होने चाहिए। / In option B, \((3x+4)+(-3x+5)=3x-3x+4+5=9\). The \(x\)-terms cancel each other, so the sum is the constant polynomial \(9\). In option C, the constant terms cancel, but the sum is \(2x\), which is a linear polynomial. Exam tip: for the sum to be a constant, the coefficients of \(x\) in the two polynomials must be opposites.
मान लें कि \(\deg(p)=m\) और \(\deg(q)=n\)। यदि उनके अग्र पद क्रमशः \(ax^m\) और \(bx^n\) हैं, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। क्योंकि \(a\neq0\) और \(b\neq0\), इसलिए \(ab\neq0\) होता है और \(\deg(pq)=m+n\)। विकल्प B सामान्यतः अधिकतम डिग्री बताता है, जो गुणनफल के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती, इसलिए यह नियम केवल अशून्य बहुपदों के लिए लागू है। / Let \(\deg(p)=m\) and \(\deg(q)=n\). If their leading terms are \(ax^m\) and \(bx^n\), respectively, then the leading term of the product is \(abx^{m+n}\). Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), we have \(ab\neq0\), so \(\deg(pq)=m+n\). Option B gives the maximum degree, which is not generally true for a product. Exam tip: the degree of the zero polynomial is not defined, so this rule applies only to non-zero polynomials.
मान लें कि अशून्य बहुपद \(p(x)\) और \(q(x)\), दोनों की घात \(n\) है तथा \(p(x)+q(x)\) भी अशून्य है। \(p(x)+q(x)\) की घात \(n\) से कम होने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
A. \(x^n\) के गुणांक परस्पर योगात्मक प्रतिलोम हों/The coefficients of \(x^n\) are additive inverses of each other
Explanation
Simple Explanation
दोनों बहुपदों में \(x^n\) का पद सबसे उच्च घात वाला है। यदि उसके गुणांकों का योग शून्य हो, तो \(x^n\) पद कट जाता है और शेष अशून्य योग की घात \(n\) से कम होगी। स्थिर पद इसमें प्रभावी नहीं होते। परीक्षा टिप: पहले सबसे उच्च घात वाले पदों के गुणांक जाँचें। / The \(x^n\) terms are the highest-degree terms in both polynomials. If their coefficients add to zero, these terms cancel, so the remaining non-zero sum has degree below \(n\). Constant terms do not control degree. Exam tip: compare leading coefficients first.
एक विद्यार्थी कहता है कि दो बहुपदों की डिग्री 6 होने पर उनके योग की डिग्री भी हमेशा 6 होगी। यदि \(p(x)=x^6-3x^2\) और \(q(x)=-x^6+5x\) हों, तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
B. योग की डिग्री 2 है, क्योंकि \(x^6\) वाले पद कट जाते हैं।/The sum has degree 2 because the \(x^6\) terms cancel.
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\)। \(x^6\) पद कटने के बाद सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए डिग्री 2 है। परीक्षा टिप: योग में पहले समान घात वाले पदों को सरल करें। / \(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\). After the \(x^6\) terms cancel, the highest remaining exponent is 2, so the degree is 2. Exam tip: simplify like terms before finding degree.
अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है: \(5+5=10\)। योग या अंतर में अग्रणी पद कट सकते हैं। परीक्षा टिप: गुणन के लिए डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees: \(5+5=10\). In a sum or difference, leading terms may cancel. Exam tip: add degrees only for multiplication.
अशून्य बहुपदों के गुणन में उनके अग्रणी पद गुणा होते हैं, इसलिए उनकी घातें जुड़ती हैं: \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\)। योग में अग्रणी पद कट सकते हैं, इसलिए विकल्प D सदैव सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणन के नियम में ‘अशून्य’ शर्त अवश्य जाँचें। / When non-zero polynomials are multiplied, their leading terms multiply, so their exponents add: \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\). In addition, leading terms may cancel, so option D is not always true. Exam tip: always check the non-zero condition before using the product-degree rule.
शून्य बहुपद \(0\) में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घातांक नहीं चुना जा सकता और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। \(-7\) की डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: केवल शून्य बहुपद की डिग्री अपरिभाषित होती है। / The zero polynomial \(0\) has no non-zero term, so there is no highest exponent to identify; hence its degree is undefined. In contrast, \(-7\) is a non-zero constant of degree 0. Exam tip: only the zero polynomial has undefined degree.
