Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
consistency conditions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
अनंत हलों के लिए दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए। इसलिए संगत गुणांकों और नियत पदों के अनुपात समान होंगे: \(\frac{t}{20}=\frac{9}{15}=\frac{6}{10}\)। क्योंकि \(\frac{9}{15}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\), अतः \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\)। इसलिए \(t=12\) है। \(t=10\) के लिए \(\frac{t}{20}=\frac{1}{2}\) होगा, जो \(\frac{3}{5}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: अनंत हल जाँचने के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) का प्रयोग करें। / For infinitely many solutions, the two linear equations must represent the same line. Hence, the ratios of corresponding coefficients and constants must be equal: \(\frac{t}{20}=\frac{9}{15}=\frac{6}{10}\). Since \(\frac{9}{15}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\), we get \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\). Therefore, \(t=12\). For \(t=10\), \(\frac{t}{20}=\frac{1}{2}\), which is not equal to \(\frac{3}{5}\). Exam tip: use \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) to check for infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तब होता है जब \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}=\frac12\) होना चाहिए। अतः \(m\neq8\) होने पर अद्वितीय हल मिलेगा। \(m=8\) पर \(\frac{m}{16}=\frac{7}{14}=\frac{13}{26}=\frac12\) हो जाता है, इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं और अनंत हल होते हैं। परीक्षा टिप: अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए। / A pair of linear equations has a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}=\frac12\) is required. Therefore, the pair has a unique solution for \(m\neq8\). If \(m=8\), then \(\frac{m}{16}=\frac{7}{14}=\frac{13}{26}=\frac12\), so both equations represent the same line and have infinitely many solutions. Exam tip: for a unique solution, the ratios of the corresponding coefficients must be unequal.
दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y=c_1\) और \(a_2x+b_2y=c_2\) का अद्वितीय हल तब होता है जब \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{h}{10}\ne\frac{12}{15}=\frac45\) होना चाहिए। अतः \(h\ne 8\) आवश्यक है। \(h=8\) पर दोनों बाएँ पक्षों के गुणांक समानुपाती हो जाते हैं, इसलिए अद्वितीय हल नहीं मिलता। परीक्षा टिप: अद्वितीय हल के लिए केवल \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना करें। / For two linear equations \(a_1x+b_1y=c_1\) and \(a_2x+b_2y=c_2\), a unique solution exists when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{h}{10}\ne\frac{12}{15}=\frac45\), which gives \(h\ne 8\). Thus, option B is correct. If \(h=8\), the coefficients on the left-hand sides become proportional, so the pair cannot have a unique solution. Exam tip: for a unique solution, compare only \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\).
दोनों समीकरणों के गुणांक अनुपातों की तुलना करें: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{9}\) है। क्योंकि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा टिप: पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना करें। / Compare the ratios of the coefficients: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{9}\). Since \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), the two lines intersect at exactly one point, so the pair has a unique solution. Infinitely many solutions would require all three ratios to be equal. Exam tip: compare \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\) first.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हलों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) है। अतः \(\frac{v+2}{10}=\frac{3}{5}\), जिससे \(v+2=6\) और \(v=4\) मिलता है। \(v=3\) निकट विकल्प है, पर तब पहला अनुपात \(\frac{1}{2}\) होगा, जो \(\frac{3}{5}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: अनंत हल जाँचते समय तीनों अनुपात अवश्य मिलाइए। / For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Therefore, \(\frac{v+2}{10}=\frac{3}{5}\), giving \(v+2=6\) and hence \(v=4\). Option \(v=3\) is a close distractor, but it makes the first ratio \(\frac{1}{2}\), not \(\frac{3}{5}\). Exam tip: for infinitely many solutions, compare all three coefficient ratios.
अनंत हलों के लिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए। अतः \(\frac{3}{9}=\frac{a}{12}=\frac{6}{b}\)। क्योंकि \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\), इसलिए \(a=4\) और \(b=18\) मिलते हैं। विकल्प \((4,12)\) में \(\frac{6}{b}=\frac{1}{2}\) होता है, इसलिए वह अनंत हल नहीं देता। परीक्षा टिप: अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात बराबर लिखें। / For infinitely many solutions, both equations must represent the same line. Hence, \(\frac{3}{9}=\frac{a}{12}=\frac{6}{b}\). Since \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\), we get \(a=4\) and \(b=18\). In \((4,12)\), \(\frac{6}{b}=\frac{1}{2}\), so it cannot give infinitely many solutions. Exam tip: for infinitely many solutions, equate all three coefficient ratios.
दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y=c_1\) तथा \(a_2x+b_2y=c_2\) का अद्वितीय हल तब होता है, जब \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{p-2}{5}\neq\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\) होना चाहिए। बराबरी केवल \(p-2=3\), अर्थात \(p=5\), पर होती है। इसलिए \(p\neq 5\) होने पर अद्वितीय हल होगा। \(p=2\) पर भी अनुपात बराबर नहीं हैं, इसलिए वह अद्वितीय हल को नहीं रोकता। परीक्षा टिप: पहले दोनों समीकरणों के \(x\) और \(y\) के गुणांकों के अनुपात की तुलना करें। / Two linear equations \(a_1x+b_1y=c_1\) and \(a_2x+b_2y=c_2\) have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\). Here, we need \(\frac{p-2}{5}\neq\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\). The ratios become equal only when \(p-2=3\), i.e. \(p=5\). Therefore, the pair has a unique solution for \(p\neq 5\). At \(p=2\), the ratios are still unequal, so it does not prevent a unique solution. Exam tip: compare the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) first.
एक विद्यार्थी कहता है कि समीकरणों \(3x-2y=5\) और \(6x-4y=12\) के अनंत हल हैं, क्योंकि \(x\) और \(y\) के गुणांकों के अनुपात बराबर हैं। उसकी त्रुटि को ध्यान में रखते हुए सही निष्कर्ष कौन-सा है?
C. दोनों समीकरणों का कोई हल नहीं है/The equations have no solution
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{3}{6}=\frac{-2}{-4}=\frac12\), पर \(\frac{5}{12}\ne\frac12\)। अतः रेखाएँ समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। परीक्षा में तीनों अनुपात अवश्य जाँचें। / \(\frac{3}{6}=\frac{-2}{-4}=\frac12\), but \(\frac{5}{12}\ne\frac12\). Hence, the lines are parallel and have no solution. Exam tip: always compare all three ratios.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि संबंधित गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान हो: 4/12 = a/21 = 36/108। चूँकि 4/12 और 36/108 दोनों 1/3 के बराबर हैं, इसलिए a/21 = 1/3, अतः a = 7। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constants must be equal: 4/12 = a/21 = 36/108. Since 4/12 and 36/108 are both 1/3, we get a/21 = 1/3, so a = 7. Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding ratios must be equal; checking only two ratios is not sufficient.
यहाँ \(a_1/a_2=5/10=1/2\) और \(b_1/b_2=4/8=1/2\) हैं, लेकिन \(c_1/c_2=180/370=18/37\) है। अर्थात \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई प्रतिच्छेद बिंदु नहीं है। अतः प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(x\) और \(y\) के गुणांकों के अनुपात जाँचें, फिर नियत पदों का अनुपात मिलाएँ। / Here, \(a_1/a_2=5/10=1/2\) and \(b_1/b_2=4/8=1/2\), but \(c_1/c_2=180/370=18/37\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are distinct and parallel and do not intersect. Therefore, the system is inconsistent and has no solution. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) first, and then compare the ratio of the constants.
C. समानांतर परंतु भिन्न रेखाएँ; असंगत/Parallel but distinct lines; inconsistent
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण के गुणांक दूसरे समीकरण के गुणांकों के 9 गुने हैं: \(18/2=27/3=9\)। लेकिन नियत पदों का अनुपात \(63/8\) है, जो 9 नहीं है। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर लेकिन भिन्न हैं और युग्म असंगत है; इसका कोई हल नहीं है। संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा टिप: गुणांकों के अनुपातों की तुलना करते समय नियत पदों को अवश्य जाँचें। / The coefficients of the first equation are 9 times those of the second: \(18/2=27/3=9\). However, the ratio of the constants is \(63/8\), which is not 9. Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are parallel but distinct and the pair is inconsistent; it has no solution. For coincident lines, all three ratios must be equal. Exam tip: always compare the constant-term ratio along with the coefficient ratios.
दो रैखिक समीकरणों के कोई हल न होने की शर्त है कि
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है। इसलिए \(\frac{3}{a}=\frac{1}{2}\), जिससे \(a=6\) प्राप्त होता है। साथ ही \(\frac{5}{11}\ne\frac{1}{2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों के अनुपात बराबर करें और नियतांकों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{3}{a}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=6\). Also, \(\frac{5}{11}\ne\frac{1}{2}\), so the two lines are distinct and parallel and have no common solution. Exam tip: For ‘no solution,’ first equate the ratios of the variable coefficients and then verify that the constants’ ratio is different.
A. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अनंत अनेक हल मिलते हैं। विकल्प B में रेखाएँ समानांतर तथा भिन्न होती हैं, इसलिए कोई हल नहीं होता। परीक्षा टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), both equations represent the same line. Hence, every point on that line satisfies both equations, giving infinitely many solutions. In option B, the lines are distinct and parallel, so there is no solution. Exam tip: For infinitely many solutions, all three ratios must be equal.
