When the dividend is smaller than the divisor, the quotient can be (0). चरण 1: (q=0) रखने पर \(a=b \times 0+r\), यानी (a=r) मिलता है। चरण 2: शेषफल के लिए (r<b) जरूरी है, इसलिए (a<b) होगा। चरण 3: जब भाज्य भाजक से छोटा हो, भागफल (0) हो सकता है।
(112) is greater than (99), so the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, choose a multiple less than or equal to the dividend. चरण 1: \(14 \times 7=98\) और \(14 \times 8=112\) है। चरण 2: (112), (99) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल के लिए भाज्य से छोटा या बराबर गुणज चुनें।
A. शेषफल भाजक से छोटा होता है/The remainder is less than the divisor
Step 1
Concept
The lemma gives the remainder range \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is always less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In statement-based questions, this rule is very useful. चरण 1: प्रमेयिका में शेषफल की सीमा \(0 \le r < b\) दी जाती है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होगा। चरण 3: कथन आधारित प्रश्नों में यही नियम सबसे उपयोगी है।
(35-32=3), so (r=3). चरण 1: \(4 \times 8=32\) और \(4 \times 9=36\) है। चरण 2: (36), (35) से बड़ा है, इसलिए (q=8) होगा। चरण 3: (35-32=3), इसलिए (r=3) है।
(20) equals the divisor, so it cannot be a remainder. चरण 1: शेषफल \(0 \le r < b\) होना चाहिए। चरण 2: जब (b=20), तब (r) (20) से छोटा होना चाहिए। चरण 3: (20) भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता।
Therefore, the greatest possible remainder is (17).
Step 3
Exam Tip
In this type of question, the answer is one less than the divisor. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0 \le r < 18\) होगी। चरण 2: इसलिए सबसे बड़ा संभव शेषफल (17) है। चरण 3: इस प्रकार के प्रश्नों में उत्तर भाजक से एक कम होता है।
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: भाजक (3) होने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: कुल तीन अलग-अलग शेषफल संभव हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभव शेषफलों की संख्या (b) होती है।
The remainder can be from (0) to (5), because it must be less than (6).
Step 3
Exam Tip
Include (0) in the list of possible remainders. चरण 1: यहां भाजक (6) है। चरण 2: शेषफल (0) से (5) तक हो सकता है, क्योंकि उसे (6) से छोटा रहना है। चरण 3: शेषफल की सूची में (0) को शामिल करें।
(50) is greater than (47), so the quotient is (4).
Step 3
Exam Tip
Decide the quotient using the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10 \times 4=40\) और \(10 \times 5=50\) है। चरण 2: (50), (47) से बड़ा है, इसलिए भागफल (4) होगा। चरण 3: भागफल निकटतम छोटे गुणज से तय करें।
(60) is greater than (58), so the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the quotient so that the product does not exceed the dividend. चरण 1: \(6 \times 9=54\) और \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (60), (58) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) होगा। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणज भाज्य से बड़ा न हो।
In (a=bq+r), (b) is the number by which division is done.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (b) is called the divisor.
Step 3
Exam Tip
Remember that the divisor cannot be zero. चरण 1: (a=bq+r) में (b) वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है। चरण 2: इसलिए (b) को भाजक कहते हैं। चरण 3: याद रखें कि भाजक शून्य नहीं हो सकता।
A. (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है/(a) is exactly divisible by (b)
Step 1
Concept
(r=0) means no remainder is left.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (a=bq), so (a) is exactly divisible by (b).
Step 3
Exam Tip
When the remainder is zero, think of multiples. चरण 1: (r=0) का अर्थ है कोई शेषफल नहीं बचा। चरण 2: इसलिए (a=bq) बनता है और (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: शेषफल शून्य हो तो गुणज का विचार करें।
Remainders start from (0) and go up to one less than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor is (6), so remainders from (0) to (5) are possible.
Step 3
Exam Tip
The remainder cannot be (6). चरण 1: शेषफल (0) से शुरू होकर भाजक से एक कम तक होता है। चरण 2: भाजक (6) है, इसलिए (0) से (5) तक शेषफल संभव हैं। चरण 3: शेषफल (6) नहीं हो सकता।
Here the remainder is (8) and the divisor is also (8), so it is not valid.
Step 3
Exam Tip
In such questions, apply (r<b) immediately. चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: यहां शेषफल (8) और भाजक भी (8) है, इसलिए यह मान्य नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में (r<b) नियम तुरंत लगाएं।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An odd number leaves remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore, an odd number is written as (2q+1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है। चरण 3: इसलिए विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जाती है।
In Euclid’s Division Lemma, (a) and (b) are positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor (b) cannot be zero, so (b>0).
Step 3
Exam Tip
In division questions, first check the divisor condition. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक माने जाते हैं। चरण 2: भाजक (b) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (b>0) होना चाहिए। चरण 3: भाग से जुड़े प्रश्नों में भाजक की शर्त पहले देखें।
Here the divisor is (5), so (r) can be (0) to (4).
Step 3
Exam Tip
A remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल हमेशा \(0 \le r < b\) के अनुसार होता है। चरण 2: यहां भाजक (5) है, इसलिए (r) के मान (0) से (4) तक हो सकते हैं। चरण 3: शेषफल कभी भाजक के बराबर नहीं होता।
