समीकरणों (19x+8y=67) और (9x+4y=32) के लिए सही हल-स्थिति क्या है?

Correct Answer: C. एक अद्वितीय हल / One unique solution. Explanation: दोनों समीकरणों में गुणांकों का अनुपात समान नहीं है: \(\frac{19}{9} \ne \frac{8}{4}\)। अधिक सीधे तौर पर, निर्धारक \(19 \times 4 - 8 \times 9 = 4 \ne 0\) है। इसलिए दोनों रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B तभी सही होता जब दोनों रेखाएं एक ही होतीं, जबकि विकल्प A समानांतर रेखाओं की स्थिति है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / The coefficient ratios are unequal: \(\frac{19}{9} \ne \frac{8}{4}\). Equivalently, the determinant is \(19 \times 4 - 8 \times 9 = 4 \ne 0\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the equations have one unique solution. Option B would apply if both equations represented the same line, while option A describes parallel lines. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations has a unique solution.