100 results found for "coprime-relation" in Class 10.
यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2m) और (q=2n) एक साथ मिलना क्यों असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, why is it impossible to get both (p=2m) and (q=2n)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#multiple-form
A क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (2) will be a common factor of both
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब (p=q) होगा / Because then (p=q)
D क्योंकि तब (2) अभाज्य नहीं रहेगा / Because then (2) will not remain prime
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Correct Answer
A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (2) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=2m) का अर्थ \(2\mid p\) है। / (p=2m) means \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) का अर्थ \(2\mid q\) है। / (q=2n) means \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड देती हैं। / Together, they give a common factor against coprimality.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, पर प्रमाण से (a=3m) और (b=3n) मिलता है, तो क्या निष्कर्ष होगा?
If (a) and (b) are coprime but the proof gives (a=3m) and (b=3n), what conclusion follows?
#real-numbers
#coprime
#root3
#contradiction
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B (a) और (b) सचमुच सहअभाज्य हैं / (a) and (b) are truly coprime
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (m=n=0) है / (m=n=0)
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Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। / (a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। / Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है। / This conflicts with the starting condition of coprimality.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) के सहअभाज्य होने से सीधा टकराव है?
Which option directly conflicts with (p) and (q) being coprime in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#conflict
A \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
B (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
C \(q\neq0\)
D \(\sqrt{2}>0\)
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Correct Answer
A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) का अर्थ है दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) mean both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। / This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
यही टकराव प्रमाण का निर्णायक बिंदु है। / This conflict is the decisive point of the proof.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid p\) और \(5\mid q\) मिलना किस बात का संकेत है?
If (p) and (q) are coprime, what does obtaining \(5\mid p\) and \(5\mid q\) in the proof for \(\sqrt{5}\) indicate?
#real-numbers
#root5
#coprime
#contradiction
A प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B भिन्न सरलतम रूप में है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
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Correct Answer
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। / \(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=5m) और (q=5n) एक साथ क्यों नहीं हो सकते?
If (p) and (q) are coprime, why can (p=5m) and (q=5n) not hold together?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
A क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब (p=q) होगा / Because then (p=q)
D क्योंकि तब (5) सम हो जाएगा / Because then (5) will become even
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Correct Answer
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। / (p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। / (q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं। / Together, these break coprimality.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं और फिर \(2\mid p\), \(2\mid q\) सिद्ध होता है, तो यह किस प्रकार का परिणाम है?
If (p) and (q) are coprime and then \(2\mid p\), \(2\mid q\) are proved, what type of result is this?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#coprime
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिणाम / Ordinary result
C परिभाषा मात्र / Definition only
D दशमलव विस्तार / Decimal expansion
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Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है। / Therefore this is a contradictory result.
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यदि (x) और (y) सहअभाज्य हैं, तो कौन-सी स्थिति असंभव है?
If (x) and (y) are coprime, which situation is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root3
#common-factor
A (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
B (x) विषम और (y) सम हो / (x) is odd and (y) is even
C (x) और (y) अलग-अलग हों / (x) and (y) are different
D (x) धनात्मक और (y) ऋणात्मक हो / (x) is positive and (y) is negative
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Correct Answer
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\).
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) में (p,q) सहअभाज्य हैं, तो (p) और (q) दोनों सम निकलना किस बात का संकेत है?
If (p,q) are coprime in \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), what does it indicate when both (p) and (q) turn out even?
#real-numbers
#root2
#coprime
#evenness
#hard
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B भिन्न सबसे सरल है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
D (p) और (q) में कोई साझा गुणनखंड नहीं है / (p) and (q) have no common factor
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Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Hence the rational assumption is proved false.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन-सा असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
#hard
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (p) विषम और (q) सम हो / (p) is odd and (q) is even
C (p) और (q) अलग-अलग हों / (p) and (q) are different
D (p) धनात्मक और (q) धनात्मक हों / (p) and (q) are positive
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\).
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किस कारण से \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) मानना अंत में गलत सिद्ध होता है, जब (m,n) सहअभाज्य लिए गए हों?
Why is the assumption \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) finally proved wrong when (m,n) are taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#hard
A (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
B (m) और (n) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (2)
C (m) और (n) दोनों अपरिमेय निकलते हैं / (m) and (n) both turn out irrational
D (m) और (n) दोनों शून्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out zero
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Correct Answer
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। / This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो कौन सा परिणाम तुरंत विरोधाभास देगा?
If (a) and (b) are coprime, which result will immediately give a contradiction?
#coprime
#common factor
#hard
#class 10
A (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / Both (a) and (b) are integers
B (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
C \(b\neq 0\)
D (a) धनात्मक है / (a) is positive
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Correct Answer
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है। / So it contradicts their being coprime.
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\(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करने में (p) और (q) को सहअभाज्य मानना क्यों आवश्यक है?
Why is it necessary to assume (p) and (q) coprime while proving \(\sqrt{5}\) irrational?
#sqrt5 proof
#coprime necessity
#hard
#class 10
A ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने / So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction
B ताकि (q=0) बनाया जा सके / So that (q=0) can be made
C ताकि \(\sqrt{5}=5\) सिद्ध हो / So that \(\sqrt{5}=5\) is proved
D ताकि (p) और (q) बराबर हो जाएं / So that (p) and (q) become equal
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Correct Answer
A. ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने / So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / A rational number is written as a lowest-form fraction, so (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही सहअभाज्य शर्त से स्पष्ट विरोधाभास देता है। / This gives a clear contradiction to the coprime condition.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो कौन सा परिणाम उनके बारे में सबसे सीधा विरोधाभास देगा?
If (p) and (q) are coprime, which result would most directly contradict this?
#coprime contradiction
#common factor
#class 10
#hard
A (p=2m) और (q=2n) / (p=2m) and (q=2n)
B (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
C \(q\neq 0\)
D (p) धनात्मक है / (p) is positive
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Correct Answer
A. (p=2m) और (q=2n) / (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) और (q=2n) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (2) उनका साझा गुणनखंड है। / This means (2) is their common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2k) और (q=2r) मिलना क्यों असंभव है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p) and (q) are coprime, why is getting (p=2k) and (q=2r) impossible?
#sqrt2 proof
#coprime impossibility
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (3)
C क्योंकि (q=0) हो जाएगा / Because (q) will become (0)
D क्योंकि (p=q) हो जाएगा / Because (p=q) will happen
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) का अर्थ है (p) सम है। / (p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। / (q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे। / Both have common factor (2), so they cannot be coprime.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो कौन सी बात असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which situation is impossible?
