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Subjects
Class 10 Mathematics Pair of Linear Equations in Two Variables Conditions for solvability Medium Level 58

दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म \(a_1x+b_1y+c_1=0\) तथा \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के अनंत अनेक हल होने की शर्त कौन-सी है?

Which condition ensures that the pair of linear equations \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\) has infinitely many solutions?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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A. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)

Explanation

Simple Explanation

जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अनंत अनेक हल मिलते हैं। विकल्प B में रेखाएँ समानांतर तथा भिन्न होती हैं, इसलिए कोई हल नहीं होता। परीक्षा टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), both equations represent the same line. Hence, every point on that line satisfies both equations, giving infinitely many solutions. In option B, the lines are distinct and parallel, so there is no solution. Exam tip: For infinitely many solutions, all three ratios must be equal.

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Correct Answer: A. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Explanation: जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अनंत अनेक हल मिलते हैं। विकल्प B में रेखाएँ समानांतर तथा भिन्न होती हैं, इसलिए कोई हल नहीं होता। परीक्षा टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), both equations represent the same line. Hence, every point on that line satisfies both equations, giving infinitely many solutions. In option B, the lines are distinct and parallel, so there is no solution. Exam tip: For infinitely many solutions, all three ratios must be equal.