The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
A. क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए/Because the remainder must be less than the divisor
Step 1
Concept
In Euclid’s division lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is 49, so the remainder can only be from 0 to 48.
Step 3
Exam Tip
If the remainder is equal to or greater than the divisor, reject it immediately. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ भाजक 49 है, इसलिए शेषफल 0 से 48 तक ही हो सकता है। चरण 3: शेषफल भाजक के बराबर या उससे बड़ा दिखे तो उत्तर तुरंत गलत मानें।
On division by (9), remainders can be from (0) to (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (9q+9), the remainder is (9), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (9(q+1)). चरण 1: (9) से भाग देने पर शेषफल (0) से (8) तक हो सकते हैं। चरण 2: (9q+9) में शेषफल (9) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (9(q+1)) लिखा जाना चाहिए।
In Euclid’s division lemma, the remainder may start from (0).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is always less than the divisor (21), so \(0 \le r < 21\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Never take the remainder equal to the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: शेषफल हमेशा भाजक (21) से छोटा होगा, इसलिए \(0 \le r < 21\) सही है। चरण 3: शेषफल को कभी भी भाजक के बराबर न मानें।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (3(q+1)) लिखना चाहिए।
Since (9) is less than (13), \(87=13 \times 6+9\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than the divisor does not give the correct Euclidean form. चरण 1: \(13 \times 6=78\) और (87-78=9)। चरण 2: (9), (13) से छोटा है, इसलिए \(87=13 \times 6+9\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं देता।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < 14\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Taking (r=14) would be wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < 14\) सही है। चरण 3: (r=14) लेना गलत होगा क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
If (b) is given, the greatest remainder is (b-1). चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (18) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (17) है। चरण 3: (b) दिया हो तो सबसे बड़ा शेषफल (b-1) होता है।
On division by (4), possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is (4), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
Such a form should be written as (4(q+1)). चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: (4q+4) में शेषफल (4) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: ऐसे रूप को (4(q+1)) लिखना चाहिए।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < b\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of allowing (r=b). चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < b\) सही है। चरण 3: परीक्षा में (r=b) वाली गलती से बचें।
In \(58=9 \times 6+4\), the remainder is (4), and (4<9).
Step 3
Exam Tip
Along with equality, the range of the remainder must also be correct. चरण 1: सही रूप में \(0 \le r < 9\) होना चाहिए। चरण 2: \(58=9 \times 6+4\) में (4) शेषफल है और (4<9)। चरण 3: बराबरी सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
The remainder should not be negative and must be less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
\(10 \times 8=80\) and the remainder is (9), so \(89=10 \times 8+9\).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: शेषफल को ऋणात्मक नहीं रखना है और (10) से छोटा रखना है। चरण 2: \(10 \times 8=80\) और शेषफल (9) है, इसलिए \(89=10 \times 8+9\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप यूक्लिड रूप नहीं माना जाएगा।
In Euclid’s division lemma, the remainder is always greater than or equal to (0) and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is (12), so \(0 \le r < 12\).
Step 3
Exam Tip
Writing \(\le 12\) is wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (12) है, इसलिए \(0 \le r < 12\) होगा। चरण 3: \(\le 12\) लिखना गलती है क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
When the dividend is smaller than the divisor, the quotient can be (0). चरण 1: (q=0) रखने पर \(a=b \times 0+r\), यानी (a=r) मिलता है। चरण 2: शेषफल के लिए (r<b) जरूरी है, इसलिए (a<b) होगा। चरण 3: जब भाज्य भाजक से छोटा हो, भागफल (0) हो सकता है।
A. शेषफल भाजक से छोटा होता है/The remainder is less than the divisor
Step 1
Concept
The lemma gives the remainder range \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is always less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In statement-based questions, this rule is very useful. चरण 1: प्रमेयिका में शेषफल की सीमा \(0 \le r < b\) दी जाती है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होगा। चरण 3: कथन आधारित प्रश्नों में यही नियम सबसे उपयोगी है।
The remainder must always be less than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
In \(51=7 \times 6+9\), remainder (9) is greater than divisor (7).
Step 3
Exam Tip
In such options, check both the sum and the remainder range. चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(51=7 \times 6+9\) में शेषफल (9), भाजक (7) से बड़ा है। चरण 3: ऐसे विकल्पों में योग के साथ शेषफल की सीमा भी जांचें।
To find the invalid form, check the range of the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
In \(23=5\times3+8\), the remainder (8) is greater than the divisor (5).
Step 3
Exam Tip
Even if the equality is numerically true, check the remainder condition. चरण 1: अमान्य रूप खोजने के लिए शेषफल की सीमा जांचें। चरण 2: \(23=5\times3+8\) में शेषफल (8) है, जो भाजक (5) से बड़ा है। चरण 3: संख्या बराबर दिखे, फिर भी शेषफल की शर्त जरूर देखें।
In \(20=6 \times 2+8\), remainder (8) is greater than divisor (6).
Step 3
Exam Tip
It is not enough for the sum to be correct; the remainder range must also be correct. चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(20=6 \times 2+8\) में शेषफल (8), भाजक (6) से बड़ा है। चरण 3: केवल योग सही होना काफी नहीं, शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