#coprime definition
#proof logic
#class 10
A दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना / Having a common factor other than (1)
B दोनों का पूर्णांक होना / Both being integers
C \(q\neq 0\) होना / Having \(q\neq 0\)
D दोनों का भिन्न में आना / Both appearing in a fraction
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Correct Answer
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना / Having a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा है कि उनका साझा गुणनखंड केवल (1) हो। / Coprime numbers are defined as having only (1) as common factor.
Step 2
Why this answer is correct
(1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिलना असंभव है। / Finding any common factor other than (1) is impossible.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता की सिद्धि इसी असंभव स्थिति को दिखाती है। / Irrationality proofs show exactly this impossible situation.
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तीनों प्रमाणों में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
Why are (p) and (q) taken as coprime in all three proofs?
#coprime
#lowest form
#irrationality proof
#class 10
A क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
B क्योंकि (p) और (q) हमेशा बराबर होते हैं / Because (p) and (q) are always equal
C क्योंकि (q=0) होना चाहिए / Because (q) should be (0)
D क्योंकि (p) और (q) अपरिमेय होते हैं / Because (p) and (q) are irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में इसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In the proof, it is taken in lowest form, so (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलने से यही शर्त टूटती है। / Later, a common factor breaks this condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के सहअभाज्य होने की शर्त का सही अर्थ देता है?
Which option gives the correct meaning of the coprime condition for (p) and (q) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#coprime meaning
#sqrt2 proof
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
B (p) और (q) दोनों सम हैं / Both (p) and (q) are even
C (p=q) है / (p=q)
D (p) और (q) दोनों (2) हैं / Both (p) and (q) are (2)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य का अर्थ है कि दो संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Coprime means two numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों सम मिलना इस अर्थ को तोड़ता है। / So finding both even breaks this meaning.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा साफ समझने से प्रमाण सरल होता है। / Understanding the definition makes the proof easier.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) और (p), (q) सहअभाज्य हैं, तो (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होना किससे टकराता है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and (p), (q) are coprime, proving both (p) and (q) even contradicts what?
#sqrt2 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) के सहअभाज्य होने से / The coprime nature of (p) and (q)
B \(q\neq 0\) से / \(q\neq 0\)
C \(\sqrt{2}\) के धनात्मक होने से / The positivity of \(\sqrt{2}\)
D (p) और (q) के पूर्णांक होने से / (p) and (q) being integers
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Correct Answer
A. (p) और (q) के सहअभाज्य होने से / The coprime nature of (p) and (q)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है। / Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सीधे सहअभाज्य होने से टकराता है। / Therefore it directly contradicts their being coprime.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन सी स्थिति असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following situations is impossible?
#coprime
#common factor
#real numbers
#class 10
A (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / Both (p) and (q) are integers
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
D (p) धनात्मक हो सकता है / (p) may be positive
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Correct Answer
C. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड होगा। / If both are divisible by (5), (5) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / Therefore this is impossible for coprime numbers.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में सहअभाज्य मानने की भूमिका क्या है?
What is the role of assuming coprime numbers in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#coprime
#contradiction
#irrationality proof
#class 10
A साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
B वर्गमूल का दशमलव निकालना / To find the decimal of the square root
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग बनाना / To make the number a perfect square
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Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / A rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Later, a common factor contradicts this condition.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास कब बनेगा?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\). If (a) and (b) are coprime, when will a contradiction occur in the proof?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
B जब (a) और (b) दोनों पूर्णांक हों / When both (a) and (b) are integers
C जब \(b\neq 0\) हो / When \(b\neq 0\)
D जब \(\sqrt{3}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{3}\) is positive
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Correct Answer
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। / If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सहअभाज्य शर्त टूटने को सही दिखाता है?
Which option correctly shows the breaking of the coprime condition in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime condition
#class 10
A (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (p) और (q) पूर्णांक होना / (p) and (q) being integers
D \(q\neq 0\) होना / \(q\neq 0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) और (q=2n) का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (2) उनका साझा गुणनखंड बन जाता है। / Then (2) becomes their common factor.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / A lowest-form fraction should not have such a common factor.
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कौन सा विकल्प बताता है कि (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं?
Which option shows that (p) and (q) are not coprime?
#coprime
#common factor
#proof
#class 10
A दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
B दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
C दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
D दोनों भिन्न में लिखे गए हैं / Both are written in a fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिले, तो वे सहअभाज्य नहीं होंगे। / If any common factor other than (1) is found, they are not coprime.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाण में यही विरोधाभास खोजा जाता है। / This contradiction is searched for in irrationality proofs.
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यदि (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनके सहअभाज्य होने पर क्या असर पड़ेगा?
If both (p) and (q) are divisible by (5), what happens to their being coprime?
#coprime
#divisible by 5
#sqrt5
#class 10
A वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे / They will not remain coprime
B वे अवश्य सहअभाज्य रहेंगे / They will definitely remain coprime
C वे दोनों शून्य बन जाएंगे / Both will become zero
D वे दोनों अपरिमेय बन जाएंगे / Both will become irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे / They will not remain coprime
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / So this situation goes against being coprime.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य लिखने का मुख्य कारण क्या है?
What is the main reason for writing (p) and (q) coprime in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
A क्योंकि वे दोनों (2) हैं / Because both are (2)
B क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
C क्योंकि वे दोनों शून्य हैं / Because both are zero
D क्योंकि वे दोनों अपरिमेय हैं / Because both are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न के रूप में लिया जाता है। / A rational number is taken as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Finding a common factor later contradicts this condition.
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यदि (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, तो वे सहअभाज्य क्यों नहीं हो सकते?
If both (p) and (q) are found even, why can they not be coprime?
#coprime
#even numbers
#sqrt2
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Because both have (2) as a common factor
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Because both have (3) as a common factor
C क्योंकि दोनों बराबर हैं / Because both are equal
D क्योंकि दोनों शून्य हैं / Because both are zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
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\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) लिखने पर (m) और (n) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
Why are (m) and (n) taken as coprime when \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\)?
