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inconsistent equations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहले समीकरण को 8 से भाग देने पर \(2x-y=8\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरणों का बायाँ पक्ष समान है। यदि \(t=8\), तो दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाएँगे और उनके अनंत हल होंगे। असंगत होने के लिए दाएँ पक्ष अलग होना चाहिए, अतः \(t\ne 8\)। परीक्षा-युक्ति: समान बाएँ पक्ष वाले समीकरणों में अलग दाएँ पक्ष होने पर कोई हल नहीं होता। / Dividing the first equation by 8 gives \(2x-y=8\). Thus, the left-hand sides of the two equations are identical. If \(t=8\), both equations represent the same line and have infinitely many solutions. For the equations to be inconsistent, their right-hand sides must differ; hence, \(t\ne 8\). Exam tip: identical left-hand sides with different right-hand sides imply no solution.
A. असंगत; दो भिन्न समानांतर रेखाएँ/Inconsistent; two distinct parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों में \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{53}\neq\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), जो असंगत समीकरणों और दो भिन्न समानांतर रेखाओं की स्थिति है। अतः कोई हल नहीं होगा। विकल्प C तभी सही होता जब तीनों अनुपात बराबर होते। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना हमेशा इसी क्रम में करें—\(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), फिर \(c_1/c_2\)। / For the two equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{53}\neq\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), which represents an inconsistent pair of equations and two distinct parallel lines. Therefore, there is no solution. Option C would be correct only if all three ratios were equal. Exam tip: compare the ratios in the order \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and then \(c_1/c_2\).
A. \(\frac{10}{20}=\frac{-7}{-14}\ne\frac{31}{65}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1=10, b_1=-7, c_1=31\) तथा \(a_2=20, b_2=-14, c_2=65\) हैं। \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{31}{65}\ne\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), और रेखाएँ समानांतर होने के कारण युग्म असंगत है; इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात संबंध को पहचानते समय पहले दोनों चर-गुणांकों के अनुपात और फिर नियतांकों के अनुपात की तुलना करें। / Here, \(a_1=10, b_1=-7, c_1=31\) and \(a_2=20, b_2=-14, c_2=65\). We get \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{31}{65}\ne\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the pair is inconsistent and has no solution because the corresponding lines are parallel. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of both variables first, and then compare them with the ratio of the constants.
पहले समीकरण में गुणांक हैं \(a_1=18, b_1=27, c_1=63\) और दूसरे में \(a_2=2, b_2=3, c_2=8\)। यहाँ \(a_1/a_2=18/2=9\) तथा \(b_1/b_2=27/3=9\), लेकिन \(c_1/c_2=63/8\) है, जो 9 के बराबर नहीं है। अतः दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं; उनका कोई साझा हल नहीं है। इसलिए युग्म असंगत है। परीक्षा टिप: \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) होने पर युग्म असंगत होता है। / For the first equation, \(a_1=18, b_1=27, c_1=63\), and for the second, \(a_2=2, b_2=3, c_2=8\). Here, \(a_1/a_2=18/2=9\) and \(b_1/b_2=27/3=9\), but \(c_1/c_2=63/8\), which is not 9. Thus, the two lines are distinct and parallel, so they have no common solution. Therefore, the pair is inconsistent. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the pair is inconsistent.
C. समानांतर परंतु भिन्न रेखाएँ; असंगत/Parallel but distinct lines; inconsistent
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण के गुणांक दूसरे समीकरण के गुणांकों के 9 गुने हैं: \(18/2=27/3=9\)। लेकिन नियत पदों का अनुपात \(63/8\) है, जो 9 नहीं है। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर लेकिन भिन्न हैं और युग्म असंगत है; इसका कोई हल नहीं है। संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा टिप: गुणांकों के अनुपातों की तुलना करते समय नियत पदों को अवश्य जाँचें। / The coefficients of the first equation are 9 times those of the second: \(18/2=27/3=9\). However, the ratio of the constants is \(63/8\), which is not 9. Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are parallel but distinct and the pair is inconsistent; it has no solution. For coincident lines, all three ratios must be equal. Exam tip: always compare the constant-term ratio along with the coefficient ratios.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग है/The first two ratios are equal, but the ratio of the constant terms is different
Explanation
Simple Explanation
यहाँ
\(a_1/a_2=4/1=4\) और \(b_1/b_2=8/2=4\), लेकिन \(c_1/c_2=12/5\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो असंगत समीकरणों की शर्त है। वास्तव में, पहला समीकरण \(x+2y=3\) के बराबर है, जबकि दूसरा \(x+2y=5\) है; अतः रेखाएँ समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-शर्त में स्थिर पदों का अनुपात भी अवश्य जाँचें। / Here, \(a_1/a_2=4/1=4\) and \(b_1/b_2=8/2=4\), but \(c_1/c_2=12/5\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which is the condition for an inconsistent pair of linear equations. In fact, the first equation simplifies to \(x+2y=3\), while the second is \(x+2y=5\); therefore, the lines are parallel and there is no solution. Exam tip: In the ratio test, always compare the constant-term ratio as well.
