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A. प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है/Every irrational number is real
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। लेकिन सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय नहीं होतीं। / Irrational numbers are a part of real numbers. But all real numbers are not irrational.
C. सरलतम हर में केवल (2) और (5) हों तो दशमलव सांत होगा/If the reduced denominator has only (2) and (5), the decimal terminates
Step 1
Concept
दशमलव का प्रकार सरलतम रूप के हर से तय होता है। / The decimal type is decided by the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों, तो दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि हर में (3), (7) आदि भी हो सकते हैं। / If the reduced denominator has only factors (2) and (5), the decimal terminates. The other statements are incomplete because factors like (3) or (7) may also be present.
Step 3
Exam Tip
हमेशा शब्द देखकर सावधानी रखें। / Be careful with words like always.
C. परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है/The sum of a rational and an irrational number is irrational
Step 1
Concept
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। / Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(2+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / For example, \(2+\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दो अपरिमेय संख्याओं के योग या गुणन के बारे में हमेशा वाला नियम सावधानी से लगाएं। / Be careful with always-type statements about sums or products of two irrational numbers.
A. कथन गलत है क्योंकि प्रबल अम्ल और प्रबल क्षार दोनों हानिकारक हो सकते हैं/The statement is wrong because strong acids and strong bases can both be harmful
Step 1
Concept
पदार्थ की सुरक्षा उसकी प्रकृति और सांद्रता पर निर्भर करती है। / Safety depends on the nature and concentration of a substance.
Step 2
Why this answer is correct
प्रबल अम्ल त्वचा को नुकसान पहुँचा सकते हैं। / Strong acids can damage skin.
Step 3
Exam Tip
प्रबल क्षार भी दाहक हो सकते हैं इसलिए दोनों के साथ सावधानी जरूरी है। / Strong bases can also be caustic, so both need care.
पद (p,p+d,p+2d,p+3d) रखने पर (p+s=q+r) मिलता है। परीक्षा में चार पदों के संबंध प्रतीकात्मक रूप से जांचें। / Writing the terms as (p,p+d,p+2d,p+3d) gives (p+s=q+r). In exams, verify four-term relations symbolically.
पद (a,a+d,a+2d,a+3d) मानने पर दोनों ओर (2a+3d) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पद रखकर संबंध जांचें। / Taking the terms as (a,a+d,a+2d,a+3d), both sides become (2a+3d). In exams, test relations by writing symbolic AP terms.
समांतर श्रेणी में मध्य पद दो सिरों का औसत होता है, इसलिए (2b=a+c)। परीक्षा में तीन पदों के लिए यह सबसे तेज जांच है। / In an AP, the middle term is the average of the two extremes, so (2b=a+c). In exams, this is the fastest check for three terms.
\(a\neq0\) होने पर \(a^{0}=1\) हमेशा सही है। परीक्षा में \(0^{0}\) को इस नियम में शामिल न करें। / For \(a\neq0\), \(a^{0}=1\) is always true. In exams, do not include \(0^{0}\) in this rule.
A. \(a^2+b^2\geq0\) के कारण मूल हमेशा वास्तविक हैं/Roots are always real because \(a^2+b^2\geq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)) है। यह हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए वास्तविक मूल मिलते हैं। / Here (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)). It is always zero or positive, so real roots exist.
(x=6) रखने पर (36-6(a+6)+6a=0) मिलता है। इसलिए (6) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) है। / Putting (x=6) gives (36-6(a+6)+6a=0). Hence (6) is always one root and the other root is (a).
(x=4) रखने पर (16-4(a+4)+4a=0) मिलता है। अतः (4) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) होती है। / Putting (x=4) gives (16-4(a+4)+4a=0). Hence (4) is always one root and the other root is (a).
(x=3) रखने पर (9-3(a+3)+3a=0) मिलता है। इसलिए (3) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) होती है। / Putting (x=3) gives (9-3(a+3)+3a=0). Hence (3) is always one root, and the other root is (a).
