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द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है और \(a\neq 0\) होता है। परीक्षा में पहले मानक रूप पहचानें। / A quadratic equation has highest power (2) of (x) and \(a\neq 0\). In exams identify the standard form first.
\(x^2+3x+2=0\) में सबसे बड़ी घात (2) है। विकल्प चुनते समय घात को सबसे पहले देखें। / In \(x^2+3x+2=0\), the highest power is (2). Check the power first while choosing an option.
इस समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) है। घात हमेशा चर की सबसे बड़ी शक्ति से तय होती है। / The highest power of (x) in this equation is (2). Degree is decided by the greatest power of the variable.
मानक रूप से मिलाने पर (a=1,\ b=-5,\ c=6) मिलता है। चिन्हों पर विशेष ध्यान रखें। / Comparing with standard form gives (a=1,\ b=-5,\ c=6). Pay special attention to signs.
यदि (a=0) हो जाए तो \(x^2\) पद नहीं बचेगा। इसलिए द्विघात होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / If (a=0), the \(x^2\) term disappears. So \(a\neq 0\) is necessary for a quadratic equation.
(x=2) रखने पर \(2^2-4=0\) मिलता है। मूल जांचने के लिए मान रखकर परिणाम (0) देखें। / Putting (x=2) gives \(2^2-4=0\). To check a root, substitute the value and see if the result is (0).
वर्ग का अर्थ \(x^2\) और (3) गुना का अर्थ (3x) है। शब्द प्रश्न में वाक्य को धीरे-धीरे समीकरण में बदलें। / Square means \(x^2\) and (3) times means (3x). In word problems, convert the sentence slowly into an equation.
D. क्योंकि सबसे बड़ी घात (1) है/Because the highest power is (1)
Explanation
Simple Explanation
(3x+2=0) में (x) की सबसे बड़ी घात (1) है। द्विघात के लिए सबसे बड़ी घात (2) होनी चाहिए। / In (3x+2=0), the highest power of (x) is (1). A quadratic equation must have highest power (2).
द्विघात समीकरण की घात (2) होती है इसलिए अधिकतम (2) मूल हो सकते हैं। घात और अधिकतम मूल की संख्या को जोड़कर याद रखें। / A quadratic equation has degree (2), so it can have at most (2) roots. Remember degree and maximum number of roots together.
\(x^2\) के साथ लगा गुणांक (5) है। गुणांक लिखते समय केवल पद के साथ लगा संख्यात्मक भाग लें। / The coefficient attached to \(x^2\) is (5). While writing a coefficient, take the numerical part attached to the term.
सभी पद एक तरफ लाने पर \(x^2-3x+4=0\) मिलता है। मानक रूप में दायां पक्ष (0) रखें। / Bringing all terms to one side gives \(x^2-3x+4=0\). In standard form, keep the right side as (0).
इसमें (x) वाला पद नहीं है इसलिए रैखिक पद (0x) माना जाता है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) होता है। / There is no (x) term, so the linear term is considered (0x). A missing term has coefficient (0).
जिस पद में \(x^2\) होता है वह द्विघात पद है। यहाँ द्विघात पद \(6x^2\) है। / The term containing \(x^2\) is the quadratic term. Here the quadratic term is \(6x^2\).
शुद्ध द्विघात में (x) वाला पद नहीं होता है। \(4x^2-9=0\) में रैखिक पद अनुपस्थित है। / A pure quadratic equation has no (x) term. In \(4x^2-9=0\), the linear term is absent.
मोनिक द्विघात में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए \(x^2+5x+6=0\) सही है। / In a monic quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) is (1). So \(x^2+5x+6=0\) is correct.
(x=0) रखने पर \(0^2+5\cdot0=0\) मिलता है। मूल जांचने में प्रतिस्थापन सबसे आसान तरीका है। / Putting (x=0) gives \(0^2+5\cdot0=0\). Substitution is the easiest way to check a root.
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(m-2\neq 0\) यानी \(m\neq 2\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(m-2\neq 0\), so \(m\neq 2\).
विवेचक \(D=b^2-4ac\) होता है। इसे याद रखने से मूलों की प्रकृति समझना आसान होता है। / The discriminant is \(D=b^2-4ac\). Remembering it helps in understanding the nature of roots.
(D>0) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / When (D>0), the equation has two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
(D=0) होने पर दोनों वास्तविक मूल समान होते हैं। ऐसे प्रश्नों में (D) की तुलना (0) से करें। / When (D=0), both real roots are equal. In such questions, compare (D) with (0).
C. कोई वास्तविक मूल नहीं होता/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। विवेचक नकारात्मक हो तो वास्तविक संख्या रेखा पर मूल नहीं मिलते। / When (D<0), there are no real roots. A negative discriminant gives no roots on the real number line.
\(x^2\) का गुणांक (-1), (x) का गुणांक (4) और स्थिर पद (-1) है। ऋण चिन्ह को कभी न छोड़ें। / The coefficient of \(x^2\) is (-1), the coefficient of (x) is (4), and the constant term is (-1). Never ignore the negative sign.
B. क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (0) है/Because the coefficient of \(x^2\) is (0)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(x^2\) का गुणांक (0) है इसलिए \(x^2\) पद समाप्त हो जाता है। द्विघात के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / Here the coefficient of \(x^2\) is (0), so the \(x^2\) term disappears. For a quadratic equation, \(a\neq 0\) is necessary.
((x+1)(x+2)=x-2+3x+2) होता है। गुणा करते समय मध्य पदों को जोड़ना न भूलें। / ((x+1)(x+2)=x-2+3x+2). Do not forget to add the middle terms while multiplying.
