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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

\(मान लें (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) सम है})। इस संबंध को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कम-से-कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?

\(Let (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) is even}). What is the minimum number of ordered pairs that must be added to make this relation reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर \(a\in A\) पर \((a,a)\in R\) होना चाहिए। / A reflexive relation needs every ((a,a)) for \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

((a,a)) में (a+a=2a) हमेशा सम होता है, इसलिए सभी विकर्ण युग्म पहले से हैं। / Since (a+a=2a) is always even, every diagonal pair is already present.

Step 3

Exam Tip

ध्यान से देखें कि यहां कोई युग्म जोड़ने की जरूरत नहीं है। / The exam trick is to check diagonal pairs first, not the whole relation.

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Question 2/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a-b\) 3 से विभाज्य है}) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 3}). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँ क्योंकि (a-a=0) होता हैYes because (a-a=0)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) होना चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

हर (a) पर (a-a=0), और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य माना जाता है। / For every (a), (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero integer.

Step 3

Exam Tip

पूरी सूची बनाने के बजाय पहले ((a,a)) की शर्त जांचें। / In exams, test the diagonal condition before listing all pairs.

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Question 3/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{0,1,2,3\}\) और \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If \(A=\{0,1,2,3\}\) and \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\), which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) जांचें। / Check ((a,a)) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2=a^2\) हर तत्व के लिए सत्य है, इसलिए \((a,a)\in R\) है। / Since \(a^2=a^2\) for every element, all diagonal pairs belong to (R).

Step 3

Exam Tip

समानता वाले संबंधों में विकर्ण युग्म सामान्यतः सुरक्षित रहते हैं। / Equality-based conditions usually contain all diagonal pairs.

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Question 4/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a<b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) होना जरूरी है। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).

Step 2

Why this answer is correct

(a<a) कभी सत्य नहीं होता, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म (R) में नहीं है। / Since (a<a) is never true, no diagonal pair is present.

Step 3

Exam Tip

कुल (4) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore, all (4) diagonal pairs must be added.

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Question 5/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) है, तो (R) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a\leq b\}\), what type of relation is (R) with respect to reflexivity?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्तीReflexive

Step 1

Concept

((a,a)) के लिए शर्त \(a\leq a\) बनती है। / For ((a,a)), the condition becomes \(a\leq a\).

Step 2

Why this answer is correct

हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए \(a\leq a\) सत्य है। / Every number is equal to itself, so \(a\leq a\) is true.

Step 3

Exam Tip

\(\leq\) वाले संबंध में प्रतिवर्तिता सीधे मिल जाती है। / Relations defined by \(\leq\) are naturally reflexive on the given set.

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Question 6/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

\(समुच्चय (A={2,4,6,8}) पर (R={(a,b):a\) b को विभाजित करता है}) दिया है। (R) प्रतिवर्ती क्यों है?

\(On (A={2,4,6,8}), (R={(a,b):a\) divides b}) is given. Why is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि हर संख्या स्वयं को विभाजित करती हैBecause every number divides itself

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((a,a)) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / Reflexivity needs ((a,a)) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

हर अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए \(a\mid a\) सत्य है। / Every non-zero number divides itself, so \(a\mid a\) is true.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता में प्रतिवर्तिता का आधार स्वयं से विभाजन है। / In divisibility relations, self-divisibility is the key reflexive check.

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Question 7/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3)\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कौन-सा युग्म जोड़ना आवश्यक है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3)\}\), which pair must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

A. ((3,3))

Step 1

Concept

(A) के लिए जरूरी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। / The required diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए (R) में पहले दो युग्म हैं, पर ((3,3)) नहीं है। / The relation already has the first two but misses ((3,3)).

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्ती बनाने के लिए केवल गायब विकर्ण युग्म जोड़ें। / To make a relation reflexive, add only the missing diagonal pair.

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Question 8/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq 1\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\leq 1\}\). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

((a,a)) रखने पर (|a-a|=0) मिलता है। / Put ((a,a)) in the condition to get (|a-a|=0).

Step 2

Why this answer is correct

\(0\leq 1\) सत्य है, इसलिए हर विकर्ण युग्म संबंध में है। / Since \(0\leq 1\), every diagonal pair is in the relation.

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान वाले प्रश्न में पहले अंतर को शून्य मानकर जांचें। / For absolute-difference relations, test the diagonal by making the difference zero.

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Question 9/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|<0\}\) है। (R) कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|<0\}\). What is (R) with respect to reflexivity?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती नहीं हैIt is not reflexive

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए (|a-a|<0) हर (a) पर सत्य होना चाहिए। / Reflexivity would require (|a-a|<0) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(|a-a|=0), पर (0<0) असत्य है। / But (|a-a|=0), and (0<0) is false.

Step 3

Exam Tip

कड़ा असमान चिन्ह देखकर विकर्ण युग्म जरूर जांचें। / With strict inequalities, diagonal pairs often fail.

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Question 10/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a+b\leq 6\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a+b\leq 6\}\), how many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

विकर्ण युग्मों के लिए (a+b=2a) होगा। / For diagonal pairs, (a+b=2a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1,2,3) पर \(2a\leq6\) सत्य है, लेकिन (a=4) पर \(8\leq6\) असत्य है। / For (a=1,2,3), \(2a\leq6\) is true, but for (a=4), \(8\leq6\) is false.

Step 3

Exam Tip

केवल ((4,4)) जोड़ना होगा। / Only ((4,4)) must be added.

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Question 11/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\geq 2a\}\) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b\geq 2a\}\). What is the correct reason that (R) is reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((a,a)) पर \(2a\geq2a\) सत्य हैBecause at ((a,a)), \(2a\geq2a\) is true

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).

Step 2

Why this answer is correct

तब शर्त \(a+a\geq2a\), यानी \(2a\geq2a\) बनती है, जो हर (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a+a\geq2a\), i.e. \(2a\geq2a\), true for every (a).

Step 3

Exam Tip

चर बदलने से पहले विकर्ण पर शर्त को सरल करें। / Simplify the condition on the diagonal first.

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Question 12/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=A\times A-{(2,2)}\) है, तो सही कथन चुनिए।

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=A\times A-{(2,2)}\), choose the correct statement.

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Correct Answer

B. (R) प्रतिवर्ती नहीं है(R) is not reflexive

Step 1

Concept

\(A\times A\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

((2,2)) हटा दिया गया है, इसलिए एक जरूरी विकर्ण युग्म गायब है। / The pair ((2,2)) has been removed, so one required diagonal pair is missing.

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्तिता में एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता। / A relation is not reflexive if even one diagonal pair is absent.

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Question 13/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय (A) में (n) तत्व हैं। (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हों?

A set (A) has (n) elements. How many relations on (A) are reflexive?

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Correct Answer

C. \(2^{n^2-n}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में कुल \(n^2\) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, बाकी \(n^2-n\) युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। / A reflexive relation must include the (n) diagonal pairs, while the remaining \(n^2-n\) pairs are optional.

Step 3

Exam Tip

स्वतंत्र चुनावों की संख्या \(2^{n^2-n}\) होती है। / Hence the number is \(2^{n^2-n}\).

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Question 14/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

तीन तत्वों वाले समुच्चय (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी होगी?

How many reflexive relations are possible on a set (A) with three elements?

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Correct Answer

C. (64)

Step 1

Concept

(n=3) होने पर \(A\times A\) में (9) युग्म हैं। / For (n=3), \(A\times A\) has (9) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (9-3=6) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (3) diagonal pairs are compulsory, so (6) pairs are optional.

Step 3

Exam Tip

कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) होंगे। / The number of reflexive relations is \(2^6=64\).

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Question 15/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

चार तत्वों वाले समुच्चय पर कितने संबंध प्रतिवर्ती नहीं होंगे?

On a set with four elements, how many relations are not reflexive?

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Correct Answer

C. \(2^{16}-2^{12}\)

Step 1

Concept

कुल संबंध \(2^{4^2}=2^{16}\) होते हैं। / The total number of relations is \(2^{4^2}=2^{16}\).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्ती नहीं होने वाले संबंध \(2^{16}-2^{12}\) होंगे। / Non-reflexive relations are \(2^{16}-2^{12}\).

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Question 16/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और कोई संबंध (R) ठीक (10) युग्मों वाला प्रतिवर्ती संबंध है, तो अनिवार्य विकर्ण युग्मों के अलावा कितने युग्म (R) में होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and a relation (R) is reflexive with exactly (10) ordered pairs, how many pairs in (R) are other than the compulsory diagonal pairs?

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Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

चार तत्वों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation on a four-element set must contain (4) diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

कुल युग्म (10) हैं, इसलिए अतिरिक्त युग्म (10-4=6) होंगे। / Since the total number of pairs is (10), the remaining pairs are (10-4=6).

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्ती संबंध में पहले अनिवार्य विकर्ण युग्म घटाएं। / Always subtract compulsory diagonal pairs first.

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Question 17/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ठीक (10) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have exactly (10) ordered pairs?

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Correct Answer

A. \(\binom{12}{6}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (10) युग्म चाहिए, इसलिए बाकी (6) युग्म (12) अविकर्ण युग्मों में से चुनने होंगे। / To get exactly (10) pairs, choose (6) more from the (12) non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

संख्या \(\binom{12}{6}\) होगी। / The count is \(\binom{12}{6}\).

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Question 18/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ठीक (9) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many reflexive relations have exactly (9) ordered pairs?

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Correct Answer

A. \(\binom{20}{4}\)

Step 1

Concept

पांच तत्वों के लिए (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / For five elements, (5) diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (9) युग्म चाहिए, इसलिए (9-5=4) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / A relation with (9) pairs needs (9-5=4) additional non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः उत्तर \(\binom{20}{4}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the answer is \(\binom{20}{4}\).

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Question 19/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ठीक (5) युग्मों वाला प्रतिवर्ती संबंध कितने तरीकों से बनाया जा सकता है?

In how many ways can a reflexive relation with exactly (5) ordered pairs be formed on \(A=\{1,2,3\}\)?

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Correct Answer

A. \(\binom{6}{2}\)

Step 1

Concept

तीन विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The (3) diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (5) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अतिरिक्त युग्म चाहिए। / To have (5) total pairs, choose (2) additional pairs.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण युग्म (9-3=6) हैं, इसलिए \(\binom{6}{2}\) तरीके होंगे। / There are (6) non-diagonal pairs, so the number of ways is \(\binom{6}{2}\).

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Question 20/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) प्रतिवर्ती संबंध है, तो (R) में न्यूनतम कितने युग्म होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is reflexive, what is the minimum possible number of ordered pairs in (R)?

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Correct Answer

B. 4

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध में हर तत्व का स्वयं से युग्म होना चाहिए। / A reflexive relation must include every element paired with itself.

Step 2

Why this answer is correct

चार तत्वों के लिए कम-से-कम ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चाहिए। / For four elements, the minimum required pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम संख्या समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The minimum count equals the number of elements in the set.

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Question 21/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर एक संबंध (R) में सभी अविकर्ण युग्म हैं, पर कोई विकर्ण युग्म नहीं है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), a relation (R) contains all non-diagonal pairs but no diagonal pair. How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 5

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए पांचों विकर्ण युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity needs all five diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

संबंध में कोई विकर्ण युग्म नहीं है, इसलिए सभी पांच जोड़ने होंगे। / Since the relation has no diagonal pair, all five must be added.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण युग्मों की अधिक संख्या प्रतिवर्तिता की कमी पूरी नहीं करती। / Having many non-diagonal pairs does not compensate for missing diagonal pairs.

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Question 22/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a+b\) विषम है}) है, तो (R) के लिए सही कथन क्या है?

\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a+b\) is odd}), which statement is correct about (R)?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती नहीं हैIt is not reflexive

Step 1

Concept

((a,a)) के लिए योग (a+a=2a) होता है। / For ((a,a)), the sum is (a+a=2a).

Step 2

Why this answer is correct

(2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म नहीं आएगा। / (2a) is always even, not odd, so no diagonal pair belongs to (R).

Step 3

Exam Tip

योग की सम-विषम प्रकृति देखकर प्रतिवर्तिता तुरंत जांची जा सकती है। / Parity of the diagonal sum gives a quick reflexivity check.

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Question 23/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। / To test reflexivity, put (b=a).

Step 2

Why this answer is correct

हर (a) के लिए \(a\equiv a \pmod{2}\) सत्य है। / For every (a), \(a\equiv a \pmod{2}\) is true.

Step 3

Exam Tip

समान शेषफल वाला संबंध हमेशा विकर्ण युग्मों को शामिल करता है। / Congruence with the same element always includes diagonal pairs.

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Question 24/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b+1 \pmod{2}\)}) है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b+1 \pmod{2}\)}). What is the correct conclusion about (R)?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती नहीं हैIt is not reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv a+1 \pmod{2}\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv a+1 \pmod{2}\).

Step 2

Why this answer is correct

कोई संख्या अपने से (1) अधिक संख्या के समान शेषफल वाली नहीं हो सकती। / A number and the next number do not have the same parity.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण पर शर्त असत्य हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / If the diagonal condition fails, the relation is not reflexive.

