A. भागफल (13), शेषफल (1)/Quotient (13), remainder (1)
Step 1
Concept
\(12 \times 13=156\) and \(12 \times 14=168\).
Step 2
Why this answer is correct
(156) is the nearest smaller multiple of (12), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In the correct answer, the remainder must be less than the divisor and not negative. चरण 1: \(12 \times 13=156\) और \(12 \times 14=168\) है। चरण 2: (156), (157) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: सही उत्तर में शेषफल भाजक से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
A. हर धनात्मक पूर्णांक (a) को (bq+r) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(0 \le r < b\)/Every positive integer (a) can be written as (bq+r) where \(0 \le r < b\)
Step 1
Concept
The main form of Euclid’s division lemma is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is greater than or equal to (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory questions, remembering the range of the remainder is important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय का मुख्य रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें शेषफल (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: सैद्धांतिक प्रश्नों में शेषफल की सीमा याद रखना जरूरी है।
A. भागफल (12), शेषफल (2)/Quotient (12), remainder (2)
Step 1
Concept
\(11 \times 12=132\) and \(11 \times 13=143\).
Step 2
Why this answer is correct
(132) is the nearest smaller multiple of (11), so the remainder is (134-132=2).
Step 3
Exam Tip
The remainder in the answer must always be less than the divisor. चरण 1: \(11 \times 12=132\) और \(11 \times 13=143\) है। चरण 2: (132), (134) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (134-132=2) है। चरण 3: उत्तर में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
A. शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है/The remainder is always less than the divisor
Step 1
Concept
The main condition on the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory-based questions, remember this condition directly. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की मुख्य शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 3: ऐसे सैद्धांतिक प्रश्नों में शर्त को सीधे याद रखें।
When the dividend is a multiple of the divisor, the remainder is always (0). चरण 1: (56) को (7) से भाग देने पर \(7 \times 8=56\) मिलता है। चरण 2: कोई संख्या बचती नहीं है इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: जब भाज्य भाजक का गुणज हो तो शेषफल हमेशा (0) होता है।
When division is exact, the remainder is always (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\)। चरण 2: (91-91=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन होने पर शेषफल हमेशा (0) होता है।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
A. भागफल (7), शेषफल (8)/Quotient (7), remainder (8)
Step 1
Concept
Dividing (71) by (9), we get \(9 \times 7=63\).
Step 2
Why this answer is correct
(71-63=8), so the quotient is (7) and the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: (71) को (9) से भाग देने पर \(9 \times 7=63\) मिलता है। चरण 2: (71-63=8), इसलिए भागफल (7) और शेषफल (8) है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जाँचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
When (b=1), we get \(0 \le r < 1\), so only (r=0) is possible.
Step 3
Exam Tip
Any integer divided by (1) leaves remainder (0). चरण 1: शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: जब (b=1), तब \(0 \le r < 1\) होगा, इसलिए केवल (r=0) संभव है। चरण 3: किसी भी पूर्णांक को (1) से भाग देने पर शेषफल (0) रहता है।
A. शेषफल भाजक से छोटा होता है/The remainder is less than the divisor
Step 1
Concept
The lemma gives the remainder range \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is always less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In statement-based questions, this rule is very useful. चरण 1: प्रमेयिका में शेषफल की सीमा \(0 \le r < b\) दी जाती है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होगा। चरण 3: कथन आधारित प्रश्नों में यही नियम सबसे उपयोगी है।
A. दो धनात्मक पूर्णांकों के विभाजन को सही रूप में लिखने में/Writing the division of two positive integers in correct form
Step 1
Concept
This lemma explains the basic structure of division.
Step 2
Why this answer is correct
It helps write the dividend, divisor, quotient, and remainder in the form (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
In the chapter on real numbers, it becomes a base for later methods. चरण 1: यह प्रमेय विभाजन की मूल रचना समझाता है। चरण 2: इसकी मदद से (a=bq+r) रूप में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को लिखा जाता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अध्याय में यह आगे की विधियों का आधार है।
A. (b) धनात्मक पूर्णांक और शून्य से अलग होना चाहिए/(b) must be a positive integer and non-zero
Step 1
Concept
The divisor cannot be zero in division.
Step 2
Why this answer is correct
In the lemma, (b) is taken as a positive integer.