A. यदि (a<0), तो \(\sqrt{a^2}=|a|\) होता है/If (a<0), then \(\sqrt{a^2}=|a|\)
Explanation
Simple Explanation
मुख्य वर्गमूल अऋणात्मक होता है इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में ऋणात्मक (a) के लिए सावधान रहें। / The principal square root is non-negative so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams be careful when (a) is negative.
A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा/The other zero will be \(-\sqrt{13}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है। / For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
C. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal terminates
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। / A decimal terminates when the reduced denominator has only (2) and (5). The other statements are incomplete because other prime factors may also be present.
A. क्योंकि \(D=9q^2-2q+1>0\)/Because \(D=9q^2-2q+1>0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(3q+1)2-8q=9q-2-2q+1) है। इसका अपना विविक्तकर ((-2)2-4(9)(1)<0) और मान सदैव धनात्मक है। / Here (D=(3q+1)2-8q=9q-2-2q+1). Its own discriminant ((-2)2-4(9)(1)<0), so it is always positive.
D. क्योंकि बिना भाव या संरचना के साफ रेखा निर्जीव हो सकती है/Because a clean line without feeling or structure can be lifeless
Explanation
Simple Explanation
रेखा का उद्देश्य और अभिव्यक्ति भी महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में केवल सफाई को कला कौशल न मानें। / Purpose and expression of line are also important. Exam tip: do not treat neatness alone as art skill.
A. क्योंकि प्रशासन कानून सुरक्षा और राजस्व के लिए कुछ संस्थागत निरंतरता जरूरी हो सकती थी/Because some institutional continuity could be needed for administration law security and revenue
Explanation
Simple Explanation
नए राज्यों ने निरंतरता और परिवर्तन दोनों को संतुलित किया। परीक्षा में संस्थागत विरासत समझें। / New states balanced both continuity and change. For exams understand institutional legacy.
A. क्योंकि प्रशासन उच्च शिक्षा और अंतरराष्ट्रीय संपर्क में उसका उपयोग बना रह सकता था/Because it could remain useful in administration higher education and international contact
Explanation
Simple Explanation
भाषा नीति पहचान और उपयोगिता दोनों के बीच संतुलन मांगती थी। परीक्षा में भाषा और शक्ति साथ लिखें। / Language policy required balance between identity and utility. For exams write language and power together.
B. क्योंकि वे विश्व जनमत और नैतिक दबाव बना सकते हैं/Because they can build world opinion and moral pressure
Explanation
Simple Explanation
महासभा के प्रस्तावों का नैतिक और राजनीतिक महत्व होता है। परीक्षा में बाध्यकारी शक्ति और नैतिक प्रभाव में अंतर समझें। / General Assembly resolutions carry moral and political importance. Exam tip: distinguish binding power from moral influence.
D. क्योंकि नेतृत्व सामाजिक संरचना युद्ध और बाहरी हस्तक्षेप अलग अलग होते हैं/Because leadership social structure war and external intervention differ
Explanation
Simple Explanation
हर क्रांति की परिस्थितियां और शक्ति संबंध अलग होते हैं इसलिए परिणाम भी अलग होते हैं। परीक्षा में कारण और परिणाम को अलग अलग विश्लेषित करें। / Each revolution has different conditions and power relations so outcomes differ. Exam tip: analyze causes and results separately.
(D>0) होने पर मूल बराबर नहीं, बल्कि भिन्न वास्तविक होते हैं। परीक्षा में बराबर मूल केवल (D=0) पर आते हैं। / When (D>0), roots are not equal; they are distinct real roots. In exams, equal roots occur only when (D=0).
(D>0) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। समान मूल केवल (D=0) पर होते हैं। / When (D>0), roots are real and distinct. Equal roots occur only when (D=0).
(x=8) रखने पर (64-8(a+8)+8a=0) मिलता है। इसलिए (8) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) है। / Putting (x=8) gives (64-8(a+8)+8a=0). Hence (8) is always one root and the other root is (a).