#sqrt5 proof
#coprime
#rational form
#class 10
A क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है / Because the fraction is taken in lowest form
B क्योंकि दोनों सदैव शून्य होते हैं / Because both are always zero
C क्योंकि दोनों अपरिमेय होते हैं / Because both are irrational
D क्योंकि दोनों बराबर होने चाहिए / Because both must be equal
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Correct Answer
A. क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है / Because the fraction is taken in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में उसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (m) और (n) सहअभाज्य होते हैं। / In the proof, it is taken in lowest form, so (m) and (n) are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलने पर यही बात विरोधाभास देती है। / Later, finding a common factor gives the contradiction.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर (p) और (q) को सहअभाज्य लिखने का मुख्य कारण क्या है?
When assuming \(\sqrt{2}\) to be rational, what is the main reason for writing (p) and (q) as coprime?
#sqrt2 proof
#coprime
#irrationality
#class 10
A ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे / So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
B ताकि (p) और (q) दोनों शून्य हो जाएं / So that both (p) and (q) become zero
C ताकि \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध हो जाए / So that \(\sqrt{2}=2\) is proved
D ताकि (p) और (q) अपरिमेय बन जाएं / So that (p) and (q) become irrational
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Correct Answer
A. ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे / So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के सबसे सरल रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / In lowest form, (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 3
Exam Tip
बाद में दोनों सम मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later, finding both even creates the contradiction.
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यदि (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों, तो सहअभाज्य शर्त से क्या टकराव होता है?
If (p) and (q) are both divisible by (3), what conflict occurs with the coprime condition?
#coprime
#divisible by 3
#sqrt3 proof
#class 10
A दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Both will have (3) as a common factor
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा / Both will have no common factor
C दोनों परिमेय नहीं रहेंगे / Both will no longer be rational
D दोनों बराबर हो जाएंगे / Both will become equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Both will have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि दोनों में (3) गुणनखंड है। / Being divisible by (3) means both have (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास देता है। / Therefore it gives a contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\).
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यदि (p) और (q) दोनों सम हों, तो वे सहअभाज्य क्यों नहीं हो सकते?
If (p) and (q) are both even, why can they not be coprime?
#coprime
#even numbers
#sqrt2 proof
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have (2) as a common factor
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have (3) as a common factor
C क्योंकि दोनों शून्य होंगे / Because both will be zero
D क्योंकि दोनों ऋणात्मक होंगे / Because both will be negative
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers do not have a common factor other than (1).
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प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों माना जाता है?
Why are (p) and (q) assumed to be coprime in the proof?
#coprime
#rational form
#irrationality proof
#class 10
A क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है / Because a rational number is written in its simplest form
B क्योंकि दोनों हमेशा बराबर होते हैं / Because both are always equal
C क्योंकि दोनों शून्य होते हैं / Because both are zero
D क्योंकि दोनों अपरिमेय होते हैं / Because both are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है / Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। / In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Getting another common factor later contradicts this condition.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए, तो विरोध किस रूप में मिलता है?
If (p) and (q) are coprime integers and \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed, in what form does the contradiction appear?
#irrationality proof
#coprime
#prime factor
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (2)
C (p) और (q) दोनों शून्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become zero
D (p) और (q) दोनों परिमेय नहीं रहते / Both (p) and (q) stop being rational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है। / Finding a common factor is the key contradiction in the proof.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं और \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए, तो प्रमाण में कौन-सा विरोध मिलेगा?
If (p) and (q) are coprime positive integers and \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed, what contradiction appears in the proof?
#irrational proof
#square root of 3
#coprime
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों विषम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out odd
C (p) और (q) दोनों शून्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out zero
D (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे। / This makes both (p) and (q) divisible by (3), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रमाण में समान गुणनखंड मिलना ही विरोध बनाता है। / In such proofs, finding a common factor creates the contradiction.
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यदि \(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में अंततः क्या विरोध मिलता है?
If \(\sqrt{2}\) is written as \(\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, what contradiction appears in the proof?
#sqrt 2 proof
#coprime
#irrationality
#class 10
A (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out even
B (p) और (q) दोनों विषम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out odd
C (p) और (q) दोनों शून्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out zero
D (p) और (q) दोनों अभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out prime
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out even
Step 1
Concept
सहअभाज्य मानने का अर्थ है कि (p) और (q) में (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है। / Coprime means (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, यानी उनमें (2) समान गुणनखंड है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) turn out even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही विरोध सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। / This contradiction proves that \(\sqrt{2}\) is not rational.
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यदि (a) और (b) सहाभाज्य हैं, \(a=2^3\times7\) और (ab=1736), तो (b) क्या होगा?
If (a) and (b) are coprime, \(a=2^3\times7\), and (ab=1736), what is (b)?
#real-numbers
#coprime
#prime-factorisation
A (29)
B (31)
C (37)
D (43)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(a=2^3\times7=56\) है। / \(a=2^3\times7=56\).
Step 2
Why this answer is correct
(ab=1736), इसलिए \(b=\frac{1736}{56}=31\), और (56) तथा (31) सहाभाज्य हैं। / Since (ab=1736), \(b=\frac{1736}{56}=31\), and (56) and (31) are coprime.
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें। / Use the coprime condition to verify the final answer.
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यदि दो संख्याएँ सहाभाज्य हैं और उनका गुणनफल (1517) है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are coprime and their product is (1517), what will be their LCM?
#real-numbers
#coprime
#lcm
A (1)
B (37)
C (41)
D (1517)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1517) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1517).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
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यदि (a) और (b) सहाभाज्य हैं, \(a=2^4\times3\) और (ab=2496), तो (b) क्या होगा?
If (a) and (b) are coprime, \(a=2^4\times3\), and (ab=2496), what is (b)?
#real-numbers
#coprime
#prime-factorisation
A (52)
B (48)
C (39)
D (31)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(a=2^4\times3=48\) है। / \(a=2^4\times3=48\).
Step 2
Why this answer is correct
(ab=2496), इसलिए \(b=\frac{2496}{48}=52\), पर (48) और (52) सहाभाज्य नहीं हैं। / (ab=2496), so \(b=\frac{2496}{48}=52\), but (48) and (52) are not coprime.
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य शर्त उत्तर की जाँच में बहुत जरूरी है। / The coprime condition is essential for checking the answer.
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यदि दो संख्याएँ सहाभाज्य हैं और उनका गुणनफल (1147) है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are coprime and their product is (1147), what will be their LCM?
#real-numbers
#coprime
#lcm
A (1)
B (31)
C (37)
D (1147)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1147) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1147).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
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यदि (a) और (b) सहाभाज्य हैं और \(a=2^3\times5\), (ab=1720), तो (b) क्या होगा?