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Question 25/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}), why is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) हर (a) पर सत्य हैBecause \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) for every (a)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता में ((a,a)) को शर्त में रखें। / For reflexivity, substitute ((a,a)) into the condition.

Step 2

Why this answer is correct

तब \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) मिलेगा, जो समानता के कारण हमेशा सत्य है। / This gives \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\), which is always true by equality.

Step 3

Exam Tip

घात और शेषफल वाले संबंध में भी पहले समान तत्व की जांच करें। / Even in power and modulo relations, test the same element first.

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Question 26/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a^2+b^2\) सम है}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a^2+b^2\) is even}). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(2a^2\) हमेशा सम है, इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / \(2a^2\) is always even, so every ((a,a)) belongs to the relation.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण पर अभिव्यक्ति को सरल करना तेज तरीका है। / Simplifying the expression on the diagonal is the fastest method.

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Question 27/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a^2-b^2\) विषम है}) है, तो (R) कैसा है?

\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a^2-b^2\) is odd}), what is (R) with respect to reflexivity?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती नहींNot reflexive

Step 1

Concept

((a,a)) पर \(a^2-a^2=0\) मिलता है। / For ((a,a)), \(a^2-a^2=0\).

Step 2

Why this answer is correct

(0) विषम नहीं है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म शर्त पूरी नहीं करता। / (0) is not odd, so no diagonal pair satisfies the condition.

Step 3

Exam Tip

अंतर शून्य होने पर विषमता की शर्त तुरंत असत्य हो जाती है। / When the diagonal difference is zero, an oddness condition fails immediately.

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Question 28/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=2a\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=2a\}\). Which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. (R) प्रतिवर्ती है(R) is reflexive

Step 1

Concept

दी गई शर्त (a+b=2a) को सरल करने पर (b=a) मिलता है। / Simplifying (a+b=2a) gives (b=a).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (R) में ठीक सभी ((a,a)) युग्म हैं। / Thus (R) contains exactly the diagonal pairs ((a,a)).

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध प्रतिवर्ती होता है। / The identity relation is reflexive.

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Question 29/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=5\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=5\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

विकर्ण युग्म के लिए (a+b=2a) होगा। / For a diagonal pair, (a+b=2a).

Step 2

Why this answer is correct

(2a=5) का कोई पूर्णांक हल (A) में नहीं है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं है। / The equation (2a=5) has no integer solution in (A), so no diagonal pair is present.

Step 3

Exam Tip

चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / All four diagonal pairs must be added.

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Question 30/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=6\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म पहले से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=6\}\). How many diagonal pairs are already in (R)?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

विकर्ण युग्म के लिए (2a=6) चाहिए। / A diagonal pair must satisfy (2a=6).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (a=3) मिलता है, इसलिए केवल ((3,3)) विकर्ण युग्म है। / This gives (a=3), so only ((3,3)) is a diagonal pair in (R).

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्ती बनाने के लिए बाकी चार विकर्ण युग्म चाहिए होंगे। / To make it reflexive, the remaining four diagonal pairs would be needed.

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Question 31/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=6\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=6\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on five elements needs five diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दी गई शर्त में केवल ((3,3)) विकर्ण युग्म है। / The given relation contains only the diagonal pair ((3,3)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (5-1=4) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-1=4) diagonal pairs must be added.

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Question 32/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab=0\Rightarrow a=b\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab=0\Rightarrow a=b\}\). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

((a,a)) के लिए शर्त \(a^2=0\Rightarrow a=a\) बनती है। / For ((a,a)), the condition is \(a^2=0\Rightarrow a=a\).

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a=0) हो तो निष्कर्ष (0=0) सत्य है, और यदि \(a\neq0\) हो तो आरंभिक बात असत्य होने से कथन सत्य माना जाता है। / If (a=0), the conclusion (0=0) is true; if \(a\neq0\), the implication is still true because its premise is false.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में निहित कथन को सावधानी से पढ़ें। / Read implication-based conditions carefully.

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Question 33/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab>0\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab>0\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(ab=a^2\) होगा। / On the diagonal, \(ab=a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1,2) पर \(a^2>0\) सत्य है, पर (a=0) पर (0>0) असत्य है। / For (a=1,2), \(a^2>0\) is true, but for (a=0), (0>0) is false.

Step 3

Exam Tip

केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.

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Question 34/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq0\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq0\}\). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए (a=b) रखने पर \(ab=a^2\) मिलता है। / For reflexivity, put (a=b), giving \(ab=a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

हर वास्तविक संख्या का वर्ग (0) या धनात्मक होता है, इसलिए \(a^2\geq0\) सत्य है। / The square of any real number is non-negative, so \(a^2\geq0\) is true.

Step 3

Exam Tip

गुणनफल वाले संबंध में विकर्ण पर वर्ग बनता है। / Product-based diagonal checks often reduce to squares.

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Question 35/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):a+b>0\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):a+b>0\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a+b=2a) होगा। / On the diagonal, (a+b=2a).

Step 2

Why this answer is correct

(2a>0) तभी होगा जब (a>0), यानी (a=1,2)। / (2a>0) only when (a>0), so (a=1,2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल ((1,1)) और ((2,2)) विकर्ण युग्म हैं। / Therefore, the diagonal pairs are ((1,1)) and ((2,2)).

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Question 36/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):a+b>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

कुल पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / Five diagonal pairs are required.

Step 2

Why this answer is correct

((1,1)) और ((2,2)) पहले से हैं, क्योंकि उनका योग धनात्मक है। / ((1,1)) and ((2,2)) are already present because their sums are positive.

Step 3

Exam Tip

बाकी ((-2,-2),(-1,-1),(0,0)) जोड़ने होंगे, इसलिए संख्या (3) है। / The remaining three diagonal pairs must be added.

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Question 37/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):\min(a,b)=a\}\) है, तो (R) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):\min(a,b)=a\}\), what is (R) with respect to reflexivity?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्तीReflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\min(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\min(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

यह हर \(a\in A\) के लिए सत्य है, इसलिए सभी ((a,a)) संबंध में हैं। / This is true for every \(a\in A\), so all ((a,a)) are in the relation.

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम और अधिकतम वाले संबंधों में समान तत्व रखकर तुरंत जांचें। / For minimum and maximum conditions, substitute equal elements first.

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Question 38/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):\max(a,b)=b\}\) है। सही निष्कर्ष कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):\max(a,b)=b\}\). Which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. (R) प्रतिवर्ती है(R) is reflexive

Step 1

Concept

((a,a)) पर (\max(a,a)=a) होता है। / For ((a,a)), (\max(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

यहां (b=a) है, इसलिए (\max(a,a)=b) भी सत्य है। / Since (b=a) on the diagonal, (\max(a,a)=b) is true.

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्तिता में केवल समान तत्वों की शर्त जरूरी है। / Reflexivity only needs the same-element cases to hold.

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Question 39/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=a\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=a\}\), is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Hence \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).

Step 3

Exam Tip

महत्तम समापवर्तक वाले प्रश्न में समान संख्याओं का मान याद रखें। / For greatest common divisor relations, remember the value for equal numbers.

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Question 40/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

यह (1) के बराबर केवल (a=1) पर है, इसलिए सिर्फ ((1,1)) मौजूद है। / This equals (1) only for (a=1), so only ((1,1)) is present.

Step 3

Exam Tip

बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / The other four diagonal pairs must be added.

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Question 41/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)=a\}\) है। (R) प्रतिवर्ती क्यों है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)=a\}\). Why is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,a)=a)Because (\operatorname{lcm}(a,a)=a)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) जांचना है। / For reflexivity, check ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

किसी संख्या का स्वयं के साथ लघुत्तम समापवर्त्य वही संख्या होती है, इसलिए (\operatorname{lcm}(a,a)=a)। / The least common multiple of a number with itself is the number itself, so (\operatorname{lcm}(a,a)=a).

Step 3

Exam Tip

समान संख्याओं पर मान निकालना सबसे सरल तरीका है। / Evaluating the expression at equal numbers is the simplest method.

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Question 42/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (XRY) तभी जब \(X\subseteq Y\)। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

On \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\), relation (R) is defined by (XRY) if \(X\subseteq Y\). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए हर \(X\in A\) पर \(X\subseteq X\) चाहिए। / Reflexivity requires \(X\subseteq X\) for every \(X\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। / Every set is a subset of itself.

Step 3

Exam Tip

उपसमुच्चय संबंध हमेशा अपने आधार समुच्चय पर प्रतिवर्ती होता है। / The subset relation is reflexive on any collection of sets.

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Question 43/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\) पर (XRY) तभी जब \(X\subset Y\) है। (R) कैसा है?

On \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\), (XRY) if \(X\subset Y\). What is (R) with respect to reflexivity?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती नहींNot reflexive

Step 1

Concept

\(X\subset Y\) में उचित उपसमुच्चय की बात है। / \(X\subset Y\) means proper subset.

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी समुच्चय स्वयं का उचित उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए \(X\subset X\) असत्य है। / No set is a proper subset of itself, so \(X\subset X\) is false.

Step 3

Exam Tip

\(\subseteq\) और \(\subset\) का अंतर परीक्षा में बहुत जरूरी है। / The difference between \(\subseteq\) and \(\subset\) is very important in exams.

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Question 44/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

((X,X)) रखने पर \(X\cap X=X\) मिलता है। / For ((X,X)), the condition becomes \(X\cap X=X\).

Step 2

Why this answer is correct

किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है। / The intersection of a set with itself is the same set.

Step 3

Exam Tip

समुच्चय संक्रियाओं में विकर्ण पर समान समुच्चय रखकर जांचें। / In set-operation relations, substitute the same set on the diagonal.

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Question 45/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(S=\{1,2\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\cup Y=S\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?

If \(S=\{1,2\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cup Y=S\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 3

Step 1

Concept

(A=\mathcal{P}(S)) में (4) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has (4) elements.

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। / On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).

Step 3

Exam Tip

चार में से एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (3) जोड़ने होंगे। / One diagonal pair is already present, so (3) must be added.

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Question 46/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=\varnothing\}\) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।

If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=\varnothing\}\). Choose the correct statement about (R).

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Correct Answer

A. (R) प्रतिवर्ती है(R) is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\triangle X=\varnothing\).

Step 2

Why this answer is correct

किसी समुच्चय का स्वयं से सममित अंतर रिक्त समुच्चय होता है। / The symmetric difference of a set with itself is the empty set.

Step 3

Exam Tip

सममित अंतर वाले संबंध में समान समुच्चय रखने से प्रतिवर्तिता स्पष्ट हो जाती है। / For symmetric-difference relations, checking equal sets quickly proves reflexivity.

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Question 47/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((a,b)\in R\) तभी जब (a) और (b) का समान अभाज्य गुणनखंड हो। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation (R) is defined by \((a,b)\in R\) if (a) and (b) have a common prime factor. Is (R) reflexive?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) as well.

Step 2

Why this answer is correct

(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए \((1,1)\in R\) नहीं है। / The number (1) has no prime factor, so \((1,1)\notin R\).

Step 3

Exam Tip

एक भी तत्व विकर्ण शर्त तोड़ दे तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.

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Question 48/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

यदि \(A=\{2,3,4,5,6\}\) और \((a,b)\in R\) तभी जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(A=\{2,3,4,5,6\}\) and \((a,b)\in R\) if (a) and (b) have a common prime factor, which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. (R) प्रतिवर्ती है(R) is reflexive

Step 1

Concept

(A) का हर तत्व (1) से बड़ा है, इसलिए हर तत्व का कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड है। / Every element of (A) is greater than (1), so each has at least one prime factor.

Step 2

Why this answer is correct

कोई संख्या अपने ही अभाज्य गुणनखंड को स्वयं के साथ साझा करती है। / A number shares its own prime factor with itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore, every ((a,a)) belongs to the relation.

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Question 49/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) इस प्रकार परिभाषित है: \((a,b)\in R\) तभी जब (a=b) या (a+b=5)। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is defined as \((a,b)\in R\) if (a=b) or (a+b=5). Is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) रखें। / For reflexivity, test ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

दी गई शर्त में (a=b) वाला भाग हर विकर्ण युग्म के लिए सत्य है। / The condition (a=b) is true for every diagonal pair.

Step 3

Exam Tip

या वाली शर्त में एक भाग सत्य हो तो पूरा कथन सत्य होता है। / In an or condition, one true part is enough to include the pair.

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Question 50/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a=b\) और a+b सम है}) है, तो (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a=b\) and a+b is even}), what is the correct conclusion about (R)?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a=b) सत्य होता है। / On the diagonal, (a=b) is true.

Step 2

Why this answer is correct

साथ ही (a+b=2a) सम होता है। दोनों शर्तें हर (a) पर सत्य हैं। / Also, (a+b=2a), which is even, so both conditions hold for every (a).

Step 3

Exam Tip

और वाली शर्त में दोनों भाग जांचना जरूरी है। / In an and condition, verify both parts.

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Question 51/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(मान लें (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) 4 से विभाज्य है})। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कम-से-कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?

