The remainder of (a) is (5), so for (3a), check \(3 \times 5=15\).
Step 2
Why this answer is correct
\(15=7 \times 2+1\), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In such questions, work with the remainder instead of the whole number. चरण 1: (a) का शेषफल (5) है, इसलिए (3a) के लिए \(3 \times 5=15\) देखें। चरण 2: \(15=7 \times 2+1\), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: ऐसे सवाल में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
\(23=11 \times 2+1\), so the new remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In addition-based questions, divide the new sum by the same divisor again. चरण 1: पुराने शेषफल (3) में (20) जोड़ें तो (23) मिलता है। चरण 2: \(23=11 \times 2+1\), इसलिए नया शेषफल (1) होगा। चरण 3: जोड़ वाले सवाल में नए योग को फिर उसी भाजक से बाँटें।
(30) cannot be the remainder because it is greater than (29).
Step 2
Why this answer is correct
(29q+30=29(q+1)+1), so the correct remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
Always keep the remainder between (0) and (b-1). चरण 1: (30) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (29) से बड़ा है। चरण 2: (29q+30=29(q+1)+1), इसलिए सही शेषफल (1) है। चरण 3: शेषफल को हमेशा (0) से (b-1) के बीच रखें।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < 14\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Taking (r=14) would be wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < 14\) सही है। चरण 3: (r=14) लेना गलत होगा क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
Add the added number to the old remainder and check whether the sum is less than the divisor. चरण 1: (n=8q+3) लिखें। चरण 2: (n+4=8q+7), इसलिए शेषफल (7) होगा। चरण 3: पुराने शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़ें और देखें कि योग भाजक से छोटा है या नहीं।
A. शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है/The remainder is always less than the divisor
Step 1
Concept
The main condition on the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory-based questions, remember this condition directly. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की मुख्य शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 3: ऐसे सैद्धांतिक प्रश्नों में शर्त को सीधे याद रखें।
The dividend (17) is smaller than the divisor (23).
Step 2
Why this answer is correct
So the quotient is (0) and the remainder remains (17).
Step 3
Exam Tip
When the dividend is smaller than the divisor, remember to take (q=0). चरण 1: भाज्य (17), भाजक (23) से छोटा है। चरण 2: इसलिए भागफल (0) होगा और शेषफल (17) रहेगा। चरण 3: जब भाज्य भाजक से छोटा हो तो (q=0) लेना याद रखें।
The remainder is always less than the divisor, so division by (6) gives remainders from (0) to (5).
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor itself while listing possible remainders. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है, इसलिए (6) से भाग में (0) से (5) तक शेषफल मिलते हैं। चरण 3: संभावित शेषफल लिखते समय भाजक को शामिल न करें।
(n+5=9q+7), so the remainder on division by (9) is (7).
Step 3
Exam Tip
Add the added number to the remainder; if the sum is smaller than the divisor, it becomes the new remainder. चरण 1: (n=9q+2) लिखें। चरण 2: (n+5=9q+7), इसलिए (9) से भाग देने पर शेषफल (7) होगा। चरण 3: शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़ें और यदि योग भाजक से छोटा हो तो वही नया शेषफल होता है।
When dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: (37) को (37) से भाग देने पर एक बार पूरा भाग जाता है। चरण 2: इसलिए \(37=37 \times 1+0\), अतः (q=1) और (r=0)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों, तो शेषफल (0) होता है।
On division by (12), the greatest possible remainder is (12-1=11).
Step 3
Exam Tip
When asked for the greatest remainder, think of (b-1). चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (12) से भाग देने पर सबसे बड़ा शेषफल (12-1=11) होगा। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल पूछे तो तुरंत (b-1) सोचें।
When division is exact, the remainder is always (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\)। चरण 2: (91-91=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन होने पर शेषफल हमेशा (0) होता है।
On division by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for identifying even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल केवल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्याएँ (2q) या (2q+1) के रूप में होंगी। चरण 3: यही आधार सम और विषम संख्या पहचानने में काम आता है।
Here the divisor is (17) and the remainder is (13), since (13<17).
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder while comparing. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहाँ भाजक (17) है और शेषफल (13) है, क्योंकि (13<17)। चरण 3: तुलना करते समय शेषफल की सीमा अवश्य देखें।
On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the number can be written as (3q+0, 3q+1, 3q+2).
Step 3
Exam Tip
Build general forms using possible remainders. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (3q+0, 3q+1, 3q+2) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय संभावित शेषफलों को आधार बनाएं।
In Euclid’s division lemma, the remainder is always greater than or equal to (0) and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is (12), so \(0 \le r < 12\).