If (a) and (b) are coprime, \(a=2^3\times5\), and (ab=1720), what is (b)?
#real-numbers
#coprime
#prime-factorisation
A (43)
B (86)
C (129)
D (215)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(a=2^3\times5=40\) है। / \(a=2^3\times5=40\).
Step 2
Why this answer is correct
(ab=1720), इसलिए \(b=\frac{1720}{40}=43\), और (40) तथा (43) सहाभाज्य हैं। / Since (ab=1720), \(b=\frac{1720}{40}=43\), and (40) and (43) are coprime.
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें। / Use the coprime condition to verify the final answer.
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यदि दो संख्याएँ सहाभाज्य हैं और उनका गुणनफल (899) है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are coprime and their product is (899), what will be their LCM?
#real-numbers
#coprime
#lcm
A (1)
B (29)
C (31)
D (899)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (899) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (899).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, the LCM equals the product.
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यदि दो संख्याएँ (30u) और (30v) हैं, जहाँ (u) और (v) सहाभाज्य हैं और (uv=26), तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are (30u) and (30v), where (u) and (v) are coprime and (uv=26), what will be their LCM?
#real-numbers
#hcf-lcm
#coprime-form
A (390)
B (520)
C (780)
D (1560)
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Step 1
Concept
जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (30u) और (30v) का लघुत्तम समापवर्त्य (30uv) होता है। / When (u) and (v) are coprime, the LCM of (30u) and (30v) is (30uv).
Step 2
Why this answer is correct
(uv=26), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(30\times26=780\) है। / Since (uv=26), LCM \(=30\times26=780\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने से प्रश्न सरल हो जाता है। / Factoring out the HCF simplifies the question.
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यदि दो संख्याएँ सहाभाज्य हैं और उनका लघुत्तम समापवर्त्य (667) है, तो उनका गुणनफल क्या होगा?
If two numbers are coprime and their LCM is (667), what will be their product?
#real-numbers
#coprime
#lcm-product
A (1)
B (23)
C (29)
D (667)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए गुणनफल \(1\times667=667\) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so product \(=1\times667=667\).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है। / For coprime numbers, the LCM equals the product.
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यदि दो संख्याएँ (18u) और (18v) हैं, जहाँ (u) और (v) सहाभाज्य हैं और (uv=40), तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are (18u) and (18v), where (u) and (v) are coprime and (uv=40), what will be their LCM?
#real-numbers
#hcf-lcm
#coprime-form
A (720)
B (360)
C (900)
D (180)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (18u) और (18v) का लघुत्तम समापवर्त्य (18uv) होता है। / When (u) and (v) are coprime, the LCM of (18u) and (18v) is (18uv).
Step 2
Why this answer is correct
(uv=40), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(18\times40=720\) है। / Since (uv=40), LCM \(=18\times40=720\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने की विधि ऐसे प्रश्नों में उपयोगी है। / Factoring out the HCF is useful in such questions.
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यदि दो संख्याएँ सहाभाज्य हैं और उनका गुणनफल (437) है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are coprime and their product is (437), what will be their LCM?
#real-numbers
#coprime
#lcm
A (1)
B (19)
C (23)
D (437)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (437) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (437).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
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यदि (a) और (b) सहाभाज्य हैं, \(a=2^2\times5\) और (ab=420), तो (b) क्या होगा?
If (a) and (b) are coprime, \(a=2^2\times5\), and (ab=420), what is (b)?
#real-numbers
#coprime
#prime-factorisation
A (21)
B (42)
C (84)
D (105)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(a=2^2\times5=20\) है। / \(a=2^2\times5=20\).
Step 2
Why this answer is correct
(ab=420), इसलिए \(b=\frac{420}{20}=21\) है, और (20) तथा (21) सहाभाज्य भी हैं। / Since (ab=420), \(b=\frac{420}{20}=21\), and (20) and (21) are coprime.
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य शर्त अंतिम उत्तर की जाँच में मदद करती है। / The coprime condition helps verify the final answer.
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यदि दो संख्याएँ सहाभाज्य हैं और उनका लघुत्तम समापवर्त्य (221) है, तो उनका गुणनफल क्या होगा?
If two numbers are coprime and their LCM is (221), what is their product?
#real-numbers
#coprime
#lcm-product
A (1)
B (13)
C (17)
D (221)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर है, इसलिए गुणनफल \(1\times221=221\) होगा। / Product equals HCF times LCM, so product \(=1\times221=221\).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
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यदि दो संख्याएँ सहाभाज्य हैं और उनका गुणनफल (391) है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are coprime and their product is (391), what is their LCM?
#real-numbers
#coprime
#lcm
A (391)
B (1)
C (17)
D (23)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (391) है। / Since product (=) HCF \(\times\) LCM, the LCM is (391).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
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यदि दो सहअभाज्य संख्याओं का गुणनफल \(2^4\times3^2\times5\) है, तो उनका महत्तम समापवर्तक क्या होगा?
If the product of two coprime numbers is \(2^4\times3^2\times5\), what is their HCF?
#real numbers
#coprime numbers
#hcf
#prime factorisation
A (1)
B (2)
C (3)
D (30)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में कोई भी (1) से बड़ा समान गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers do not have any common factor greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक हमेशा (1) होता है, चाहे उनका गुणनफल कितना भी बड़ा हो। / Therefore, their HCF is always (1), even if their product is large.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य शब्द दिखे तो पहले समान गुणनखंड की बात सोचें। / When you see coprime, think about common factors first.
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यदि \(\sqrt{5}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास किस बात से बनेगा?
If \(\sqrt{5}\) is assumed to be \(\frac{p}{q}\) where (p) and (q) are coprime, what creates the contradiction?
#irrationality-proof
#contradiction
#prime-factor
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (2)
C (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (3)
D (p) और (q) दोनों ऋणात्मक होंगे / Both (p) and (q) will be negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है, जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास किससे मिलता है?
If \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction arise?
#proof
#irrationality
#contradiction
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (2)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (5)
D (p) और (q) दोनों विषम हो जाते हैं / Both (p) and (q) become odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (x) और (y) को सहअभाज्य लेते समय किस बात का ध्यान रखना जरूरी है?
While taking (x) and (y) coprime in the proof for \(\sqrt{5}\), what must be kept in mind?
