In which condition does the graph of two lines show infinitely many solutions?किस स्थिति में दो रेखाओं का ग्राफ अनंत समाधान दिखाता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2})(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2})
The direct answer is C: a1/a2=b1/b2=c1/c2. For equations a1x+b1y+c1=0 and a2x+b2y+c2=0, infinitely many solutions mean both graphs are the same line, called coincident lines. The coefficients of x, y, and the constant term must all have the same ratio, so all three ratios are equal. Option C is correct. Option A means the x and y coefficient ratios differ; the lines generally intersect once, giving one solution. Option B has equal x and y ratios but a different constant ratio; this gives distinct parallel lines and no solution. Option D only says one ratio is zero, which is neither the complete condition nor enough to identify coincident lines. Memory cue: equal all three ratios means same line and infinitely many solutions; equal first two but not the third means parallel and no solution.सीधा उत्तर C है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। समीकरण \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) में अनंत हल तभी होंगे जब दोनों ग्राफ एक ही रेखा हों, जिन्हें संपाती रेखाएँ कहते हैं। इसके लिए x के गुणांक, y के गुणांक और स्थिर पद—तीनों का अनुपात समान होना चाहिए। इसलिए C सही है। A में पहले दो अनुपात अलग हैं; ऐसी रेखाएँ सामान्यतः एक बिंदु पर काटती हैं और एक हल देती हैं। B में x और y के अनुपात बराबर, पर स्थिर पद का अनुपात अलग है; इससे अलग-अलग समांतर रेखाएँ बनती हैं और कोई हल नहीं होता। D केवल एक अनुपात के शून्य होने की बात कहता है, जो पूर्ण शर्त नहीं है। याद रखें: तीनों अनुपात बराबर—एक ही रेखा, अनंत हल; पहले दो बराबर लेकिन तीसरा अलग—समांतर रेखाएँ, कोई हल नहीं।
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