गुणनफल \(\frac{h}{2}\) है। एक जड़ \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए दूसरी जड़ \(\frac{h}{2}\div\frac{1}{2}=h\) होगी। / The product is \(\frac{h}{2}\). Since one root is \(\frac{1}{2}\), the other root is \(\frac{h}{2}\div\frac{1}{2}=h\).
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
A. यदि (q) \(10^k\) का भाजक है तो दशमलव सांत होगा/If (q) divides \(10^k\), the decimal terminates
Explanation
Simple Explanation
\(10^k\) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड होते हैं इसलिए उसके भाजक से सांत दशमलव मिलेगा। बाकी कथन अतिरिक्त गुणनखंडों के कारण हमेशा सही नहीं हैं। / \(10^k\) has only prime factors (2) and (5), so any divisor gives a terminating decimal. The other statements are not always true because extra factors may occur.
दो दशमलव स्थानों वाला दशमलव सौवें भाग तक होता है। / A decimal with two places is measured in hundredths.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उसे \(\frac{n}{100}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ (n) कोई पूर्ण संख्या है। / So it can be written as \(\frac{n}{100}\), where (n) is an integer.
Step 3
Exam Tip
बाद में भिन्न को सरल करना न भूलें। / Do not forget to reduce the fraction afterward.
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। / Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है। / Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। / The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। / For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ। / Be careful with universal statements about two irrational numbers.
A. क्योंकि एक प्रभावी और एक अप्रभावी सूचना होने पर भी लंबा लक्षण दिख सकता है/Because tall trait can appear even with one dominant and one recessive copy
Step 1
Concept
लंबा लक्षण प्रभावी है। / Tallness is dominant.
Step 2
Why this answer is correct
एक प्रभावी सूचना भी लंबे रूप को दिखा सकती है। / Even one dominant copy can show the tall form.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दिखाई देने वाले लंबे पौधे का संयोजन शुद्ध या मिश्रित दोनों हो सकता है। / Therefore a tall looking plant may be pure or hybrid.
A. क्योंकि सरल जीव भी अपने वातावरण में सफल रह सकते हैं/Because simple organisms can also be successful in their environment
Step 1
Concept
विकास का अर्थ केवल अधिक जटिल बनना नहीं है। / Evolution does not only mean becoming more complex.
Step 2
Why this answer is correct
जीव की सफलता वातावरण में टिकने पर निर्भर करती है। / Success of an organism depends on survival in its environment.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरल जीव भी सफल हो सकते हैं और विकास को केवल प्रगति नहीं कहना चाहिए। / Therefore simple organisms can also be successful and evolution should not be called only progress.
A. इंडो इस्लामी स्थापत्य का परिपक्व रूप/Mature Indo-Islamic architecture
Explanation
Simple Explanation
अलाई दरवाजा में सच्चे मेहराब और गुंबद का परिपक्व प्रयोग मिलता है। परीक्षा में इसे अलाउद्दीन खिलजी से जोड़ें। / Alai Darwaza shows mature use of true arches and dome. In exams connect it with Alauddin Khalji.
D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है/Each next term is obtained by adding the same number to the previous term
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है। / In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
पहला समीकरण (3x+2y=20) बनता है, लेकिन दूसरा (3x+2y=22) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / The first equation becomes (3x+2y=20), but the second is (3x+2y=22). Therefore there is no solution.
A. ((2,-3)) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है/((2,-3)) satisfies both equations
Explanation
Simple Explanation
प्रतिच्छेद बिंदु हमेशा दोनों रेखाओं पर होता है, इसलिए वह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। ग्राफीय समाधान को हमेशा दोनों समीकरणों में जांच सकते हैं। / The intersection point always lies on both lines, so it satisfies both equations. A graphical solution can always be checked in both equations.
B. \(\sqrt{3}\) दाईं ओर है/\(\sqrt{3}\) is to the right
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (3>2), इसलिए \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\) है। धनात्मक वर्गमूलों में बड़ी संख्या का वर्गमूल बड़ा होता है। / Since (3>2), \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\). For positive square roots, the root of the larger number is larger.
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य जड़ होने की सीधी शर्त (c=0) है। / Putting (x=0) gives (c=0). Thus the direct condition for zero to be a root is (c=0).