\(Let (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) is divisible by 4}). What is the minimum number of pairs required to make (R) reflexive?

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Correct Answer

A. 3

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए हर ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity requires every ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (4) से तभी विभाज्य है जब (a) सम हो। इसलिए ((2,2),(4,4),(6,6)) पहले से हैं। / On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (4) only when (a) is even, so ((2,2),(4,4),(6,6)) are already present.

Step 3

Exam Tip

बाकी ((1,1),(3,3),(5,5)) जोड़ने होंगे, इसलिए उत्तर (3) है। / The missing diagonal pairs are ((1,1),(3,3),(5,5)), so (3) pairs are needed.

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Question 52/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(यदि (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b):a^2+b^2\) 5 से विभाज्य है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

\(If (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b):a^2+b^2\) is divisible by 5}), how many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

विकर्ण युग्म के लिए \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / For a diagonal pair, \(a^2+b^2=2a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(5) से विभाज्यता के लिए \(a^2\) का (5) से विभाज्य होना जरूरी है, जो केवल (a=5) पर होता है। / Divisibility by (5) requires \(a^2\) to be divisible by (5), which happens only for (a=5) in the set.

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल ((5,5)) विकर्ण युग्म संबंध में है। / Hence only ((5,5)) is a diagonal pair in (R).

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Question 53/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{4}\)}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण कौन-सा है?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{4}\)}). What is the correct reason for (R) being reflexive?

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Correct Answer

A. हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) को जांचते हैं। / To test reflexivity, check ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

तब शर्त \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) बनती है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\), which is true for every element.

Step 3

Exam Tip

समानता या समान शेषफल वाली शर्त में विकर्ण युग्म सामान्यतः तुरंत मिल जाते हैं। / Equality or same-remainder conditions usually include all diagonal pairs.

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Question 54/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (R={(a,b):\(a\equiv 2b \pmod{3}\)}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and (R={(a,b):\(a\equiv 2b \pmod{3}\)}), how many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv 2a \pmod{3}\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv 2a \pmod{3}\).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ \(a\equiv 0 \pmod{3}\) है, इसलिए केवल (a=3,6) के विकर्ण युग्म पहले से हैं। / This means \(a\equiv 0 \pmod{3}\), so only (a=3,6) already work.

Step 3

Exam Tip

कुल (6) विकर्ण युग्म चाहिए, अतः (6-2=4) जोड़ने होंगे। / Since (6) diagonal pairs are required, (6-2=4) must be added.

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Question 55/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a^2-b\) सम है}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने की स्थिति क्या है?

\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a^2-b\) is even}). What is the reflexivity status of (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से (a^-2-a=a(a-1)) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving (a^-2-a=a(a-1)).

Step 2

Why this answer is correct

लगातार दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा सम होता है। / The product of two consecutive integers is always even.

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है और संबंध प्रतिवर्ती है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation, so it is reflexive.

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Question 56/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b=2a+1\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b=2a+1\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2+a=2a+1\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), so \(a^2+a=2a+1\).

Step 2

Why this answer is correct

इसे सरल करने पर \(a^2-a-1=0\) नहीं, बल्कि सीधे जांचना बेहतर है: (a=1) और (a=2) पर शर्त सत्य है। / Rearranging gives \(a^2-a-1=0\), but checking the given finite set shows the condition holds for (a=1) and (a=2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) ही विकर्ण युग्म हैं। / Thus the diagonal pairs are ((1,1)) and ((2,2)).

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Question 57/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\). Is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। / Put (b=a) to test reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

तब दोनों ओर \(a^2-a\) ही मिलेगा, इसलिए समानता हर (a) के लिए सत्य है। / Both sides become \(a^2-a\), so the equality is true for every (a).

Step 3

Exam Tip

जब दोनों ओर एक ही व्यंजक बन जाए, तो विकर्ण युग्म निश्चित रूप से शामिल होते हैं। / If both sides become the same expression on the diagonal, all diagonal pairs are included.

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Question 58/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)>1\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)>1\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a>1) के लिए शर्त सत्य है, पर (a=1) पर (\gcd(1,1)=1) है। / The condition is true for (a>1), but for (a=1), (\gcd(1,1)=1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Hence only ((1,1)) must be added.

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Question 59/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{2,3,4,6,8,12\}\) पर \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\leq 12\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

On \(A=\{2,3,4,6,8,12\}\), \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\leq 12\}\). Is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए (A) का हर तत्व (12) से छोटा या बराबर है। / Every element of (A) is less than or equal to (12).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है और (R) प्रतिवर्ती है। / Therefore every diagonal pair satisfies the condition, so (R) is reflexive.

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Question 60/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)<6\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)<6\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होगा। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a<6) होने पर शर्त सत्य है, इसलिए (a=2,3,4,5) काम करेंगे। / The condition is true when (a<6), so (a=2,3,4,5) work.

Step 3

Exam Tip

(a=6) असफल है, अतः (4) विकर्ण युग्म हैं। / (a=6) fails, so there are (4) diagonal pairs.

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Question 61/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a\mid b\) और b\mid a}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?

\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a\mid b\) and \(b\mid a}). Which statement about (R) is correct\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) जांचें। / Check ((a,a)) for reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

हर (a) स्वयं को विभाजित करता है, इसलिए \(a\mid a\) और \(a\mid a\) दोनों सत्य हैं। / Every (a) divides itself, so both \(a\mid a\) and \(a\mid a\) are true.

Step 3

Exam Tip

और वाली शर्त में दोनों भाग विकर्ण पर सत्य हैं। / In an and condition, both parts hold on the diagonal.

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Question 62/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a\mid b+1\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a\mid b+1\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

विकर्ण पर शर्त \(a\mid a+1\) बनती है। / On the diagonal, the condition becomes \(a\mid a+1\).

Step 2

Why this answer is correct

(a) और (a+1) में अंतर (1) है, इसलिए \(a\mid a+1\) केवल (a=1) पर सत्य है। / Since (a) and (a+1) differ by (1), this holds only for (a=1).

Step 3

Exam Tip

अतः केवल ((1,1)) विकर्ण युग्म संबंध में है। / Hence only ((1,1)) is a diagonal pair in the relation.

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Question 63/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\). Is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a+1\mid a+1\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a+1\mid a+1\).

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Any non-zero number divides itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी विकर्ण युग्म शामिल हैं और संबंध प्रतिवर्ती है। / Therefore all diagonal pairs are included, so the relation is reflexive.

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Question 64/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq 4\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq 4\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 2

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(2a^2\leq4\) से \(a^2\leq2\) मिलता है, इसलिए (a=-1,0,1) काम करते हैं। / \(2a^2\leq4\) gives \(a^2\leq2\), so (a=-1,0,1) work.

Step 3

Exam Tip

((-2,-2)) और ((2,2)) गायब हैं, इसलिए (2) युग्म जोड़ने होंगे। / The missing diagonal pairs are ((-2,-2)) and ((2,2)), so (2) pairs are needed.

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Question 65/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\leq a^2\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

On \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab\leq a^2\}\). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).

Step 2

Why this answer is correct

तब \(ab=a^2\) होगा, इसलिए शर्त \(a^2\leq a^2\) बनती है, जो सत्य है। / Then \(ab=a^2\), so the condition becomes \(a^2\leq a^2\), which is true.

Step 3

Exam Tip

बराबरी वाली स्थिति भी \(\leq\) में शामिल होती है। / Equality is included in \(\leq\), so every diagonal pair works.

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Question 66/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab<a^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab<a^2\}\), is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(ab=a^2\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(ab=a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

शर्त \(a^2<a^2\) बनती है, जो किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं है। / The condition becomes \(a^2<a^2\), which is false for every (a).

Step 3

Exam Tip

कड़ी असमानता में बराबर मान विकर्ण युग्मों को असफल कर देते हैं। / Strict inequalities fail when both sides become equal on the diagonal.

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Question 67/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) ऐसा है कि \((a,b)\in R\) तभी जब ((a-b)²\leq a-b)। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is such that \((a,b)\in R\) if ((a-b)²\leq a-b). How many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

D. 4

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a-b=0) होगा। / On the diagonal, (a-b=0).

Step 2

Why this answer is correct

शर्त \(0^2\leq0\), यानी \(0\leq0\), सत्य है। / The condition becomes \(0^2\leq0\), i.e. \(0\leq0\), which is true.

Step 3

Exam Tip

इसलिए चारों ((a,a)) युग्म संबंध में हैं। / Therefore all four diagonal pairs are in the relation.

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Question 68/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):|a-b|+1\leq 1\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):|a-b|+1\leq 1\}\), which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. यह प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

दी गई शर्त से \(|a-b|\leq0\) मिलता है। / The condition gives \(|a-b|\leq0\).

Step 2

Why this answer is correct

निरपेक्ष मान शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए यह तभी सत्य है जब (a=b)। / Absolute value is non-negative, so this is true exactly when (a=b).

Step 3

Exam Tip

सभी ((a,a)) युग्म मिलते हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / All ((a,a)) pairs are present, so the relation is reflexive.

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Question 69/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):|a-b|\) धनात्मक है}) है। (R) कैसा है?

\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):|a-b|\) is positive}). What is (R) with respect to reflexivity?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. प्रतिवर्ती नहींNot reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (|a-a|=0) होता है। / On the diagonal, (|a-a|=0).

Step 2

Why this answer is correct

(0) धनात्मक नहीं है, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म संबंध में नहीं है। / (0) is not positive, so no diagonal pair belongs to the relation.

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्ती संबंध में सभी विकर्ण युग्म चाहिए, इसलिए यह प्रतिवर्ती नहीं है। / A reflexive relation needs all diagonal pairs, so this relation is not reflexive.

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Question 70/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):|a-b|\) सम है}) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?

\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):|a-b|\) is even}), why is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (|a-a|=0) और (0) सम हैBecause (|a-a|=0) and (0) is even

Step 1

Concept

विकर्ण युग्म में दोनों तत्व समान होते हैं। / In a diagonal pair, both elements are the same.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (|a-a|=0), और (0) सम संख्या है। / Therefore (|a-a|=0), and (0) is even.

Step 3

Exam Tip

इसी कारण हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.

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Question 71/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है और a\neq b}) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is even and \(a\neq b}). How many pairs must be added to make (R) reflexive\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

विकर्ण युग्मों में (a=b) होता है। / In diagonal pairs, (a=b).

Step 2

Why this answer is correct

दी गई शर्त में \(a\neq b\) भी चाहिए, इसलिए कोई विकर्ण युग्म (R) में नहीं हो सकता। / The condition also requires \(a\neq b\), so no diagonal pair can be in (R).

Step 3

Exam Tip

चार तत्वों के लिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / For four elements, all four diagonal pairs must be added.

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Question 72/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(यदि (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b):a=b\) या a+b विषम है}) है, तो (R) कैसा है?

\(If (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b):a=b\) or a+b is odd}), what is (R) with respect to reflexivity?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्तीReflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर हमेशा (a=b) सत्य होता है। / On the diagonal, (a=b) is always true.

Step 2

Why this answer is correct

या वाली शर्त में एक भाग सत्य हो तो पूरा कथन सत्य हो जाता है। / In an or condition, one true part is enough.

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है और (R) प्रतिवर्ती है। / Therefore every ((a,a)) belongs to (R), so it is reflexive.

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Question 73/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a=b\) और a+b विषम है}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a=b\) and a+b is odd}). Is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a=b) तो सत्य है। / On the diagonal, (a=b) is true.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (a+b=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / But (a+b=2a) is always even, not odd.

Step 3

Exam Tip

और वाली शर्त में दोनों भाग सत्य होने चाहिए, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / In an and condition, both parts must be true, so the relation is not reflexive.

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Question 74/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a\neq b\) या a+b सम है}) है, तो (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a\neq b\) or a+b is even}), what is the correct conclusion about (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(a\neq b\) असत्य है। / On the diagonal, \(a\neq b\) is false.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (a+b=2a) सम है, इसलिए दूसरा भाग सत्य है। / But (a+b=2a) is even, so the second part is true.

Step 3

Exam Tip

या वाली शर्त में एक भाग सत्य होने से हर विकर्ण युग्म शामिल है। / In an or condition, one true part includes every diagonal pair.

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Question 75/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध (R) में \(A\times A\) के सभी युग्म हैं सिवाय ((1,1)) और ((2,2)) के। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3\}\), relation (R) contains all pairs of \(A\times A\) except ((1,1)) and ((2,2)). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / Reflexivity needs ((1,1),(2,2),(3,3)).

Step 2

Why this answer is correct

संबंध में ((3,3)) है, लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं। / The relation has ((3,3)), but misses ((1,1)) and ((2,2)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (2) युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore (2) pairs must be added.

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Question 76/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

चार तत्वों वाले समुच्चय (A) पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (7) युग्म हों?

How many reflexive relations with exactly (7) ordered pairs are possible on a four-element set (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\binom{12}{3}\)

Step 1

Concept

चार तत्वों पर (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a four-element set, (4) diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (7) युग्म चाहिए, इसलिए (3) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (7) pairs, choose (3) non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण युग्म (16-4=12) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है। / There are (16-4=12) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{12}{3}\).