(7) को बाईं ओर लाने पर \(x^2-7=0\) मिलता है। मानक रूप में सभी पद एक तरफ होते हैं। / Bringing (7) to the left gives \(x^2-7=0\). In standard form, all terms are on one side.
\(x^2=9\) से \(x=\pm3\) मिलता है। वर्गमूल लेते समय धन और ऋण दोनों मान लें। / From \(x^2=9\), we get \(x=\pm3\). While taking square roots, take both positive and negative values.
मूल (0) और (-3) होने पर गुणनखंड (x) और (x+3) होंगे। इसलिए समीकरण (x(x+3)=0) यानी \(x^2+3x=0\) है। / For roots (0) and (-3), the factors are (x) and (x+3). So the equation is (x(x+3)=0), that is \(x^2+3x=0\).
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का बायां पक्ष (0) हो जाता है। इसलिए (p\(\alpha\)=0) सही है। / A root is a value that makes the left side of the equation (0). Therefore (p\(\alpha\)=0) is correct.
(x=1) रखने पर \(1^2-1=0\) मिलता है। मूल की जांच में दिया हुआ मान सीधे रखें। / Putting (x=1) gives \(1^2-1=0\). To check a root, directly substitute the given value.
(p(x)=x-2+2x+1) एक बहुपद है क्योंकि इसे (0) के बराबर नहीं रखा गया है। (=0) लगाने पर यह समीकरण बनेगा। / (p(x)=x-2+2x+1) is a polynomial because it is not set equal to (0). It becomes an equation when written as equal to (0).
(-x) का गुणांक (-1) होता है। चिन्ह सहित गुणांक लिखना जरूरी है। / The coefficient of (-x) is (-1). It is necessary to write the coefficient with its sign.
मानक रूप से मिलाने पर स्थिर पद अनुपस्थित है इसलिए (c=0) है। अनुपस्थित स्थिर पद को (0) मानें। / Comparing with standard form, the constant term is absent, so (c=0). Treat a missing constant term as (0).
(x(x-5)) को फैलाने पर \(x^2-5x\) मिलता है। कोष्ठक हटाते समय चिन्ह सही रखें। / Expanding (x(x-5)) gives \(x^2-5x\). Keep signs correct while removing brackets.
(6x) को बाईं ओर लाने पर \(x^2-6x=0\) मिलता है। स्थानांतरण करते समय चिन्ह बदलता है। / Bringing (6x) to the left gives \(x^2-6x=0\). The sign changes during transposition.
\(3x^2+1=0\) में सबसे बड़ी घात (2) है। द्विघात पहचानने के लिए चर की घात देखें। / In \(3x^2+1=0\), the highest power is (2). To identify a quadratic equation, look at the power of the variable.
A. क्योंकि इसमें (x) की ऋणात्मक घात है/Because it has a negative power of (x)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है जो बहुपद रूप नहीं है। द्विघात समीकरण में चर की ऋणात्मक घात नहीं होती। / \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), which is not polynomial form. A quadratic equation cannot have a negative power of the variable.
D. क्योंकि इसमें \(\sqrt{x}\) पद है/Because it has a \(\sqrt{x}\) term
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x}\) चर की भिन्न घात दिखाता है इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप में नहीं है। द्विघात में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं। / The term \(\sqrt{x}\) shows a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. A quadratic equation has only \(x^2\), (x), and constant terms.
(x=2) रखने पर (4+2k+2=0) इसलिए (k=-3) मिलता है। मूल दिया हो तो उसे समीकरण में रखें। / Putting (x=2) gives (4+2k+2=0), so (k=-3). If a root is given, substitute it in the equation.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में मान रखने पर \(3x^2+0x-12=0\) मिलता है। इसे सरल करने पर \(3x^2-12=0\) है। / Substituting in \(ax^2+bx+c=0\) gives \(3x^2+0x-12=0\). Simplifying gives \(3x^2-12=0\).
इसमें (x) वाला पद नहीं है इसलिए रैखिक पद अनुपस्थित है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जाता है। / There is no (x) term, so the linear term is absent. The coefficient of a missing term is considered (0).
चर (y) की सबसे बड़ी घात (2) है इसलिए यह (y) में द्विघात है। चर कोई भी हो सकता है पर घात (2) होनी चाहिए। / The highest power of (y) is (2), so it is quadratic in (y). The variable may be different, but the degree must be (2).
मानक रूप में \(x^2\) का गुणांक (a) होता है। यही गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। / In standard form, the coefficient of \(x^2\) is (a). This coefficient must not be (0).
A. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (1) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4=0\) में \(x^2\) का गुणांक (1) है इसलिए यह द्विघात है। वास्तविक मूल होना द्विघात होने की शर्त नहीं है। / In \(x^2+4=0\), the coefficient of \(x^2\) is (1), so it is quadratic. Having real roots is not a condition for being quadratic.
मानक रूप में \(x^2\) पद, (x) पद और स्थिर पद हो सकते हैं। इसलिए अधिकतम (3) पद होते हैं। / The standard form may contain the \(x^2\) term, the (x) term, and the constant term. So the maximum number of terms is (3).
D. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (2) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(2x^2=0\) में \(x^2\) का गुणांक \(2\neq 0\) है। रैखिक और स्थिर पद न होने पर भी यह द्विघात हो सकता है। / In \(2x^2=0\), the coefficient of \(x^2\) is \(2\neq 0\). It can be quadratic even without linear and constant terms.
क्षेत्रफल (x(x+3)=10) होगा जिससे \(x^2+3x-10=0\) मिलता है। ज्यामिति प्रश्न में सूत्र से समीकरण बनाएं। / The area is (x(x+3)=10), which gives \(x^2+3x-10=0\). In geometry questions, form the equation using the formula.