शून्येतर बहुपदों के उच्चतम घात वाले पदों का गुणन करने पर घातें जुड़ती हैं और उनका गुणांक शून्य नहीं होता। इसलिए \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\)। परीक्षा में याद रखें कि यह नियम केवल शून्येतर बहुपदों के लिए लागू होता है। / When the leading terms of two non-zero polynomials are multiplied, their exponents add and the resulting leading coefficient remains non-zero. Hence \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\). Exam tip: this rule requires both polynomials to be non-zero.
A. गुणनफल की डिग्री दोनों बहुपदों की डिग्रियों के योग के बराबर होती है/The degree of the product equals the sum of the degrees of the two polynomials.
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपदों के अग्र पद \(ax^m\) और \(bx^n\) हों, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। अतः डिग्री \(m+n\) है। परीक्षा टिप: गुणन में डिग्रियाँ जोड़ते हैं, घटाते नहीं। / If the leading terms are \(ax^m\) and \(bx^n\), their product has leading term \(abx^{m+n}\). Hence its degree is \(m+n\). Exam tip: add degrees while multiplying non-zero polynomials; do not subtract them.
शून्य बहुपद \(0\) में कोई भी अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका सबसे बड़ा घातांक निर्धारित नहीं किया जा सकता। अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है। \(7\) जैसे अशून्य अचर बहुपद की घात 0 होती है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को अचर बहुपद न मानें। / The zero polynomial \(0\) has no non-zero term, so there is no greatest exponent to identify. Therefore, its degree is undefined. A non-zero constant such as \(7\) has degree 0. Exam tip: do not confuse the zero polynomial with a non-zero constant polynomial.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(PQ)=4+6=10\)। जोड़ या घटाव में अग्र पद कट सकते हैं, इसलिए उनकी डिग्री सदैव निश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: गुणनफल के लिए डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Hence \(\deg(PQ)=4+6=10\). In addition or subtraction, leading terms may cancel, so the degree is not fixed. Exam tip: add degrees only when polynomials are multiplied.
A. उनके अग्रणी पदों के गुणांकों का योग 0 हो/The sum of the coefficients of their leading terms is 0
Explanation
Simple Explanation
दोनों बहुपदों के \(x^n\) वाले अग्रणी पद जुड़ते हैं। उनके गुणांकों का योग 0 होने पर \(x^n\) पद कट जाता है, इसलिए डिग्री घट सकती है। समान स्थिर पद डिग्री नहीं बदलते। परीक्षा में अगला अशून्य पद देखें। / The leading \(x^n\) terms are added. If their coefficients sum to 0, the \(x^n\) term cancels, so the degree may decrease. Equal constant terms do not affect degree. Exam tip: check the next non-zero term.
अशून्य बहुपदों के अग्र पदों के गुणांक अशून्य होते हैं, इसलिए उनके गुणन का अग्र पद समाप्त नहीं हो सकता। अतः गुणनफल की डिग्री डिग्रियों का योग होती है। योग में अग्र पद कट सकते हैं; परीक्षा में इस अपवाद को याद रखें। / The leading coefficients of non-zero polynomials are non-zero, so the leading term of their product cannot cancel. Hence, the degree of a product is the sum of degrees. In a sum, leading terms may cancel; remember this exception in exams.
गुणन में दोनों बहुपदों के उच्चतम घात वाले पद गुणा होते हैं, इसलिए उनकी घातें जुड़ती हैं: \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\)। जोड़ में अग्रणी पद कट सकते हैं; परीक्षा में इस अंतर को याद रखें। / In a product, the leading terms multiply, so their exponents add: \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\). In a sum, leading terms can cancel; remember this distinction in exams.
A. अशून्य स्थिर बहुपद की डिग्री 0 होती है।/The degree of a non-zero constant polynomial is 0.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य स्थिर बहुपद, जैसे 7 = 7x⁰, में x की सबसे बड़ी घात 0 होती है, इसलिए उसकी डिग्री 0 है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में योग में समान उच्चतम घात के पद कट सकते हैं। / A non-zero constant polynomial such as 7 = 7x⁰ has highest exponent 0, so its degree is 0. The degree of the zero polynomial is not defined. Exam tip: in a sum, leading terms can cancel, reducing the degree.