Step 3
Exam Tip
Division by zero is not valid, so avoid such options. चरण 1: विभाजन में भाजक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: प्रमेय में (b) धनात्मक पूर्णांक माना जाता है। चरण 3: शून्य से भाग देना मान्य नहीं होता, इसलिए ऐसे विकल्प से बचें।
A. क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर है/Because the remainder is equal to the divisor
Step 1
Concept
Here the divisor appears to be (7) and the remainder (7).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder must be less than the divisor, not equal to it.
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, it should be carried into the quotient. चरण 1: यहां भाजक (7) और शेषफल (7) दिख रहा है। चरण 2: शेषफल को भाजक से छोटा होना चाहिए, बराबर नहीं। चरण 3: बराबर शेषफल मिलने पर उसे अगले भागफल में बदल दें।
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In meaning-based questions, understand both the formula and the words. चरण 1: प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। चरण 2: (a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। चरण 3: अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें।
The range of the remainder is very important in the lemma.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may be (0), but it must be less than the divisor (b).
Step 3
Exam Tip
Read the inequality carefully in such questions. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की सीमा बहुत महत्वपूर्ण होती है। चरण 2: शेषफल (0) हो सकता है, लेकिन वह भाजक (b) से छोटा ही रहता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में असमानता को ध्यान से पढ़ें।
The lemma connects dividend, divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is (a=bq+r), where the remainder is at least (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder in exams. चरण 1: प्रमेय में भाज्य को भाजक, भागफल और शेषफल से जोड़ा जाता है। चरण 2: सही रूप (a=bq+r) है और शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर तथा भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
A. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (a) और (b) के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है/For every positive integer (a) and (b), (a=bq+r) can be written
Step 1
Concept
The lemma says that for positive integers, (a=bq+r) can be written.
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(0 \le r < b\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
While reading statements, eliminate wrong options using the remainder condition. चरण 1: प्रमेयिका कहती है कि धनात्मक पूर्णांकों के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसमें \(0 \le r < b\) जरूरी शर्त है। चरण 3: कथन पढ़ते समय शेषफल वाली शर्त से गलत विकल्प हटाएं।
In (a=bq+r), (b) is the number by which division is done.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (b) is called the divisor.
Step 3
Exam Tip
Remember that the divisor cannot be zero. चरण 1: (a=bq+r) में (b) वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है। चरण 2: इसलिए (b) को भाजक कहते हैं। चरण 3: याद रखें कि भाजक शून्य नहीं हो सकता।
What remains after division is called the remainder.
Step 3
Exam Tip
Always check \(0 \le r < b\) for (r). चरण 1: (a=bq+r) में (r) अंत में जुड़ता है। चरण 2: भाग करने के बाद जो बचता है, वही शेषफल कहलाता है। चरण 3: (r) के लिए हमेशा \(0 \le r < b\) जांचें।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) is multiplied by (b), so it is the quotient.
Step 3
Exam Tip
Identifying symbols reduces mistakes in exams. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक होता है। चरण 2: (q) वह संख्या है जिससे (b) को गुणा किया जाता है, इसलिए यह भागफल है। चरण 3: प्रतीकों की पहचान परीक्षा में गलती कम करती है।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An odd number leaves remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore, an odd number is written as (2q+1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है। चरण 3: इसलिए विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जाती है।
This simplifies to (2q). चरण 1: सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। चरण 3: इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है।
In Euclid’s Division Lemma, (a) and (b) are positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor (b) cannot be zero, so (b>0).
Step 3
Exam Tip
In division questions, first check the divisor condition. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक माने जाते हैं। चरण 2: भाजक (b) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (b>0) होना चाहिए। चरण 3: भाग से जुड़े प्रश्नों में भाजक की शर्त पहले देखें।
The lemma uses dividend (a), divisor (b), quotient (q), and remainder (r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct relation is (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
Do not forget the condition \(0 \le r < b\). चरण 1: प्रमेयिका में भाज्य (a), भाजक (b), भागफल (q) और शेषफल (r) होते हैं। चरण 2: सही संबंध (a=bq+r) है। चरण 3: साथ में \(0 \le r < b\) लिखना न भूलें।
The remainder is always at least zero and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the range of the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a=bq+r) लिखा जाता है। चरण 2: यहां शेषफल हमेशा शून्य से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 238 below 4961.
Step 2
Why this answer is correct
\(238\times20=4760\), so the remainder is (4961-4760=201).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is smaller than 238, this is the valid Euclidean form. चरण 1: 238 का 4961 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(238\times20=4760\), इसलिए शेषफल (4961-4760=201) है। चरण 3: शेषफल 238 से छोटा है, इसलिए यही वैध यूक्लिडीय रूप है।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 173 below 3876.