#real-numbers
#root5
#rational-form
#denominator
A \(y\neq0\) होना भी जरूरी है / It is also necessary that \(y\neq0\)
B (y=0) होना जरूरी है / It is necessary that (y=0)
C (x=y) होना जरूरी है / It is necessary that (x=y)
D (x) और (y) दोनों दशमलव हों / Both (x) and (y) must be decimals
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है / It is also necessary that \(y\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{x}{y}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। / In a rational number \(\frac{x}{y}\), the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (x,y) सहअभाज्य पूर्णांक होने के साथ \(y\neq0\) भी लिखना चाहिए। / So along with (x,y) being coprime integers, \(y\neq0\) must also be written.
Step 3
Exam Tip
शर्तें पूरी लिखने से प्रमाण मजबूत बनता है। / Complete conditions make the proof stronger.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) में (a) और (b) को सहअभाज्य न लेने से प्रमाण में क्या कमी आ जाएगी?
While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), what weakness occurs if (a) and (b) in \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) are not taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#proof-logic
A साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
B वर्ग करना संभव नहीं होगा / Squaring will not be possible
C (3) अभाज्य नहीं रहेगा / (3) will no longer be prime
D \(\sqrt{3}\) पूर्णांक बन जाएगी / \(\sqrt{3}\) will become an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। / Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है। / Therefore lowest form must be stated at the beginning.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) और (x,y) सहअभाज्य हैं, तो \(x^2=5y^2\) से कौन-सा निष्कर्ष तुरंत निकलता है?
If \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) and (x,y) are coprime, which conclusion follows immediately from \(x^2=5y^2\)?
#real-numbers
#irrationality
#root5
#proof-step
A \(5\mid x\)
B \(5\mid y\) तुरंत / \(5\mid y\) immediately
C (x=y)
D (y=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid x\)
Step 1
Concept
\(x^2=5y^2\) बताता है कि \(x^2\) में (5) गुणनखंड है। / \(x^2=5y^2\) shows that \(x^2\) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (x) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (x) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
पहले (x) पर निष्कर्ष निकालें, फिर (y) पर जाएँ। / Conclude about (x) first, then move to (y).
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया। यहाँ (a) और (b) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
When \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), why are (a) and (b) taken coprime?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#coprime
A क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
B क्योंकि (a) और (b) हमेशा अभाज्य होते हैं / Because (a) and (b) are always prime
C क्योंकि (a=b) होना जरूरी है / Because (a=b) is necessary
D क्योंकि (b=0) होना चाहिए / Because (b=0) is required
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Later, getting a common factor contradicts this condition.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) और (a,b) सहअभाज्य हैं, तो \(a^2=5b^2\) से पहले कौन-सा निष्कर्ष सही है?
If \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) and (a,b) are coprime, what is the first correct conclusion from \(a^2=5b^2\)?
#real-numbers
#irrationality
#root5
#divisibility
#hard
A \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
B \(5\mid b^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid b^2\), so \(5\mid a\)
C (a) और (b) दोनों विषम हैं / (a) and (b) are both odd
D (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं / (a) and (b) are both prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर। / In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b).
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास मुख्य रूप से किस बात से आता है?
If \(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction mainly come from?
#real-numbers
#irrationality
#root2
#proof
#hard
A (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
B केवल (p) विषम हो जाता है / Only (p) becomes odd
C केवल (q) विषम हो जाता है / Only (q) becomes odd
D (p) और (q) दोनों ऋणात्मक हो जाते हैं / (p) and (q) both become negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। / So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / In exams, remember that coprime numbers cannot both be even.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा गया है। यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(p^2=2q^2\) से सही अगला निष्कर्ष कौन सा है?
\(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\). If (p) and (q) are coprime, what is the correct next conclusion from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#even square
#class 10
A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B \(q^2\) सम है / \(q^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। / So \(p^2\) is even and then (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की। / In proofs, first write divisibility of the square, then of the number.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) है, जहां (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो (b) के बारे में कौन सी शर्त जरूरी है?
If \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where (a) and (b) are coprime, which condition about (b) is necessary?
#rational form
#denominator
#sqrt3
#class 10
A \(b\neq 0\)
B (b=0)
C \(b=\sqrt{3}\)
D (b) अपरिमेय है / (b) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(b\neq 0\)
Step 1
Concept
किसी भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{a}{b}\) लिखते समय \(b\neq 0\) जरूरी है। / So while writing \(\frac{a}{b}\), the condition \(b\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह शर्त साथ लिखें। / Write this condition when expressing a rational number.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए तो विरोधाभास कहां बनता है?
If (p) and (q) are coprime positive integers and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed then where does the contradiction arise?
#proof
#irrationality
#sqrt2
#class 10
A (p) और (q) दोनों विषम मिलते हैं / Both (p) and (q) become odd
B (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) become even
C (p) अभाज्य नहीं मिलता / (p) is not prime
D (q=1) मिल जाता है / (q=1) is obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=2q^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) सम और फिर (q) भी सम मिलता है। / This makes (p) even and then (q) even.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याएं दोनों सम नहीं हो सकतीं इसलिए मान्यता गलत है। / Coprime numbers cannot both be even so the assumption is false.
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यदि दो संख्याएं सह-अभाज्य हैं, तो उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के संबंध से क्या निष्कर्ष मिलता है?
If two numbers are co-prime, what conclusion follows from the relation between their HCF and LCM?
#coprime
#lcm
#hcf-lcm-relation
A उनका लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है / Their LCM is equal to their product
B उनका लघुत्तम समापवर्त्य हमेशा 1 होता है / Their LCM is always 1
C उनका महत्तम समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है / Their HCF is equal to their product
D दोनों संख्याएं हमेशा बराबर होती हैं / Both numbers are always equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. उनका लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है / Their LCM is equal to their product
Step 1
Concept
सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। / Co-prime numbers have HCF 1.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है। / Therefore, the LCM of co-prime numbers is equal to their product.
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यदि दो संख्याएं सह-अभाज्य हैं और उनका गुणनफल 391 है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are co-prime and their product is 391, what is their LCM?
#coprime
#lcm
#hcf-lcm-relation
A 17
B 23
C 391
D 1
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। / Co-prime numbers have HCF 1.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 3
Exam Tip
इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 391 होगा। / Therefore, the LCM will be 391.
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यदि दो संख्याएं सह-अभाज्य हैं और उनका गुणनफल 221 है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा?
If two numbers are co-prime and their product is 221, what is their LCM?
