Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले \(x^4-16\) को (\(x^2\)2-42) लिखें और फिर \(x^2-4\) को भी तोड़ें। परीक्षा में पूर्ण गुणनखंड रूप तक रुकें नहीं। / First write \(x^4-16\) as (\(x^2\)2-42) and then factor \(x^2-4\). Exam tip: do not stop before the complete factorisation.
\(a^4-b^4\) में पहले अंतर वर्ग और फिर \(a^2-b^2\) का गुणनखंडन करें। परीक्षा में \(a^2+b^2\) को सामान्यतः आगे नहीं तोड़ा जाता। / In \(a^4-b^4\), first use difference of squares and then factor \(a^2-b^2\). Exam tip: \(a^2+b^2\) is usually not factored further here.
पहले \(x^2+2xy+y^2\) को ((x+y)2) बनाएं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के बाद अंतर वर्ग लगाएं। / First convert \(x^2+2xy+y^2\) into ((x+y)2). Exam tip: after forming a perfect square, apply difference of squares.
पहले \(4p^2-12pq+9q^2\) को ((2p-3q)2) लिखें। परीक्षा में ऋणात्मक मध्य पद से ((a-b)2) पहचानें। / First write \(4p^2-12pq+9q^2\) as ((2p-3q)2). Exam tip: identify ((a-b)2) from the negative middle term.
\(x^3-8y^3\) को ((x-2y)\(x^2+2xy+4y^2\)) लिखकर समान गुणनखंड लें। परीक्षा में पहले सामान्य द्विपद पहचानें। / Write \(x^3-8y^3\) as ((x-2y)\(x^2+2xy+4y^2\)) and take the common factor. Exam tip: identify the common binomial first.
मध्य पद (7xy) को (6xy+xy) में तोड़ें। परीक्षा में ((2)(3)=6) और योग (7) वाली जोड़ी चुनें। / Split the middle term (7xy) as (6xy+xy). Exam tip: choose the pair with product (6) and sum (7).
फैलाने पर ( (3x+4)(2x-3)=6x-2-x-12 ) मिलता है। परीक्षा में कठिन चिन्हों वाले प्रश्न में विस्तार से जांच करें। / Expanding gives ( (3x+4)(2x-3)=6x-2-x-12 ). Exam tip: verify by expansion when signs are tricky.
(-7ab) के लिए \(12a^2-8ab+ab-b^2\) बनता है। परीक्षा में विकल्प समान दिखें तो फैलाकर पुष्टि करें। / For (-7ab), write \(12a^2-8ab+ab-b^2\). Exam tip: when options look similar, confirm by expansion.
\(x^2\) को एक नया पद मानकर द्विघात की तरह गुणनखंड करें। परीक्षा में \(x^4\) वाले प्रश्न को \(u=x^2\) सोचकर हल करें। / Treat \(x^2\) as a new term and factor like a quadratic. Exam tip: for \(x^4\) type questions, think \(u=x^2\).
\(y^2\) को एक मात्रा मानने पर गुणनफल (36) और योग (-13) चाहिए। परीक्षा में (-4) और (-9) की जोड़ी पहचानें। / Taking \(y^2\) as one quantity, the product must be (36) and the sum (-13). Exam tip: identify the pair (-4) and (-9).
सभी मध्य पद (2ab) प्रकार से (a), (2b), (3c) के जोड़े बनाते हैं। परीक्षा में तीन पदों वाले पूर्ण वर्ग को जोड़ीवार जांचें। / All middle terms form (2ab)-type pairs of (a), (2b), and (3c). Exam tip: check a three-term square pairwise.
यह (m), (-n), (p) का पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में मिश्रित पदों के चिन्ह से ब्रैकेट के चिन्ह तय करें। / This is the perfect square of (m), (-n), and (p). Exam tip: decide bracket signs from the signs of mixed terms.
(9) और (-5) का योग (4) और गुणनफल (-45) है। परीक्षा में अलग चिन्हों में बड़े परिमाण का चिन्ह मध्य पद देता है। / The numbers (9) and (-5) have sum (4) and product (-45). Exam tip: with opposite signs, the larger magnitude gives the middle term sign.
फैलाने पर ( (3x-2)(x-5)=3x-2-17x+10 ) मिलता है। परीक्षा में (ac=30) और योग (-17) वाली जोड़ी लें। / Expanding gives ( (3x-2)(x-5)=3x-2-17x+10 ). Exam tip: choose the pair with product (30) and sum (-17).
(15uv-2uv) से मध्य पद (13uv) बनता है। परीक्षा में ऋणात्मक अंतिम पद के लिए विपरीत चिन्हों की जांच करें। / The split (15uv-2uv) gives the middle term (13uv). Exam tip: for a negative last term, check opposite signs.
फैलाने पर \(7a^2-7ab+2ab-2b^2\) मिलता है। परीक्षा में समान दिखने वाले विकल्पों को विस्तार से जांचें। / Expanding gives \(7a^2-7ab+2ab-2b^2\). Exam tip: verify similar-looking options by expansion.
