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दोनों समीकरणों में गुणांकों का अनुपात समान नहीं है: \(\frac{19}{9} \ne \frac{8}{4}\)। अधिक सीधे तौर पर, निर्धारक \(19 \times 4 - 8 \times 9 = 4 \ne 0\) है। इसलिए दोनों रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B तभी सही होता जब दोनों रेखाएं एक ही होतीं, जबकि विकल्प A समानांतर रेखाओं की स्थिति है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / The coefficient ratios are unequal: \(\frac{19}{9} \ne \frac{8}{4}\). Equivalently, the determinant is \(19 \times 4 - 8 \times 9 = 4 \ne 0\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the equations have one unique solution. Option B would apply if both equations represented the same line, while option A describes parallel lines. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations has a unique solution.
यहाँ
\(a_1/a_2=6/18=1/3\) और \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), जबकि \(c_1/c_2=13/40\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो असंगत समीकरणों को दर्शाता है। दोनों रेखाएँ अलग-अलग समानांतर हैं, इसलिए उनका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति को पहचानने के लिए पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना \(c_1/c_2\) से करें। / Here, \(a_1/a_2=6/18=1/3\) and \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), whereas \(c_1/c_2=13/40\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which represents an inconsistent pair of equations. The two lines are distinct and parallel, so they have no solution. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of \(x\), \(y\), and the constants in this order to identify the solution status quickly.
दो रैखिक समीकरणों के लिए \\(a_1/a_2 = b_1/b_2\\) न होने पर एक अद्वितीय हल होता है। यहाँ \\(17/8 \\ne 6/3\\) है; अथवा निर्धारक \\(17 \\times 3 - 8 \\times 6 = 3 \\ne 0\\) है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं और निकाय का एक अद्वितीय हल है। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना करते समय दोनों समीकरणों में गुणांकों का क्रम समान रखें। / For two linear equations, a unique solution exists when \\(a_1/a_2 \\ne b_1/b_2\\). Here, \\(17/8 \\ne 6/3\\); equivalently, the determinant is \\(17 \\times 3 - 8 \\times 6 = 3 \\ne 0\\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the system has one unique solution. Exam tip: Compare corresponding coefficients in the same order in both equations.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात भिन्न होना चाहिए। इसलिए
\(\frac{a}{14}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\), जिससे \(a=6\)। साथ ही \(\frac{27}{64}\ne\frac{3}{7}\), इसलिए दोनों समीकरण असंगत हैं और उनका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों का अनुपात समान करके पैरामीटर ज्ञात करें, फिर अचर पदों का अनुपात जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the corresponding coefficients must be equal, while the ratio of the constants must be different. Thus, \(\frac{a}{14}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\), giving \(a=6\). Also, \(\frac{27}{64}\ne\frac{3}{7}\), so the equations are inconsistent and have no solution. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients to find the parameter, then verify that the constants are not in the same ratio.
दोनों समीकरणों के गुणांकों का सारणिक \\(15 \times 2 - 7 \times 4 = 2\\) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। अनंत हल के लिए गुणांक और अचर पदों के संबंधित अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(a_1b_2-a_2b_1 \ne 0\\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म का निश्चित रूप से एक अद्वितीय हल होता है। / The determinant of the coefficients is \\(15 \times 2 - 7 \times 4 = 2\\), which is non-zero. Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the pair has a unique solution. Infinitely many solutions would require the corresponding ratios of the coefficients and constant terms to be equal. Exam tip: If \\(a_1b_2-a_2b_1 \ne 0\\), a pair of linear equations has exactly one unique solution.
B. \(\frac{6}{12}\ne\frac{7}{13}\), इसलिए एक अद्वितीय हल है/\(\frac{6}{12}\ne\frac{7}{13}\), so there is a unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(a_1=6, a_2=12, b_1=7, b_2=13\) हैं। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{13}\); दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। अतः रैखिक समीकरणों की युग्म के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) की स्थिति होने पर एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है। वास्तव में, दोनों समीकरणों को हल करने पर \(y=1\) और \(x=8/3\) मिलता है, इसलिए विकल्प A में दिया गया \(y=2\) गलत है। परीक्षा में पहले x और y के गुणांकों के अनुपात की तुलना करें; उनके असमान होने पर उत्तर अद्वितीय हल होता है। / Here, \(a_1=6, a_2=12, b_1=7, b_2=13\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{13}\); the two ratios are unequal. For a pair of linear equations, the condition \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) indicates a unique solution. In fact, solving the equations gives \(y=1\) and \(x=8/3\), so the value \(y=2\) in option A is incorrect. In an exam, compare the ratios of the coefficients of x and y first; if they are unequal, the pair has a unique solution.
यहाँ पहले समीकरण के गुणांक हैं
\(a_1=3, b_1=1\) और दूसरे के \(a_2=1, b_2=-2\)। चूँकि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{1}=3\) तथा \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\) बराबर नहीं हैं, इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B तब सही होता जब दोनों रेखाएँ समानांतर होतीं, अर्थात \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\)। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना करते समय दूसरे समीकरण के ऋणात्मक गुणांक का चिह्न अवश्य रखें। / In the two equations, \(a_1=3, b_1=1\) and \(a_2=1, b_2=-2\). Since \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{1}=3\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\) are unequal, the two lines intersect at exactly one point. Therefore, the pair has one unique solution. Option B would apply only when the lines are parallel, which requires \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\). Exam tip: retain the negative sign while comparing ratios of coefficients.