अशून्य बहुपदों के अग्र पदों का गुणन शून्य नहीं होता, इसलिए गुणनफल की घात उनके घातों का योग होती है। अधिकतम घात वाला नियम योग के लिए उपयोगी हो सकता है। परीक्षा टिप: गुणनफल में घातें जोड़ें। / The product of the leading terms of two non-zero polynomials is non-zero, so the degree of their product is the sum of their degrees. The maximum-degree rule can apply to addition. Exam tip: add degrees for a product.
A. गुणनफल की डिग्री दोनों बहुपदों की डिग्रियों के योग के बराबर होती है/The degree of the product equals the sum of the degrees of the two polynomials.
Explanation
Simple Explanation
यदि अशून्य बहुपदों के अग्र पद क्रमशः \(ax^m\) और \(bx^n\) हैं, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। अतः डिग्री \(m+n\) होती है। परीक्षा में ‘अशून्य’ शर्त अवश्य देखें। / If the leading terms of non-zero polynomials are \(ax^m\) and \(bx^n\), their product has leading term \(abx^{m+n}\). Hence its degree is \(m+n\), not the larger degree. Exam tip: note the non-zero condition.
A. उनके अग्र गुणांकों का योग 0 हो/Their leading coefficients have sum 0
Explanation
Simple Explanation
समान डिग्री के पदों के अग्र गुणांक यदि परस्पर विपरीत हों, तो उनका योग 0 हो जाता है और उच्चतम घात वाला पद कट जाता है। इसलिए डिग्री घट सकती है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात के गुणांकों को जाँचें। / If the leading coefficients of equal-degree terms are additive inverses, their sum is 0 and the highest-degree term cancels. Hence the degree may decrease. Exam tip: check the leading coefficients first.
दो बहुपदों \(P\) और \(Q\) की डिग्री 5 है। एक विद्यार्थी कहता है कि \(P+Q\) की डिग्री हमेशा 5 होगी। निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण उसके कथन को गलत सिद्ध करता है?
विकल्प A में \(P+Q=(x^5+x^3)+(-x^5+2x^2)=x^3+2x^2\) है, जिसकी डिग्री 3 है। अग्रणी पद कट सकते हैं। परीक्षा में जोड़ने के बाद ही डिग्री तय करें। / In option A, \(P+Q=(x^5+x^3)+(-x^5+2x^2)=x^3+2x^2\), which has degree 3. Leading terms may cancel. Exam tip: find the degree only after simplifying the sum.
B. \(x^5\) के पद निरस्त हो जाते हैं; प्राप्त बहुपद \(3x^2+x\) की डिग्री 2 है/The \(x^5\) terms cancel; the resulting polynomial \(3x^2+x\) has degree 2
Explanation
Simple Explanation
जोड़ने पर समान घात वाले पदों को मिलाते हैं: \(x^5+(-x^5)=0\)। इसलिए प्राप्त बहुपद \(3x^2+x\) है, जिसका शून्येतर पदों में सबसे बड़ा घात 2 है। अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प A में \(x^5\) पदों के विपरीत गुणांक होने से उनका निरस्तीकरण अनदेखा किया गया है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद पहले सरल कीजिए, फिर सबसे बड़ी शेष घात से डिग्री ज्ञात कीजिए। / When adding polynomials, combine terms with the same exponent: \(x^5+(-x^5)=0\). Thus, the resulting polynomial is \(3x^2+x\), whose highest exponent among its non-zero terms is 2. Therefore, its degree is 2. Option A ignores that the \(x^5\) terms have opposite coefficients and cancel. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest remaining exponent to find its degree.
बहुपद की डिग्री उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^3-2x+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। \(4x^2-7x+9\) की डिग्री 2 है, जबकि \(x^4+x^2-5\) की डिग्री 4 है। \(12\) एक अचर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल रूप में देखकर सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. In \(7x^3-2x+1\), the highest power of \(x\) is 3, so its degree is 3. \(4x^2-7x+9\) has degree 2, while \(x^4+x^2-5\) has degree 4. \(12\) is a non-zero constant polynomial and has degree 0. Exam tip: first identify the term with the greatest power after simplifying the polynomial.
रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है। \(7x-4\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(x^2+3x-1\) की डिग्री 2 और \(5x^3-2\) की डिग्री 3 है, जबकि \(9\) एक अचर बहुपद है जिसकी डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: किसी अशून्य बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has degree 1. In \(7x-4\), the highest power of \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. \(x^2+3x-1\) has degree 2 and \(5x^3-2\) has degree 3, whereas \(9\) is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: to find the degree of a non-zero polynomial, look for the highest exponent of the variable.