Step 2
Why this answer is correct
\(173\times22=3806\), so the remainder is (3876-3806=70).
Step 3
Exam Tip
In a valid answer, the remainder must be less than 173. चरण 1: 173 का 3876 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(173\times22=3806\), इसलिए शेषफल (3876-3806=70) है। चरण 3: वैध उत्तर में शेषफल 173 से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 46, the remainder can be from 0 to 45.
Step 2
Why this answer is correct
46 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 46 होने पर शेषफल 0 से 45 तक हो सकता है। चरण 2: 46 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्न में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले देखें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 156 below 2547.
Step 2
Why this answer is correct
\(156\times16=2496\), so the remainder is (2547-2496=51).
Step 3
Exam Tip
In a valid Euclidean form, the remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: 156 का 2547 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(156\times16=2496\), इसलिए शेषफल (2547-2496=51) है। चरण 3: वैध यूक्लिडीय रूप में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.
Step 2
Why this answer is correct
19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। चरण 2: 19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
\(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be less than 84 for the form to be valid. चरण 1: 84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। चरण 3: अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है।
B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct. चरण 1: प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। चरण 2: निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। चरण 3: कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है।
The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
Remembering the meanings of symbols helps solve questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है। चरण 2: ऐसी संख्या को भाज्य कहा जाता है। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ याद रखने से सवाल जल्दी हल होते हैं।
Euclid’s division lemma is applied to two positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
(b) is the divisor and it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
For the dividing number, positivity and non-zero value are necessary. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए लगाई जाती है। चरण 2: (b) भाजक है और वह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: भाग देने वाली संख्या के लिए धनात्मकता और अशून्यता जरूरी है।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient.
Step 3
Exam Tip
Remembering the names of symbols makes the formula easier to use. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है। चरण 3: प्रतीकों के नाम याद रखने से सूत्र का प्रयोग आसान हो जाता है।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < b\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of allowing (r=b). चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < b\) सही है। चरण 3: परीक्षा में (r=b) वाली गलती से बचें।
In division by (100), the last two digits often give the remainder, but still check (r<100). चरण 1: \(100 \times 9=900\)। चरण 2: (999-900=99), इसलिए शेषफल (99) है। चरण 3: (100) से भाग में अंतिम दो अंक अक्सर शेषफल बताते हैं, पर शर्त (r<100) भी देखें।
While choosing the quotient, make sure (bq) does not exceed (a). चरण 1: (43) को (6) से भाग दें। चरण 2: \(6 \times 7=42\) और (43-42=1), इसलिए (r=1)। चरण 3: भागफल चुनते समय (bq) को (a) से बड़ा न होने दें।
To find the invalid form, check the range of the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
In \(23=5\times3+8\), the remainder (8) is greater than the divisor (5).
Step 3
Exam Tip
Even if the equality is numerically true, check the remainder condition. चरण 1: अमान्य रूप खोजने के लिए शेषफल की सीमा जांचें। चरण 2: \(23=5\times3+8\) में शेषफल (8) है, जो भाजक (5) से बड़ा है। चरण 3: संख्या बराबर दिखे, फिर भी शेषफल की शर्त जरूर देखें।
Here (r) is the part left after division, so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Identify (q) and (r) separately. चरण 1: प्रमेय का रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें (r) वह भाग है जो विभाजन के बाद बचता है, इसलिए यह शेषफल है। चरण 3: (q) और (r) को अलग-अलग पहचानें।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient and (r) represents the remainder.
Step 3
Exam Tip
Remembering the meaning of symbols helps solve short questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक होता है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है और (r) शेषफल को। चरण 3: अक्षरों का अर्थ याद रखने से छोटे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
A. भागफल और शेषफल के रूप में संख्या लिखने में/Writing a number in quotient and remainder form
Step 1
Concept
This lemma shows how to write a number using divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Its form is (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
The same idea is also useful later in highest common factor questions. चरण 1: यह प्रमेयिका बताती है कि किसी संख्या को भाजक, भागफल और शेषफल की सहायता से कैसे लिखा जाता है। चरण 2: इसका रूप (a=bq+r) है। चरण 3: आगे महत्तम समापवर्तक के प्रश्नों में भी यही विचार काम आता है।
Link each symbol with its name to remember it well. चरण 1: (a=bq+r) में (a) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है। चरण 2: इसी कारण (a) को भाज्य कहते हैं। चरण 3: चिन्हों को नामों से जोड़कर याद करें।
In \(20=6 \times 2+8\), remainder (8) is greater than divisor (6).