पहले समीकरण के गुणांकों और दूसरे समीकरण के गुणांकों का अनुपात है: 7/14 = (-3)/(-6) = 1/2। लेकिन अचर पदों का अनुपात 10/25 = 2/5 है, जो 1/2 के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं है। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, तो रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता। / The ratios of the corresponding coefficients are 7/14 = (-3)/(-6) = 1/2. However, the ratio of the constant terms is 10/25 = 2/5, which is not equal to 1/2. Thus, the two lines are distinct and parallel, so they do not intersect at any point. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair of linear equations has no solution.
A. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अनंत अनेक हल मिलते हैं। विकल्प B में रेखाएँ समानांतर तथा अलग होती हैं, इसलिए कोई हल नहीं होता। परीक्षा टिप: तीनों अनुपात बराबर हों तो अनंत हल, जबकि केवल पहले दो अनुपात बराबर हों और तीसरा अलग हो तो कोई हल नहीं होता। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), both equations represent the same line. Hence, every point on that line satisfies both equations, giving infinitely many solutions. In option B, the lines are distinct and parallel, so there is no solution. Exam tip: equality of all three ratios means infinitely many solutions; if only the first two ratios are equal and the third differs, there is no solution.
पहली रेखा के गुणांकों की तुलना में \(a_1/a_2=2/4=1/2\) और \(b_1/b_2=(-3)/(-6)=1/2\), जबकि \(c_1/c_2=5/7\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो अलग-अलग समानांतर रेखाओं की शर्त है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प B गलत है, क्योंकि संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-टिप: \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) दिखे तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। / Comparing the coefficients, \(a_1/a_2=2/4=1/2\) and \(b_1/b_2=(-3)/(-6)=1/2\), but \(c_1/c_2=5/7\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which is the condition for distinct parallel lines. Therefore, option C is correct. Option B is incorrect because coincident lines require all three ratios to be equal. Exam tip: If \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the lines are distinct and parallel.
कोई हल न होने के लिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग होनी चाहिए। इसके लिए x तथा y के गुणांकों के अनुपात बराबर, लेकिन नियतांकों का अनुपात अलग होना चाहिए। यहाँ \(\frac{12}{2}=6\), इसलिए \(\frac{6}{k}=6\) से \(k=1\) मिलता है। तब समीकरण \(x+2y=5\) और \(x+2y=8\) बनते हैं, जो समानांतर भिन्न रेखाएँ हैं। \(k=2\) आदि पर गुणांकों के अनुपात बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: पहले गुणांकों के अनुपात बराबर कराइए, फिर नियतांकों का अनुपात जाँचिए। / For no solution, the two lines must be parallel but distinct. Thus, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, while the ratio of the constants must be different. Here, \(\frac{12}{2}=6\), so \(\frac{6}{k}=6\) gives \(k=1\). The equations then become \(x+2y=5\) and \(x+2y=8\), which represent distinct parallel lines. For \(k=2\) or other listed values, the coefficient ratios are not equal. Exam tip: first equate the coefficient ratios, then check that the constant ratio differs.
अनंत हलों के लिए दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को निरूपित करने चाहिए। अतः उनके संगत गुणांकों के अनुपात समान होंगे: \(\frac{a}{2}=\frac{6}{3}=\frac{14}{7}=2\)। इसलिए \(\frac{a}{2}=2\) से \(a=4\) प्राप्त होता है। \(a=2\) लेने पर केवल \(x\) के गुणांक का अनुपात मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: अनंत हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) जाँचें। / For infinitely many solutions, both linear equations must represent the same line. Hence the ratios of corresponding coefficients must be equal: \(\frac{a}{2}=\frac{6}{3}=\frac{14}{7}=2\). Thus, \(\frac{a}{2}=2\) gives \(a=4\). If \(a=2\), the ratio of the coefficients of \(x\) does not match the other ratios. Exam tip: for infinitely many solutions, check \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तब होते हैं जब उनके संगत गुणांकों के अनुपात बराबर हों। यहाँ दूसरे समीकरण \(3x-4y=12\) को 2 से गुणा करने पर \(6x-8y=24\) मिलता है। अतः पहले समीकरण को इसी के समान होने के लिए \(p=6\) होना चाहिए। उदाहरण के लिए, \(p=4\) रखने पर \(x\) के गुणांकों का अनुपात अन्य अनुपातों के बराबर नहीं होगा। परीक्षा टिप: अनंत हल के लिए \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) जाँचें। / Two linear equations have infinitely many solutions when the ratios of their corresponding coefficients are equal. Multiplying \(3x-4y=12\) by 2 gives \(6x-8y=24\). Therefore, the first equation matches it only when \(p=6\). For instance, if \(p=4\), the ratio of the coefficients of \(x\) is not equal to the other ratios. Exam tip: for infinitely many solutions, check \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\).
अनंत हलों के लिए दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए। अतः उनके संगत गुणांकों के अनुपात समान होंगे: \(\frac{2}{4}=\frac{p}{6}=\frac{10}{20}\)। यहाँ \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\) और \(p=3\)। \(p=6\) रखने पर गुणांक समान अनुपात में नहीं रहते, इसलिए समीकरण एक ही रेखा नहीं बनाते। परीक्षा टिप: अनंत हलों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) जाँचें। / For infinitely many solutions, both linear equations must represent the same line. Therefore, the ratios of corresponding coefficients must be equal: \(\frac{2}{4}=\frac{p}{6}=\frac{10}{20}\). Since \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), we get \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\), so \(p=3\). If \(p=6\), the coefficients are not in the same ratio, so the equations do not represent the same line. Exam tip: for infinitely many solutions, check \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