द्विघात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है। \(x^2+4x+1\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात है। \(2x^3-x\) घन बहुपद है। परीक्षा टिप: उच्चतम घात देखें। / A quadratic polynomial has highest exponent 2. In \(x^2+4x+1\), the greatest power of \(x\) is 2, so it is quadratic. \(2x^3-x\) is cubic. Exam tip: identify the highest exponent first.
A. \(x^{1/2}+3 में चर की घात \(1 / 2\) है, जो ऋणेतर पूर्णांक नहीं है। / In \(x^{1 / 2}+3\), the exponent of the variable is \(1 / 2\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\dots\) जैसी ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/2}\) की घात \(1/2\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। ऋणात्मक गुणांक मान्य हैं। परीक्षा टिप: घात पहले जाँचें। / In a polynomial, every variable exponent must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\dots\). Since \(x^{1/2}\) has exponent \(1/2\), it is not a polynomial. Negative coefficients are allowed. Exam tip: check exponents first.
C. केवल \(7x^3-4x+1\) बहुपद है; \(x^{-2}+5\) में ऋणात्मक घात है/Only \(7x^3-4x+1\) is a polynomial; \(x^{-2}+5\) has a negative exponent.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात एक अऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात् 0 या धनात्मक पूर्णांक, होनी चाहिए। \(7x^3-4x+1\) में \(x\) की घातें 3, 1 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद है। लेकिन \(x^{-2}+5\) में \(x\) की घात \(-2\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। केवल वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले चर की सभी घातें जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer, that is, 0 or a positive integer. In \(7x^3-4x+1\), the exponents of \(x\) are 3, 1, and 0, so it is a polynomial. However, \(x^{-2}+5\) contains the exponent \(-2\), so it is not a polynomial. Having real coefficients alone is not sufficient. Exam tip: check all variable exponents before classifying an expression as a polynomial.
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी उच्चतम घात निर्धारित नहीं की जा सकती और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(7\) की डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: पहले शून्य बहुपद पहचानें। / The zero polynomial has no non-zero term, so no highest power can be identified; hence its degree is undefined. The constant polynomial \(7\) has degree 0. Exam tip: check for the zero polynomial first.
C. केवल \(5p^2-3p+7\), \(p\) का बहुपद है।/Only \(5p^2-3p+7\) is a polynomial in \(p\).
Explanation
Simple Explanation
\(5p^2-3p+7\) में \(p\) की घातें 2, 1 और 0 हैं, जो अशून्य पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। \(4p^{-1}+2\) में घात \(-1\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। परीक्षा में ऋणात्मक घात तुरंत जाँचें। / In \(5p^2-3p+7\), the powers of \(p\) are 2, 1, and 0, all non-negative integers, so it is a polynomial. In \(4p^{-1}+2\), the power is \(-1\), so it is not a polynomial. Exam tip: check for negative powers first.
\((x-1)^2(x+3)\) के शून्यक 1 और -3 हैं। यहाँ \((x-1)^2\) से 1 की बहुलता 2 है, जबकि -3 एक बार आता है। विकल्प B में तीन भिन्न शून्यक हैं। परीक्षा टिप: गुणनखंडों की घात देखकर बहुलता पहचानें। / For \((x-1)^2(x+3)\), the zeroes are 1 and -3. The factor \((x-1)^2\) shows that 1 has multiplicity 2, while -3 occurs once. Option B has three distinct zeroes. Exam tip: use the exponent of each factor to identify multiplicity.
दोनों बहुपदों में \(x\) के गुणांक क्रमशः \(2\) और \(-6\) हैं। अतः योग में \(x\) का गुणांक \(2+(-6)=-4\) होगा। वास्तव में पूरा योग \(3x^3-4x^2-4x+4\) है। परीक्षा-युक्ति: बहुपदों को जोड़ते समय केवल समान घात वाले पदों के गुणांक जोड़ें। / The coefficients of \(x\) in the two polynomials are \(2\) and \(-6\), respectively. Therefore, the coefficient of \(x\) in their sum is \(2+(-6)=-4\). The complete sum is \(3x^3-4x^2-4x+4\). Exam tip: when adding polynomials, combine coefficients only for terms with the same power.