समीकरण ((x-(m+2))2=0) बनता है। इसलिए हर वास्तविक (m) के लिए दोनों मूल बराबर होंगे। / The equation becomes ((x-(m+2))2=0). Therefore the roots are equal for every real (m).
अचर पद ((m+1)2) है और समीकरण ((x-(m+1))2=0) बनता है। इसलिए हर वास्तविक (m) के लिए मूल बराबर हैं। / The constant term is ((m+1)2), and the equation becomes ((x-(m+1))2=0). Hence roots are equal for every real (m).
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य मूल के लिए अचर पद शून्य होता है। / Putting (x=0) makes the equation (c=0). Therefore the constant term is zero for a zero root.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं होता/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। विवेचक नकारात्मक हो तो वास्तविक संख्या रेखा पर मूल नहीं मिलते। / When (D<0), there are no real roots. A negative discriminant gives no roots on the real number line.
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें। / If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
(x) का संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) है और योग (4), गुणनफल (1) है। इसलिए समीकरण \(x^2-4x+1=0\) है। / The conjugate is \(2-\sqrt{3}\), with sum (4) and product (1). Hence the equation is \(x^2-4x+1=0\).
B. (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है/(p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
Step 1
Concept
(p) का सम होना सही हो सकता है, पर इसका कारण \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना नहीं है। / (p) being even may be true, but the reason is not the positivity of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सही कारण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलना है। / The correct reason is that \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में सही कथन के साथ सही कारण भी जरूरी है। / In proof writing, a true statement must have the correct reason.
A. (p) भी (5) से विभाज्य है/(p) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य हो तो पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होता है। / If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसी नियम से प्रमाण आगे बढ़ता है। / This rule moves the proof forward.
A. (p) भी (3) से विभाज्य है/(p) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
(3) अभाज्य संख्या है। / (3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (3) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (3) से विभाज्य होगा। / If the square of an integer is divisible by (3), then the integer is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य कदम है। / This rule is the main step in the proof of \(\sqrt{3}\).
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The square root of a prime number is usually irrational.
A. दोनों संख्याओं का गुणनफल (9450) है/The product of the two numbers is (9450)
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणनफल \(15\times 630=9450\) निश्चित है। योग या संख्याएँ अलग जानकारी के बिना निश्चित नहीं होतीं। / Therefore, the product is \(15\times 630=9450\). The sum or the exact numbers are not fixed without more information.
Step 3
Exam Tip
संबंध आधारित प्रश्न में केवल निश्चित रूप से सिद्ध होने वाला कथन चुनें। / In relation-based questions, choose only what is definitely proved.
हेर्डर ने लोक संस्कृति को महत्व दिया। / Herder valued folk culture.
Step 2
Why this answer is correct
उनके अनुसार राष्ट्र की आत्मा साधारण लोगों के गीतों और परंपराओं में मिलती है। / According to him, the spirit of the nation was found in songs and traditions of ordinary people.
Step 3
Exam Tip
उन्हें रूमानी सांस्कृतिक राष्ट्रवाद से जोड़ें। / Link him with Romantic cultural nationalism.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k-3)2-4\(k^2-6k+8\)=4>0) है। इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=4(k-3)2-4\(k^2-6k+8\)=4>0). Therefore roots are always real and distinct.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
किसी भी वास्तविक (a) के लिए ((a-1)2+5>0) है। इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। / For every real (a), ((a-1)2+5>0). Therefore the roots will always be real and distinct.
यहाँ (D=4[(k+1)2-5(k-3)]=4\(k^2-3k+16\)) है। यह अभिव्यक्ति हमेशा धनात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल हमेशा मिलेंगे। / Here (D=4[(k+1)2-5(k-3)]=4\(k^2-3k+16\)). This expression is always positive, so real roots always exist.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4a)2-4(2)\(2a^2-3\)=24>0) है। इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=(-4a)2-4(2)\(2a^2-3\)=24>0). Thus roots are always real and distinct.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2p)2-4\(p^2-1\)=4) है। इसलिए हर वास्तविक (p) के लिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=(2p)2-4\(p^2-1\)=4). So for every real (p), roots are real and distinct.
