A. (p=2m) और (q=2n) मिलना/Getting (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then (2) becomes their common factor.
Step 3
Exam Tip
A lowest-form fraction should not have such a common factor. चरण 1: (p=2m) और (q=2n) का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब (2) उनका साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है/The only common factor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
Coprime means two numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
So finding both even breaks this meaning.
Step 3
Exam Tip
Understanding the definition makes the proof easier. चरण 1: सहअभाज्य का अर्थ है कि दो संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। चरण 2: इसलिए दोनों सम मिलना इस अर्थ को तोड़ता है। चरण 3: परिभाषा साफ समझने से प्रमाण सरल होता है।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा/Both will have (3) as a common factor
Step 1
Concept
Being divisible by (3) means both have (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore it gives a contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि दोनों में (3) गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास देता है।
A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (2) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=2m) means \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) means \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they give a common factor against coprimality. चरण 1: (p=2m) का अर्थ \(2\mid p\) है। चरण 2: (q=2n) का अर्थ \(2\mid q\) है। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड देती हैं।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This conflicts with the starting condition of coprimality. चरण 1: (a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 2: इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है।
A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) mean both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This conflict is the decisive point of the proof. चरण 1: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) का अर्थ है दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही टकराव प्रमाण का निर्णायक बिंदु है।
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: \(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, these break coprimality. चरण 1: (p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। चरण 2: (q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं।
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
Therefore this is a contradictory result. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। चरण 3: इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है।
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों/Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। चरण 2: दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 2: यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/(m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
So it contradicts their being coprime. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है।
A. ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने/So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction
Step 1
Concept
A rational number is written as a lowest-form fraction, so (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This gives a clear contradiction to the coprime condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यही सहअभाज्य शर्त से स्पष्ट विरोधाभास देता है।
Coprime numbers should not have a common factor other than (1). चरण 1: (p=2m) और (q=2n) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (2) उनका साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Both have common factor (2), so they cannot be coprime. चरण 1: (p=2k) का अर्थ है (p) सम है। चरण 2: (q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। चरण 3: दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे।
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना/Having a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Coprime numbers are defined as having only (1) as common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Finding any common factor other than (1) is impossible.
Step 3
Exam Tip
Irrationality proofs show exactly this impossible situation. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा है कि उनका साझा गुणनखंड केवल (1) हो। चरण 2: (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिलना असंभव है। चरण 3: अपरिमेयता की सिद्धि इसी असंभव स्थिति को दिखाती है।
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है/Because a rational number is written as a fraction in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, it is taken in lowest form, so (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, a common factor breaks this condition. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: प्रमाण में इसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलने से यही शर्त टूटती है।
A. (p) और (q) के सहअभाज्य होने से/The coprime nature of (p) and (q)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore it directly contradicts their being coprime. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: इसलिए यह सीधे सहअभाज्य होने से टकराता है।
C. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), (5) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore this is impossible for coprime numbers. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 2: दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
A. साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when a common factor is found
Step 1
Concept
A rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, a common factor contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से विरोधाभास बनाता है।
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें/When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है/They have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If any common factor other than (1) is found, they are not coprime.
Step 3
Exam Tip
This contradiction is searched for in irrationality proofs. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 2: यदि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिले, तो वे सहअभाज्य नहीं होंगे। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाण में यही विरोधाभास खोजा जाता है।
A. वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे/They will not remain coprime
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against being coprime. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह स्थिति सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
B. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है/Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is taken as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न के रूप में लिया जाता है। चरण 2: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers have no common factor except (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता।
A. क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है/Because the fraction is taken in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, it is taken in lowest form, so (m) and (n) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor gives the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में उसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (m) और (n) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलने पर यही बात विरोधाभास देती है।
A. ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे/So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 3
Exam Tip
Later, finding both even creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के सबसे सरल रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 3: बाद में दोनों सम मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers do not have a common factor other than (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता।
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है/Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Getting another common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor is the key contradiction in the proof. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है।
This makes both (p) and (q) divisible by (3), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
In such proofs, finding a common factor creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: ऐसे प्रमाण में समान गुणनखंड मिलना ही विरोध बनाता है।
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out even
Step 1
Concept
Coprime means (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) turn out even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: सहअभाज्य मानने का अर्थ है कि (p) और (q) में (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है। चरण 2: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, यानी उनमें (2) समान गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोध सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
Since (ab=1736), \(b=\frac{1736}{56}=31\), and (56) and (31) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Use the coprime condition to verify the final answer. चरण 1: \(a=2^3\times7=56\) है। चरण 2: (ab=1736), इसलिए \(b=\frac{1736}{56}=31\), और (56) तथा (31) सहाभाज्य हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1517).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1517) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
(ab=2496), so \(b=\frac{2496}{48}=52\), but (48) and (52) are not coprime.