यदि शून्यक 0, 2 और −3 हों, तो बहुपद \(x(x-2)(x+3)\) के रूप में लिखा जाता है। इसका विस्तार \(x(x^2+x-6)=x^3+x^2-6x\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B के गुणनखंड \(x(x-3)(x+2)\) हैं, इसलिए उसके शून्यक अलग हैं। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों से बने गुणनखंड \((x-शून्यक)\) रूप में लिखकर विस्तार करें। / If the zeroes are 0, 2, and −3, the polynomial is formed as \(x(x-2)(x+3)\). Expanding it gives \(x(x^2+x-6)=x^3+x^2-6x\), so option A is correct. Option B factors as \(x(x-3)(x+2)\), giving different zeroes. Exam tip: form one factor \((x-\text{zero})\) for each zero and then expand.
विकल्प A में \(x^2+10x+25=x^2+2(x)(5)+5^2=(x+5)^2\) है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग बहुपद है। विकल्प B में स्थिर पद 20 है, जबकि \(x^2+10x\) के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु स्थिर पद 25 होना चाहिए। विकल्प C में मध्य पद 5x है, जो \((x+5)^2\) के मध्य पद 10x से मेल नहीं खाता, और विकल्प D में स्थिर पद ऋणात्मक है। परीक्षा में \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) तथा \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) की पहचान करें। / In option A, \(x^2+10x+25=x^2+2(x)(5)+5^2=(x+5)^2\), so it is a perfect-square polynomial. In option B, the constant term is 20, whereas 25 is required to complete the square for \(x^2+10x\). In option C, the middle term is 5x instead of the required 10x, and option D has a negative constant term. In an exam, check the identities \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) and \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\).
योग में समान घात वाले पदों के गुणांकों को जोड़ा जाता है। x² के गुणांक क्रमशः −2 और 7 हैं, इसलिए उनका योग −2 + 7 = 5 होगा। विकल्प C केवल q(x) में x² के गुणांक को दर्शाता है, पूरे योग को नहीं। परीक्षा-टिप: बहुपदों को जोड़ते समय समान घात वाले पदों को एक साथ रखें। / When adding polynomials, coefficients of like powers are added. The coefficients of x² are −2 and 7, so the coefficient in the sum is −2 + 7 = 5. Option C gives only the x² coefficient of q(x), not of the complete sum. Exam tip: group terms having the same power before adding polynomials.
किसी बहुपद का प्रमुख गुणांक उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक होता है। \(3x^2+x+1\) में उच्चतम घात वाला पद \(3x^2\) है, इसलिए इसका प्रमुख गुणांक 3 है, 1 नहीं। अन्य तीन बहुपदों के प्रमुख पदों के गुणांक क्रमशः 1, 1 और 1 हैं। परीक्षा-युक्ति: जिस पद की घात सबसे अधिक हो, उसके गुणांक को प्रमुख गुणांक पहचानें। / The leading coefficient of a polynomial is the coefficient of the term with the highest power of the variable. In \(3x^2+x+1\), the highest-degree term is \(3x^2\), so its leading coefficient is 3, not 1. The leading coefficients of the other three polynomials are all 1. Exam tip: Identify the highest-degree term first, then read its coefficient.
किसी बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ x-2+1 की घात 2, x-3+x की घात 3 और 5x-2 की घात 1 है। इसलिए 5x-2 की घात सबसे कम है। ध्यान रखें कि अशून्य स्थिरांक पद की घात 0 होती है और रैखिक बहुपद की घात 1। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable. Here, the degrees of x-2+1, x-3+x, and 5x-2 are 2, 3, and 1, respectively. Therefore, 5x-2 has the least degree. Exam tip: a polynomial of the form ax+b, where a is nonzero, is linear and has degree 1.
बहुपद \(3x^2-4\) में \(x\) वाला पद उपस्थित नहीं है। ऐसे पद का गुणांक \(0\) माना जाता है, इसलिए सही उत्तर B है। विकल्प C में \(x\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में किसी पद के अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक शून्य अवश्य जाँचें। / In the polynomial \(3x^2-4\), the term containing \(x\) is absent. The coefficient of an absent term is taken as \(0\), so option B is correct. In option C, the coefficient of \(x\) is \(1\), not zero. Exam tip: treat every missing term in a polynomial as having coefficient zero.