C. असंगत (समान्तर और भिन्न रेखाएँ)/Inconsistent (parallel and distinct lines)
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों के लिए 13/26 = 5/10 = 1/2, लेकिन 22/45 का मान 1/2 के बराबर नहीं है। अतः a₁/a₂ = b₁/b₂, परंतु c₁/c₂ अलग है। इसलिए दोनों रेखाएँ समान्तर और भिन्न हैं, उनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है और युग्म असंगत है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो युग्म असंगत होता है। / For the two equations, 13/26 = 5/10 = 1/2, but 22/45 is not equal to 1/2. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂, while c₁/c₂ is different. Therefore, the two lines are parallel and distinct, so they have no common solution and the pair is inconsistent. Exam tip: When a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair is inconsistent.
पहले समीकरण का (2) गुना (8x+14y=62) है, लेकिन दूसरा (8x+14y=65) है। इसलिए कोई हल नहीं। / Twice the first equation is (8x+14y=62), but the second is (8x+14y=65). Therefore there is no solution.
पहले समीकरण का (2) गुना (6x+10y=40) है, लेकिन दूसरा (6x+10y=43) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / Twice the first equation is (6x+10y=40), but the second is (6x+10y=43). Therefore there is no solution.
पहले समीकरण का (2) गुना (4x+6y=22) है, लेकिन दूसरा (4x+6y=21) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / Twice the first equation is (4x+6y=22), but the second is (4x+6y=21). Therefore there is no solution.
पहले समीकरण का (2) गुना (6x+8y=20) है, लेकिन दूसरा (6x+8y=21) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / Twice the first equation is (6x+8y=20), but the second is (6x+8y=21). Therefore there is no solution.
पहले समीकरण को 3 से भाग देने पर \(2x-3y=4\) मिलता है, जबकि दूसरा समीकरण \(2x-3y=5\) है। दोनों समीकरणों का बायाँ पक्ष समान है, पर दायाँ पक्ष अलग है; इसलिए वे समानांतर अलग-अलग रेखाएँ दर्शाते हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है। विकल्प ‘अनंत हल’ तब होता जब दोनों समीकरण पूरी तरह एक ही रेखा होते। परीक्षा टिप: समान बाएँ पक्ष लेकिन अलग नियत पद दिखे, तो युग्म असंगत होता है। / Dividing the first equation by 3 gives \(2x-3y=4\), whereas the second equation is \(2x-3y=5\). Their left-hand sides are identical but their constants differ, so they represent distinct parallel lines and have no common solution. Infinitely many solutions would occur only if both equations represented the same line. Exam tip: identical variable expressions with different constants indicate an inconsistent pair.
पहले समीकरण का (2) गुना (4x+6y=24) है, लेकिन दूसरा (4x+6y=25) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / Twice the first equation is (4x+6y=24), but the second is (4x+6y=25). Therefore there is no solution.
पहला समीकरण (x+2y=5) बनता है, जबकि दूसरा (x+2y=7) है। समान बायां पक्ष और अलग दायां पक्ष होने से कोई हल नहीं है। / The first equation becomes (x+2y=5), while the second is (x+2y=7). Same left side with different right side gives no solution.
पहला समीकरण (3x+2y=20) बनता है, लेकिन दूसरा (3x+2y=22) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / The first equation becomes (3x+2y=20), but the second is (3x+2y=22). Therefore there is no solution.
पहले समीकरण का (2) गुना (4x+6y=24) है, लेकिन दूसरा (4x+6y=30) है। समान बायां पक्ष और अलग स्थिरांक होने से कोई हल नहीं है। / Twice the first equation is (4x+6y=24), but the second is (4x+6y=30). Same left side with different constants means no solution.
पहला समीकरण (x+2y=6) बनता है, जबकि दूसरा (x+2y=8) है। समान बायां पक्ष और अलग दायां पक्ष होने से कोई हल नहीं है। / The first equation becomes (x+2y=6), while the second is (x+2y=8). Same left side with different right side gives no solution.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर बायाँ पक्ष समान बनता है लेकिन स्थिर पद (16) होता है। (20) से विरोधाभास होने के कारण कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives the same left side but constant (16). Since it conflicts with (20), there is no solution.