Step 3
Exam Tip
The coprime condition is essential for checking the answer. चरण 1: \(a=2^4\times3=48\) है। चरण 2: (ab=2496), इसलिए \(b=\frac{2496}{48}=52\), पर (48) और (52) सहाभाज्य नहीं हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त उत्तर की जाँच में बहुत जरूरी है।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1147).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1147) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
Since (ab=1720), \(b=\frac{1720}{40}=43\), and (40) and (43) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Use the coprime condition to verify the final answer. चरण 1: \(a=2^3\times5=40\) है। चरण 2: (ab=1720), इसलिए \(b=\frac{1720}{40}=43\), और (40) तथा (43) सहाभाज्य हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (899).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, the LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (899) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
When (u) and (v) are coprime, the LCM of (30u) and (30v) is (30uv).
Step 2
Why this answer is correct
Since (uv=26), LCM \(=30\times26=780\).
Step 3
Exam Tip
Factoring out the HCF simplifies the question. चरण 1: जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (30u) और (30v) का लघुत्तम समापवर्त्य (30uv) होता है। चरण 2: (uv=26), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(30\times26=780\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने से प्रश्न सरल हो जाता है।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so product \(=1\times667=667\).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, the LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए गुणनफल \(1\times667=667\) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है।
When (u) and (v) are coprime, the LCM of (18u) and (18v) is (18uv).
Step 2
Why this answer is correct
Since (uv=40), LCM \(=18\times40=720\).
Step 3
Exam Tip
Factoring out the HCF is useful in such questions. चरण 1: जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (18u) और (18v) का लघुत्तम समापवर्त्य (18uv) होता है। चरण 2: (uv=40), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(18\times40=720\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने की विधि ऐसे प्रश्नों में उपयोगी है।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (437).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (437) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
Since (ab=420), \(b=\frac{420}{20}=21\), and (20) and (21) are coprime.
Step 3
Exam Tip
The coprime condition helps verify the final answer. चरण 1: \(a=2^2\times5=20\) है। चरण 2: (ab=420), इसलिए \(b=\frac{420}{20}=21\) है, और (20) तथा (21) सहाभाज्य भी हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त अंतिम उत्तर की जाँच में मदद करती है।
Product equals HCF times LCM, so product \(=1\times221=221\).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर है, इसलिए गुणनफल \(1\times221=221\) होगा। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है।
Since product (=) HCF \(\times\) LCM, the LCM is (391).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (391) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
Coprime numbers do not have any common factor greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, their HCF is always (1), even if their product is large.
Step 3
Exam Tip
When you see coprime, think about common factors first. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में कोई भी (1) से बड़ा समान गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक हमेशा (1) होता है, चाहे उनका गुणनफल कितना भी बड़ा हो। चरण 3: सहअभाज्य शब्द दिखे तो पहले समान गुणनखंड की बात सोचें।
So while writing \(\frac{a}{b}\), the condition \(b\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Write this condition when expressing a rational number. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(\frac{a}{b}\) लिखते समय \(b\neq 0\) जरूरी है। चरण 3: परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह शर्त साथ लिखें।
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
(5) being common to both breaks this condition. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। चरण 3: दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
This breaks the initial lowest-form condition. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। चरण 3: यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे/Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (5). From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Both (p) and (q) become divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3). From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें।
A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है/It is also necessary that \(y\neq0\)
Step 1
Concept
In a rational number \(\frac{x}{y}\), the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
So along with (x,y) being coprime integers, \(y\neq0\) must also be written.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{x}{y}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए (x,y) सहअभाज्य पूर्णांक होने के साथ \(y\neq0\) भी लिखना चाहिए। चरण 3: शर्तें पूरी लिखने से प्रमाण मजबूत बनता है।
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा/Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore lowest form must be stated at the beginning. चरण 1: विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। चरण 2: यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। चरण 3: इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है।
\(x^2=5y^2\) shows that \(x^2\) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (x) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Conclude about (x) first, then move to (y). चरण 1: \(x^2=5y^2\) बताता है कि \(x^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (x) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले (x) पर निष्कर्ष निकालें, फिर (y) पर जाएँ।
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है/Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, getting a common factor contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। चरण 2: उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\)/\(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b). चरण 1: समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर।
So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that coprime numbers cannot both be even. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं।
In proofs, first write divisibility of the square, then of the number. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। चरण 3: प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की।
B. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) become even
Step 1
Concept
From \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes (p) even and then (q) even.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot both be even so the assumption is false. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) सम और फिर (q) भी सम मिलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याएं दोनों सम नहीं हो सकतीं इसलिए मान्यता गलत है।
C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए/(a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, the fraction is taken in lowest form, so (a,b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This condition later creates the contradiction with a common factor. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है, इसलिए (a,b) सहअभाज्य और \(b\neq0\) होते हैं। चरण 3: यही शर्त बाद में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\)/(p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The fraction is taken in lowest form, so (p,q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This condition is what creates the contradiction later. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(q\neq0\)। चरण 2: प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेना होता है, इसलिए (p,q) सहअभाज्य हैं। चरण 3: यही शर्त बाद में विरोधाभास दिखाती है।
A. सहअभाज्य होने की शर्त/The condition of being coprime
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both (a) and (b) are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This is the contradiction in the proof. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। चरण 3: यही प्रमाण का विरोधाभास है।
Taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form means (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), their greatest common divisor is at least (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) breaks. चरण 1: सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लेने का अर्थ है (\gcd(p,q)=1)। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त टूट जाती है।
A. स्थल की पूर्णता और उसके मूल्य को बनाए रखने वाली स्थिति/Wholeness of the site and condition supporting its value
Step 1
Concept
Integrity shows whether the site's value is sufficiently represented and protected. For exams keep integrity and authenticity separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थल की पूर्णता और उसके मूल्य को बनाए रखने वाली स्थिति / Wholeness of the site and condition supporting its value. Integrity shows whether the site's value is sufficiently represented and protected. For exams keep integrity and authenticity separate.