किसी बहुपद का प्रमुख गुणांक उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक होता है। विकल्प B में उच्चतम घात वाला पद \(-2x^3\) है, इसलिए उसका प्रमुख गुणांक \(-2\) है। अन्य विकल्पों के प्रमुख गुणांक क्रमशः 5, 1 और 3 हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले बहुपद की सबसे बड़ी घात पहचानें, फिर उस पद का गुणांक लिखें। / The leading coefficient of a polynomial is the coefficient of the term with the highest power of the variable. In option B, the highest-degree term is \(-2x^3\), so its leading coefficient is \(-2\). The leading coefficients of the other options are 5, 1, and 3. Exam tip: identify the highest power first, then read its coefficient.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है, जिसे बहुपद में रखने पर उसका मान शून्य प्राप्त हो। विकल्प A में \(p(2)=2-2=0\), इसलिए \(x=2\) इसका शून्यक है। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \(p(2)=2+2=4\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: शून्यक जाँचने के लिए दिए गए मान को बहुपद में रखकर परिणाम शून्य से मिलाएँ। / A zero of a polynomial is a value that makes the polynomial equal to zero. For option A, \(p(2)=2-2=0\), so \(x=2\) is its zero. In contrast, option B gives \(p(2)=2+2=4\), so it is not correct. Exam tip: Substitute the given value into each polynomial and check whether the result is zero.
बहुपद \(x^2+4x\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है। विकल्प B की घात 4, विकल्प C की घात 1 और विकल्प D स्थिर बहुपद है जिसकी घात 0 होती है। परीक्षा में बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए उसके चर के उच्चतम घातांक को देखें। / In the polynomial \(x^2+4x\), the highest power of the variable \(x\) is 2, so its degree is 2. Option B has degree 4, option C has degree 1, and option D is a constant polynomial with degree 0. Exam tip: The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable with a non-zero coefficient.
बहुपद \(9x-3\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है और उसका गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए इसकी घात 1 है। विकल्प A की घात 2, विकल्प C की घात 3 और स्थिर बहुपद \(11\) की घात 0 है। परीक्षा में बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In the polynomial \(9x-3\), the highest power of the variable \(x\) is 1 and its coefficient is non-zero; therefore, its degree is 1. Polynomial A has degree 2, polynomial C has degree 3, and the constant polynomial \(11\) has degree 0. Exam tip: identify the highest power of the variable with a non-zero coefficient.
बहुपद के मानक रूप में पदों को उनकी घातों के घटते क्रम में लिखा जाता है। विकल्प A में घातें 3, 2, 1 और 0 के क्रम में हैं, इसलिए यह मानक रूप है। विकल्प B, C और D में वही पद अलग-अलग, घटते क्रम के बिना लिखे गए हैं। परीक्षा-युक्ति: सबसे पहले सबसे बड़ी घात वाले पद को लिखें और फिर क्रमशः छोटी घातों की ओर बढ़ें। / In the standard form of a polynomial, its terms are arranged in descending order of their powers. In option A, the powers are 3, 2, 1 and 0, so it is in standard form. Options B, C and D contain the same terms but are not arranged in descending order. Exam tip: begin with the term having the highest power and then write the remaining terms in decreasing powers.
बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घात वाले पद के घातांक के बराबर होती है। \(x^4+x^2+1\) में सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए इसकी घात \(4\) है। विकल्प B, C और D की घात क्रमशः \(3\), \(2\) और \(1\) है। परीक्षा-युक्ति: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए शून्य गुणांक वाले पदों को छोड़कर सबसे बड़े घातांक को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. In \(x^4+x^2+1\), the greatest exponent is \(4\), so its degree is \(4\). The degrees of options B, C and D are \(3\), \(2\) and \(1\), respectively. Exam tip: identify the term with the highest power of the variable and read its exponent.
घन बहुपद की डिग्री 3 होती है। \(x^3-2x+1\) में चर की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। विकल्प B की डिग्री 2, विकल्प C की डिग्री 1 और विकल्प D की डिग्री 0 है। परीक्षा में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, जिसका गुणांक शून्य न हो। / A cubic polynomial has degree 3. In \(x^3-2x+1\), the highest power of the variable is 3, so it is a cubic polynomial. Option B has degree 2, option C has degree 1, and option D has degree 0. Exam tip: Identify the highest power of the variable with a non-zero coefficient to determine the degree.