यहाँ (D=[-6(k-1)]2-4(9)(k-1)2=0) है। अतः हर (k) के लिए मूल वास्तविक और समान हैं। / Here (D=[-6(k-1)]2-4(9)(k-1)2=0). Hence roots are real and equal for every (k).
A. हर वास्तविक (a) के लिए वास्तविक नहीं/Not real for every real (a)
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
C. हर (a) के लिए वास्तविक नहीं/Not real for every (a)
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+2\)=-4\(a^2+1\)) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+2\)=-4\(a^2+1\)). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Explanation
Simple Explanation
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. सच्चे मेहराब का प्रारंभिक प्रयोग/Early use of true arch
Explanation
Simple Explanation
बलबन का मकबरा सच्चे मेहराब के शुरुआती प्रयोगों से जोड़ा जाता है। परीक्षा में तकनीकी विकास वाले स्मारकों को ध्यान से पढ़ें। / Balban's Tomb is linked with early use of the true arch. For exams study monuments showing technical development carefully.
A. सच्चे मेहराब और गुंबद का परिपक्व प्रयोग/Mature use of true arch and dome
Explanation
Simple Explanation
अलाई दरवाजा में सच्चे मेहराब और गुंबद का प्रभावी प्रयोग मिलता है। परीक्षा में सल्तनत स्थापत्य की तकनीकी विशेषताएं याद रखें। / Alai Darwaza shows effective use of true arch and dome. For exams remember technical features of Sultanate architecture.
A. इसमें सच्ची मेहराब और गुंबद का परिपक्व प्रयोग दिखता है/It shows mature use of true arch and dome
Explanation
Simple Explanation
अलाई दरवाजा में सच्ची मेहराब और गुंबद का अच्छा प्रयोग मिलता है। सल्तनत स्थापत्य में तकनीकी विकास को इससे याद करें। / Alai Darwaza shows good use of true arch and dome. Remember it for technical progress in Sultanate architecture.
C. \(-\sqrt{2}\) (0) के बाईं ओर है/\(-\sqrt{2}\) is to the left of (0)
Explanation
Simple Explanation
\(-\sqrt{2}\) ऋणात्मक है, इसलिए यह (0) के बाईं ओर होगा। परीक्षा में चिह्न देखकर दिशा तय करें। / \(-\sqrt{2}\) is negative, so it lies to the left of (0). In exams, decide direction from the sign.
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते हैं। दो वास्तविक और भिन्न मूल (D>0) पर मिलते हैं। / When (D<0), real roots do not exist. Two real and distinct roots occur when (D>0).
द्विघात समीकरण में (D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। यह मूलों की प्रकृति का सीधा नियम है। / In a quadratic equation, (D=0) means both roots are equal. This is a direct rule of nature of roots.
इन जड़ों का योग \(\frac{5t+3}{4}\) और गुणनफल (\frac{t(t+3)}{4}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से मेल खाते हैं। / The sum of these roots is \(\frac{5t+3}{4}\), and the product is (\frac{t(t+3)}{4}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) of the given equation.
इन दोनों जड़ों का योग \(\frac{4t+2}{3}\) और गुणनफल (\frac{t(t+2)}{3}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से मेल खाते हैं। / The sum of these two roots is \(\frac{4t+2}{3}\), and the product is (\frac{t(t+2)}{3}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) of the given equation.
इन जड़ों का योग \(\frac{3t+1}{2}\) और गुणनफल (\frac{t(t+1)}{2}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से हर (t) पर मेल खाते हैं। / The sum is \(\frac{3t+1}{2}\) and the product is (\frac{t(t+1)}{2}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) for every (t).
D. इसमें हमेशा \(c\neq0\) होना चाहिए/It must always have \(c\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में (c) (0) भी हो सकता है। जरूरी शर्त केवल \(a\neq0\) है। / In a quadratic equation, (c) can also be (0). The necessary condition is only \(a\neq0\).