Step 3
Exam Tip
Writing \(\le 12\) is wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (12) है, इसलिए \(0 \le r < 12\) होगा। चरण 3: \(\le 12\) लिखना गलती है क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
When (b=1), we get \(0 \le r < 1\), so only (r=0) is possible.
Step 3
Exam Tip
Any integer divided by (1) leaves remainder (0). चरण 1: शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: जब (b=1), तब \(0 \le r < 1\) होगा, इसलिए केवल (r=0) संभव है। चरण 3: किसी भी पूर्णांक को (1) से भाग देने पर शेषफल (0) रहता है।
(130) is greater than (121), so the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, always take the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10 \times 12=120\) और \(10 \times 13=130\) है। चरण 2: (130), (121) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) है। चरण 3: भागफल के लिए हमेशा निकटतम छोटा गुणज लें।
To leave remainder (3) on division by (7), the form should be (7q+3).
Step 2
Why this answer is correct
\(45=7 \times 6+3\).
Step 3
Exam Tip
The remainder is less than the divisor, so (45) is correct. चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (3) चाहिए, इसलिए रूप (7q+3) होगा। चरण 2: \(45=7 \times 6+3\) है। चरण 3: शेषफल भाजक से छोटा है, इसलिए (45) सही है।
Now the number is exactly divisible by (8), so the remainder is (0). चरण 1: संख्या का रूप (8q+5) है। चरण 2: (3) जोड़ने पर (8q+8=8(q+1)) बनता है। चरण 3: अब संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित होगी, इसलिए शेषफल (0) है।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the number becomes (2q+0) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
These forms identify even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्या (2q+0) या (2q+1) बनती है। चरण 3: इन्हीं रूपों से सम और विषम संख्या पहचानी जाती है।
The greatest possible remainder is always one less than the divisor. चरण 1: शेषफल के लिए नियम \(0 \le r < b\) है। चरण 2: यहां (b=13), इसलिए सबसे बड़ा शेषफल (12) होगा। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल हमेशा भाजक से एक कम होता है।
After finding the quotient, subtract to get the remainder. चरण 1: \(27=4\times6+3\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए शेषफल (3) है और यह (4) से छोटा है। चरण 3: भागफल मिलने के बाद घटाकर शेषफल निकालें।
A. (b) धनात्मक पूर्णांक और शून्य से अलग होना चाहिए/(b) must be a positive integer and non-zero
Step 1
Concept
The divisor cannot be zero in division.
Step 2
Why this answer is correct
In the lemma, (b) is taken as a positive integer.
Step 3
Exam Tip
Division by zero is not valid, so avoid such options. चरण 1: विभाजन में भाजक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: प्रमेय में (b) धनात्मक पूर्णांक माना जाता है। चरण 3: शून्य से भाग देना मान्य नहीं होता, इसलिए ऐसे विकल्प से बचें।
An odd number has remainder (1), so its form is (2q+1).
Step 3
Exam Tip
The remainder helps identify the type of number. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) होता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है, इसलिए रूप (2q+1) है। चरण 3: शेषफल से संख्या का प्रकार पहचानना आसान होता है।
When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An even number has remainder (0), so its form is (2q).
Step 3
Exam Tip
Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions. चरण 1: किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। चरण 3: सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें।
The greatest possible remainder is always one less than the divisor. चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (11) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (10) है। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल हमेशा भाजक से (1) कम होता है।
Remainders start from (0) and go up to one less than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor is (8), so possible remainders are (0) to (7).
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor itself as a possible remainder. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू होकर भाजक से एक कम तक हो सकता है। चरण 2: भाजक (8) है, इसलिए शेषफल (0) से (7) तक होंगे। चरण 3: संभव शेषफल गिनते समय भाजक को शामिल न करें।
The range of the remainder is very important in the lemma.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may be (0), but it must be less than the divisor (b).
Step 3
Exam Tip
Read the inequality carefully in such questions. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की सीमा बहुत महत्वपूर्ण होती है। चरण 2: शेषफल (0) हो सकता है, लेकिन वह भाजक (b) से छोटा ही रहता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में असमानता को ध्यान से पढ़ें।
The remaining part is (4), so the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
The remainder is less than the divisor, so the form is valid. चरण 1: (5q+4) में (5q), (5) का गुणज है। चरण 2: इसके बाद बचा हुआ भाग (4) है, इसलिए शेषफल (4) होगा। चरण 3: शेषफल भाजक से छोटा है, इसलिए रूप सही है।