Step 3
Exam Tip
It is not enough for the sum to be correct; the remainder range must also be correct. चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(20=6 \times 2+8\) में शेषफल (8), भाजक (6) से बड़ा है। चरण 3: केवल योग सही होना काफी नहीं, शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
The remainder of (a) is (5), so for (3a), check \(3 \times 5=15\).
Step 2
Why this answer is correct
\(15=7 \times 2+1\), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In such questions, work with the remainder instead of the whole number. चरण 1: (a) का शेषफल (5) है, इसलिए (3a) के लिए \(3 \times 5=15\) देखें। चरण 2: \(15=7 \times 2+1\), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: ऐसे सवाल में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
\(23=11 \times 2+1\), so the new remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In addition-based questions, divide the new sum by the same divisor again. चरण 1: पुराने शेषफल (3) में (20) जोड़ें तो (23) मिलता है। चरण 2: \(23=11 \times 2+1\), इसलिए नया शेषफल (1) होगा। चरण 3: जोड़ वाले सवाल में नए योग को फिर उसी भाजक से बाँटें।
(30) cannot be the remainder because it is greater than (29).
Step 2
Why this answer is correct
(29q+30=29(q+1)+1), so the correct remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
Always keep the remainder between (0) and (b-1). चरण 1: (30) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (29) से बड़ा है। चरण 2: (29q+30=29(q+1)+1), इसलिए सही शेषफल (1) है। चरण 3: शेषफल को हमेशा (0) से (b-1) के बीच रखें।
In \(75=8 \times 9+3\), (8) is the number by which division is done.
Step 3
Exam Tip
Identify the divisor by looking at the first number in the product. चरण 1: यूक्लिड रूप में (b) भाजक होता है। चरण 2: \(75=8 \times 9+3\) में (8) वह संख्या है जिससे भाग दिया गया है। चरण 3: गुणा वाले पहले अंक को देखकर भाजक पहचानें।
If the added part is a multiple of the divisor, the remainder can become (0). चरण 1: (46), (23) का (2) गुना है। चरण 2: (23q+46=23(q+2)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: यदि जोड़ा गया भाग भाजक का गुणज हो, तो शेषफल (0) बन सकता है।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < 14\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Taking (r=14) would be wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < 14\) सही है। चरण 3: (r=14) लेना गलत होगा क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
Add the added number to the old remainder and check whether the sum is less than the divisor. चरण 1: (n=8q+3) लिखें। चरण 2: (n+4=8q+7), इसलिए शेषफल (7) होगा। चरण 3: पुराने शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़ें और देखें कि योग भाजक से छोटा है या नहीं।
The remainder (4) is less than the divisor (6). चरण 1: \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (64-60=4), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही है। चरण 3: शेषफल (4) भाजक (6) से छोटा है।
When the dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: समान संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भागफल (1) होता है। चरण 2: कुछ भी शेष नहीं बचता, इसलिए \(35=35 \times 1+0\)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों तो शेषफल (0) होता है।
Every odd number can be written in the form (2q+1). चरण 1: (2q+1) में (2) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम संख्या होती है। चरण 3: हर विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जा सकती है।
The dividend (17) is smaller than the divisor (23).
Step 2
Why this answer is correct
So the quotient is (0) and the remainder remains (17).
Step 3
Exam Tip
When the dividend is smaller than the divisor, remember to take (q=0). चरण 1: भाज्य (17), भाजक (23) से छोटा है। चरण 2: इसलिए भागफल (0) होगा और शेषफल (17) रहेगा। चरण 3: जब भाज्य भाजक से छोटा हो तो (q=0) लेना याद रखें।
Since (96) is greater than (95), the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
The quotient is the greatest integer whose product with the divisor does not exceed the dividend. चरण 1: \(12 \times 7=84\) और \(12 \times 8=96\) है। चरण 2: (96), (95) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल सबसे बड़ा ऐसा पूर्णांक होता है जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
The remainder is always less than the divisor, so division by (6) gives remainders from (0) to (5).
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor itself while listing possible remainders. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है, इसलिए (6) से भाग में (0) से (5) तक शेषफल मिलते हैं। चरण 3: संभावित शेषफल लिखते समय भाजक को शामिल न करें।
(n+5=9q+7), so the remainder on division by (9) is (7).