Step 3
Exam Tip
अखंडता बताती है कि स्थल का मूल्य सुरक्षित और पर्याप्त रूप से प्रतिनिधित है या नहीं। परीक्षा में अखंडता और प्रामाणिकता अलग रखें।
The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 75\) is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(m \ne 75\). The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 75\) is correct.
Step 3
Exam Tip
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 75\) सही है।
A. जब (a_1/a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
Step 1
Concept
If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब \(a_1 / a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2\) हो / When \(a_1 / c_2\). If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
Step 3
Exam Tip
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है।
C. जब (a_1/a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
Step 1
Concept
A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. जब \(a_1 / a_2 \ne b_1 / b_2\) हो / When \(a_1 / b_2\). A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
Step 3
Exam Tip
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए।
For intersecting lines, the coefficient ratios of (x) and (y) are not equal. This is the condition for a unique solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\). For intersecting lines, the coefficient ratios of (x) and (y) are not equal. This is the condition for a unique solution.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए (x) और (y) के गुणांक अनुपात बराबर नहीं होते। यही अद्वितीय समाधान की शर्त है।
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Step 1
Concept
Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
Step 3
Exam Tip
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं।
A. \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)/\(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\)
Step 1
Concept
For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4(p+2)(2p-9)), so \(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\) / \(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\). For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4(p+2)(2p-9)), so \(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\).
Step 3
Exam Tip
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=4(p+2)(2p-9)), इसलिए \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)।
The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(0<c\le9\). The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
Step 3
Exam Tip
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)।
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)/\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
Step 1
Concept
The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\) / \(m\ge0\) and \(m\neq1\). The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
Step 3
Exam Tip
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)।
We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(s^2\ge4\). We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) और \(\tan\theta+\cot\theta=s\) है। वास्तविक मानों के लिए \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)।
The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(0<c\le\frac{25}{4}\). The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
Step 3
Exam Tip
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)।
The sum (-4) is already negative and the product must be positive, so (c>0). For real roots, \(16-4c\ge0\), hence \(0<c\le4\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(0<c\le4\). The sum (-4) is already negative and the product must be positive, so (c>0). For real roots, \(16-4c\ge0\), hence \(0<c\le4\).
Step 3
Exam Tip
योग (-4) पहले से ऋणात्मक है और गुणनफल धनात्मक चाहिए, इसलिए (c>0)। वास्तविक जड़ों के लिए \(16-4c\ge0\), अतः \(0<c\le4\)।
For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(k\le 1,\ k\ne0\). For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है।
For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(t\neq \pm8\). For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(t^2-64\neq0\), इसलिए \(t\neq\pm8\)।
For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(r\neq \pm7\). For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(r^2-49\neq0\), इसलिए \(r\neq\pm7\)।
For the equation to be quadratic, \(k^2-25\neq0\) is required. So both \(k\neq5\) and \(k\neq-5\) are necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(k\neq \pm5\). For the equation to be quadratic, \(k^2-25\neq0\) is required. So both \(k\neq5\) and \(k\neq-5\) are necessary.
Step 3
Exam Tip
द्विघात होने के लिए \(k^2-25\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq5\) और \(k\neq-5\) दोनों शर्तें जरूरी हैं।
For the equation to be quadratic, \(n^2-16\neq0\) is needed. Hence both \(n\neq4\) and \(n\neq-4\) are necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(n\neq \pm4\). For the equation to be quadratic, \(n^2-16\neq0\) is needed. Hence both \(n\neq4\) and \(n\neq-4\) are necessary.
Step 3
Exam Tip
द्विघात होने के लिए \(n^2-16\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(n\neq4\) और \(n\neq-4\) दोनों जरूरी हैं।
For the equation to be quadratic, \(m^2-9\neq0\) is needed. Hence both \(m\neq3\) and \(m\neq-3\) are necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(m\neq \pm3\). For the equation to be quadratic, \(m^2-9\neq0\) is needed. Hence both \(m\neq3\) and \(m\neq-3\) are necessary.
Step 3
Exam Tip
द्विघात होने के लिए \(m^2-9\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq3\) और \(m\neq-3\) दोनों जरूरी हैं।