#coprime
#lcm
#hcf-lcm-relation
A 1
B 13
C 17
D 221
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। / Co-prime numbers have HCF 1.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 3
Exam Tip
इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (221) होगा। / Therefore, the LCM is (221).
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यदि दो संख्याएं सह-अभाज्य हैं, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य किसके बराबर होता है?
If two numbers are co-prime, their LCM is equal to what?
#coprime
#lcm
#hcf-lcm-relation
A उनके गुणनफल के बराबर / Equal to their product
B हमेशा 1 के बराबर / Always equal to 1
C उनके अंतर के बराबर / Equal to their difference
D उनके महत्तम समापवर्तक के बराबर / Equal to their HCF
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Correct Answer
A. उनके गुणनफल के बराबर / Equal to their product
Step 1
Concept
सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। / Co-prime numbers have HCF 1.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है। / Therefore, the LCM of co-prime numbers is equal to their product.
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यदि दो संख्याएं सह-अभाज्य हैं, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य किसके बराबर होता है?
If two numbers are co-prime, their LCM is equal to what?
#coprime
#lcm
#hcf-lcm-relation
A उनके गुणनफल के बराबर / Equal to their product
B हमेशा 1 के बराबर / Always equal to 1
C उनके योग के बराबर / Equal to their sum
D उनके अंतर के बराबर / Equal to their difference
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Correct Answer
A. उनके गुणनफल के बराबर / Equal to their product
Step 1
Concept
सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। / Co-prime numbers have HCF 1.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है। / Therefore, the LCM of co-prime numbers is equal to their product.
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\(\frac{44}{105}\) के दशमलव प्रसार का सही प्रकार क्या है?
What is the correct type of decimal expansion of \(\frac{44}{105}\)?
#recurring decimal
#coprime fraction
#real numbers
A समाप्त / Terminating
B असमाप्त आवर्ती / Non-terminating recurring
C असमाप्त अनावर्ती / Non-terminating non-recurring
D शून्य / Zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. असमाप्त आवर्ती / Non-terminating recurring
Step 1
Concept
(44) और (105) सहअभाज्य हैं। / (44) and (105) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
\(105=3\times5\times7\), इसलिए हर में (3) और (7) भी हैं। / \(105=3\times5\times7\), so the denominator has (3) and (7) as well.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा अभाज्य होने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है। / A reduced denominator with primes other than (2) and (5) gives a non-terminating recurring decimal.
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\(\frac{23}{2^2\times5^3}\) के दशमलव प्रसार के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct about the decimal expansion of \(\frac{23}{2^2\times5^3}\)?
#decimal-places
#prime-powers
#coprime
A यह (2) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (2) places
B यह (3) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (3) places
C यह (5) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (5) places
D यह समाप्त नहीं होगा / It will not terminate
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह (3) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (3) places
Step 1
Concept
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (2) और (5) की घात (3) है, इसलिए बड़ी घात (3) है। / The powers are (2) for (2) and (3) for (5), so the larger exponent is (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: अंश (23) हर से सहअभाज्य है, इसलिए स्थानों की गिनती सीधे हर से करें। / Exam tip: Since numerator (23) is coprime with the denominator, count places directly from the denominator.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) और फिर \(3\mid q\) मिलने पर कौन-सा कथन गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after getting \(3\mid p\) and then \(3\mid q\), which statement would be false?
#real-numbers
#root3
#false-statement
#coprime
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are both divisible by (3)
B (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
C (3) साझा गुणनखंड है / (3) is a common factor
D \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
\(3\mid p\) और \(3\mid q\) से (3) साझा गुणनखंड है। / \(3\mid p\) and \(3\mid q\) make (3) a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
साझा गुणनखंड होने पर दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं रह सकतीं। / With a common factor, the two numbers cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है। / Therefore the statement that they are coprime becomes false.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में परिमेय संख्या की कौन-सी विशेषता उपयोग होती है?
Which property of rational numbers is used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#rational-number
#coprime
#proof-base
A हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
B हर परिमेय संख्या पूर्णांक होती है / Every rational number is an integer
C हर परिमेय संख्या का हर शून्य होता है / Every rational number has zero denominator
D हर परिमेय संख्या अभाज्य होती है / Every rational number is prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है। / This property is used to create the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य होना किस प्रारंभिक शर्त को तोड़ता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) being divisible by (5) breaks which initial condition?
#real-numbers
#root5
#coprime
#initial-condition
A दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
B दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
C दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
D \(b\neq0\) है / \(b\neq0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। / This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है। / (5) being common to both breaks this condition.
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यदि \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को किससे घटाया जा सकता है?
If both (p) and (q) are proved even in the proof for \(\sqrt{2}\), by what can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#real-numbers
#root2
#fraction-reduction
#coprime
A (3) से / by (3)
B (2) से / by (2)
C (5) से / by (5)
D (q) से ही / by (q) itself
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (2) से / by (2)
Step 1
Concept
सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। / Even means divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। / If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। इसका (\gcd(a,b)) पर क्या प्रभाव है?
While proving \(\sqrt{5}\) irrational, both (a) and (b) turn out divisible by (5). What is its effect on (\gcd(a,b))?
#real-numbers
#root5
#gcd
#coprime
A (\gcd(a,b)=1) ही रहेगा / (\gcd(a,b)=1) will still remain
B (\gcd(a,b)=0) होगा / (\gcd(a,b)=0)
C (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा / (\gcd(a,b)) will be at least (5)
D (\gcd(a,b)) अवश्य (2) होगा / (\gcd(a,b)) must be (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा / (\gcd(a,b)) will be at least (5)
Step 1
Concept
दोनों संख्याएँ (5) से विभाज्य हैं। / Both numbers are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता, वह कम से कम (5) होगा। / Therefore their greatest common divisor cannot remain (1); it will be at least (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्यता की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the coprimality condition.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) की सहअभाज्यता से सीधे टकराता है?
Which statement directly conflicts with the coprimality of (p) and (q) in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#common-factor
A (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
B \(q\neq0\) है / \(q\neq0\)
C \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
D \(\sqrt{2}>1\) है / \(\sqrt{2}>1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) से (2) साझा गुणनखंड बनता है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) make (2) a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास है। / This is the final contradiction.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) लिया गया है, तो (a) और (b) के बारे में कौन-सी शर्त प्रमाण के लिए अनिवार्य है?
If \(\sqrt{5}\) is assumed rational as \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), which condition about (a) and (b) is essential for the proof?
#real-numbers
#root5
#rational-form
#coprime
A (a=b) होना चाहिए / (a=b) must hold
B (b=0) होना चाहिए / (b=0) must hold
C (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए / (a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
D (a) और (b) दोनों (5) होने चाहिए / Both (a) and (b) must be (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए / (a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है, इसलिए (a,b) सहअभाज्य और \(b\neq0\) होते हैं। / In the proof, the fraction is taken in lowest form, so (a,b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यही शर्त बाद में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है। / This condition later creates the contradiction with a common factor.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#expert
A सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
B यह सिद्ध करना कि (p=q) है / To prove that (p=q)
C यह सिद्ध करना कि \(\sqrt{3}\) पूर्णांक है / To prove that \(\sqrt{3}\) is an integer
D यह दिखाना कि (q=0) है / To show that (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य होने पर कौन-सा कथन गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (x) and (y) are divisible by (5), which statement would be false?
#real-numbers
#root5
#coprime
#false-statement
A (x) और (y) सहअभाज्य हैं / (x) and (y) are coprime
B (x) (5) से विभाज्य है / (x) is divisible by (5)
C (y) (5) से विभाज्य है / (y) is divisible by (5)
D (5) साझा गुणनखंड है / (5) is a common factor
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं / (x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। / Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है। / Therefore the statement that they are coprime is proved false.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में किस स्थान पर सहअभाज्यता का उपयोग निर्णायक रूप से होता है?
At which point is coprimality used decisively in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#decisive-step
A जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं / When both (p) and (q) are proved even
B जब \(\sqrt{2}\) को वर्ग किया जाता है / When \(\sqrt{2}\) is squared
C जब (2) को धनात्मक माना जाता है / When (2) is taken positive
D जब \(q\neq0\) लिखा जाता है / When \(q\neq0\) is written
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं / When both (p) and (q) are proved even
Step 1
Concept
सहअभाज्यता का अर्थ है साझा गुणनखंड न होना। / Coprimality means there is no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
(p) और (q) दोनों सम सिद्ध होने पर (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है। / When both (p) and (q) are proved even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसी समय सहअभाज्यता निर्णायक विरोधाभास देती है। / At this point, coprimality gives the decisive contradiction.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम होने पर किस संख्या से भिन्न को और घटाया जा सकता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, by which number can the fraction be further reduced?
#real-numbers
#root2
#fraction-reduction
#coprime
A (2)
B (3)
C (5)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। / Being even means being divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। / If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप के विरुद्ध है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, तो (\gcd(x,y)) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (x) and (y) turn out divisible by (5), what can be said about (\gcd(x,y))?
#real-numbers
#root5
#gcd
#coprime
A (\gcd(x,y)\ge5)
B (\gcd(x,y)=1) अवश्य / (\gcd(x,y)=1) necessarily
C (\gcd(x,y)=0)
D (\gcd(x,y)=2) अवश्य / (\gcd(x,y)=2) necessarily
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(x,y)\ge5)
Step 1
Concept
(x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य हैं। / Both (x) and (y) are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम (5) होगा। / Therefore their greatest common divisor is at least (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। / This goes against the condition of being coprime.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का सही अंतिम विरोधाभास लिखा है?
Which option states the correct final contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / (a) and (b) are both integers
C (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। / Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य क्यों असंभव है?
Why is it impossible for both (p) and (q) to be divisible by (5) in the irrationality proof of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#coprime
#impossibility
A क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है। / So this situation goes against the starting condition.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण के अंत में सही विरोधाभास बताता है?
Which statement gives the correct contradiction at the end of the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#coprime
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों विषम हैं / (p) and (q) are both odd
C (p) और (q) दोनों धनात्मक हैं / (p) and (q) are both positive
D (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। / Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational.
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किस कथन से \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वास्तविक विरोधाभास बनता है?
Which statement creates the actual contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों धनात्मक हैं / (a) and (b) are both positive
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (3) है / The square of \(\sqrt{3}\) is (3)
D (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। / The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते। / Coprimality and a common factor cannot occur together.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में गलत निष्कर्ष है?
Which option is a wrong conclusion in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#coprime
#hard
A \(5\mid a^2\) से \(5\mid a\) / From \(5\mid a^2\), \(5\mid a\)
B (a=5k) रखने पर \(5\mid b^2\) / After putting (a=5k), \(5\mid b^2\)
C \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) / From \(5\mid b^2\), \(5\mid b\)
D \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Step 1
Concept
\(5\mid a\) केवल (a) की विभाज्यता बताता है। / \(5\mid a\) only tells divisibility of (a).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में \(5\mid b\) भी मिलता है, जिससे साझा गुणनखंड बनता है। / Later \(5\mid b\) is also obtained, creating a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य सिद्ध नहीं होता, बल्कि विरोधाभास मिलता है। / So coprimality is not proved; a contradiction is obtained.
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यदि (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If both (p) and (q) are divisible by (3), what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#real-numbers
#coprime
#root3
#lowest-form
#hard
A यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह हमेशा शून्य है / It is always zero
C यह हमेशा पूर्णांक है / It is always an integer
D यह अवश्य ऋणात्मक है / It must be negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। / So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है। / This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\).
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किस स्थिति में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में नहीं कहा जा सकता?
In which situation can \(\frac{p}{q}\) not be called lowest form?
#real-numbers
#lowest-form
#coprime
#fraction
#hard
A जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
B जब (p) और (q) दोनों पूर्णांक हों / When (p) and (q) are both integers
C जब \(q\neq0\) हो / When \(q\neq0\)
D जब (p) और (q) अलग-अलग हों / When (p) and (q) are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप का मतलब है कि अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Lowest form means numerator and denominator have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि साझा गुणनखंड (1) से बड़ा है, तो भिन्न और सरल की जा सकती है। / If a common factor greater than (1) exists, the fraction can still be reduced.
Step 3
Exam Tip
यही विचार अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनता है। / This idea becomes the contradiction in irrationality proofs.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का विरोधाभास सही लिखा है?
Which option correctly states the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
B (p) और (q) बराबर हैं, इसलिए वे सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are equal, so they are coprime
C (p) विषम है और (q) सम है / (p) is odd and (q) is even
D (p) धनात्मक है और (q) ऋणात्मक है / (p) is positive and (q) is negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है। / The contradiction is the clash between coprimality and a common factor.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद \(p^2=2q^2\) लिखते समय कौन-सी शर्त नहीं भूलनी चाहिए?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational and writing \(p^2=2q^2\), which condition must not be forgotten?