Step 3
Exam Tip
Add the added number to the remainder; if the sum is smaller than the divisor, it becomes the new remainder. चरण 1: (n=9q+2) लिखें। चरण 2: (n+5=9q+7), इसलिए (9) से भाग देने पर शेषफल (7) होगा। चरण 3: शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़ें और यदि योग भाजक से छोटा हो तो वही नया शेषफल होता है।
When dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: (37) को (37) से भाग देने पर एक बार पूरा भाग जाता है। चरण 2: इसलिए \(37=37 \times 1+0\), अतः (q=1) और (r=0)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों, तो शेषफल (0) होता है।
(20) cannot be the remainder because it is greater than (18).
Step 2
Why this answer is correct
(20=18+2), so (18q+20=18(q+1)+2).
Step 3
Exam Tip
The correct remainder always lies from (0) to one less than the divisor. चरण 1: (20) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि वह (18) से बड़ा है। चरण 2: (20=18+2), इसलिए (18q+20=18(q+1)+2)। चरण 3: सही शेषफल हमेशा (0) और भाजक से एक कम तक होता है।
On division by (12), the greatest possible remainder is (12-1=11).
Step 3
Exam Tip
When asked for the greatest remainder, think of (b-1). चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (12) से भाग देने पर सबसे बड़ा शेषफल (12-1=11) होगा। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल पूछे तो तुरंत (b-1) सोचें।
If division by (2) leaves remainder (1), the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
Such a number is odd.
Step 3
Exam Tip
Not every odd number is prime or a perfect square, so avoid quick assumptions. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) हो तो संख्या (2q+1) के रूप में होती है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम होती है। चरण 3: हर विषम संख्या अभाज्य या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए जल्दी निष्कर्ष न निकालें।
On division by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for identifying even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल केवल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्याएँ (2q) या (2q+1) के रूप में होंगी। चरण 3: यही आधार सम और विषम संख्या पहचानने में काम आता है।
In (a=5q+4), the divisor is (5) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
Since (4<5), this form is already correct. चरण 1: (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (a=5q+4) में भाजक (5) और शेषफल (4) है। चरण 3: क्योंकि (4<5), यह रूप पहले से सही है।
Here the divisor is (17) and the remainder is (13), since (13<17).
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder while comparing. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहाँ भाजक (17) है और शेषफल (13) है, क्योंकि (13<17)। चरण 3: तुलना करते समय शेषफल की सीमा अवश्य देखें।
(b) is the number by which division is done, so it is the divisor.
Step 3
Exam Tip
Keep the meaning of symbols clear to avoid calculation errors. चरण 1: रूप (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: (b) वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है, इसलिए यह भाजक है। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ साफ रखें, इससे गणना में गलती कम होती है।
On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the number can be written as (3q+0, 3q+1, 3q+2).
Step 3
Exam Tip
Build general forms using possible remainders. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (3q+0, 3q+1, 3q+2) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय संभावित शेषफलों को आधार बनाएं।
When a number is divided by (5), the remainder must be smaller than (5).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may also be (0), so the possible remainders are (0,1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Remember that a remainder is never equal to the divisor. चरण 1: किसी संख्या को (5) से भाग देने पर शेषफल (5) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: शेषफल (0) भी हो सकता है, इसलिए संभावित शेषफल (0,1,2,3,4) हैं। चरण 3: याद रखें, शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
In Euclid’s division lemma, the remainder is always greater than or equal to (0) and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is (12), so \(0 \le r < 12\).
Step 3
Exam Tip
Writing \(\le 12\) is wrong because the remainder cannot equal the divisor. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (12) है, इसलिए \(0 \le r < 12\) होगा। चरण 3: \(\le 12\) लिखना गलती है क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
A. शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए/The remainder must be less than the divisor
Step 1
Concept
The remainder range is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (r=21) and (b=21), so the condition (r<b) is not satisfied.
Step 3
Exam Tip
A remainder is never written equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0 \le r < b\) होती है। चरण 2: यहां (r=21) और (b=21), इसलिए (r<b) शर्त पूरी नहीं होती। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं लिखा जाता।
(130) is greater than (121), so the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, always take the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10 \times 12=120\) और \(10 \times 13=130\) है। चरण 2: (130), (121) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) है। चरण 3: भागफल के लिए हमेशा निकटतम छोटा गुणज लें।
When the dividend is smaller than the divisor, the quotient can be (0). चरण 1: (q=0) रखने पर \(a=b \times 0+r\), यानी (a=r) मिलता है। चरण 2: शेषफल के लिए (r<b) जरूरी है, इसलिए (a<b) होगा। चरण 3: जब भाज्य भाजक से छोटा हो, भागफल (0) हो सकता है।
To leave remainder (3) on division by (7), the form should be (7q+3).