त्रिपद वह बहुपद होता है जिसमें तीन असमान पद होते हैं। \(x^2+x+1\) में तीन पद—\(x^2\), \(x\) और \(1\)—हैं, इसलिए यह त्रिपद है। विकल्प B द्विपद, विकल्प C एकपद और विकल्प D चतुष्पद है। परीक्षा में पदों की संख्या जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग-अलग पहचानें। / A trinomial is a polynomial containing three unlike terms. In \(x^2+x+1\), the three terms are \(x^2\), \(x\), and \(1\), so it is a trinomial. Option B is a binomial, option C is a monomial, and option D is a four-term polynomial. Exam tip: count the terms separated by plus or minus signs.
द्विपदी वह बहुपद होता है जिसमें दो असमान पद होते हैं। 5x - 7 में 5x और -7 दो पद हैं, इसलिए यह द्विपदी है। विकल्प A में तीन पद, विकल्प C में एक पद और विकल्प D में चार पद हैं। परीक्षा में पदों की संख्या गिनते समय धन या ऋण चिह्न से अलग होने वाले पदों को पहचानें। / A binomial is a polynomial with exactly two unlike terms. In 5x - 7, the terms are 5x and -7, so it is a binomial. Option A has three terms, option C has one term, and option D has four terms. Exam tip: count the terms separated by plus or minus signs, ignoring the sign as part of the term.
एकपदी वह बहुपद है जिसमें केवल एक पद होता है। \(3x^2\) में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदी है। \(x+2\) में दो, \(x^2+x+1\) में तीन और \(x^3-4x\) में दो पद हैं। परीक्षा में पदों की संख्या गिनकर एकपदी की पहचान करें। / A monomial is a polynomial containing exactly one term. The expression \(3x^2\) has only one term, so it is a monomial. The other options contain two or three terms. In an exam, identify a monomial by counting its terms, separated by plus or minus signs.
\(x^2-2=0\) के शून्यक \(\pm\sqrt{2}\) हैं, और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है; अतः दोनों शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं। \(x^2-4\) के शून्यक \(\pm2\) परिमेय हैं। परीक्षा टिप: \(b^2-4ac\) धनात्मक पूर्ण वर्ग न हो, तो शून्यक अक्सर अपरिमेय होते हैं। / For \(x^2-2=0\), the zeroes are \(\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational; hence both are irrational real numbers. In contrast, \(x^2-4\) has rational zeroes \(\pm2\). Exam tip: check whether the discriminant is a positive non-perfect square.
यदि दो शून्यक \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) हों तो उनका योग \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) तथा गुणनफल \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\) होगा। किसी द्विघात का मानक एकल-घटक रूप है \(x^2-(\text{योग})x+(\text{गुणनफल})\) इसलिए मनोनित बहुपद होगा \(x^2-6x+7\)。नजदीकी भ्रामक विकल्प \(x^2-6x+11\) (विकल्प D) में रैखिक गुणक सही है पर स्थिर पद गलत है — यहाँ स्थिर पद 11 है जबकि वास्तविक गुणनफल 7 होना चाहिए। परीक्षात्मक सूचक: सम और गुणनफल तुरंत निकालकर \(x-(\alpha)\)(x-\(\beta\)) का विस्तार कर लें ताकि त्रुटि की संभावना कम रहे। / For zeros \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) the sum is \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) and the product is \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\). A monic quadratic with these zeros is \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=x^2-6x+7\). The closest distractor \(x^2-6x+11\) (option D) has the same linear coefficient but the constant term (product) is incorrect. Exam tip: form \((x-(3+\sqrt{2}))(x-(3-\sqrt{2}))\) and expand — this avoids sign mistakes.
\((x^2-6x+7)\) के लिए विच्छेदक (discriminant) है \(D=b^2-4ac=36-28=8\)। \(D\) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे — अपरिमेय और एक-दूसरे के संयुग्मी। गुणांक (1, −6, 7) सभी परिमेय हैं। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) में गुणांक परिमेय नहीं हैं (\(\sqrt{2}\) मौजूद है); \((x^2-4x+4)\) का discriminant 0 है — शून्यक पुनरावर्ती और परिमेय (2); \((x^2+1)\) का discriminant नकारात्मक है और शून्यक काल्पनिक (\(\pm i\)) हैं। परीक्षा-सुझाव: वर्गीय बहुपद के लिए पहले गुणांकों की परिमेयता जाँचें और फिर discriminant की जाँच करें — धनात्मक और पूर्ण वर्ग न होने पर अपरिमेय संयुग्मी शून्यक मिलते हैं। / For \((x^2-6x+7)\) the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-28=8\). Since \(D>0\) and not a perfect square, the roots are \(3\pm\sqrt{2}\) — irrational and conjugate. The coefficients (1, −6, 7) are rational. Why other choices are wrong: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) has an irrational coefficient (so coefficients are not all rational); \((x^2-4x+4)\) has \(D=0\) giving a repeated rational root 2; \((x^2+1)\) has \(D<0\) giving purely imaginary roots. Exam tip: check coefficient rationality first, then compute the discriminant — irrational conjugate real roots occur when discriminant is positive but not a perfect square.