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Question 77/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें न्यूनतम संख्या से ठीक (6) अधिक युग्म हों?

On a five-element set, how many reflexive relations have exactly (6) more pairs than the minimum possible number?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\binom{20}{6}\)

Step 1

Concept

पांच तत्वों पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध में (5) विकर्ण युग्म होते हैं। / On a five-element set, the minimum reflexive relation has (5) diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

न्यूनतम से (6) अधिक युग्म का मतलब (6) अविकर्ण युग्म चुनना है। / Having (6) more pairs means choosing (6) non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{20}{6}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the count is \(\binom{20}{6}\).

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Question 78/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी जिनमें ठीक (n+2) युग्म हों?

If (A) has (n) elements, how many reflexive relations have exactly (n+2) ordered pairs?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\binom{n^2-n}{2}\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain (n) diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

ठीक (n+2) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (n+2) pairs, choose (2) non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण युग्म \(n^2-n\) हैं, अतः संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) है। / Since there are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, the number is \(\binom{n^2-n}{2}\).

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Question 79/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और सार्वत्रिक संबंध नहीं हैं?

On a three-element set, how many relations are reflexive but not the universal relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (63)

Step 1

Concept

तीन तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। / On a three-element set, the number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6=64\).

Step 2

Why this answer is correct

इनमें सार्वत्रिक संबंध भी शामिल है। / This count includes the universal relation.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध हटाने पर (64-1=63) संबंध बचते हैं। / Excluding the universal relation gives (64-1=63).

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Question 80/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और पहचान संबंध से अलग हैं?

On a four-element set, how many relations are reflexive and different from the identity relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^{12}-1\)

Step 1

Concept

चार तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / On a four-element set, the number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).

Step 2

Why this answer is correct

पहचान संबंध भी प्रतिवर्ती है। / The identity relation is one of them.

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध को हटाने पर \(2^{12}-1\) संबंध मिलते हैं। / Removing it leaves \(2^{12}-1\) relations.

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Question 81/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) अवश्य हो और ((2,1)) अवश्य न हो?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations must contain ((1,2)) and must not contain ((2,1))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^{10}\)

Step 1

Concept

(4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The (4) diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

(12) अविकर्ण युग्मों में से ((1,2)) अनिवार्य है और ((2,1)) वर्जित है। / Among the (12) non-diagonal pairs, ((1,2)) is compulsory and ((2,1)) is forbidden.

Step 3

Exam Tip

बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(2^{10}\) relations.

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Question 82/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म हो?

On a three-element set, how many reflexive relations contain at least one non-diagonal pair?

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Correct Answer

A. (63)

Step 1

Concept

तीन तत्वों पर कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) हैं। / On a three-element set, there are \(2^6=64\) reflexive relations.

Step 2

Why this answer is correct

जिनमें कोई अविकर्ण युग्म नहीं है, वह केवल पहचान संबंध है। / The only one with no non-diagonal pair is the identity relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म वाले संबंध (64-1=63) होंगे। / Hence the number with at least one non-diagonal pair is (64-1=63).

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Question 83/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) प्रतिवर्ती है और (R) में ठीक (9) युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and has exactly (9) pairs. How many such relations are possible?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\binom{12}{5}\)

Step 1

Concept

चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (9) युग्म के लिए (5) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (9) total pairs, choose (5) non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

(12) अविकर्ण युग्मों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}\) हैं। / Choosing (5) from (12) non-diagonal pairs gives \(\binom{12}{5}\).

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Question 84/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कोई भी अविकर्ण युग्म न हो?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many reflexive relations have no non-diagonal pair?

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Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध में पांचों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain all five diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

कोई अविकर्ण युग्म न होने पर संबंध केवल पहचान संबंध होगा। / If no non-diagonal pair is allowed, the relation is exactly the identity relation.

Step 3

Exam Tip

ऐसा संबंध केवल (1) है। / Therefore only (1) such relation exists.

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Question 85/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) ऐसा संबंध है जिसमें हर ((a,a)) है और केवल दो अविकर्ण युग्म नहीं हैं। (R) के कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is a relation containing every ((a,a)) and missing exactly two non-diagonal pairs. How many total pairs does (R) have?

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Correct Answer

B. 14

Step 1

Concept

\(A\times A\) में कुल (16) युग्म हैं। / \(A\times A\) has (16) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

केवल दो अविकर्ण युग्म अनुपस्थित हैं और सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। / Exactly two non-diagonal pairs are missing while all diagonal pairs are present.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल युग्म (16-2=14) होंगे। / Hence the total number of pairs is (16-2=14).

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Question 86/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\subseteq Y\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\subseteq Y\}\). How many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 8

Step 1

Concept

(\mathcal{P}(S)) में \(2^3=8\) तत्व होते हैं। / (\mathcal{P}(S)) has \(2^3=8\) elements.

Step 2

Why this answer is correct

हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। / Every set is a subset of itself, so every ((X,X)) is in the relation.

Step 3

Exam Tip

अतः विकर्ण युग्मों की संख्या (8) है। / Therefore the number of diagonal pairs is (8).

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Question 87/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। \(R=\{(X,Y):X\cap Y=\varnothing\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?

If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). \(R=\{(X,Y):X\cap Y=\varnothing\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 7

Step 1

Concept

(A) में (8) समुच्चय हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। / (A) has (8) sets, so (8) diagonal pairs are needed.

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण पर \(X\cap X=X\), जो रिक्त तभी है जब \(X=\varnothing\)। / On the diagonal, \(X\cap X=X\), which is empty only when \(X=\varnothing\).

Step 3

Exam Tip

एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (8-1=7) जोड़ने होंगे। / One diagonal pair is already present, so (8-1=7) must be added.

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Question 88/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) पर \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

For \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। / For reflexivity, put (Y=X).

Step 2

Why this answer is correct

तब \(X\cup X=X\), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। / Then \(X\cup X=X\), which is true for every set.

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। / Hence every ((X,X)) belongs to the relation.

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Question 89/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(S=\{1,2\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। \(R=\{(X,Y):X\setminus Y=\varnothing\}\) है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If \(S=\{1,2\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). \(R=\{(X,Y):X\setminus Y=\varnothing\}\). Which statement about (R) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\setminus X=\varnothing\).

Step 2

Why this answer is correct

किसी समुच्चय से वही समुच्चय हटाने पर रिक्त समुच्चय मिलता है। / Removing a set from itself gives the empty set.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs are in the relation.

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Question 90/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}) पर (R={(X,Y):X\subset Y\) या X=Y}) है। (R) कैसा है?

\(On (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}), (R={(X,Y):X\subset Y\) or \(X=Y}). What is (R) with respect to reflexivity\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्तीReflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (X=Y) सत्य होता है। / On the diagonal, (X=Y) is true.

Step 2

Why this answer is correct

या वाली शर्त में (X=Y) वाला भाग हर ((X,X)) को शामिल कर देता है। / The or condition includes every ((X,X)) through the equality part.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Therefore the relation is reflexive.

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Question 91/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि (A=\mathcal{P}({1,2})) और \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=X\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If (A=\mathcal{P}({1,2})) and \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=X\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\triangle X=\varnothing\).

Step 2

Why this answer is correct

शर्त \(X\triangle X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। / The condition \(X\triangle X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है। / Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair.

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Question 92/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) का समान गुणनखंड (1) से बड़ा है(}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) have a common factor greater than (1)(}). Is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity also requires ((1,1)).

Step 2

Why this answer is correct

(1) का (1) से बड़ा कोई गुणनखंड नहीं है। / The number (1) has no factor greater than (1).

Step 3

Exam Tip

एक विकर्ण युग्म गायब होने से संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता। / Missing even one diagonal pair makes the relation non-reflexive.

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Question 93/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{2,4,8,16\}\) और \((a,b)\in R\) तभी जब (a) और (b) दोनों किसी समान (2) की घात से विभाज्य हों, तो (R) कैसा है?

If \(A=\{2,4,8,16\}\) and \((a,b)\in R\) if both (a) and (b) are divisible by a common power of (2), what is (R) with respect to reflexivity?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्तीReflexive

Step 1

Concept

हर \(a\in A\) स्वयं किसी न किसी (2) की घात से विभाज्य है। / Every \(a\in A\) is divisible by some power of (2).

Step 2

Why this answer is correct

((a,a)) में दोनों तत्व वही हैं, इसलिए वे वही समान घात साझा करते हैं। / In ((a,a)), both entries are the same, so they share that same power.

Step 3

Exam Tip

अतः सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। / Therefore all diagonal pairs are present.

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Question 94/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={1,2,4,8}) पर (R={(a,b):a\) और b का अनुपात 2 की पूर्णांक घात है}) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

\(On (A={1,2,4,8}), (R={(a,b):\)the ratio of a and b is an integral power of 2}). Is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती जांच में (a=b) रखें। / For reflexivity, put (a=b).

Step 2

Why this answer is correct

तब अनुपात \(\frac{a}{a}=1=2^0\) होता है, जो (2) की पूर्णांक घात है। / Then the ratio is \(\frac{a}{a}=1=2^0\), an integral power of (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.

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Question 95/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

विकर्ण पर शर्त \(2a\leq a^2\) बनेगी। / On the diagonal, the condition becomes \(2a\leq a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(a>0) होने से इसे \(2\leq a\) लिखा जा सकता है। / Since (a>0), this becomes \(2\leq a\).

Step 3

Exam Tip

(a=2,3,4,5) काम करते हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म हैं। / (a=2,3,4,5) work, so there are (4) diagonal pairs.

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Question 96/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

पिछले विचार से विकर्ण पर \(2a\leq a^2\) चाहिए। / On the diagonal, the condition is \(2a\leq a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

यह (a=1) पर असत्य है और (a=2,3,4,5) पर सत्य है। / This fails for (a=1) and holds for (a=2,3,4,5).

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Therefore only ((1,1)) must be added.

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Question 97/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{0,1,2,3\}\) और \(R=\{(a,b):a^3-b^3=0\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(A=\{0,1,2,3\}\) and \(R=\{(a,b):a^3-b^3=0\}\), which statement about (R) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(a^3-a^3=0\) होगा। / On the diagonal, \(a^3-a^3=0\).

Step 2

Why this answer is correct

यह हर \(a\in A\) के लिए सत्य है। / This is true for every \(a\in A\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है। / Therefore all diagonal pairs are in the relation, so (R) is reflexive.

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Question 98/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\). How many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(2a^2=2a\) मिलेगा। / On the diagonal, \(2a^2=2a\).

Step 2

Why this answer is correct

इसे \(a^2=a\), यानी (a(a-1)=0) लिखते हैं। / This becomes \(a^2=a\), i.e. (a(a-1)=0).

Step 3

Exam Tip

(a=0,1) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं। / (a=0,1) work, so there are (2) diagonal pairs.

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Question 99/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this five-element set needs five diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

शर्त में केवल (a=0) और (a=1) वाले विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.

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Question 100/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 6 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस बात पर आधारित है?

\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 6}). What is the basis for (R) being reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य हैFor every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) देखें। / For reflexivity, check ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

तब (a-a=0) होता है, और (0) (6) से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by (6).

Step 3

Exam Tip

अंतर की विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा शून्य होता है। / In difference-divisibility relations, the diagonal difference is always zero.

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Question 101/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(मान लें (A={1,2,3,4,5,6,7,8}) और (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) 6 से विभाज्य है})। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कम-से-कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?

\(Let (A={1,2,3,4,5,6,7,8}) and (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) is divisible by 6}). What is the minimum number of pairs needed to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 6

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर ((a,a)) होना चाहिए। / A reflexive relation needs every ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (6) से तभी विभाज्य है जब (a) (3) से विभाज्य हो। (A) में (3,6) ही ऐसे हैं। / On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (6) only when (a) is divisible by (3). In (A), only (3) and (6) work.

Step 3

Exam Tip

कुल (8) विकर्ण युग्म चाहिए, (2) पहले से हैं, इसलिए (6) जोड़ने होंगे। / (8) diagonal pairs are needed and (2) are present, so (6) must be added.

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Question 102/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):a^2+b^2\) 10 से विभाज्य है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म पहले से हैं?

\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):a^2+b^2\) is divisible by 10}), how many diagonal pairs are already in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) बनेगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(10) से विभाज्यता के लिए \(2a^2\) में (5) का गुणक होना जरूरी है, इसलिए (a) (5) से विभाज्य होना चाहिए। / For divisibility by (10), \(2a^2\) must include a factor (5), so (a) must be divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

दिए गए समुच्चय में केवल (a=5) काम करता है, अतः एक विकर्ण युग्म है। / In the given set, only (a=5) works, so there is one diagonal pair.

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Question 103/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b \pmod{5}\)}) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b \pmod{5}\)}). How many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2\equiv a \pmod{5}\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2\equiv a \pmod{5}\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), इसलिए \(a\equiv 0\) या \(a\equiv 1 \pmod{5}\)। / This means (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), so \(a\equiv 0\) or \(a\equiv 1 \pmod{5}\).

