What is the condition for the pair of linear equations \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\) to have infinitely many solutions?दो रैखिक समीकरणों के युग्म \(a_1x+b_1y+c_1=0\) तथा \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के अनंत अनेक हल होने की शर्त क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), both equations represent the same line. Hence, every point on that line satisfies both equations, giving infinitely many solutions. In option B, the lines are distinct and parallel, so there is no solution. Exam tip: equality of all three ratios means infinitely many solutions; if only the first two ratios are equal and the third differs, there is no solution.जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अनंत अनेक हल मिलते हैं। विकल्प B में रेखाएँ समानांतर तथा अलग होती हैं, इसलिए कोई हल नहीं होता। परीक्षा टिप: तीनों अनुपात बराबर हों तो अनंत हल, जबकि केवल पहले दो अनुपात बराबर हों और तीसरा अलग हो तो कोई हल नहीं होता।
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