यदि दिए गए शून्य हों \,\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3} और \,\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}, तो उनका योग \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\) होगा। किसी द्विघात बहुपद के लिए रूप \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\) है, अतः बहुपद \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) बनेगा — विकल्प A। विकल्प B में रैखिक पद का चिह्न उल्टा है इसलिए योग गलत है; विकल्प C में रैखिक गुणांक \(2\sqrt{3}\) वास्तविक योग से मेल नहीं खाता; विकल्प D के शून्य ±\(\sqrt{5}\) होंगे, जो दिए गए नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: जब जड़ें अल्जेब्रिक रूप में दिए हों तो पहले उनका योग और गुणनफल निकालकर सीधे \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) बनाने की आदत डालें। / Let the roots be \(\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and \(\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}\). Then \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) and \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\). For a quadratic with these roots use \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\), giving \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) (option A). Option B has the wrong sign on the linear term, so its sum of roots would be \(-2\sqrt{2}\); option C uses \(2\sqrt{3}\) which does not match the actual sum; option D equals \(0\) at ±\(\sqrt{5}\), not the given irrational roots. Exam tip: compute sum and product of the given roots first — this directly yields the required quadratic polynomial.
एकघात बहुपद का सामान्य रूप \(ax+b\) होता है और इसका शून्य \(-\tfrac{b}{a}\) होता है। यदि बहुपद \(x-\alpha\) हो तो शून्य \(\alpha\) होगा। विकल्प A में \(x-2\sqrt{3}=0\) रखने पर \(x=2\sqrt{3}\) मिलता है, इसलिए यह सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x+2\sqrt{3}=0\) से \(x=-2\sqrt{3}\) मिलता है (सही संकेत उल्टा)। विकल्प C में \(2x-\sqrt{3}=0\) से \(x=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) आता है, जो अलग है। विकल्प D एक द्विघात है (डिग्री 2) और उसके शून्य ±\(2\sqrt{3}\) होंगे; यह एकघात नहीं है। परीक्षा सुझाव: किसी भी रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्य तुरंत \(-b/a\) से निकालें और डिग्री हमेशा जाँचें। / A linear polynomial has the form \(ax+b\) and its zero is \(-\tfrac{b}{a}\). For a polynomial \(x-\alpha\), the zero is \(\alpha\). Setting \(x-2\sqrt{3}=0\) (option A) gives \(x=2\sqrt{3}\), so A is correct. Option B gives \(x=-2\sqrt{3}\) (wrong sign). Option C yields \(x=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\), not \(2\sqrt{3}\). Option D is quadratic (degree 2), not linear; its zeros are ±\(2\sqrt{3}\). Exam tip: For quick checks use \(x=-b/a\) for \(ax+b\) and verify the degree is 1.
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद/All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इस सम्बन्ध में दो बहुपद तभी सम्बन्धित हैं जब उनकी घात समान हो। / In this relation, two polynomials are related exactly when their degrees are equal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग में घात (2) वाले सभी अशून्य बहुपद आएँगे, केवल वही बहुपद नहीं। / So the class contains all non-zero polynomials of degree (2), not only the given polynomial.
किसी भी बहुपद के लिए (p(0)=p(0)), इसलिए स्वतुल्यता पूरी होती है। / For any polynomial, (p(0)=p(0)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p(0)=q(0)), तो (q(0)=p(0)) भी सही है। / If (p(0)=q(0)), then (q(0)=p(0)) also holds.
Step 3
Exam Tip
शून्य पर समान मान रखने की बात तीसरे बहुपद तक भी जाती है, इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / Having the same value at zero passes through a third polynomial, so the relation is equivalence.
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद/All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
समान घात वाले सभी अशून्य बहुपद इससे संबंधित होंगे। / All non-zero polynomials of degree (2) are related to it.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग निकालते समय चुने हुए तत्व की मुख्य विशेषता पहचानकर उसी विशेषता वाले तत्व लें। / To find an equivalence class, identify the key property of the chosen element.