#real-numbers
#root2
#rational-assumption
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\) / (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
B (p) और (q) दोनों अभाज्य हैं / (p) and (q) are both prime
C (p) और (q) दोनों ऋणात्मक हैं / (p) and (q) are both negative
D (p) और (q) दोनों (2) से पहले ही विभाज्य हैं / (p) and (q) are already divisible by (2)
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\) / (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(q\neq0\)। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेना होता है, इसलिए (p,q) सहअभाज्य हैं। / The fraction is taken in lowest form, so (p,q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
यही शर्त बाद में विरोधाभास दिखाती है। / This condition is what creates the contradiction later.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में लेना क्यों जरूरी है?
Why is it necessary to take \(\frac{p}{q}\) in lowest form while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#coprime
#hard
A ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
B ताकि (p) और (q) दोनों शून्य हो सकें / So that (p) and (q) can both be zero
C ताकि \(\sqrt{2}\) पूर्णांक बन जाए / So that \(\sqrt{2}\) becomes an integer
D ताकि (q) को हटाया जा सके / So that (q) can be removed
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Correct Answer
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। / The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है। / Always mention coprime at the start of the proof.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p=5k) और (q=5r) मिलने पर कौन सी आरंभिक शर्त टूटती है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which initial condition breaks?
#sqrt5 proof
#coprime condition
#hard
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / \(\sqrt{5}\) is positive
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। / (p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the initial lowest-form condition.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, तो इससे कौन सा महत्तम समापवर्तक संबंध निश्चित रूप से टूटता है?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) turn out divisible by (3), which greatest common divisor condition definitely breaks?
#sqrt3 proof
#gcd
#coprime
#hard
A (\gcd(p,q)=1)
B (\gcd(p,q)=3q)
C (\gcd(p,q)=0)
D (\gcd(p,q)=p+q)
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Correct Answer
A. (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लेने का अर्थ है (\gcd(p,q)=1)। / Taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form means (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। / If both are divisible by (3), their greatest common divisor is at least (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त टूट जाती है। / Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) breaks.
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलते हैं, तो सबसे उचित विरोधाभास क्या है?
If (p=3r) and (q=3s) are obtained in the proof of \(\sqrt{3}\), what is the most appropriate contradiction?
#sqrt3 proof
#lowest form
#coprime
#hard
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
B \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य हो जाती है / \(\frac{p}{q}\) becomes zero
D (p) और (q) पूर्णांक नहीं रहते / (p) and (q) are no longer integers
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
(p=3r) और (q=3s) का अर्थ है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / (p=3r) and (q=3s) mean both (p) and (q) have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / The numerator and denominator of a lowest-form fraction should be coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है। / Thus this contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलना किस कथन को असत्य बनाता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) being even makes which statement false?
#sqrt2 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
B (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
C \(q\neq 0\)
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have any common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने की बात असत्य हो जाती है। / So the statement that they are coprime becomes false.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो यह किससे विरोध करता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are found divisible by (3), what does this contradict?
#sqrt3 proof
#contradiction
#coprime
#class 10
A उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
B उनके पूर्णांक होने से / Their being integers
C \(q\neq 0\) होने से / \(q\neq 0\)
D (3) के अभाज्य होने से / (3) being prime
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Correct Answer
A. उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। / If both are divisible by (3), common factor (3) exists.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Therefore it contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है, तो (a) और (b) के बारे में क्या सही है?
Assume \(\sqrt{2}\) is rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\). If \(\frac{a}{b}\) is in lowest form, what is true about (a) and (b)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
A वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
B वे दोनों सम हैं / Both are even
C वे दोनों (2) के बराबर हैं / Both are equal to (2)
D वे दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। / In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later, finding a common factor creates the contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने का सही प्रभाव बताता है?
Which option correctly states the effect of both (p) and (q) being divisible by (3) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#lowest form
#coprime
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता / \(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form
B \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य हो जाता है / \(\frac{p}{q}\) becomes zero
D (p) और (q) अपरिमेय बन जाते हैं / (p) and (q) become irrational
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता / \(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (3) है। / If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है। / So it contradicts the lowest-form assumption.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो कौन सी बात गलत सिद्ध होती है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (p) and (q) divisible by (3), which fact is proved false?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
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Correct Answer
C. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य होने पर साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने की मान्यता टूटती है। / Thus the assumption of being coprime breaks.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो (p) और (q) के बारे में कौन सा निष्कर्ष बनेगा?
In proving \(\sqrt{2}\), if (q) is also proved even, what conclusion follows about (p) and (q)?
#sqrt2 proof
#even
#coprime
#class 10
A दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
B दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
C दोनों बराबर हैं / Both are equal
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
पहले (p) सम सिद्ध होता है। / First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। / If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / Common factor (2) breaks the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस बात के विरुद्ध है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are found divisible by (5). This is against what?
#sqrt5 contradiction
#coprime
#class 10
A उनके सहअभाज्य होने के / Their being coprime
B उनके पूर्णांक होने के / Their being integers
C उनके धनात्मक होने के / Their being positive
D उनके भिन्न में होने के / Their being in a fraction
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Correct Answer
A. उनके सहअभाज्य होने के / Their being coprime
Step 1
Concept
(p) और (q) को शुरुआत में सहअभाज्य माना गया था। / At the beginning, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / So this goes against their being coprime.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास को सही ढंग से कौन सा विकल्प बताता है?
Which option correctly states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (2)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
D (p) और (q) दोनों (9) के बराबर हैं / Both (p) and (q) are equal to (9)
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Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास है। / This is the final contradiction.
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यदि कोई भिन्न सरलतम रूप में है, तो उसके अंश और हर के बारे में क्या सही है?
If a fraction is in lowest form, what is true about its numerator and denominator?
#lowest form
#coprime
#fraction
#class 10
A वे दोनों बराबर होते हैं / They are equal
B वे सहअभाज्य होते हैं / They are coprime
C वे दोनों शून्य होते हैं / They are both zero
D वे दोनों अपरिमेय होते हैं / They are both irrational
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Correct Answer
B. वे सहअभाज्य होते हैं / They are coprime
Step 1
Concept
सरलतम रूप का अर्थ है कि भिन्न को और छोटा नहीं किया जा सकता। / Lowest form means the fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अंश और हर का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / So the numerator and denominator have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाण में यही बात जरूरी होती है। / This fact is important in irrationality proofs.
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