यह प्रसिद्ध पहचान (x-3+y-3+z-3-3xyz=(x+y+z)\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\)) है। परीक्षा में तीन चर वाली घन पहचान याद रखें। / This is the identity (x-3+y-3+z-3-3xyz=(x+y+z)\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\)). Exam tip: remember the three-variable cubic identity.
पहचान से \(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\) मिलता है। परीक्षा में शर्त (x+y+z=0) मिलते ही (3xyz) याद करें। / The identity gives \(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\). Exam tip: when (x+y+z=0), remember (3xyz).
A. ( (4x+5y+6z)\(16x^2+25y^2+36z^2-20xy-30yz-24xz\) )
Explanation
Simple Explanation
यह ( (4x)3+(5y)3+(6z)3-3(4x)(5y)(6z) ) है। परीक्षा में \(a^3+b^3+c^3-3abc\) पहचान लागू करें। / It is ( (4x)3+(5y)3+(6z)3-3(4x)(5y)(6z) ). Exam tip: apply the identity \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
पहले \(x^2-6xy+9y^2\) को ((x-3y)2) बनाएं। परीक्षा में उसके बाद (16z-2=(4z)2) लगाएं। / First write \(x^2-6xy+9y^2\) as ((x-3y)2). Exam tip: then use (16z-2=(4z)2).
पहले (2) सार्व गुणनखंड निकालें और \(x^3+8\) पर घनों का योग लगाएं। परीक्षा में सार्व गुणनखंड को अलग रखना न भूलें। / First take out common factor (2) and apply sum of cubes to \(x^3+8\). Exam tip: do not forget the common factor.
(81a-4=\(9a^2\)2) और (16b-4=\(4b^2\)2) हैं। परीक्षा में \(9a^2-4b^2\) को आगे भी तोड़ें। / Here (81a-4=\(9a^2\)2) and (16b-4=\(4b^2\)2). Exam tip: factor \(9a^2-4b^2\) further too.
पहले (\(x^2-1\)\(x^2-9\)) मिलता है और दोनों अंतर वर्ग हैं। परीक्षा में पूर्ण गुणनखंड रूप के लिए अंतिम तक तोड़ें। / First we get (\(x^2-1\)\(x^2-9\)), and both are differences of squares. Exam tip: factor till the final complete form.
पहले \(9x^2+30xy+25y^2\) को ((3x+5y)2) बनाएं। परीक्षा में (49z-2=(7z)2) से अंतर वर्ग लगाएं। / First write \(9x^2+30xy+25y^2\) as ((3x+5y)2). Exam tip: use (49z-2=(7z)2) for difference of squares.
विस्तार करके पदों को समूहित करने पर (-(a-b)(b-c)(c-a)) मिलता है। परीक्षा में चक्रीय पदों में चिन्ह बहुत ध्यान से रखें। / Expanding and grouping the terms gives (-(a-b)(b-c)(c-a)). Exam tip: handle signs carefully in cyclic expressions.
इसे ((x+2)2-y-2) के रूप में लिखें। परीक्षा में अपूर्ण वर्ग को पूरा करना उपयोगी होता है। / Write it in the form ((x+2)2-y-2). Exam tip: completing the square-like part is useful.
पहले \(25x^2-20xy+4y^2\) को ((5x-2y)2) बनाएं। परीक्षा में \(36=6^2\) से अंतर वर्ग लागू करें। / First write \(25x^2-20xy+4y^2\) as ((5x-2y)2). Exam tip: use \(36=6^2\) for difference of squares.
पहले \(16a^4-81b^4\) को (\(4a^2\)2-\(9b^2\)2) लिखें। फिर \(4a^2-9b^2\) को आगे तोड़ें। / First write \(16a^4-81b^4\) as (\(4a^2\)2-\(9b^2\)2). Then factor \(4a^2-9b^2\) further.
\(x^2+7x+12\) को ((x+3)(x+4)) तोड़ना पर्याप्त नहीं है। दिए गए विकल्प को फैलाने पर सही पद \( -y^2 \) भी मिलता है। / Factoring \(x^2+7x+12\) as ((x+3)(x+4)) alone is not enough. Expanding the given option also gives the term \(-y^2\).
यह (a), (b), (-c) का पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में (2ab), (-2ac), (-2bc) से चिन्ह तय करें। / This is the perfect square of (a), (b), and (-c). Exam tip: decide signs from (2ab), (-2ac), and (-2bc).
पहले \(x^4+2x^2y^2+y^4\) को (\(x^2+y^2\)2) बनाएं। परीक्षा में बड़े पदों को एक संयुक्त वर्ग मानें। / First write \(x^4+2x^2y^2+y^4\) as (\(x^2+y^2\)2). Exam tip: treat larger expressions as one combined square.