Step 3

Exam Tip

दिए गए समुच्चय में (0,1,5) काम करते हैं, इसलिए (3) विकर्ण युग्म हैं। / In the set, (0,1,5) work, so there are (3) diagonal pairs.

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Question 104/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और (R={(a,b):\(a\equiv 3b \pmod{4}\)}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and (R={(a,b):\(a\equiv 3b \pmod{4}\)}), how many pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 4

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv 3a \pmod{4}\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv 3a \pmod{4}\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), यानी (a) सम होना चाहिए। (A) में (2,4,6) काम करते हैं। / This gives \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), so (a) must be even. In (A), (2,4,6) work.

Step 3

Exam Tip

कुल (7) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (4) जोड़ने होंगे। / Since (7) diagonal pairs are needed and (3) are present, (4) must be added.

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Question 105/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a^3-b\) सम है}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?

\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a^3-b\) is even}). What is the correct reason that (R) is reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम हैBecause \(a^3-a\) is always even

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^3-a\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^3-a\).

Step 2

Why this answer is correct

(a^-3-a=a(a-1)(a+1)) है, जिसमें लगातार तीन संख्याओं का गुणन है, इसलिए यह सम होगा। / (a^-3-a=a(a-1)(a+1)), a product of three consecutive integers, so it is even.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण पर अभिव्यक्ति को गुणनखंडों में बदलना उपयोगी तरीका है। / Factoring the diagonal expression is a useful exam method.

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Question 106/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म होंगे?

If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\), how many diagonal pairs will (R) contain?

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Correct Answer

C. 3

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2+a=3a\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2+a=3a\).

Step 2

Why this answer is correct

इसे \(a^2-2a=0\), यानी (a(a-2)=0) लिखते हैं। / This becomes \(a^2-2a=0\), i.e. (a(a-2)=0).

Step 3

Exam Tip

(a=0) और (a=2) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं। / (a=0) and (a=2) work, so there are (2) diagonal pairs.

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Question 107/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 3

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs (5) diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

शर्त में केवल (a=0) और (a=2) पर विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.

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Question 108/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):\gcd(a,b)\) सम है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):\gcd(a,b)\) is even}), how many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(\gcd(a,a)) सम तभी है जब (a) सम हो। (A) में (2,4,6) सम हैं। / This is even exactly when (a) is even. In (A), (2,4,6) are even.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (3) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore (3) diagonal pairs belong to the relation.

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Question 109/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):\gcd(a,b)\) सम है}) है। इसे प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?

\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):\gcd(a,b)\) is even}). How many diagonal pairs must be added to make it reflexive?

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Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

कुल (6) विकर्ण युग्म आवश्यक हैं। / A total of (6) diagonal pairs are required.

Step 2

Why this answer is correct

((2,2),(4,4),(6,6)) पहले से हैं, क्योंकि उनका महत्तम समापवर्तक सम है। / ((2,2),(4,4),(6,6)) are already present because their greatest common divisor is even.

Step 3

Exam Tip

((1,1),(3,3),(5,5)) जोड़ने होंगे, इसलिए उत्तर (3) है। / ((1,1),(3,3),(5,5)) must be added, so the answer is (3).

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Question 110/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(यदि (A={2,3,4,5,6,8}) और (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) 8 से कम या बराबर है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

\(If (A={2,3,4,5,6,8}) and (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) is less than or equal to 8}), how many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

D. 6

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय के सभी तत्व (8) से कम या बराबर हैं। / Every element of the given set is less than or equal to (8).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Hence all (6) diagonal pairs are in the relation.

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Question 111/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(समुच्चय (A={2,3,4,5,6,8}) पर (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) 5 से कम है}) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

\(On (A={2,3,4,5,6,8}), (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) is less than 5}). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होगा। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a<5) होने पर (a=2,3,4) ही काम करते हैं। / The condition (a<5) holds only for (2,3,4).

Step 3

Exam Tip

कुल (6) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (3) जोड़ने होंगे। / Since (6) diagonal pairs are needed and (3) are present, (3) must be added.

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Question 112/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\), why is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य हैBecause \(a\mid a^2\) for every (a)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).

Step 2

Why this answer is correct

तब शर्त \(a\mid a^2\) बनेगी, जो हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a\mid a^2\), which is true for every positive integer (a).

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता में स्वयं के वर्ग को देखना तेज तरीका है। / In divisibility relations, checking the square of the same number is a quick method.

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Question 113/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a+1\mid b\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R=\{(a,b):a+1\mid b\}\). How many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. 0

Step 1

Concept

विकर्ण पर शर्त \(a+1\mid a\) बनेगी। / On the diagonal, the condition becomes \(a+1\mid a\).

Step 2

Why this answer is correct

(a+1) संख्या (a) से बड़ी है और धनात्मक है, इसलिए वह (a) को विभाजित नहीं कर सकती। / Since (a+1) is positive and greater than (a), it cannot divide (a).

Step 3

Exam Tip

कोई विकर्ण युग्म नहीं है, इसलिए संख्या (0) है। / No diagonal pair is present, so the count is (0).

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Question 114/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\), why is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. हर (a) पर \(a+1\mid a+1\)For every (a), \(a+1\mid a+1\)

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखें। / Put (b=a) on the diagonal.

Step 2

Why this answer is correct

तब \(a+1\mid a+1\) मिलता है, और कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Then \(a+1\mid a+1\), and any non-zero number divides itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation.

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Question 115/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq9\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq9\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(2a^2\leq9\) से \(a^2\leq4.5\), इसलिए (a=-2,-1,0,1,2) काम करते हैं। / \(2a^2\leq9\) gives \(a^2\leq4.5\), so (a=-2,-1,0,1,2) work.

Step 3

Exam Tip

((-3,-3)) और ((3,3)) गायब हैं, इसलिए (2) जोड़ने होंगे। / ((-3,-3)) and ((3,3)) are missing, so (2) pairs must be added.

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Question 116/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

C. 3

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(ab=a^2\) और (a+b=2a) होगा। / On the diagonal, \(ab=a^2\) and (a+b=2a).

Step 2

Why this answer is correct

शर्त \(a^2\geq2a\), यानी (a(a-2)\geq0) है। / The condition is \(a^2\geq2a\), i.e. (a(a-2)\geq0).

Step 3

Exam Tip

दिए गए समुच्चय में (a=-2,-1,0,2) काम करते हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म हैं। / In the set, (a=-2,-1,0,2) work, so there are (4) diagonal pairs.

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Question 117/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

कुल (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A total of (5) diagonal pairs are required.

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण शर्त (a(a-2)\geq0) है, जो (-2,-1,0,2) पर सत्य और (1) पर असत्य है। / The diagonal condition (a(a-2)\geq0) is true for (-2,-1,0,2) and false for (1).

Step 3

Exam Tip

केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Only ((1,1)) must be added.

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Question 118/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):(a-b)^2<1\}\) है, तो (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):(a-b)^2<1\}\), what is the correct conclusion about (R)?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a-b=0) होता है। / On the diagonal, (a-b=0).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ((a-b)²=0), और (0<1) सत्य है। / Therefore ((a-b)²=0), and (0<1) is true.

Step 3

Exam Tip

हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है, अतः संबंध प्रतिवर्ती है। / Every diagonal pair satisfies the condition, so the relation is reflexive.

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Question 119/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a-b=0) है। / On the diagonal, (a-b=0).

Step 2

Why this answer is correct

तब ((a-b)²=0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Then ((a-b)²=0), which is not greater than (0).

Step 3

Exam Tip

कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं है, इसलिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / No diagonal pair is present, so all four diagonal pairs must be added.

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Question 120/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

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Correct Answer

B. 5

Step 1

Concept

विकर्ण पर (|a-a|=0) होता है। / On the diagonal, (|a-a|=0).

Step 2

Why this answer is correct

शर्त \(0\leq a-1\) बनेगी, जो (A) के हर \(a\geq1\) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(0\leq a-1\), which is true for every \(a\geq1\) in (A).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी (5) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Hence all (5) diagonal pairs are in the relation.

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Question 121/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

विकर्ण पर (|a-a|=0) होगा। / On the diagonal, (|a-a|=0).

Step 2

Why this answer is correct

शर्त \(0\leq a-1\) है, जो (a=0) पर असत्य और (a=1,2,3,4) पर सत्य है। / The condition is \(0\leq a-1\), which fails for (a=0) and holds for (a=1,2,3,4).

Step 3

Exam Tip

केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.

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Question 122/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(यदि (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b):a=b\) या a+b 3 से विभाज्य है}) है, तो (R) कैसा है?

\(If (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b):a=b\) or a+b is divisible by 3}), what is (R) with respect to reflexivity?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्तीReflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a=b) हमेशा सत्य होता है। / On the diagonal, (a=b) is always true.

Step 2

Why this answer is correct

या वाली शर्त में पहला भाग ही हर ((a,a)) को शामिल कर देता है। / In an or condition, the first part already includes every ((a,a)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए दूसरे भाग को अलग से जांचने की आवश्यकता नहीं है। / So the second part does not need separate checking for reflexivity.

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Question 123/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a\neq b\) और a+b सम है}) है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?

\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a\neq b\) and a+b is even}). Which statement is correct for (R)?

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Correct Answer

B. प्रतिवर्ती नहीं हैIt is not reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण युग्मों में (a=b) होता है। / In diagonal pairs, (a=b).

Step 2

Why this answer is correct

दी गई शर्त में \(a\neq b\) चाहिए, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म संबंध में नहीं होगा। / The condition requires \(a\neq b\), so no diagonal pair can be present.

Step 3

Exam Tip

सभी विकर्ण युग्मों की अनुपस्थिति से संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / Since all diagonal pairs are absent, the relation is not reflexive.

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Question 124/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):a=b\) और \(a\equiv 0 \pmod{2}}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे\)?

\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):a=b\) and \(a\equiv 0 \pmod{2}}), how many pairs must be added to make (R) reflexive\)?

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Correct Answer

B. 3

Step 1

Concept

संबंध में केवल सम तत्वों के विकर्ण युग्म हैं। / The relation contains only diagonal pairs for even elements.

Step 2

Why this answer is correct

(A) में ((2,2),(4,4),(6,6)) मौजूद होंगे, पर ((1,1),(3,3),(5,5)) नहीं। / ((2,2),(4,4),(6,6)) are present, but ((1,1),(3,3),(5,5)) are missing.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore (3) diagonal pairs must be added.

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Question 125/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए चारों विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation needs all four diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

हटाए गए युग्मों में ((1,1)) और ((4,4)) विकर्ण हैं, पर ((2,3)) विकर्ण नहीं है। / Among the removed pairs, ((1,1)) and ((4,4)) are diagonal, while ((2,3)) is not.

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल दो विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore only two diagonal pairs must be added.

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Question 126/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (12) युग्म हों?

If (A) has (5) elements, how many reflexive relations have exactly (12) ordered pairs?

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Correct Answer

A. \(\binom{20}{7}\)

Step 1

Concept

पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (12) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (12) pairs, choose (7) non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः संख्या \(\binom{20}{7}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{20}{7}\).

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Question 127/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

छह तत्वों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी है?

How many reflexive relations are possible on a set with six elements?

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Correct Answer

A. \(2^{30}\)

Step 1

Concept

(6) तत्वों पर \(A\times A\) में (36) युग्म हैं। / For (6) elements, \(A\times A\) has (36) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(6) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (36-6=30) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (6) diagonal pairs are compulsory, leaving (36-6=30) optional pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^{30}\) होंगे। / Hence the number of reflexive relations is \(2^{30}\).

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Question 128/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें कोई विशेष अविकर्ण युग्म ((p,q)), जहां \(p\neq q\), अवश्य शामिल हो?

If (A) has (n) elements, how many reflexive relations must contain one fixed non-diagonal pair ((p,q)), where \(p\neq q\)?

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Correct Answer

A. \(2^{n^2-n-1}\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

अविकर्ण युग्मों की संख्या \(n^2-n\) है, जिनमें से एक विशेष युग्म भी अनिवार्य कर दिया गया। / There are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, and one fixed non-diagonal pair is also compulsory.

Step 3

Exam Tip

बाकी \(n^2-n-1\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n-1}\) है। / The remaining \(n^2-n-1\) pairs are optional, giving \(2^{n^2-n-1}\).

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Question 129/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) और ((2,1)) दोनों न हों?

On a four-element set, how many reflexive relations do not contain both ((1,2)) and ((2,1))?

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Correct Answer

A. \(3\cdot2^{10}\)

Step 1

Concept

चार तत्वों पर (12) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हो सकते हैं। / On a four-element set, (12) non-diagonal pairs are optional.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) के लिए दोनों साथ-साथ शामिल नहीं होने चाहिए, इसलिए इनके (3) मान्य चुनाव हैं। / For ((1,2)) and ((2,1)), they must not both be included, so there are (3) valid choices.

Step 3

Exam Tip

बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, अतः संख्या \(3\cdot2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(3\cdot2^{10}\).

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Question 130/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (2) अविकर्ण युग्म हों और ((1,2)) उनमें से एक हो?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have exactly (2) non-diagonal pairs and ((1,2)) is one of them?