Step 2
Why this answer is correct
\(45=7 \times 6+3\).
Step 3
Exam Tip
The remainder is less than the divisor, so (45) is correct. चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (3) चाहिए, इसलिए रूप (7q+3) होगा। चरण 2: \(45=7 \times 6+3\) है। चरण 3: शेषफल भाजक से छोटा है, इसलिए (45) सही है।
(112) is greater than (99), so the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, choose a multiple less than or equal to the dividend. चरण 1: \(14 \times 7=98\) और \(14 \times 8=112\) है। चरण 2: (112), (99) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल के लिए भाज्य से छोटा या बराबर गुणज चुनें।
(35-32=3), so (r=3). चरण 1: \(4 \times 8=32\) और \(4 \times 9=36\) है। चरण 2: (36), (35) से बड़ा है, इसलिए (q=8) होगा। चरण 3: (35-32=3), इसलिए (r=3) है।
Now the number is exactly divisible by (8), so the remainder is (0). चरण 1: संख्या का रूप (8q+5) है। चरण 2: (3) जोड़ने पर (8q+8=8(q+1)) बनता है। चरण 3: अब संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित होगी, इसलिए शेषफल (0) है।
(20) equals the divisor, so it cannot be a remainder. चरण 1: शेषफल \(0 \le r < b\) होना चाहिए। चरण 2: जब (b=20), तब (r) (20) से छोटा होना चाहिए। चरण 3: (20) भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता।
Therefore, the greatest possible remainder is (17).
Step 3
Exam Tip
In this type of question, the answer is one less than the divisor. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0 \le r < 18\) होगी। चरण 2: इसलिए सबसे बड़ा संभव शेषफल (17) है। चरण 3: इस प्रकार के प्रश्नों में उत्तर भाजक से एक कम होता है।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the number becomes (2q+0) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
These forms identify even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्या (2q+0) या (2q+1) बनती है। चरण 3: इन्हीं रूपों से सम और विषम संख्या पहचानी जाती है।
In Euclidean form (a=bq+r), the number added at the end is (r).
Step 2
Why this answer is correct
In the given form, (3) is added at the end.
Step 3
Exam Tip
Since (3<8), the remainder is in the correct range. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) में अंत में जुड़ने वाली संख्या (r) होती है। चरण 2: दिए गए रूप में अंत में (3) जुड़ा है। चरण 3: (3<8), इसलिए शेषफल सही सीमा में है।
The greatest possible remainder is always one less than the divisor. चरण 1: शेषफल के लिए नियम \(0 \le r < b\) है। चरण 2: यहां (b=13), इसलिए सबसे बड़ा शेषफल (12) होगा। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल हमेशा भाजक से एक कम होता है।
(76-72=4), so the quotient is (8) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
In exams, finally check that the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(9 \times 8=72\) और \(9 \times 9=81\) है। चरण 2: (76-72=4), इसलिए भागफल (8) और शेषफल (4) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम जांच करें कि शेषफल भाजक से छोटा है।
After finding the quotient, subtract to get the remainder. चरण 1: \(27=4\times6+3\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए शेषफल (3) है और यह (4) से छोटा है। चरण 3: भागफल मिलने के बाद घटाकर शेषफल निकालें।
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: भाजक (3) होने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: कुल तीन अलग-अलग शेषफल संभव हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभव शेषफलों की संख्या (b) होती है।
In the given form, (99) is on the left side, so the dividend is (99).
Step 3
Exam Tip
The dividend is the number being divided. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: दिए गए रूप में बाईं ओर (99) है, इसलिए भाज्य (99) है। चरण 3: भाज्य वह संख्या है जिसे विभाजित किया जाता है।
(73-72=1), so the remainder is (1) and quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the form where the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(8\times9=72\) है। चरण 2: (73-72=1), इसलिए शेषफल (1) और भागफल (9) है। चरण 3: शेषफल को भाजक से छोटा रखने वाला रूप ही चुनें।
An odd number has remainder (1), so its form is (2q+1).
Step 3
Exam Tip
The remainder helps identify the type of number. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) होता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है, इसलिए रूप (2q+1) है। चरण 3: शेषफल से संख्या का प्रकार पहचानना आसान होता है।