\(a^6-b^6\) को घन और वर्ग दोनों पहचान से पूर्ण रूप में तोड़ा जा सकता है। परीक्षा में \(a^3-b^3\) और \(a^3+b^3\) दोनों को आगे तोड़ें। / \(a^6-b^6\) can be fully factored using both cube and square identities. Exam tip: factor both \(a^3-b^3\) and \(a^3+b^3\) further.
(6xy-4xy) से (2xy) बनता है। परीक्षा में ऋणात्मक अंतिम पद के कारण चिन्ह विपरीत होंगे। / The split (6xy-4xy) gives (2xy). Exam tip: the signs are opposite because the last term is negative.
फैलाने पर \(10p^2-15pq-8pq+12q^2\) मिलता है। परीक्षा में (-15pq) और (-8pq) का योग (-23pq) जांचें। / Expanding gives \(10p^2-15pq-8pq+12q^2\). Exam tip: check that (-15pq) and (-8pq) add to (-23pq).
\(x^3+27y^3\) में ((x+3y)) गुणनखंड आता है। अंदर \(x^2-12xy+9y^2\) बनकर ((x-3y)2) देता है। / The expression \(x^3+27y^3\) has factor ((x+3y)). The inside becomes \(x^2-12xy+9y^2\), giving ((x-3y)2).
\(4a^2-4ab+b^2\) को ((2a-b)2) लिखें। परीक्षा में फिर (25c-2=(5c)2) लगाकर अंतर वर्ग करें। / Write \(4a^2-4ab+b^2\) as ((2a-b)2). Exam tip: then use (25c-2=(5c)2) for difference of squares.
यह (\(3x^2\)2-2\cdot3x-2\cdot5+52) है। परीक्षा में \(x^4\) वाले पूर्ण वर्ग को भी पहचानें। / It is (\(3x^2\)2-2\cdot3x-2\cdot5+52). Exam tip: identify perfect squares involving \(x^4\) too.
इसे ((x+3)2-(2y-3)2) लिखने पर सरल रूप ((x-2y+6)(x+2y)) आता है। परीक्षा में अंतिम उत्तर को सरल करें। / Writing it as ((x+3)2-(2y-3)2) gives the simplified form ((x-2y+6)(x+2y)). Exam tip: simplify the final answer.
(8xy-3xy) से (5xy) बनता है और गुणनफल \(-24x^2y^2\) है। परीक्षा में (ac) विधि से मध्य पद तोड़ें। / The split (8xy-3xy) gives (5xy), and the product is \(-24x^2y^2\). Exam tip: split the middle term using the (ac) method.
पहले \(x^4+4x^2y^2+4y^4\) को (\(x^2+2y^2\)2) बनाएं। परीक्षा में पदों को सही क्रम में लगाना मदद करता है। / First write \(x^4+4x^2y^2+4y^4\) as (\(x^2+2y^2\)2). Exam tip: arranging the terms correctly helps.
यह ((3x)3-(4y)3) है। परीक्षा में घनों के अंतर में दूसरा ब्रैकेट \(a^2+ab+b^2\) होता है। / It is ((3x)3-(4y)3). Exam tip: in difference of cubes, the second bracket is \(a^2+ab+b^2\).
यह ((5m)3+(6n)3) है। परीक्षा में घनों के योग में दूसरे ब्रैकेट का मध्य पद ऋणात्मक होता है। / It is ((5m)3+(6n)3). Exam tip: in sum of cubes, the middle term of the second bracket is negative.
(15xy-4xy) से (11xy) बनता है। परीक्षा में अंतिम पद ऋणात्मक हो तो विपरीत चिन्हों की जोड़ी खोजें। / The split (15xy-4xy) gives (11xy). Exam tip: when the last term is negative, look for opposite signs.
\(x^2+2x+1\) को ((x+1)2) लिखें। परीक्षा में बाकी \(-4y^2\) को (-(2y)2) समझें। / Write \(x^2+2x+1\) as ((x+1)2). Exam tip: treat the remaining \(-4y^2\) as (-(2y)2).
पहले \(49a^2-70ab+25b^2\) को ((7a-5b)2) बनाएं। परीक्षा में फिर \(c^2\) के साथ अंतर वर्ग लगाएं। / First write \(49a^2-70ab+25b^2\) as ((7a-5b)2). Exam tip: then apply difference of squares with \(c^2\).
पहले \(x^4-2x^2y^2+y^4\) को (\(x^2-y^2\)2) लिखें। परीक्षा में संयुक्त पद को एक इकाई की तरह लें। / First write \(x^4-2x^2y^2+y^4\) as (\(x^2-y^2\)2). Exam tip: treat the compound part as one unit.
\(-b^2+2bc-c^2\) को (-(b-c)2) लिखें। तब (a-2-(b-c)2) पर अंतर वर्ग लगाएं। / Write \(-b^2+2bc-c^2\) as (-(b-c)2). Then apply difference of squares to (a-2-(b-c)2).