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Correct Answer

A. 11

Step 1

Concept

चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

ठीक (2) अविकर्ण युग्म चाहिए और ((1,2)) पहले से तय है। / Exactly (2) non-diagonal pairs are needed and ((1,2)) is already fixed.

Step 3

Exam Tip

दूसरा अविकर्ण युग्म बाकी (11) में से चुना जाएगा, इसलिए (11) संबंध बनेंगे। / The second non-diagonal pair can be chosen from the remaining (11), so there are (11) relations.

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Question 131/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जो पहचान संबंध भी नहीं हैं और सार्वत्रिक संबंध भी नहीं हैं?

On a five-element set, how many reflexive relations are neither the identity relation nor the universal relation?

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Correct Answer

A. \(2^{20}-2\)

Step 1

Concept

पांच तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। / On a five-element set, the number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).

Step 2

Why this answer is correct

इनमें पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध दोनों शामिल हैं। / This includes the identity relation and the universal relation.

Step 3

Exam Tip

दोनों को हटाने पर \(2^{20}-2\) संबंध बचते हैं। / Removing both gives \(2^{20}-2\).

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Question 132/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (11) युग्म हों?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations contain exactly (11) ordered pairs?

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Correct Answer

A. \(\binom{12}{7}\)

Step 1

Concept

चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Four diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (11) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (11) total pairs, choose (7) non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

(12) अविकर्ण युग्मों में से (7) चुनने के तरीके \(\binom{12}{7}\) हैं। / The number of ways is \(\binom{12}{7}\).

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Question 133/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर एक संबंध में ठीक (18) युग्म हैं और वह प्रतिवर्ती है। अनिवार्य विकर्ण युग्मों के अलावा कितने युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), a relation has exactly (18) pairs and is reflexive. How many pairs are present besides the compulsory diagonal pairs?

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Correct Answer

C. 13

Step 1

Concept

पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

कुल (18) युग्म दिए हैं। / The relation has (18) total pairs.

Step 3

Exam Tip

अविकर्ण या अतिरिक्त युग्म (18-5=13) होंगे। / The additional non-diagonal pairs are (18-5=13).

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Question 134/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(S=\{1,2,3,4\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है, तो (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?

If \(S=\{1,2,3,4\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), how many reflexive relations are possible on (A)?

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Correct Answer

A. \(2^{240}\)

Step 1

Concept

(A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has \(2^4=16\) elements.

Step 2

Why this answer is correct

(A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। / The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).

Step 3

Exam Tip

\(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है। / Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\).

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Question 135/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(समुच्चय (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}) पर (R={(X,Y):X\subset Y\) या X\cap Y=X}) है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

\(On (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}), (R={(X,Y):X\subset Y\) or \(X\cap Y=X}). What is the correct conclusion about (R)\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

विकर्ण पर \(X\subset X\) असत्य है। / On the diagonal, \(X\subset X\) is false.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन \(X\cap X=X\) सत्य है। / But \(X\cap X=X\) is true.

Step 3

Exam Tip

या वाली शर्त में दूसरा भाग सत्य होने से हर ((X,X)) संबंध में आता है। / In the or condition, the second part includes every ((X,X)), so the relation is reflexive.

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Question 136/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (R) में ((a,b)) तभी है जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \((a,b)\in R\) only when (a) and (b) have a common prime factor, is (R) reflexive?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) too.

Step 2

Why this answer is correct

(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा। / The number (1) has no prime factor, so ((1,1)) will not belong to the relation.

Step 3

Exam Tip

एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / Missing even one diagonal pair makes a relation non-reflexive.

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Question 137/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{2,3,4,5,6,7\}\) पर (R) में ((a,b)) तभी है जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

On \(A=\{2,3,4,5,6,7\}\), \((a,b)\in R\) if (a) and (b) have a common prime factor. How many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. 6

Step 1

Concept

(A) का हर तत्व (1) से बड़ा है। / Every element of (A) is greater than (1).

Step 2

Why this answer is correct

हर ऐसे तत्व का कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है, जिसे वह स्वयं के साथ साझा करता है। / Each such element has at least one prime factor, which it shares with itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all (6) diagonal pairs are in the relation.

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Question 138/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(यदि (A={1,2,4,8,16}) और (R={(a,b):\frac{b}{a}\) 2 की पूर्णांक घात है}) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?

\(If (A={1,2,4,8,16}) and (R={(a,b):\frac{b}{a}\) is an integral power of 2}), why is (R) reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\)Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)

Step 1

Concept

विकर्ण पर (b=a) रखें। / On the diagonal, put (b=a).

Step 2

Why this answer is correct

तब \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), जो (2) की पूर्णांक घात है। / Then \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), which is an integral power of (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.

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Question 139/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,6,12}) पर (R={(a,b):a\mid b\) या b\mid a}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का कारण क्या है?

\(On (A={1,2,3,4,6,12}), (R={(a,b):a\mid b\) or \(b\mid a}). What is the reason for (R) being reflexive\)?

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Correct Answer

A. हर (a) स्वयं को विभाजित करता हैEvery (a) divides itself

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) लें। / For reflexivity, take ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

हर (a) के लिए \(a\mid a\) सत्य है, इसलिए या वाली शर्त पूरी हो जाती है। / For every (a), \(a\mid a\) is true, so the or condition is satisfied.

Step 3

Exam Tip

स्वयं से विभाजन प्रतिवर्तिता का सीधा प्रमाण देता है। / Self-divisibility directly proves reflexivity.

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Question 140/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\), how many diagonal pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. 1

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a+b=2a) और \(ab=a^2\) होगा। / On the diagonal, (a+b=2a) and \(ab=a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

शर्त \(2a=a^2\), यानी (a(a-2)=0) बनती है। / The condition becomes \(2a=a^2\), i.e. (a(a-2)=0).

Step 3

Exam Tip

दिए गए समुच्चय में (a=2) ही काम करता है, इसलिए एक विकर्ण युग्म है। / In the given set, only (a=2) works, so there is one diagonal pair.

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Question 141/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

C. 4

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs five diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

विकर्ण शर्त केवल (a=2) पर पूरी होती है। / The diagonal condition holds only for (a=2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore the remaining four diagonal pairs must be added.

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Question 142/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?

If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\), why is (R) reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैंBecause both sides become equal on the diagonal

Step 1

Concept

((a,a)) रखने पर बायां पक्ष \(a^2-a\) और दायां पक्ष भी \(a^2-a\) है। / For ((a,a)), the left side is \(a^2-a\) and the right side is also \(a^2-a\).

Step 2

Why this answer is correct

समान मात्रा हमेशा अपने बराबर होती है। / A quantity is always equal to itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.

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Question 143/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=2ab\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2=2ab\}\). Which statement about (R) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रतिवर्ती हैIt is reflexive

Step 1

Concept

दी गई शर्त \(a^2+b^2=2ab\) को \(a^2-2ab+b^2=0\) लिखा जा सकता है। / Rewrite \(a^2+b^2=2ab\) as \(a^2-2ab+b^2=0\).

Step 2

Why this answer is correct

यह ((a-b)²=0) है, जो (a=b) पर सत्य है। / This is ((a-b)²=0), which is true when (a=b).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation.

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Question 144/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\), is (R) reflexive?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

विकर्ण पर (a=b) रखने से \(a^2+a^2<2a^2\) मिलेगा। / On the diagonal, put (a=b), giving \(a^2+a^2<2a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

यह \(2a^2<2a^2\) है, जो असत्य है। / This becomes \(2a^2<2a^2\), which is false.

Step 3

Exam Tip

कोई विकर्ण युग्म शर्त पूरी नहीं करता, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / No diagonal pair satisfies the condition, so the relation is not reflexive.

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Question 145/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 7 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस तथ्य पर आधारित है?

\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 7}). What fact proves that (R) is reflexive?

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Correct Answer

A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य हैFor every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती जांच के लिए ((a,a)) लें। / To test reflexivity, take ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

तब (a-a=0) होता है, और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero number.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.

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Question 146/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) जहाँ (f(x)=x^-2+2x+1)। (f) आच्छादी फलन कब माना जाएगा?

Let \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) be defined by (f(x)=x^-2+2x+1). When will (f) be considered onto?

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Correct Answer

A. जब सहप्रांत \([0,\infty\)) ही रहेWhen codomain remains \([0,\infty\))

Step 1

Concept

(f(x)=(x+1)²) है इसलिए इसका परिसर \([0,\infty\)) है। / (f(x)=(x+1)²), so its range is \([0,\infty\)).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है इसलिए हर सहप्रांतीय मान का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है। / The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain element is attained.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर उसे सहप्रांत से मिलाएँ। / In exams, first find the range and then compare it with the codomain.

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Question 147/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x^-3-3x), तो (f) के आच्छादी होने के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-3-3x), choose the correct statement about (f) being onto.

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f) आच्छादी है(f) is onto

Step 1

Concept

\(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। / \(x^3-3x\) is an odd degree polynomial.

Step 2

Why this answer is correct

\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.

Step 3

Exam Tip

विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें। / For odd degree continuous polynomials, check end behavior.

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Question 148/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,4]\) को (f(x)=4-(x-2)²) से परिभाषित किया गया है। यह फलन कैसा है?

The function (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,4]\) is defined by (f(x)=4-(x-2)²). What type of function is it?

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Correct Answer

A. आच्छादीOnto

Step 1

Concept

(4-(x-2)²) का अधिकतम मान (4) है। / The maximum value of (4-(x-2)²) is (4).

Step 2

Why this answer is correct

इसका परिसर (\(-\infty,4]\) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is (\(-\infty,4]\), equal to the codomain.

Step 3

Exam Tip

ऊपर या नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष से परिसर जल्दी निकाला जा सकता है। / For a parabola, use the vertex to find the range quickly.

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Question 149/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)) जहाँ (f(x)=x^-2-2x+1), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन सा है?

If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)) where (f(x)=x^-2-2x+1), which option is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f) आच्छादी है(f) is onto

Step 1

Concept

(f(x)=(x-1)²) और \(x\ge1\) है। / (f(x)=(x-1)²) and \(x\ge1\).

Step 2

Why this answer is correct

(x=1) पर (0) मिलता है और (x) बढ़ने पर सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। / At (x=1), the value is (0), and as (x) increases all non-negative values occur.

Step 3

Exam Tip

सीमित प्रांत में उसी प्रांत के अनुसार परिसर निकालें। / For restricted domains, find the range using that exact domain.

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Question 150/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) जहाँ (f(x)=e^x)। (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

Let (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) where (f(x)=e^x). Which statement is correct about (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह आच्छादी हैIt is onto

Step 1

Concept

\(e^x\) का मान हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always positive.

Step 2

Why this answer is correct

हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every (y>0), taking \(x=\ln y\) gives (f(x)=y).

Step 3

Exam Tip

घातीय फलन में सहप्रांत यदि (\(0,\infty\)) हो तो आच्छादिता तुरंत जाँची जा सकती है। / For exponential functions, codomain (\(0,\infty\)) makes onto verification direct.

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Question 151/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ \(f(x)=e^x\), क्यों आच्छादी नहीं है?

Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where \(f(x)=e^x\), not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं हैंBecause negative real numbers are not images

Step 1

Concept

\(e^x\) का परिसर \((0,\infty)\) होता है। / The range of \(e^x\) is \((0,\infty)\).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है लेकिन (-1) जैसे मान कभी नहीं मिलते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), but values like (-1) are never attained.

Step 3

Exam Tip

एक भी सहप्रांतीय मान छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If even one codomain element is missed, the function is not onto.

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Question 152/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) जहाँ (f(x)=\sin x), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) where (f(x)=\sin x), what is the correct statement about (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं(f) is onto but not one-one

Step 1

Concept

\(\sin x\) का परिसर ([-1,1]) है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत भी ([-1,1]) है इसलिए फलन आच्छादी है। / The codomain is also ([-1,1]), so the function is onto.

Step 3

Exam Tip

\(\sin x\) आवर्ती है इसलिए अलग-अलग (x) पर समान मान आ सकते हैं। / Since \(\sin x\) is periodic, different inputs can give the same output.

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Question 153/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) जहाँ \(f(x)=\sin x\), किस प्रकार का है?

The function \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\), where \(f(x)=\sin x\), is of which type?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादी दोनोंBoth one-one and onto

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given domain, \(\sin x\) is strictly increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इसका परिसर ([-1,1]) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is ([-1,1]), equal to the codomain.

Step 3

Exam Tip

सीमित अंतराल पर त्रिकोणमितीय फलन की एकरसता और परिसर दोनों जाँचें। / On restricted trigonometric intervals, check both monotonicity and range.

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Question 154/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) जहाँ (f(x)=\cos x), तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), where (f(x)=\cos x), which statement is correct about (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों हैIt is both one-one and onto

Step 1

Concept

\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। / \(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.

Step 3

Exam Tip

घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी। / A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain.

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Question 155/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ \(f(x)=\tan^{-1}x\), आच्छादी क्यों नहीं है?

Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where \(f(x)=\tan^{-1}x\), not onto?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) हैBecause its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)

Step 1

Concept

\(\tan^{-1}x\) का मान केवल \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में आता है। / Values of \(\tan^{-1}x\) lie only in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ छूट जाती हैं। / The codomain is \(\mathbb{R}\), so many real values are missed.

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मानों की सीमा याद रखें। / Remember the principal range of inverse trigonometric functions.

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Question 156/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) जहाँ \(f(x)=\tan^{-1}x\), तो सही निष्कर्ष क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), where \(f(x)=\tan^{-1}x\), what is the correct conclusion?

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Correct Answer

A. (f) एकैकी और आच्छादी है(f) is one-one and onto

Step 1

Concept

\(\tan^{-1}x\) सख्ती से बढ़ता है इसलिए एकैकी है। / \(\tan^{-1}x\) is strictly increasing, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), equal to the codomain.

Step 3

Exam Tip

सही सहप्रांत चुनने पर कई फलन आच्छादी बन जाते हैं। / Choosing the exact range as codomain often makes a function onto.

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Question 157/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) जहाँ (f(n)=2n+1), आच्छादी है या नहीं?

Is the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), where (f(n)=2n+1), onto or not?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैंNo because only odd integers are obtained

Step 1

Concept

(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers, which are not images.

Step 3

Exam Tip

पूर्णांकों पर आच्छादिता में सम-विषम जाँच बहुत उपयोगी है। / For integer functions, parity checks are very useful for onto questions.

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Question 158/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

\(यदि (f:\mathbb{Z}\to{y\in\mathbb{Z}:y\) विषम है\(}) जहाँ (f(n)=2n+1), तो (f) कैसा है\)?

\(If (f:\mathbb{Z}\to{y\in\mathbb{Z}:y\) is odd\(}), where (f(n)=2n+1), what type is (f)\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. आच्छादीOnto

Step 1

Concept

(f(n)=2n+1) सभी विषम पूर्णांक देता है। / (f(n)=2n+1) gives all odd integers.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी विषम (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है। / For any odd (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer.

Step 3

Exam Tip

लक्ष्य समुच्चय को ठीक परिसर के बराबर करने से आच्छादिता सिद्ध होती है। / Onto is proved when every target element has a preimage.

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Question 159/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) जहाँ (f(n)=n+3), आच्छादी क्यों नहीं है?

Why is \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), where (f(n)=n+3), not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि (1,2,3) प्रतिबिंब नहीं हैंBecause (1,2,3) are not images

Step 1

Concept

\(n\in\mathbb{N}\) होने पर (f(n)\ge4) है। / For \(n\in\mathbb{N}\), (f(n)\ge4).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1,2,3) भी हैं, पर वे नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1,2,3), but they are not attained.

Step 3

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं वाले फलन में सबसे छोटे मान से आच्छादिता जाँचें। / For natural number functions, check the smallest possible image.

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Question 160/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{N}\to{n\in\mathbb{N}:n\ge4}\) जहाँ (f(n)=n+3), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{N}\to{n\in\mathbb{N}:n\ge4}\), where (f(n)=n+3), choose the correct statement about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह आच्छादी हैIt is onto

Step 1

Concept

(f(n)=n+3) का पहला मान (4) है। / The first value of (f(n)=n+3) is (4).

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\ge4\) के लिए (n=y-3) प्राकृतिक संख्या है। / For every \(y\ge4\), (n=y-3) is a natural number.

Step 3

Exam Tip

आच्छादिता में (y) लेकर उसका पूर्वप्रतिबिंब निकालना मजबूत तरीका है। / In onto proofs, take an arbitrary (y) and find its preimage.

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Question 161/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\)। (A) से (B) में कोई आच्छादी फलन संभव है या नहीं?

Let \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\). Is an onto function from (A) to (B) possible?

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Correct Answer

A. नहीं क्योंकि प्रांत में तत्व कम हैंNo because the domain has fewer elements

Step 1

Concept

आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be hit at least once.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ प्रांत में (3) और सहप्रांत में (4) तत्व हैं, इसलिए चारों तत्वों को ढकना असंभव है। / Here the domain has (3) elements and the codomain has (4), so covering all four elements is impossible.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चयों में पहले तत्वों की संख्या देखें। / For finite sets, first compare the number of elements.

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Question 162/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि (A) और (B) दोनों में (4) तत्व हैं, तो (A) से (B) पर आच्छादी फलनों की संख्या कितनी है?

If both (A) and (B) have (4) elements, how many onto functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (24)

Step 1

Concept

समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन अपने आप एकैकी भी होगा। / For finite sets with equal size, an onto function is automatically one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ऐसे फलन द्वयात्मक हैं और उनकी संख्या (4!) है। / Hence such functions are bijections, counted by (4!).

Step 3

Exam Tip

(4!=24), समान आकार पर आच्छादी गिनती में क्रमचय याद रखें। / (4!=24); for equal finite sizes, onto counting becomes permutation counting.

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Question 163/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि (A) में (3) तत्व और (B) में (2) तत्व हैं, तो (A) से (B) पर आच्छादी फलनों की संख्या चुनिए।

If (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, choose the number of onto functions from (A) to (B).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (6)

Step 1

Concept

कुल फलन \(2^3=8\) हैं। / Total functions are \(2^3=8\).

Step 2

Why this answer is correct

आच्छादी नहीं होने वाले वे (2) फलन हैं जिनमें सभी तत्व एक ही सहप्रांतीय तत्व पर जाएँ। / The non-onto functions are the (2) constant functions.

Step 3

Exam Tip

आच्छादी फलन (8-2=6) हैं, छोटे समुच्चयों में छूटे हुए फलन घटाएँ। / Onto functions are (8-2=6); for small sets, subtract the missed cases.

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Question 164/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:A\to B\) आच्छादी है और \(g:B\to C\) आच्छादी है। \(g\circ f:A\to C\) के बारे में सही कथन क्या है?

Let \(f:A\to B\) be onto and \(g:B\to C\) be onto. What is correct about \(g\circ f:A\to C\)?

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Correct Answer

A. \(g\circ f\) आच्छादी है\(g\circ f\) is onto

Step 1

Concept

(C) के किसी भी (z) को लें। / Take any \(z\in C\).

Step 2

Why this answer is correct

(g) आच्छादी है इसलिए कोई \(y\in B\) है जिसके लिए (g(y)=z), और (f) आच्छादी है इसलिए कोई \(x\in A\) है जिसके लिए (f(x)=y)। / Since (g) is onto, (g(y)=z) for some \(y\in B\), and since (f) is onto, (f(x)=y) for some \(x\in A\).

Step 3

Exam Tip

तब (\(g\circ f\)(x)=z), इसलिए संयोजन भी आच्छादी है। / Thus (\(g\circ f\)(x)=z), so the composition is onto.

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Question 165/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(g\circ f:A\to C\) आच्छादी है, तो \(g:B\to C\) के बारे में कौन सा निष्कर्ष निश्चित है?

If \(g\circ f:A\to C\) is onto, what conclusion about \(g:B\to C\) is certain?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (g) आच्छादी है(g) is onto

Step 1

Concept

\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर तत्व (\(g\circ f\)(x)) के रूप में मिलता है। / Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is (\(g\circ f\)(x)) for some (x).

Step 2

Why this answer is correct

(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), इसलिए वही तत्व (g) के द्वारा भी प्राप्त होता है। / But (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), so that element is attained by (g).

Step 3

Exam Tip

संयोजन आच्छादी हो तो बाहरी फलन (g) अवश्य आच्छादी होता है। / If the composition is onto, the outer function must be onto.

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Question 166/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(g\circ f\) आच्छादी है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सत्य नहीं है?

If \(g\circ f\) is onto, which statement about (f) is not always true?

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Correct Answer

A. (f) आच्छादी है(f) is onto

Step 1

Concept

\(g\circ f\) आच्छादी होने से (g) का आच्छादी होना निश्चित है। / If \(g\circ f\) is onto, (g) must be onto.

Step 2

Why this answer is correct

पर (f) पूरे (B) को ढके यह जरूरी नहीं, क्योंकि (g) को (C) ढकने के लिए (B) के सभी तत्वों की जरूरत नहीं हो सकती। / But (f) need not cover all of (B), because (g) may cover (C) using only part of (B).

Step 3

Exam Tip

संयोजन के निष्कर्ष में भीतरी और बाहरी फलन की भूमिका अलग रखें। / In composition questions, keep the roles of inner and outer functions separate.

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Question 167/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=ax+b)। (f) आच्छादी होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त क्या है?

Let \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=ax+b). What is the necessary and sufficient condition for (f) to be onto?

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Correct Answer

A. \(a\ne0\)

Step 1

Concept

यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / Hence every (y) has a preimage.

Step 3

Exam Tip

रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function on \(\mathbb{R}\) is onto when its slope is non-zero.

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Question 168/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=k x^-2+1), तो किस स्थिति में (f) आच्छादी हो सकता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=k x^-2+1), under which condition can (f) be onto?

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Correct Answer

A. किसी भी वास्तविक (k) के लिए नहींFor no real (k)

Step 1

Concept

यदि (k>0), तो मान (1) से बड़े या बराबर हैं। / If (k>0), values are at least (1).

Step 2

Why this answer is correct

यदि (k<0), तो मान (1) से छोटे या बराबर हैं, और (k=0) पर फलन स्थिर है। / If (k<0), values are at most (1), and if (k=0), the function is constant.

Step 3

Exam Tip

किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं मिलता, इसलिए आच्छादी नहीं हो सकता। / In no case does the range become all of \(\mathbb{R}\), so it cannot be onto.

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Question 169/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)) जहाँ (f(x)=x^-2+2), क्या आच्छादी है?

Is \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), where (f(x)=x^-2+2), onto?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+2\ge2\)। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2+2\ge2\).

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), taking \(x=\sqrt{y-2}\) gives (f(x)=y).

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाले फलन में न्यूनतम मान से परिसर पहचानें। / For square functions, identify the minimum value to get the range.

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Question 170/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) जहाँ (f(x)=\sqrt{x}), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), where (f(x)=\sqrt{x}), why is (f) not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलतेBecause negative real values are not attained

Step 1

Concept

\(\sqrt{x}\) का मान हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है। / \(\sqrt{x}\) is always non-negative.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative values, which are not attained.

Step 3

Exam Tip

मूल फलन में परिसर \([0,\infty\)) याद रखें। / Remember that the range of the square root function is \([0,\infty\)).

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Question 171/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) जहाँ (f(x)=\sqrt{x}), किस प्रकार का है?

The function \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), where (f(x)=\sqrt{x}), is of which type?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

\(\sqrt{x}\) \([0,\infty\)) पर बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(\sqrt{x}\) is increasing on \([0,\infty\)), so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), choose \(x=y^2\), then (f(x)=y).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम जैसी सोच से आच्छादिता जल्दी सिद्ध होती है। / Thinking through the inverse helps prove onto quickly.

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Question 172/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) जहाँ (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), where (f(x)=\frac{1}{x}), choose the correct statement about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f) एकैकी और आच्छादी है(f) is one-one and onto

Step 1

Concept

\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता और प्रांत में (0) नहीं है। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), and (0) is excluded from the domain.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(y\ne0\) के लिए \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\ne0\), choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives (f(x)=y).

Step 3

Exam Tip

व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (y) से (x) निकालकर जाँचें। / For reciprocal functions, solve for (x) in terms of (y).

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Question 173/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\) जहाँ (f(x)=\frac{x}{x+1}), क्या आच्छादी है?

Is \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), where (f(x)=\frac{x}{x+1}), onto?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

\(y=\frac{x}{x+1}\) मानें। / Let \(y=\frac{x}{x+1}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x+1)=x) से \(x=\frac{y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है। / From (y(x+1)=x), we get \(x=\frac{y}{1-y}\), defined for \(y\ne1\).

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत से (1) हटाया गया है, इसलिए हर सहप्रांतीय (y) का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है। / Since (1) is excluded from the codomain, every codomain value has a preimage.

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Question 174/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=\frac{x}{x+1}), तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=\frac{x}{x+1}), why is it not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि (1) कभी नहीं मिलताBecause (1) is never attained

Step 1

Concept

\(\frac{x}{x+1}=1\) रखने पर (x=x+1) मिलता है, जो असंभव है। / Setting \(\frac{x}{x+1}=1\) gives (x=x+1), which is impossible.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (1) परिसर में नहीं है जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। / So (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).

Step 3

Exam Tip

परिमेय फलन में जो मान असंभव हो उसे पहचानना जरूरी है। / In rational functions, identify the impossible output value.

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Question 175/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to(0,1)\) जहाँ \(f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\), आच्छादी है या नहीं?

Is \(f:\mathbb{R}\to(0,1)\), where \(f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\), onto or not?

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Correct Answer

A. हाँ आच्छादी हैYes it is onto

Step 1

Concept

इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच होता है। / The function value is always between (0) and (1).

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी (0<y<1) के लिए समीकरण हल करने पर \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) मिलता है। / For any (0<y<1), solving gives \(x=\ln\frac{y}{1-y}\).

Step 3

Exam Tip

खुला अंतराल सहप्रांत हो तो सिरों को न जोड़ें। / When the codomain is an open interval, endpoints need not be attained.

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Question 176/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\) जहाँ (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), तो सही निष्कर्ष क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\), where (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), what is the correct conclusion?

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Correct Answer

A. यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) और (1) नहीं मिलतेIt is not onto because (0) and (1) are not attained

Step 1

Concept

फलन के मान (0) और (1) के बीच रहते हैं। / The function values lie between (0) and (1).

Step 2

Why this answer is correct

(0) या (1) किसी वास्तविक (x) पर नहीं मिलता, पर वे सहप्रांत में शामिल हैं। / Neither (0) nor (1) is attained for any real (x), but both are in the codomain.

Step 3

Exam Tip

खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादिता में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed intervals is crucial in onto questions.

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Question 177/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:\mathbb{R}\to[-1,\infty\)) जहाँ (f(x)=x^-2+2x)। (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

Let \(f:\mathbb{R}\to[-1,\infty\)), where (f(x)=x^-2+2x). Which statement is correct about (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f) आच्छादी है(f) is onto

Step 1

Concept

(x^-2+2x=(x+1)²-1)। / (x^-2+2x=(x+1)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

इसका न्यूनतम मान (-1) है और परिसर \([-1,\infty\)) है। / The minimum value is (-1), and the range is \([-1,\infty\)).

Step 3

Exam Tip

वर्ग पूर्ण करके परिसर निकालना आच्छादिता के लिए सबसे साफ तरीका है। / Completing the square is a clean method to test onto for quadratics.

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Question 178/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:[-1,\infty\)\to[-1,\infty)) जहाँ (f(x)=x^-2+2x), तो यह आच्छादी है या नहीं?

If \(f:[-1,\infty\)\to[-1,\infty)), where (f(x)=x^-2+2x), is it onto or not?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(f(x)=(x+1)²-1) और \(x\ge-1\) है। / (f(x)=(x+1)²-1) and \(x\ge-1\).

Step 2

Why this answer is correct

(x=-1) पर (-1) मिलता है और (x) बढ़ने पर सभी बड़े मान मिलते हैं। / At (x=-1), the value is (-1), and as (x) increases all larger values occur.

Step 3

Exam Tip

प्रांत को देखकर परवलय का सही भाग चुनें। / Use the domain to select the correct branch of the parabola.

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Question 179/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=|x|+x), आच्छादी क्यों नहीं है?

Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=|x|+x), not onto?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलतेBecause negative values are not attained

Step 1

Concept

यदि (x<0), तो (|x|+x=-x+x=0)। / If (x<0), then (|x|+x=-x+x=0).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(x\ge0\), तो (|x|+x=2x), इसलिए मान गैरऋणात्मक हैं। / If \(x\ge0\), then (|x|+x=2x), so values are non-negative.

Step 3

Exam Tip

खंडों में परिभाषित व्यवहार से परिसर निकालें। / Use piecewise behavior to find the range.

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Question 180/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) जहाँ (f(x)=|x|+x), तो (f) आच्छादी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), where (f(x)=|x|+x), is (f) onto or not?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ आच्छादी हैYes it is onto

Step 1

Concept

फलन का परिसर \([0,\infty\)) है। / The range of the function is \([0,\infty\)).

Step 2

Why this answer is correct

\(y\ge0\) के लिए \(x=\frac{y}{2}\) लेने पर (f(x)=y) मिल जाता है। / For \(y\ge0\), choose \(x=\frac{y}{2}\), then (f(x)=y).

Step 3

Exam Tip

जिस शाखा से पूरा सहप्रांत ढकता हो, उसे पूर्वप्रतिबिंब बनाने में इस्तेमाल करें। / Use the branch that covers the whole codomain to build the preimage.

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Question 181/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) जहाँ (f(x)=|x-3|)। क्या (f) आच्छादी है?

Let \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), where (f(x)=|x-3|). Is (f) onto?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(|x-3|) का न्यूनतम मान (0) है। / The minimum value of (|x-3|) is (0).

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\ge0\) के लिए (x=3+y) लेने पर (|x-3|=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), choosing (x=3+y) gives (|x-3|=y).

Step 3

Exam Tip

परिमाण फलन में दूरी की व्याख्या से परिसर सरल बनता है। / For modulus functions, distance interpretation makes the range easy.

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Question 182/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=|x-3|), आच्छादी क्यों नहीं है?

Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=|x-3|), not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलतेBecause negative values are not attained

Step 1

Concept

परिमाण का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / An absolute value is never negative.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे मान हैं, जो (f(x)) नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-1), which cannot be (f(x)).

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत बड़ा होने पर आच्छादिता टूट सकती है। / A too-large codomain can make a function non-onto.

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Question 183/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x^-3+1), तो (f) के लिए कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x^-3+1), which statement is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f) एकैकी और आच्छादी है(f) is one-one and onto

Step 1

Concept

\(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। / \(x^3\) takes all real values.

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। / \(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.

Step 3

Exam Tip

घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता। / A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\).

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Question 184/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x^-3+x), आच्छादी होने का सही कारण क्या है?

What is the correct reason that \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x^-3+x), is onto?

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Correct Answer

A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता हैIt is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)

Step 1

Concept

\(x^3+x\) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित और सतत है। / \(x^3+x\) is defined and continuous for all real (x).

Step 2

Why this answer is correct

\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).

Step 3

Exam Tip

सततता और सिरों का व्यवहार मिलकर \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता दिखाते हैं। / Continuity plus end behavior shows onto over \(\mathbb{R}\).

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Question 185/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x^-4+x^-2), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x^-4+x^-2), why is (f) not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलतेBecause negative values are not attained

Step 1

Concept

\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\) हैं। / \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(x)\ge0), अतः कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं है। / Therefore (f(x)\ge0), so no negative real number is an image.

Step 3

Exam Tip

सम घातों के योग में न्यूनतम और परिसर पर ध्यान दें। / For sums of even powers, focus on the minimum value and range.

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Question 186/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) जहाँ (f(x)=x^-4+x^-2), क्या आच्छादी है?

Is \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), where (f(x)=x^-4+x^-2), onto?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

\(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है। / The minimum value of \(x^4+x^2\) is (0).

Step 2

Why this answer is correct

\(t=x^2\ge0\) रखने पर \(f=t^2+t\), जो \(t\ge0\) पर (0) से \(\infty\) तक लगातार बढ़ता है। / Put \(t=x^2\ge0\); then \(f=t^2+t\), increasing continuously from (0) to \(\infty\).

Step 3

Exam Tip

कठिन बहुपद में सहायक चर रखकर परिसर निकालें। / Use a helper variable to find the range of difficult polynomials.

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Question 187/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:[-2,2]\to[0,4]\) जहाँ (f(x)=x^-2)। (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Let \(f:[-2,2]\to[0,4]\), where (f(x)=x^-2). Which statement is correct about (f)?

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Correct Answer

A. आच्छादी है लेकिन एकैकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

([-2,2]) पर \(x^2\) का परिसर ([0,4]) है। / On ([-2,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत बराबर है इसलिए आच्छादी है, पर (f(-1)=f(1)) होने से एकैकी नहीं। / The codomain is the same, so it is onto, but (f(-1)=f(1)), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

सम फलन में समान मान वाले दो (x) मिल सकते हैं। / Even functions often give equal outputs for different inputs.

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Question 188/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:[0,2]\to[0,4]\) जहाँ (f(x)=x^-2), तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,2]\to[0,4]\), where (f(x)=x^-2), what type is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

([0,2]) पर \(x^2\) लगातार बढ़ता है। / On ([0,2]), \(x^2\) is strictly increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इसका परिसर ([0,4]) है, जो सहप्रांत से मेल खाता है। / Its range is ([0,4]), matching the codomain.

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन को धनात्मक भाग पर सीमित करने से वह द्वयात्मक बन सकता है। / Restricting the square function to the non-negative branch can make it bijective.

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Question 189/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=\lfloor x\rfloor), आच्छादी है या नहीं?

Is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=\lfloor x\rfloor), onto or not?

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Correct Answer

A. नहीं क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैंNo because only integer values are attained

Step 1

Concept

\(\lfloor x\rfloor\) सदैव पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैरपूर्णांक भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers like \(\frac{1}{2}\), which are not attained.

Step 3

Exam Tip

परिभाषित होना और आच्छादी होना अलग बातें हैं। / Being defined everywhere and being onto are different ideas.

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Question 190/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) जहाँ (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो क्या (f) आच्छादी है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), where (f(x)=\lfloor x\rfloor), is (f) onto?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choose (x=n), then \(\lfloor x\rfloor=n\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए हर पूर्णांक सहप्रांतीय तत्व का पूर्वप्रतिबिंब है। / So every integer in the codomain has a preimage.

Step 3

Exam Tip

तल फलन \(\mathbb{Z}\) सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\).

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Question 191/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) जहाँ (f(x)=\lceil x\rceil)। (f) के लिए सही कथन चुनिए।

Let \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), where (f(x)=\lceil x\rceil). Choose the correct statement for (f).

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Correct Answer

A. (f) आच्छादी है(f) is onto

Step 1

Concept

\(\lceil x\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) always gives an integer.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lceil x\rceil=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choosing (x=n) gives \(\lceil x\rceil=n\).

Step 3

Exam Tip

छत फलन के लिए सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक ढक जाता है। / For the ceiling function, codomain \(\mathbb{Z}\) is fully covered.

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Question 192/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=\frac{x^-2}{1+x^-2}), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=\frac{x^-2}{1+x^-2}), why is (f) not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि इसका परिसर ([0,1)) हैBecause its range is ([0,1))

Step 1

Concept

\(x^2\ge0\), इसलिए मान (0) या उससे बड़ा है। / Since \(x^2\ge0\), the value is at least (0).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\), इसलिए (1) और उससे बड़े मान नहीं मिलते। / Also \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\), so (1) and larger values are not attained.

Step 3

Exam Tip

भिन्न में अंश-हर की तुलना से परिसर समझें। / Compare numerator and denominator to understand the range.

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Question 193/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)) जहाँ (f(x)=\frac{x^-2}{1+x^-2}), क्या आच्छादी है?

Is \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), where (f(x)=\frac{x^-2}{1+x^-2}), onto?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

इसका परिसर ([0,1)) है। / Its range is ([0,1)).

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(0\le y<1\) के लिए \(x^2=\frac{y}{1-y}\) संभव है, इसलिए कोई वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any \(0\le y<1\), \(x^2=\frac{y}{1-y}\) is possible, so a real (x) exists.

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाले समीकरण में दायाँ पक्ष गैरऋणात्मक हो तो वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब मिल सकता है। / In equations involving \(x^2\), a non-negative right side gives real preimages.

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Question 194/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है और (B) का कोई तत्व (b) है, तो आच्छादिता की सबसे सही व्याख्या कौन सी है?

If \(f:A\to B\) is onto and (b) is an element of (B), which is the best explanation of onto behavior?

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Correct Answer

A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b)There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)

Step 1

Concept

आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। / Onto means no element of the codomain is left out.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। / Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.

Step 3

Exam Tip

आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है। / An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition.

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Question 195/195 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 27

मान लीजिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x^-3-6x^-2+12x-5)। (f) के आच्छादी होने के बारे में सही कथन चुनिए।

Let \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x^-3-6x^-2+12x-5). Choose the correct statement about (f) being onto.

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Correct Answer

A. (f) आच्छादी है(f) is onto

Step 1

Concept

(x^-3-6x^-2+12x-5=(x-2)³+3) लिखा जा सकता है। / We can write (x^-3-6x^-2+12x-5=(x-2)³+3).

Step 2

Why this answer is correct

((x-2)³) सभी वास्तविक मान लेता है, इसलिए ((x-2)³+3) भी सभी वास्तविक मान लेता है। / Since ((x-2)³) takes all real values, ((x-2)³+3) also takes all real values.

Step 3

Exam Tip

घन फलन में क्षैतिज या ऊर्ध्व स्थानांतरण होने पर भी \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता बनी रहती है। / A horizontal or vertical shift of a cubic still remains onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Reflexive relation Expert Quiz

\(मान लें (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) सम है})। इस संबंध को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कम-से-कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a-b\) 3 से विभाज्य है}) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{0,1,2,3\}\) और \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) है, तो (R) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

\(समुच्चय (A={2,4,6,8}) पर (R={(a,b):a\) b को विभाजित करता है}) दिया है। (R) प्रतिवर्ती क्यों है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3)\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कौन-सा युग्म जोड़ना आवश्यक है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq 1\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|<0\}\) है। (R) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a+b\leq 6\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\geq 2a\}\) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=A\times A-{(2,2)}\) है, तो सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय (A) में (n) तत्व हैं। (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हों?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

तीन तत्वों वाले समुच्चय (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

चार तत्वों वाले समुच्चय पर कितने संबंध प्रतिवर्ती नहीं होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ठीक (10) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ठीक (9) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ठीक (5) युग्मों वाला प्रतिवर्ती संबंध कितने तरीकों से बनाया जा सकता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) प्रतिवर्ती संबंध है, तो (R) में न्यूनतम कितने युग्म होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip