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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि वास्तविक संख्याओं पर संक्रिया (ab=a+b+ab) से परिभाषित है, तो (25) का मान क्या होगा?

If an operation on real numbers is defined by (a*b=a+b+ab), what is the value of (2*5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (17)

Step 1

Concept

नियम में (a=2) और (b=5) रखें। / Put (a=2) and (b=5) in the rule.

Step 2

Why this answer is correct

\(2*5=2+5+2\cdot 5=17\)। / \(2*5=2+5+2\cdot 5=17\).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में गुणन वाले पद को छोड़ना सबसे सामान्य गलती होती है। / In such questions, do not miss the product term.

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Question 2/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(ab=a^2+2b\) है, तो (34) का मान क्या होगा?

If \(a*b=a^2+2b\), what is the value of (3*4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (17)

Step 1

Concept

पहले नियम में पहले अवयव का वर्ग लेना है। / The rule first requires the square of the first element.

Step 2

Why this answer is correct

(3*4=3²+2(4)=9+8=17)। / (3*4=3²+2(4)=9+8=17).

Step 3

Exam Tip

वर्ग और गुणा को जोड़ से पहले पूरा करें। / Complete powers and multiplication before addition.

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Question 3/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=2a-b) है, तो ((52)*3) का मान क्या होगा?

If (a*b=2a-b), what is the value of ((5*2)*3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (13)

Step 1

Concept

पहले (5*2=2(5)-2=8) निकालें। / First find (5*2=2(5)-2=8).

Step 2

Why this answer is correct

फिर (8*3=2(8)-3=13)। / Then (8*3=2(8)-3=13).

Step 3

Exam Tip

कोष्ठक में दी गई संक्रिया हमेशा पहले करें। / Always perform the operation inside the brackets first.

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Question 4/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=2a-b) है, तो (5(2*3)) का मान क्या होगा?

If (a*b=2a-b), what is the value of (5*(2*3))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (11)

Step 1

Concept

पहले (2*3=2(2)-3=1) मिलेगा। / First (2*3=2(2)-3=1).

Step 2

Why this answer is correct

अब (5*1=2(5)-1=9)। / Now (5*1=2(5)-1=9).

Step 3

Exam Tip

यदि विकल्पों में भ्रम हो तो हर मध्य मान साफ लिखें। / Write every intermediate value clearly to avoid option confusion.

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Question 5/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b=\max(a,b)) दिया है। इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव कौन सा है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b=\max(a,b)) is given. What is the identity element for this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) पर होना चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) must hold for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

(0) सबसे छोटा अवयव है, इसलिए (\max(a,0)=a)। / (0) is the smallest element, so (\max(a,0)=a).

Step 3

Exam Tip

अधिकतम वाली संक्रिया में सबसे छोटा अवयव तत्समक होता है। / For a maximum operation, the smallest element is the identity.

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Question 6/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b=\min(a,b)) दिया है। तत्समक अवयव क्या होगा?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b=\min(a,b)) is given. What will be the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (3)

Step 1

Concept

(\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / We need (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

(3) सबसे बड़ा अवयव है, इसलिए (\min(a,3)=a)। / (3) is the greatest element, so (\min(a,3)=a).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम वाली संक्रिया में सबसे बड़ा अवयव तत्समक होता है। / For a minimum operation, the greatest element is the identity.

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Question 7/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-3) है, तो तत्समक अवयव (e) कौन सा है?

If (a*b=a+b-3), what is the identity element (e)?

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Correct Answer

C. (3)

Step 1

Concept

तत्समक के लिए (a*e=a) लिखें। / For identity, write (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-3=a) से (e=3) मिलता है। / From (a+e-3=a), we get (e=3).

Step 3

Exam Tip

दोनों ओर से (a) हटाकर स्थिर पद से (e) निकालें। / Cancel (a) from both sides and solve using the constant term.

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Question 8/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-3) में तत्समक अवयव (3) है, तो (7) का प्रतिलोम क्या होगा?

If the identity element is (3) for (a*b=a+b-3), what is the inverse of (7)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

प्रतिलोम (x) के लिए (7*x=3) होना चाहिए। / For inverse (x), (7*x=3) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

(7+x-3=3) से (x=-1) मिलता है। / (7+x-3=3) gives (x=-1).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक अवयव के बराबर रखें। / While finding inverse, set the result equal to the identity element.

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Question 9/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+ab) है, तो इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा है?

If (a*b=a+b+ab), what is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e+ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), so (a+e+ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1+a)=0) है और (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। / This gives (e(1+a)=0), and (e=0) works for every (a).

Step 3

Exam Tip

मिले हुए (e) को (e*a) में भी जल्दी जाँच लें। / Quickly check the value in (e*a) also.

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Question 10/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (2) का प्रतिलोम क्या होगा?

If the identity element is (0) for (a*b=a+b+ab), what is the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(-\frac{2}{3}\)

Step 1

Concept

प्रतिलोम (x) के लिए (2*x=0) होना चाहिए। / For inverse (x), (2*x=0) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

(2+x+2x=0) से (3x=-2) और \(x=-\frac{2}{3}\)। / (2+x+2x=0) gives (3x=-2), so \(x=-\frac{2}{3}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में सभी पदों को एक तरफ लाकर सरल समीकरण बनाएं। / Bring all terms to one side and solve a simple equation.

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Question 11/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+2ab) है, तो तत्समक अवयव कौन सा है?

If (a*b=a+b+2ab), what is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) लिखने पर (a+e+2ae=a) मिलता है। / Writing (a*e=a) gives (a+e+2ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

(e(1+2a)=0) से (e=0) हर (a) के लिए सही है। / (e(1+2a)=0), so (e=0) works for every (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव किसी एक (a) के लिए नहीं, हर (a) के लिए होना चाहिए। / An identity element must work for every (a), not just one value.

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Question 12/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+2ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (1) का प्रतिलोम क्या होगा?

If the identity element is (0) for (a*b=a+b+2ab), what is the inverse of (1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(-\frac{1}{3}\)

Step 1

Concept

प्रतिलोम (x) के लिए (1*x=0) चाहिए। / For inverse (x), we need (1*x=0).

Step 2

Why this answer is correct

(1+x+2x=0) से (3x=-1) और \(x=-\frac{1}{3}\)। / (1+x+2x=0) gives (3x=-1), so \(x=-\frac{1}{3}\).

Step 3

Exam Tip

समान चर वाले पदों को जोड़कर समीकरण हल करें। / Combine like terms and solve the equation carefully.

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Question 13/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया बंद है?

On integers, (a*b=a+b+1) is defined. Is this operation closed?

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Correct Answer

A. हाँ क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक हैYes because the result is always an integer

Step 1

Concept

दो पूर्णांकों का योग पूर्णांक होता है। / The sum of two integers is an integer.

Step 2

Why this answer is correct

उसमें (1) जोड़ने पर भी परिणाम पूर्णांक ही रहता है। / Adding (1) still gives an integer.

Step 3

Exam Tip

बंदता में केवल यह देखें कि परिणाम उसी समुच्चय में रहता है या नहीं। / For closure, only check whether the result stays in the same set.

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Question 14/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a-b) दिया है। कौन सा उदाहरण बंदता को गलत सिद्ध करता है?

On natural numbers, (a*b=a-b) is given. Which example disproves closure?

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Correct Answer

B. (2*5=-3)

Step 1

Concept

प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या नहीं आती। / Negative numbers are not natural numbers.

Step 2

Why this answer is correct

(2*5=2-5=-3), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / (2*5=2-5=-3), which is not a natural number.

Step 3

Exam Tip

बंदता गलत सिद्ध करने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण काफी है। / One valid counterexample is enough to disprove closure.

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Question 15/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

परिमेय संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह संक्रिया बंद क्यों है?

On rational numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is given. Why is this operation closed?

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Correct Answer

A. क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का औसत परिमेय होता हैBecause the average of two rational numbers is rational

Step 1

Concept

दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। / The sum of two rational numbers is rational.

Step 2

Why this answer is correct

किसी परिमेय संख्या को (2) से भाग देने पर भी परिमेय संख्या मिलती है। / Dividing a rational number by (2) also gives a rational number.

Step 3

Exam Tip

औसत वाले नियम में परिमेय संख्याओं पर बंदता सुरक्षित रहती है। / An average-based rule remains closed on rational numbers.

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Question 16/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?

On real numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is given. Is this operation commutative?

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Correct Answer

A. हाँ क्योंकि (a+b=b+a)Yes because (a+b=b+a)

Step 1

Concept

\(a*b=\frac{a+b}{2}\) और \(b*a=\frac{b+a}{2}\) है। / \(a*b=\frac{a+b}{2}\) and \(b*a=\frac{b+a}{2}\).

Step 2

Why this answer is correct

(a+b=b+a), इसलिए दोनों बराबर हैं। / Since (a+b=b+a), both are equal.

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता में दोनों क्रमों के मानों की तुलना करें। / For commutativity, compare the values in both orders.

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Question 17/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है, तो क्या यह संक्रिया साहचर्य है?

If \(a*b=\frac{a+b}{2}\), is this operation associative?

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Correct Answer

B. नहीं सामान्यतः नहींNo generally not

Step 1

Concept

(1*3=2), इसलिए ((1*3)*5=2*5=\frac{7}{2})। / (1*3=2), so ((1*3)*5=2*5=\frac{7}{2}).

Step 2

Why this answer is correct

(3*5=4), इसलिए (1*(3*5)=1*4=\frac{5}{2})। / (3*5=4), so (1*(3*5)=1*4=\frac{5}{2}).

Step 3

Exam Tip

दोनों मान अलग हैं, इसलिए संक्रिया सामान्यतः साहचर्य नहीं है। / The two values are different, so the operation is generally not associative.

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Question 18/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-ab) है, तो (0) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (a*b=a+b-ab), which statement about (0) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0) तत्समक अवयव है(0) is the identity element

Step 1

Concept

\(a*0=a+0-a\cdot 0=a\)। / \(a*0=a+0-a\cdot 0=a\).

Step 2

Why this answer is correct

\(0*a=0+a-0\cdot a=a\) भी सही है। / \(0*a=0+a-0\cdot a=a\) also holds.

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव दोनों ओर से अवयव को नहीं बदलता। / The identity element leaves every element unchanged from both sides.

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Question 19/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (3) का प्रतिलोम क्या होगा?

If the identity element is (0) for (a*b=a+b-ab), what is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{3}{2}\)

Step 1

Concept

प्रतिलोम (x) के लिए (3*x=0) लिखें। / For inverse (x), write (3*x=0).

Step 2

Why this answer is correct

(3+x-3x=0) से (3-2x=0) और \(x=\frac{3}{2}\)। / (3+x-3x=0) gives (3-2x=0), so \(x=\frac{3}{2}\).

Step 3

Exam Tip

ऋण चिह्नों को सावधानी से संभालें। / Handle negative signs carefully.

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Question 20/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-ab) है, तो यह संक्रिया क्रमविनिमेय क्यों है?

If (a*b=a+b-ab), why is this operation commutative?

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Correct Answer

A. क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba)Because (a+b-ab=b+a-ba)

Step 1

Concept

(a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba)। / (a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba).

Step 2

Why this answer is correct

जोड़ और गुणन में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Addition and multiplication do not change when order is reversed.

Step 3

Exam Tip

बीजगणितीय रूपों को सरल करके क्रमविनिमेयता देखें। / Simplify algebraic forms to check commutativity.

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Question 21/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a+b+ab) है, तो (ab=b*a) के बारे में सही कथन चुनिए।

If (a*b=a+b+ab), choose the correct statement about (a*b=b*a).

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Correct Answer

A. यह हर वास्तविक (a,b) के लिए सत्य हैIt is true for all real (a,b)

Step 1

Concept

(b*a=b+a+ba) होगा। / (b*a=b+a+ba).

Step 2

Why this answer is correct

(b+a=a+b) और (ba=ab), इसलिए दोनों बराबर हैं। / Since (b+a=a+b) and (ba=ab), both are equal.

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता सिद्ध करते समय दोनों रूपों को साथ-साथ लिखें। / To prove commutativity, write both forms side by side.

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Question 22/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a-b+ab) है, तो (12) और (2*1) के आधार पर सही निष्कर्ष क्या है?

If (a*b=a-b+ab), what is the correct conclusion using (1*2) and (2*1)?

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Correct Answer

B. संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं हैThe operation is not commutative

Step 1

Concept

(1*2=1-2+2=1)। / (1*2=1-2+2=1).

Step 2

Why this answer is correct

(2*1=2-1+2=3), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। / (2*1=2-1+2=3), so they are not equal.

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता गलत दिखाने के लिए एक असमान जोड़ी पर्याप्त है। / One unequal pair is enough to disprove commutativity.

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Question 23/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a+b+2) है, तो ((12)*3) का मान क्या होगा?

If (a*b=a+b+2), what is the value of ((1*2)*3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (10)

Step 1

Concept

पहले (1*2=1+2+2=5)। / First (1*2=1+2+2=5).

Step 2

Why this answer is correct

फिर (5*3=5+3+2=10)। / Then (5*3=5+3+2=10).

Step 3

Exam Tip

कोष्ठक के अनुसार संक्रिया दो बार लगानी पड़ती है। / Apply the operation twice according to the brackets.

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Question 24/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a+b+2) है, तो (1(2*3)) का मान क्या होगा?

If (a*b=a+b+2), what is the value of (1*(2*3))?

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Correct Answer

C. (10)

Step 1

Concept

पहले (2*3=2+3+2=7)। / First (2*3=2+3+2=7).

Step 2

Why this answer is correct

फिर (1*7=1+7+2=10)। / Then (1*7=1+7+2=10).

Step 3

Exam Tip

इस नियम में कोष्ठक बदलने पर भी यहाँ वही मान मिलता है। / With this rule, the brackets still give the same value here.

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Question 25/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+2) है, तो साहचर्य गुण के बारे में सही कथन क्या है?

If (a*b=a+b+2), what is the correct statement about associativity?

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Correct Answer

A. यह साहचर्य हैIt is associative

Step 1

Concept

((a*b)*c=(a+b+2)+c+2=a+b+c+4)। / ((a*b)*c=(a+b+2)+c+2=a+b+c+4).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=a+(b+c+2)+2=a+b+c+4)। / (a*(b*c)=a+(b+c+2)+2=a+b+c+4).

Step 3

Exam Tip

दोनों रूप समान हों तो साहचर्य गुण सत्य होता है। / If both forms are equal, associativity holds.

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Question 26/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+2) है, तो तत्समक अवयव क्या होगा?

If (a*b=a+b+2), what is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-2)

Step 1

Concept

(a*e=a) के लिए (a+e+2=a) होना चाहिए। / For (a*e=a), we need (a+e+2=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e=-2) मिलता है और (e*a) में भी यही काम करता है। / This gives (e=-2), and it also works in (e*a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव स्थिर पद के विपरीत जैसा दिख सकता है। / The identity often looks like the opposite of the constant term.

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Question 27/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+2) में तत्समक अवयव (-2) है, तो (5) का प्रतिलोम क्या होगा?

If the identity element is (-2) for (a*b=a+b+2), what is the inverse of (5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (-9)

Step 1

Concept

प्रतिलोम (x) के लिए (5*x=-2) लिखें। / For inverse (x), write (5*x=-2).

Step 2

Why this answer is correct

(5+x+2=-2) से (x=-9) मिलता है। / (5+x+2=-2) gives (x=-9).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में लक्ष्य मान तत्समक अवयव होता है, शून्य जरूरी नहीं। / In inverse questions, the target value is the identity element, not necessarily zero.

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Question 28/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=ab+a+b) है, तो (ab) को किस रूप में लिखा जा सकता है?

If (a*b=ab+a+b), in which form can (a*b) be written?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((a+1)(b+1)-1)

Step 1

Concept

((a+1)(b+1)=ab+a+b+1)। / ((a+1)(b+1)=ab+a+b+1).

Step 2

Why this answer is correct

इसमें से (1) घटाने पर (ab+a+b) मिलता है। / Subtracting (1) gives (ab+a+b).

Step 3

Exam Tip

रूपांतरण वाले प्रश्नों में पहले गुणन खोलकर मिलान करें। / In transformation questions, expand and match the terms.

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Question 29/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a+b+ab) और (x2=8) है, तो (x) का मान क्या होगा?

If (a*b=a+b+ab) and (x*2=8), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

(x*2=x+2+2x) होगा। / (x*2=x+2+2x).

Step 2

Why this answer is correct

(3x+2=8) से (3x=6) और (x=2)। / (3x+2=8) gives (3x=6), so (x=2).

Step 3

Exam Tip

अज्ञात वाले प्रश्नों में पहले संक्रिया को साधारण समीकरण में बदलें। / Convert the operation into a simple equation first.

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Question 30/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=2a+b) और (x3=11) है, तो (x) का मान क्या है?

If (a*b=2a+b) and (x*3=11), what is the value of (x)?

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Correct Answer

B. (4)

Step 1

Concept

(x*3=2x+3) होगा। / (x*3=2x+3).

Step 2

Why this answer is correct

(2x+3=11) से (x=4)। / (2x+3=11) gives (x=4).

Step 3

Exam Tip

दिए गए परिणाम को बराबरी में रखकर रैखिक समीकरण हल करें। / Set the given result equal and solve the linear equation.

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Question 31/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(ab=a^2+b\) और (2x=9) है, तो (x) का मान क्या होगा?

If \(a*b=a^2+b\) and (2*x=9), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (5)

Step 1

Concept

\(2*x=2^2+x=4+x\)। / \(2*x=2^2+x=4+x\).

Step 2

Why this answer is correct

(4+x=9) से (x=5)। / (4+x=9) gives (x=5).

Step 3

Exam Tip

कौन सा अवयव वर्ग में है, यह ध्यान से पहचानें। / Carefully identify which element is squared.

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Question 32/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(ab=a+b^2\) और (x3=15) है, तो (x) का मान क्या होगा?

If \(a*b=a+b^2\) and (x*3=15), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (6)

Step 1

Concept

\(x*3=x+3^2=x+9\)। / \(x*3=x+3^2=x+9\).

Step 2

Why this answer is correct

(x+9=15) से (x=6)। / (x+9=15) gives (x=6).

Step 3

Exam Tip

दूसरे अवयव का वर्ग पहले निकालें, फिर समीकरण हल करें। / First square the second element, then solve the equation.

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Question 33/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=|a-b|) और (x4=3) है, तो (x) के प्राकृतिक मानों में से कौन सा संभव है?

If (a*b=|a-b|) and (x*4=3), which natural value of (x) is possible?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

(x*4=|x-4|=3) है। / (x*4=|x-4|=3).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x=1) या (x=7) हो सकता है, विकल्पों में (1) दिया है। / This gives (x=1) or (x=7), and (1) is in the options.

Step 3

Exam Tip

परम मान वाले समीकरण में दो संभावनाएँ देखनी चाहिए। / Absolute value equations usually give two possibilities.

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Question 34/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(ab=\frac{ab}{a+b}\), जहाँ \(a+b\neq 0\), तो (26) का मान क्या होगा?

If \(a*b=\frac{ab}{a+b}\), where \(a+b\neq 0\), what is the value of (2*6)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{3}{2}\)

Step 1

Concept

नियम में (a=2) और (b=6) रखें। / Put (a=2) and (b=6) in the rule.

Step 2

Why this answer is correct

\(2*6=\frac{2\cdot 6}{2+6}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)। / \(2*6=\frac{2\cdot 6}{2+6}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\).

Step 3

Exam Tip

भिन्न को अंतिम रूप में सरल करना न भूलें। / Do not forget to simplify the fraction.

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Question 35/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(ab=\frac{a+b}{1+ab}\), जहाँ \(1+ab\neq 0\), तो (12) का मान क्या होगा?

If \(a*b=\frac{a+b}{1+ab}\), where \(1+ab\neq 0\), what is the value of (1*2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

\(1*2=\frac{1+2}{1+1\cdot 2}\)। / \(1*2=\frac{1+2}{1+1\cdot 2}\).

Step 2

Why this answer is correct

यह \(\frac{3}{3}=1\) हो जाता है। / This becomes \(\frac{3}{3}=1\).

Step 3

Exam Tip

हर और अंश दोनों सही रखने से भिन्न वाले प्रश्न आसान हो जाते हैं। / Keep numerator and denominator correct in fraction-based operations.

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Question 36/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(a*b=\frac{a+b}{1+ab}\), जहाँ \(1+ab\neq 0\), तो यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?

If \(a*b=\frac{a+b}{1+ab}\), where \(1+ab\neq 0\), is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ क्योंकि अंश और हर दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलताYes because changing order in numerator and denominator does not change the value

Step 1

Concept

\(b*a=\frac{b+a}{1+ba}\) होगा। / \(b*a=\frac{b+a}{1+ba}\).

Step 2

Why this answer is correct

(b+a=a+b) और (ba=ab), इसलिए मान समान है। / Since (b+a=a+b) and (ba=ab), the value is the same.

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता में पूरा नियम उलटकर तुलना करें। / For commutativity, reverse the whole rule and compare.

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Question 37/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (ab) को (a) और (b) में बड़े अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है। (24) का मान क्या होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b) is defined as the greater of (a) and (b). What is the value of (2*4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (4)

Step 1

Concept

नियम दो अवयवों में बड़े अवयव को चुनता है। / The rule chooses the greater of the two elements.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (4) में बड़ा अवयव (4) है। / Between (2) and (4), the greater element is (4).

Step 3

Exam Tip

ऐसे नियमों में गणना नहीं, तुलना करनी होती है। / In such rules, compare the elements instead of calculating.

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Question 38/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (ab) को (a) और (b) में छोटे अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है। (31) का मान क्या होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b) is defined as the smaller of (a) and (b). What is the value of (3*1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

नियम दो अवयवों में छोटे अवयव को चुनता है। / The rule chooses the smaller of the two elements.

Step 2

Why this answer is correct

(3) और (1) में छोटा अवयव (1) है। / Between (3) and (1), the smaller element is (1).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम आधारित संक्रिया में उत्तर चुना हुआ अवयव होता है। / In a minimum-based operation, the answer is the selected element.

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Question 39/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b) को सम पूर्णांकों के समुच्चय पर लिया जाए, तो बंदता के बारे में सही कथन क्या है?

If (a*b=a+b) is taken on the set of even integers, what is the correct statement about closure?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह बंद हैIt is closed

Step 1

Concept

दो सम पूर्णांकों का योग फिर सम पूर्णांक होता है। / The sum of two even integers is again an even integer.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (a+b) सम पूर्णांकों के समुच्चय से बाहर नहीं जाता। / So (a+b) does not go outside the set of even integers.

Step 3

Exam Tip

विशेष समुच्चयों में गुणधर्म को उदाहरण और सामान्य तर्क दोनों से जाँचें। / For special sets, check the property with examples and general reasoning.

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Question 40/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

विषम पूर्णांकों के समुच्चय पर (a*b=a+b) के लिए बंदता के बारे में सही कथन क्या है?

For (a*b=a+b) on the set of odd integers, what is the correct statement about closure?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह बंद नहीं है क्योंकि विषम और विषम का योग सम होता हैIt is not closed because the sum of odd and odd is even

Step 1

Concept

दो विषम पूर्णांकों का योग सम पूर्णांक होता है। / The sum of two odd integers is an even integer.

Step 2

Why this answer is correct

उदाहरण के लिए (3+5=8), जो विषम नहीं है। / For example, (3+5=8), which is not odd.

Step 3

Exam Tip

बंदता में परिणाम उसी समुच्चय में रहना चाहिए। / For closure, the result must stay in the same set.

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Question 41/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b) को (3) के गुणजों के समुच्चय पर लिया जाए, तो संक्रिया कैसी है?

If (a*b=a+b) is taken on the set of multiples of (3), what type of operation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. बंद संक्रियाClosed operation

Step 1

Concept

(3) के दो गुणजों को (3m) और (3n) लिख सकते हैं। / Two multiples of (3) can be written as (3m) and (3n).

Step 2

Why this answer is correct

उनका योग (3m+3n=3(m+n)) फिर (3) का गुणज है। / Their sum is (3m+3n=3(m+n)), again a multiple of (3).

Step 3

Exam Tip

गुणजों के समुच्चय में सामान्य रूप से तर्क करना उपयोगी है। / For multiples, use general form reasoning.

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Question 42/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a-b) को (5) के गुणजों के समुच्चय पर लिया जाए, तो बंदता के बारे में सही कथन क्या है?

If (a*b=a-b) is taken on the set of multiples of (5), what is the correct statement about closure?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह बंद हैIt is closed

Step 1

Concept

दो गुणज (5m) और (5n) लें। / Take two multiples (5m) and (5n).

Step 2

Why this answer is correct

(5m-5n=5(m-n)), जो फिर (5) का गुणज है। / (5m-5n=5(m-n)), which is again a multiple of (5).

Step 3

Exam Tip

घटाव में भी गुणजों का गुण बना रह सकता है। / The multiple property can remain true even under subtraction.

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Question 43/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-1) है, तो क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

If (a*b=a+b-1), is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(a*b=a+b-1) और (b*a=b+a-1)। / (a*b=a+b-1) and (b*a=b+a-1).

Step 2

Why this answer is correct

(a+b=b+a), इसलिए दोनों बराबर हैं। / Since (a+b=b+a), both are equal.

Step 3

Exam Tip

स्थिर पद समान हो तो जोड़ आधारित नियम अक्सर क्रमविनिमेय रहता है। / Addition-based rules with the same constant often remain commutative.

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Question 44/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-1) है, तो क्या यह संक्रिया साहचर्य है?

If (a*b=a+b-1), is this operation associative?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

((a*b)*c=(a+b-1)+c-1=a+b+c-2)। / ((a*b)*c=(a+b-1)+c-1=a+b+c-2).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=a+(b+c-1)-1=a+b+c-2)। / (a*(b*c)=a+(b+c-1)-1=a+b+c-2).

Step 3

Exam Tip

दोनों रूप समान हों तो साहचर्य गुण सही है। / If both forms match, associativity is true.

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Question 45/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-1) है, तो (4) का प्रतिलोम क्या होगा?

If (a*b=a+b-1), what is the inverse of (4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-2)

Step 1

Concept

पहले तत्समक अवयव (1) है क्योंकि (a+1-1=a)। / First, the identity is (1) because (a+1-1=a).

Step 2

Why this answer is correct

(4*x=1) से (4+x-1=1) और (x=-2)। / (4*x=1) gives (4+x-1=1), so (x=-2).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालने से पहले तत्समक अवयव पक्का करें। / Confirm the identity before finding inverse.

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Question 46/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b-k) है और तत्समक अवयव (5) है, तो (k) का मान क्या होगा?

If (a*b=a+b-k) and the identity element is (5), what is the value of (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (5)

Step 1

Concept

तत्समक (5) होने पर (a*5=a) होना चाहिए। / If (5) is the identity, then (a*5=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+5-k=a) से (k=5) मिलता है। / (a+5-k=a) gives (k=5).

Step 3

Exam Tip

अज्ञात स्थिरांक वाले नियम में तत्समक शर्त सबसे सीधा रास्ता देती है। / For an unknown constant, the identity condition gives the fastest route.

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Question 47/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=a+b+k) है और तत्समक अवयव (-4) है, तो (k) का मान क्या होगा?

If (a*b=a+b+k) and the identity element is (-4), what is the value of (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (4)

Step 1

Concept

(a*(-4)=a) लिखें। / Write (a*(-4)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a-4+k=a) से (k=4) मिलता है। / (a-4+k=a) gives (k=4).

Step 3

Exam Tip

चिन्ह बदलने वाले प्रश्नों में पंक्ति-दर-पंक्ति समीकरण लिखें। / In sign-based questions, write the equation line by line.

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Question 48/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (a*b=ka+b) है और संक्रिया क्रमविनिमेय है, तो (k) का मान क्या होना चाहिए?

If (a*b=ka+b) and the operation is commutative, what should be the value of (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए (ka+b=kb+a) हर (a,b) पर चाहिए। / For commutativity, (ka+b=kb+a) must hold for all (a,b).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी सामान्य रूप से सही होगा जब (k=1), जिससे दोनों ओर (a+b) मिलता है। / This generally works when (k=1), giving (a+b) on both sides.

Step 3

Exam Tip

अज्ञात गुणांक में हर (a,b) पर सही होने की शर्त लगाएं। / For unknown coefficients, apply the condition for all (a,b).

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Question 49/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a+kb) है और (23=3*2) हर (2,3) जैसे भिन्न मानों पर होना है, तो (k) क्या होगा?

If (a*b=a+kb) and (2*3=3*2) must hold for unequal values like (2,3), what is (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(2*3=2+3k) और (3*2=3+2k)। / (2*3=2+3k) and (3*2=3+2k).

Step 2

Why this answer is correct

बराबर करने पर (2+3k=3+2k), इसलिए (k=1)। / Equating them gives (2+3k=3+2k), so (k=1).

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता में दो अलग संख्याएँ लेकर गुणांक निकाला जा सकता है। / Use two unequal numbers to find the parameter in a commutativity condition.

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Question 50/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a+b+ab) और (a0=a) हर (a) के लिए है, तो (0) का गुण क्या कहलाएगा?

If (a*b=a+b+ab) and (a*0=a) for every (a), what property of (0) is shown?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तत्समक अवयवIdentity element

Step 1

Concept

जब कोई अवयव संक्रिया में किसी भी (a) को न बदले, तो वह तत्समक अवयव होता है। / When an element does not change any (a) under the operation, it is the identity element.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (a*0=a) और (0*a=a) भी सत्य है। / Here (a*0=a) and (0*a=a) also holds.

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव पहचानने के लिए यह देखें कि परिणाम मूल अवयव ही रहता है या नहीं। / To identify identity, check whether the result stays as the original element.

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Question 51/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

यदि \(S=\{0,1,2,3\}\) पर संक्रिया (ab) को (ab=(a+b)) का (4) से भाग देने पर शेषफल माना गया है तो क्या यह संक्रिया (S) पर बंद है?

If the operation (a*b) on \(S=\{0,1,2,3\}\) is defined as the remainder when (a+b) is divided by (4), then is this operation closed on (S)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ क्योंकि हर परिणाम (S) में हैYes because every result belongs to (S)

Step 1

Concept

बंद संक्रिया में हर \(a,b \in S\) के लिए \(a*b \in S\) होना चाहिए। / For closure, (a*b) must belong to (S) for all \(a,b \in S\).

Step 2

Why this answer is correct

(4) से भाग देने पर शेषफल हमेशा (0,1,2,3) में से एक होगा। / The remainder on division by (4) is always one of (0,1,2,3).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में शेषफल वाली संक्रिया में संभावित शेषफलों को समुच्चय से मिलाकर देखें। / In exams, compare the possible remainders with the given set.

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Question 52/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+2). What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (-2)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a*e=a+e+2=a) से (e=-2) मिलता है। / (a*e=a+e+2=a) gives (e=-2).

Step 3

Exam Tip

ऐसी संक्रिया में पहले (a*e) लिखें और फिर (a) से तुलना करें। / In such questions, write (a*e) first and compare it with (a).

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Question 53/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-3) दिया है। (5) का प्रतिलोम अवयव क्या होगा?

On integers, (a*b=a+b-3). What is the inverse element of (5)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

पहले तत्समक अवयव निकालें। (a*e=a+e-3=a) से (e=3) है। / First find the identity. From (a*e=a+e-3=a), we get (e=3).

Step 2

Why this answer is correct

(5*x=3) के लिए (5+x-3=3) होगा इसलिए (x=1)। / For the inverse of (5), set (5*x=3), so (5+x-3=3) and (x=1).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालने से पहले तत्समक अवयव जरूर खोजें। / Always find the identity before finding an inverse.

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Question 54/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) दिया है। इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव कौन सा है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab). Which is the identity element for this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है और सभी (a) के लिए (e=0) सही है। / (a+e+ae=a) gives (e(1+a)=0), so (e=0) works for all (a).

Step 3

Exam Tip

सभी अवयवों के लिए चलने वाला मान ही तत्समक माना जाता है। / The identity must work for every element, not just for one value.

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Question 55/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

यदि (a*b=a+b+ab) है तो (2) का प्रतिलोम किस शर्त में मिलेगा?

If (a*b=a+b+ab), under what result condition do we find the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (2*x=0)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (2*x) को तत्समक (0) के बराबर रखते हैं। / For inverse (x), we set (2*x) equal to the identity (0).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम के सवाल में परिणाम हमेशा तत्समक अवयव के बराबर रखा जाता है। / In inverse questions, the product under the operation must equal the identity.

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Question 56/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (a*b=\max(a,b)) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3\}\), (a*b=\max(a,b)). What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) सभी (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। (A) में सबसे छोटा अवयव (1) है। / This happens when (e) is the smallest element of the set. The smallest element of (A) is (1).

Step 3

Exam Tip

\(\max\) संक्रिया में तत्समक अक्सर न्यूनतम अवयव होता है। / For a \(\max\) operation, the identity is usually the minimum element.

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Question 57/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (a*b=\min(a,b)) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3\}\), (a*b=\min(a,b)). What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (3)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) सभी (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी होगा जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। (A) में सबसे बड़ा अवयव (3) है। / This happens when (e) is the greatest element of the set. The greatest element of (A) is (3).

Step 3

Exam Tip

\(\min\) संक्रिया में तत्समक अक्सर अधिकतम अवयव होता है। / For a \(\min\) operation, the identity is usually the maximum element.

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Question 58/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a-b) दिया है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On real numbers, (a*b=a-b). Is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। / For commutativity, (a*b=b*a) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

(a*b=a-b) और (b*a=b-a) सामान्य रूप से बराबर नहीं होते। / Here (a*b=a-b) and (b*a=b-a), which are not equal in general.

Step 3

Exam Tip

एक विरोधी उदाहरण जैसे \(3*1 \ne 1*3\) तुरंत निर्णय करा देता है। / A counterexample such as \(3*1 \ne 1*3\) is enough in exams.

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Question 59/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) दिया है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab). Is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(a*b=a+b+ab) लिखें। / Write (a*b=a+b+ab).

Step 2

Why this answer is correct

(b*a=b+a+ba) है और जोड़ तथा गुणा में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / (b*a=b+a+ba), and addition and multiplication do not change by order.

Step 3

Exam Tip

जब अभिव्यक्ति (a) और (b) में सममित हो तो क्रमविनिमेयता जल्दी पहचानी जा सकती है। / If the expression is symmetric in (a) and (b), commutativity is often easy to identify.

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Question 60/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+1) दिया है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?

On integers, (a*b=a+b+1). Is this operation associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

((a*b)*c) निकालें। यह ((a+b+1)+c+1=a+b+c+2) है। / Find ((a*b)*c), which is ((a+b+1)+c+1=a+b+c+2).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=a+(b+c+1)+1=a+b+c+2) है। / Find (a*(b*c)=a+(b+c+1)+1=a+b+c+2).

Step 3

Exam Tip

दोनों बराबर मिलें तो संक्रिया सहचारी होती है। / Since both are equal, the operation is associative.

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Question 61/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) दिया है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab). Is this operation associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

ध्यान दें (a*b=(a+1)(b+1)-1) है। / Notice that (a*b=(a+1)(b+1)-1).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ((a*b)*c+1=(a+1)(b+1)(c+1)) और (a*(b*c)+1) भी वही है। / Thus ((a*b)*c+1=(a+1)(b+1)(c+1)), and (a*(b*c)+1) gives the same value.

Step 3

Exam Tip

रूप बदलकर देखना सहचारिता की गणना को छोटा कर देता है। / Rewriting the operation can make associativity checks shorter.

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Question 62/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) दिया है। तत्समक अवयव क्या है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element?

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Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\) और (a>0) होने से (e=2) मिलता है। / \(\frac{ae}{2}=a\), and since (a>0), (e=2).

Step 3

Exam Tip

गुणा जैसी संक्रिया में भाग देने वाले स्थिरांक पर ध्यान दें। / In multiplication-type operations, pay attention to the constant divisor.

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Question 63/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। (6) का प्रतिलोम क्या है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the inverse of (6)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(\frac{2}{3}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (2) है। / The identity of this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

(6*x=2) रखें। \(\frac{6x}{2}=2\) से (3x=2) और \(x=\frac{2}{3}\) है। / Put (6*x=2). Then \(\frac{6x}{2}=2\), so (3x=2) and \(x=\frac{2}{3}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में संक्रिया का परिणाम तत्समक होना चाहिए। / For inverse, the operation result must be the identity.

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Question 64/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+ab) दिया है। (-1) के लिए प्रतिलोम अवयव के बारे में सही कथन कौन सा है?

On integers, (a*b=a+b+ab). Which statement is correct about the inverse of (-1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. प्रतिलोम मौजूद नहीं हैThe inverse does not exist

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity element is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(-1*x=0) रखने पर (-1+x-x=0) अर्थात (-1=0) आता है जो असंभव है। / Put (-1*x=0). This gives (-1+x-x=0), or (-1=0), which is impossible.

Step 3

Exam Tip

हर अवयव का प्रतिलोम होना जरूरी नहीं है। / Not every element must have an inverse.

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Question 65/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (ab=a+b-ab) दिया है। (11) का मान क्या है?

On \(A=\{0,1\}\), (a*b=a+b-ab). What is the value of (1*1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

दिए गए सूत्र में (a=1) और (b=1) रखें। / Substitute (a=1) and (b=1) in the given formula.

Step 2

Why this answer is correct

(1*1=1+1-1=1) मिलता है। / (1*1=1+1-1=1).

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय में सीधे प्रतिस्थापन से जल्दी उत्तर मिल जाता है। / For small sets, direct substitution quickly gives the answer.

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Question 66/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=a+b-ab) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1\}\), (a*b=a+b-ab). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) की जांच करें। / Check (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*0=a+0-a\cdot0=a\) सभी \(a \in A\) के लिए सही है। / \(a*0=a+0-a\cdot0=a\) for every \(a \in A\).

Step 3

Exam Tip

दो अवयवों वाले समुच्चय में दोनों संभावित मानों को जांचना सुरक्षित तरीका है। / In a two-element set, checking both possible values is a safe method.

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Question 67/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b^2\) दिया है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?

On real numbers, \(a*b=a^2+b^2\). Is this operation associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

सहचारिता के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) चाहिए। / Associativity needs ((a*b)*c=a*(b*c)).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1,b=2,c=3) लेने पर ((1*2)*3=5*3=34) और (1*(2*3)=1*13=170) मिलते हैं। / Take (a=1,b=2,c=3). Then ((1*2)*3=5*3=34), while (1*(2*3)=1*13=170).

Step 3

Exam Tip

एक विरोधी उदाहरण सहचारिता को गलत सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove associativity.

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Question 68/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+2b) दिया है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On integers, (a*b=a+2b). Is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

(a*b=a+2b) और (b*a=b+2a) लिखें। / Write (a*b=a+2b) and (b*a=b+2a).

Step 2

Why this answer is correct

सामान्य रूप से ये बराबर नहीं होते। जैसे (1*2=5) और (2*1=4)। / They are not equal in general. For example, (1*2=5), but (2*1=4).

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता के लिए क्रम बदलने पर उत्तर समान रहना चाहिए। / For commutativity, changing the order must not change the result.

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Question 69/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा है?

On real numbers, (a*b=a+b-ab). Which is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-ae=a) से (e(1-a)=0) मिलता है और सभी (a) के लिए (e=0) सही है। / (a+e-ae=a) gives (e(1-a)=0), so (e=0) works for all (a).

Step 3

Exam Tip

ऐसे सवाल में किसी एक (a) से नहीं बल्कि सभी (a) से मिलान करें। / Do not check only one value of (a); the identity must work for all values.

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Question 70/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity element is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x=0) रखें। (2+x-2x=0) से (2-x=0) और (x=2) मिलता है। / Put (2*x=0). Then (2+x-2x=0), so (2-x=0) and (x=2).

Step 3

Exam Tip

कभी-कभी किसी अवयव का प्रतिलोम वही अवयव भी हो सकता है। / Sometimes an element can be its own inverse.

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Question 71/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a+b) दिया है। क्या यह संक्रिया प्राकृतिक संख्याओं पर बंद है?

On natural numbers, (a*b=a+b). Is this operation closed on natural numbers?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

दो प्राकृतिक संख्याओं का योग फिर प्राकृतिक संख्या होता है। / The sum of two natural numbers is again a natural number.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(a,b \in N\) होने पर \(a+b \in N\) है। / Thus, if \(a,b \in N\), then \(a+b \in N\).

Step 3

Exam Tip

बंदता जांचते समय परिणाम के समुच्चय में रहने पर ध्यान दें। / To check closure, see whether the result stays in the same set.

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Question 72/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a-b) दिया है। क्या यह संक्रिया प्राकृतिक संख्याओं पर बंद है?

On natural numbers, (a*b=a-b). Is this operation closed on natural numbers?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

बंदता के लिए हर \(a,b \in N\) पर \(a-b \in N\) चाहिए। / Closure requires \(a-b \in N\) for all \(a,b \in N\).

Step 2

Why this answer is correct

(2*5=2-5=-3) प्राकृतिक संख्या नहीं है। / (2*5=2-5=-3), which is not a natural number.

Step 3

Exam Tip

एक ऐसा उदाहरण मिलते ही बंदता गलत हो जाती है। / One counterexample is enough to show that closure fails.

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Question 73/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर \(a*b=a^2+b^2\) दिया है। क्या यह संक्रिया बंद है?

On integers, \(a*b=a^2+b^2\). Is this operation closed?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

किसी पूर्णांक का वर्ग पूर्णांक होता है। / The square of an integer is an integer.

Step 2

Why this answer is correct

दो पूर्णांकों का योग भी पूर्णांक होता है। इसलिए \(a^2+b^2\) पूर्णांक रहेगा। / The sum of two integers is also an integer. Hence \(a^2+b^2\) remains an integer.

Step 3

Exam Tip

बंदता में परिणाम के प्रकार को ध्यान से पहचानें। / In closure questions, identify the type of the result carefully.

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Question 74/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On real numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\). Is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

\(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। / \(a*b=\frac{a+b}{2}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(b*a=\frac{b+a}{2}\) है और (a+b=b+a) होता है। / \(b*a=\frac{b+a}{2}\), and (a+b=b+a).

Step 3

Exam Tip

जोड़ की क्रमविनिमेयता से ऐसी संक्रिया का निर्णय आसान हो जाता है। / The commutativity of addition makes this operation easy to check.

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Question 75/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। क्या इसका तत्समक अवयव है?

On real numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\). Does it have an identity element?

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Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a+e}{2}=a\) से (e=a) आता है। यह स्थिर अवयव नहीं है। / \(\frac{a+e}{2}=a\) gives (e=a). This is not one fixed element.

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए। / An identity element must be the same for every (a).

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Question 76/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) दिया है। तत्समक अवयव क्या है?

On integers, (a*b=a+b-1). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-1=a) से (e=1) मिलता है। / (a+e-1=a) gives (e=1).

Step 3

Exam Tip

स्थिरांक घट रहा हो तो तत्समक उसी के अनुसार बदलता है। / When a constant is subtracted, the identity shifts accordingly.

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Question 77/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) है। (7) का प्रतिलोम क्या है?

On integers, (a*b=a+b-1). What is the inverse of (7)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (-5)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। / The identity element is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(7*x=1) रखें। (7+x-1=1) से (x=-5) मिलता है। / Put (7*x=1). Then (7+x-1=1), so (x=-5).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में सामान्य जोड़ वाले प्रतिलोम से सीधे तुलना न करें। / Do not directly use the usual additive inverse; use the given operation.

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Question 78/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (ab=(ab)) का (3) से भाग देने पर शेषफल है। (22) का मान क्या होगा?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (3). What is (2*2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

पहले (ab) निकालें। \(2\cdot2=4\) है। / First find (ab). Here \(2\cdot2=4\).

Step 2

Why this answer is correct

(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / The remainder when (4) is divided by (3) is (1).

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाली संक्रिया में अंतिम उत्तर शेषफल होता है मूल गुणनफल नहीं। / In remainder-based operations, the final answer is the remainder, not the original product.

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Question 79/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b=(ab)) का (3) से भाग देने पर शेषफल है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (3). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

गुणा में (1) से गुणा करने पर संख्या वही रहती है। / Multiplying by (1) keeps the number unchanged.

Step 2

Why this answer is correct

(a*1) में \(a\cdot1=a\) और उसका (3) से शेषफल (A) के अवयवों के लिए वही (a) है। / In (a*1), \(a\cdot1=a\), and its remainder modulo (3) is the same (a) for elements of (A).

Step 3

Exam Tip

शेषफल गुणा में (1) को पहले जांचें। / For modulo multiplication, check (1) first as identity.

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Question 80/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

यदि (ab=a+b+ab) है तो (ab) को किस रूप में लिखा जा सकता है?

If (a*b=a+b+ab), which form can be used to rewrite (a*b)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((a+1)(b+1)-1)

Step 1

Concept

((a+1)(b+1)) फैलाने पर (ab+a+b+1) मिलता है। / Expanding ((a+1)(b+1)) gives (ab+a+b+1).

Step 2

Why this answer is correct

इसमें से (1) घटाने पर (ab+a+b) मिलता है। / Subtracting (1) gives (ab+a+b).

Step 3

Exam Tip

ऐसे रूप सहचारिता और प्रतिलोम के प्रश्नों में मदद करते हैं। / Such rewritten forms help in associativity and inverse questions.

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Question 81/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b-ab) के लिए (ab) का उपयोगी रूप कौन सा है?

For (a*b=a+b-ab) on real numbers, which is a useful rewritten form?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1-(1-a)(1-b))

Step 1

Concept

((1-a)(1-b)=1-a-b+ab) है। / ((1-a)(1-b)=1-a-b+ab).

Step 2

Why this answer is correct

(1-(1-a)(1-b)=a+b-ab) मिलता है। / (1-(1-a)(1-b)=a+b-ab).

Step 3

Exam Tip

रूप बदलकर कई गुणों की जांच छोटी हो जाती है। / Rewriting an operation often makes checking its properties easier.

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Question 82/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (ab=a+b+ab) दिया है। (23) का मान क्या है?

On integers, (a*b=a+b+ab). What is the value of (2*3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (11)

Step 1

Concept

सूत्र में (a=2) और (b=3) रखें। / Substitute (a=2) and (b=3).

Step 2

Why this answer is correct

\(2*3=2+3+2\cdot3=11\) है। / \(2*3=2+3+2\cdot3=11\).

Step 3

Exam Tip

दिए गए चिह्न को सामान्य गुणा न समझें बल्कि परिभाषा के अनुसार हल करें। / Do not treat the symbol as ordinary multiplication; use the given definition.

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Question 83/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

यदि (ab=a+3b) है तो (24) और (4*2) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (a*b=a+3b), which statement about (2*4) and (4*2) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2*4) बड़ा है(2*4) is greater

Step 1

Concept

\(2*4=2+3\cdot4=14\) है। / \(2*4=2+3\cdot4=14\).

Step 2

Why this answer is correct

\(4*2=4+3\cdot2=10\) है। / \(4*2=4+3\cdot2=10\).

Step 3

Exam Tip

क्रम बदलने पर मान बदल जाए तो संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं होती। / If changing the order changes the value, the operation is not commutative.

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Question 84/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a+b,4)) दिया है। क्या यह संक्रिया (A) पर बंद है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\min(a+b,4)). Is this operation closed on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(a+b) चाहे (2) से (8) तक हो सकता है। / (a+b) can range from (2) to (8).

Step 2

Why this answer is correct

(\min(a+b,4)) का मान हमेशा (2,3,4) में रहेगा और ये सभी (A) में हैं। / (\min(a+b,4)) is always one of (2,3,4), all of which belong to (A).

Step 3

Exam Tip

बंदता में हर संभव परिणाम को दिए गए समुच्चय से मिलाएं। / For closure, match every possible result with the given set.

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Question 85/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\max(a,b)) दिया है। (2) का प्रतिलोम अवयव के बारे में सही कथन कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\max(a,b)). Which statement is correct about the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. प्रतिलोम मौजूद नहीं हैThe inverse does not exist

Step 1

Concept

\(\max\) संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। / For the \(\max\) operation, the identity element is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x=1) चाहिए लेकिन (\max(2,x)) कभी (1) नहीं हो सकता। / We need (2*x=1), but (\max(2,x)) can never be (1).

Step 3

Exam Tip

तत्समक से बड़े अवयवों का प्रतिलोम इस तरह की संक्रिया में अक्सर नहीं मिलता। / Elements larger than the identity often do not have inverses in this type of operation.

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Question 86/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+4) दिया है। (10) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+4). What is the inverse of (10)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-14)

Step 1

Concept

(a*e=a) से (a+e+4=a) और (e=-4) है। / From (a*e=a), (a+e+4=a), so (e=-4).

Step 2

Why this answer is correct

(10*x=-4) रखें। (10+x+4=-4) से (x=-18) नहीं बल्कि ध्यान से (x=-18) मिलता है। / For inverse of (10), put (10*x=-4). Then (10+x+4=-4), so (x=-18).

Step 3

Exam Tip

गणना में तत्समक को सही तरफ रखें। / Keep the identity value correctly while solving.

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Question 87/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+4) दिया है। (10) का प्रतिलोम सही रूप से कौन सा है?

On real numbers, (a*b=a+b+4). Which is the correct inverse of (10)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-18)

Step 1

Concept

पहले तत्समक (e) निकालें। (a+e+4=a) से (e=-4) है। / First find the identity (e). From (a+e+4=a), (e=-4).

Step 2

Why this answer is correct

(10*x=-4) रखने पर (10+x+4=-4) इसलिए (x=-18) है। / Put (10*x=-4). Then (10+x+4=-4), so (x=-18).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में पहले तत्समक निकालना गलती से बचाता है। / Finding the identity first prevents mistakes in inverse questions.

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Question 88/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+4) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On integers, (a*b=a+b+4). What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-4)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+4=a) से (e=-4) मिलता है। / (a+e+4=a) gives (e=-4).

Step 3

Exam Tip

(a+b+k) रूप में तत्समक सामान्यतः (-k) होता है। / In an operation of the form (a+b+k), the identity is usually (-k).

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Question 89/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

यदि (ab=a+b+4) है तो (3(2*1)) का मान क्या है?

If (a*b=a+b+4), what is the value of (3*(2*1))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (14)

Step 1

Concept

पहले कोष्ठक हल करें। (2*1=2+1+4=7) है। / Solve the bracket first. (2*1=2+1+4=7).

Step 2

Why this answer is correct

अब (3*7=3+7+4=14) मिलता है। / Now (3*7=3+7+4=14).

Step 3

Exam Tip

संक्रिया वाले प्रश्नों में कोष्ठक का क्रम हमेशा मानें। / In operation questions, always follow the brackets.

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Question 90/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

यदि (ab=a+b+4) है तो ((32)*1) का मान क्या है?

If (a*b=a+b+4), what is the value of ((3*2)*1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (14)

Step 1

Concept

पहले (3*2=3+2+4=9) निकालें। / First find (3*2=3+2+4=9).

Step 2

Why this answer is correct

अब (9*1=9+1+4=14) है। / Now (9*1=9+1+4=14).

Step 3

Exam Tip

यहां दोनों कोष्ठक विधियां समान मान देती हैं क्योंकि यह संक्रिया सहचारी है। / Here both bracketings give the same value because this operation is associative.

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Question 91/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(-\frac{3}{4}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity element is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(3*x=0) रखने पर (3+x+3x=0) यानी (3+4x=0) मिलता है। / Put (3*x=0). Then (3+x+3x=0), so (3+4x=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(x=-\frac{3}{4}\) है और रैखिक समीकरण सावधानी से हल करें। / Hence \(x=-\frac{3}{4}\); solve the linear equation carefully.

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Question 92/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{3}{2}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(3*x=0) रखने पर (3+x-3x=0) यानी (3-2x=0) मिलता है। / Put (3*x=0). Then (3+x-3x=0), so (3-2x=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(x=\frac{3}{2}\) है और चिह्नों पर ध्यान दें। / Hence \(x=\frac{3}{2}\); be careful with signs.

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Question 93/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) दिया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On positive real numbers, (a*b=ab). What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(a*e=a) के लिए (ae=a) चाहिए। / For (a*e=a), we need (ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a>0) होने से (e=1) मिलता है। / Since (a>0), (e=1).

Step 3

Exam Tip

सामान्य गुणा में तत्समक अवयव (1) होता है। / In ordinary multiplication, the identity element is (1).

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Question 94/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?

On positive real numbers, (a*b=ab). What is the inverse of (5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(\frac{1}{5}\)

Step 1

Concept

गुणा की संक्रिया में तत्समक (1) है। / The identity for multiplication is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(5*x=1) से (5x=1) और \(x=\frac{1}{5}\) है। / (5*x=1) gives (5x=1), so \(x=\frac{1}{5}\).

Step 3

Exam Tip

गुणन प्रतिलोम में संख्या का व्युत्क्रम लेते हैं। / For multiplicative inverse, take the reciprocal.

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Question 95/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=ab) दिया है। (2) का प्रतिलोम पूर्णांकों में है या नहीं?

On integers, (a*b=ab). Does (2) have an inverse in integers?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

गुणा में तत्समक (1) है। / The identity for multiplication is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x=1) से \(x=\frac{1}{2}\) मिलता है जो पूर्णांक नहीं है। / (2*x=1) gives \(x=\frac{1}{2}\), which is not an integer.

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम उसी समुच्चय में होना चाहिए। / The inverse must belong to the same set.

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Question 96/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) में कौन सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?

For (a*b=a+b+ab) on real numbers, which element does not have an inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity element is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0) से (a+x+ax=0) और \(x=-\frac{a}{1+a}\) मिलता है। / From (a*x=0), (a+x+ax=0), so \(x=-\frac{a}{1+a}\).

Step 3

Exam Tip

(a=-1) पर हर में (0) आता है इसलिए प्रतिलोम नहीं बनता। / When (a=-1), the denominator becomes (0), so the inverse does not exist.

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Question 97/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) में कौन सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?

For (a*b=a+b-ab) on real numbers, which element does not have an inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity element is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0) से (a+x-ax=0) और \(x=-\frac{a}{1-a}\) मिलता है। / From (a*x=0), (a+x-ax=0), so \(x=-\frac{a}{1-a}\).

Step 3

Exam Tip

(a=1) पर हर (0) हो जाता है इसलिए प्रतिलोम नहीं मिलता। / When (a=1), the denominator becomes (0), so the inverse does not exist.

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Question 98/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,4,8\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) दिया है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,4,8\}\), (a*b=\gcd(a,b)). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (8)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), we need (\gcd(a,e)=a).

Step 2

Why this answer is correct

यह तब होता है जब (e) हर (a) का गुणज हो और समुच्चय में सबसे बड़ा उपयुक्त अवयव (8) है। / This happens when (e) is a multiple of every (a), and (8) works in the set.

Step 3

Exam Tip

\(\gcd\) में तत्समक अक्सर ऐसा अवयव होता है जो सभी अवयवों का गुणज हो। / For a \(\gcd\) operation on divisors of a number, the identity is often the largest element.

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Question 99/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,4,8\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) दिया है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,4,8\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), we need (\operatorname{lcm}(a,e)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(\operatorname{lcm}(a,1)=a) सभी \(a \in A\) के लिए सही है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a) for every \(a \in A\).

Step 3

Exam Tip

\(\operatorname{lcm}\) संक्रिया में (1) को पहले जांचना उपयोगी रहता है। / For an \(\operatorname{lcm}\) operation, checking (1) first is useful.

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Question 100/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

यदि (ab=2a+b) है तो ((12)3) और (1(2*3)) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (a*b=2a+b), which statement about ((1*2)*3) and (1*(2*3)) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ((1*2)*3) बड़ा है((1*2)*3) is greater

Step 1

Concept

\(1*2=2\cdot1+2=4\), इसलिए ((1*2)*3=4*3=11) है। / \(1*2=2\cdot1+2=4\), so ((1*2)*3=4*3=11).

Step 2

Why this answer is correct

(2*3=7), इसलिए (1*(2*3)=1*7=9) है। / (2*3=7), so (1*(2*3)=1*7=9).

Step 3

Exam Tip

कोष्ठक बदलने पर मान बदलने से सहचारिता नहीं होती। / If changing brackets changes the value, the operation is not associative.

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Question 101/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संक्रिया (a*b=\min(a,b)) दी है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), the operation (a*b=\min(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (4)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए हर \(a \in A\) पर (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a) for every \(a \in A\).

Step 2

Why this answer is correct

यहां (a*e=\min(a,e)) है। हर (a) को जैसा है वैसा पाने के लिए (e) सबसे बड़ा अवयव होना चाहिए। / Here (a*e=\min(a,e)), so (e) must be the greatest element of the set.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में न्यूनतम वाली संक्रिया में सबसे बड़ा अवयव तत्समक होता है। / In a minimum operation on a finite ordered set, the greatest element works as the identity.

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Question 102/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संक्रिया (a*b=\max(a,b)) दी है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन-सा है?

On the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the operation (a*b=\max(a,b)) is defined. Which element is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a \in A\) के लिए होना चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) must hold for all \(a \in A\).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। / This is possible only when (e) is the least element of (A).

Step 3

Exam Tip

अधिकतम वाली संक्रिया में सबसे छोटा अवयव तत्समक होता है। / In a maximum operation, the least element is the identity.

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Question 103/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

मान लें तत्समक अवयव (e) है। तब (a*e=a) होगा। / Let the identity be (e). Then (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है। हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / From (a+e+ae=a), we get (e(1+a)=0), so (e=0) works for all (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक जांचते समय सामान्य अवयव (a) लेकर समीकरण बनाइए। / To find identity, use a general element and form the equation.

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Question 104/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2) परिभाषित है। इस संक्रिया के लिए (3) का प्रतिलोम क्या होगा?

On real numbers, (a*b=a+b-2) is defined. What is the inverse of (3) under this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

पहले तत्समक अवयव निकालते हैं। (a*e=a) से (a+e-2=a), इसलिए (e=2)। / First find the identity. From (a*e=a), (a+e-2=a), so (e=2).

Step 2

Why this answer is correct

(3*b=2) रखने पर (3+b-2=2), अतः (b=1)। / Put (3*b=2). Then (3+b-2=2), so (b=1).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालने से पहले हमेशा तत्समक अवयव अवश्य निकालें। / Always find the identity before finding an inverse.

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Question 105/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।

On integers, (a*b=a+b+1) is defined. Choose the correct statement about this operation.

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Correct Answer

C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों हैBoth commutative and associative

Step 1

Concept

(a*b=a+b+1=b+a+1=b*a), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b+1=b+a+1=b*a), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=a+b+c+2) और (a*(b*c)=a+b+c+2), इसलिए सहचारी भी है। / ((a*b)*c=a+b+c+2) and (a*(b*c)=a+b+c+2), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

दोनों गुणों की जांच अलग-अलग करनी चाहिए। / Check commutativity and associativity separately.

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Question 106/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित है। यह संक्रिया कौन-सा गुण रखती है?

On real numbers, (a*b=a-b) is defined. Which property does this operation have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. न क्रमविनिमेय न सहचारीNeither commutative nor associative

Step 1

Concept

(a*b=a-b) और (b*a=b-a), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a), which are not equal in general.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=a-b-c) जबकि (a*(b*c)=a-b+c), इसलिए सहचारी भी नहीं है। / ((a*b)*c=a-b-c) but (a*(b*c)=a-b+c), so it is not associative.

Step 3

Exam Tip

घटाव जैसी संक्रियाओं में क्रम पर विशेष ध्यान दें। / For subtraction-type operations, order matters a lot.

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Question 107/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\) से (e=2) मिलता है। / \(\frac{ae}{2}=a\) gives (e=2).

Step 3

Exam Tip

भाग वाली संक्रिया में दोनों तरफ सरल करते समय (a) शून्य न हो, यह ध्यान रखें। / While simplifying, note that (a) is positive and hence non-zero.

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Question 108/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b^2\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On real numbers, \(a*b=a^2+b^2\) is defined. Is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\)Yes because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) जांचते हैं। / For commutativity, check whether (a*b=b*a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*b=a^2+b^2\) और \(b*a=b^2+a^2\), दोनों बराबर हैं। / \(a*b=a^2+b^2\) and \(b*a=b^2+a^2\), which are equal.

Step 3

Exam Tip

जोड़ में पदों का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / The order of terms in addition does not change the value.

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Question 109/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+2b) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय कब होगी?

On real numbers, (a*b=a+2b) is defined. When will this operation be commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. जब (a=b) होWhen (a=b)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेय होने के लिए (a+2b=b+2a) चाहिए। / For commutativity, (a+2b=b+2a) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर (b=a) मिलता है। यह हर जोड़ी के लिए सत्य नहीं है। / Simplifying gives (a=b). This is not true for all pairs.

Step 3

Exam Tip

किसी विशेष जोड़ी पर बराबरी होना पूरी संक्रिया को क्रमविनिमेय नहीं बनाता। / Equality for special pairs does not make the whole operation commutative.

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Question 110/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर संक्रिया (a*b=(a+b)) का शेषफल (3) से भाग देने पर माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), define (a*b) as the remainder when (a+b) is divided by (3). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

यहां संक्रिया (3) से भाग के शेष पर आधारित है। / The operation is based on the remainder modulo (3).

Step 2

Why this answer is correct

(a+0) का शेष वही रहता है जो (a) है, इसलिए (a*0=a)। / The remainder of (a+0) remains (a), so (a*0=a).

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) सामान्यतः तत्समक होता है। / For addition modulo a number, (0) is usually the identity.

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Question 111/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(3*b) का मान (0) चाहिए। (3+1=4), जिसका (4) से शेष (0) है। / We need (3*b=0). Since (3+1=4), the remainder modulo (4) is (0).

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाली जोड़ में प्रतिलोम वह संख्या है जो जोड़कर पूरा गुणज बना दे। / In modulo addition, the inverse makes the sum a multiple of the modulus.

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Question 112/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e-ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1-a)=0) होता है। हर (a) के लिए (e=0) सही है। / This gives (e(1-a)=0). For all (a), (e=0) works.

Step 3

Exam Tip

जब हर (a) के लिए समान अवयव काम करे तभी वह तत्समक है। / A single element must work for every element to be the identity.

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Question 113/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। \(a\neq1\) के लिए (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. For \(a\neq1\), what is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{a}{a-1}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (a+b-ab=0) लिखते हैं। / For inverse (b), write (a+b-ab=0).

Step 3

Exam Tip

(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{a}{a-1}\)। परीक्षा में हर बार तत्समक के बराबर रखकर हल करें। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{a}{a-1}\). In exams, always equate the operation to the identity.

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Question 114/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a+b) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?

On natural numbers, (a*b=a+b) is defined. Is this a binary operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ क्योंकि योग प्राकृतिक संख्या हैYes because the sum is natural

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया के लिए संवृतता चाहिए। / A binary operation needs closure.

Step 2

Why this answer is correct

दो प्राकृतिक संख्याओं का योग फिर प्राकृतिक संख्या ही होता है। / The sum of two natural numbers is again a natural number.

Step 3

Exam Tip

द्विआधारी संक्रिया बनने के लिए प्रतिलोम होना जरूरी नहीं है। / Having inverses is not necessary for being a binary operation.

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Question 115/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?

On natural numbers, (a*b=a-b) is defined. Is this a binary operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकताNo because the result may not be natural

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया में हर (a,b) के लिए परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। / In a binary operation, the result must remain in the same set for every pair.

Step 2

Why this answer is correct

(1*2=1-2=-1), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / (1*2=1-2=-1), which is not a natural number.

Step 3

Exam Tip

एक प्रतिदाहरण संवृतता तोड़ने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to break closure.

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Question 116/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

पूर्णांकों पर (a*b=ab+1) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?

On integers, (a*b=ab+1) is defined. Is this operation commutative?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(a*b=ab+1) और (b*a=ba+1)। / (a*b=ab+1) and (b*a=ba+1).

Step 2

Why this answer is correct

क्योंकि (ab=ba), दोनों मान बराबर हैं। / Since (ab=ba), both values are equal.

Step 3

Exam Tip

गुणा की क्रमविनिमेयता कई नई संक्रियाओं में भी सहायक होती है। / The commutativity of multiplication often helps in checking new operations.

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Question 117/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

पूर्णांकों पर (a*b=ab+1) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?

On integers, (a*b=ab+1) is defined. Is this operation associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

सहचारीता के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) जांचते हैं। / For associativity, compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=(ab+1)c+1=abc+c+1), जबकि (a*(b*c)=a(bc+1)+1=abc+a+1)। / ((a*b)*c=abc+c+1), while (a*(b*c)=abc+a+1).

Step 3

Exam Tip

ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं, इसलिए संक्रिया सहचारी नहीं है। / These are not equal in general, so the operation is not associative.

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Question 118/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) परिभाषित है। यह संक्रिया कौन-सा गुण रखती है?

On real numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Which property does this operation have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहींCommutative but not associative

Step 1

Concept

\(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। / \(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), जबकि (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4})। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), while (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4}). They are not equal in general.

Step 3

Exam Tip

औसत वाली संक्रिया में सहचारीता अक्सर टूट जाती है। / Average-type operations often fail associativity.

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Question 119/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the inverse of (2)?

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Correct Answer

B. \(-\frac{2}{3}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*b=0) रखने पर (2+b+2b=0) मिलता है। / Put (2*b=0), so (2+b+2b=0).

Step 3

Exam Tip

(2+3b=0), इसलिए \(b=-\frac{2}{3}\)। / (2+3b=0), hence \(b=-\frac{2}{3}\).

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Question 120/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम इस संक्रिया में नहीं मिलेगा?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Which element does not have an inverse under this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (-1)

Step 1

Concept

प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+ab=0) होगा। / For inverse (b), we need (a+b+ab=0).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (b(1+a)=-a) मिलता है। यदि (a=-1), तो (1+a=0) हो जाता है और हल संभव नहीं रहता। / This gives (b(1+a)=-a). If (a=-1), then (1+a=0), so no inverse exists.

Step 3

Exam Tip

हर में शून्य आने की स्थिति को तुरंत पहचानें। / Always check where the denominator becomes zero.

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Question 121/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=a) परिभाषित है। यह संक्रिया कैसी है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=a) is defined. Which statement is correct?

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Correct Answer

B. सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहींAssociative but not commutative

Step 1

Concept

(a*b=a) और (b*a=b), इसलिए सामान्यतः बराबर नहीं हैं। संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है। / (a*b=a) and (b*a=b), so they are generally not equal. The operation is not commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=a*c=a) और (a*(b*c)=a*b=a), इसलिए सहचारी है। / ((a*b)*c=a*c=a) and (a*(b*c)=a*b=a), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

नियम को सीधे लगाकर दोनों तरफ की तुलना करें। / Apply the rule directly to both sides.

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Question 122/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (a*b=b) परिभाषित है। यह संक्रिया कैसी है?

On \(A=\{1,2,3\}\), (a*b=b) is defined. Which statement is correct?

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Correct Answer

B. सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहींAssociative but not commutative

Step 1

Concept

(a*b=b) और (b*a=a), इसलिए सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / (a*b=b) and (b*a=a), so it is not commutative in general.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=b*c=c) और (a*(b*c)=a*c=c), इसलिए सहचारी है। / ((a*b)*c=b*c=c) and (a*(b*c)=a*c=c), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

ऐसी संक्रियाओं में पहला या दूसरा अवयव लौटाने का नियम ध्यान से देखें। / For projection-type operations, carefully observe which element is returned.

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Question 123/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. What is the identity element?

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Correct Answer

C. (3)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a+e-3=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a+e-3=a) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e=3) मिलता है। / This gives (e=3).

Step 3

Exam Tip

(a+b-k) जैसी संक्रिया में प्रायः (k) तत्समक बनता है। / In operations like (a+b-k), the number (k) often becomes the identity.

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Question 124/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. What is the inverse of (5)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (3) है। / The identity of this operation is (3).

Step 2

Why this answer is correct

(5*b=3) लिखने पर (5+b-3=3) मिलता है। / Put (5*b=3), so (5+b-3=3).

Step 3

Exam Tip

इससे (b=1)। प्रतिलोम वही है जो संक्रिया करने पर तत्समक दे। / Hence (b=1). The inverse is the element that gives the identity after the operation.

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Question 125/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) के लिए (12) का मान क्या है?

For (a*b=a+b+ab) on real numbers, what is the value of (1*2)?

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Correct Answer

C. (5)

Step 1

Concept

दिए गए नियम में (a=1) और (b=2) रखें। / Put (a=1) and (b=2) in the given rule.

Step 2

Why this answer is correct

\(1*2=1+2+1\cdot2=5\)। / \(1*2=1+2+1\cdot2=5\).

Step 3

Exam Tip

सरल मूल्यांकन में भी संक्रिया के चिन्ह को सामान्य गुणा न समझें। / Even in simple evaluation, do not treat the operation symbol as ordinary multiplication.

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Question 126/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि (ab=2a+b), तो ((12)*3) का मान क्या है?

If (a*b=2a+b), what is the value of ((1*2)*3)?

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Correct Answer

B. (7)

Step 1

Concept

पहले कोष्ठक के अंदर \(1*2=2\cdot1+2=4\) निकालें। / First calculate inside the bracket: \(1*2=2\cdot1+2=4\).

Step 2

Why this answer is correct

अब \(4*3=2\cdot4+3=11\)। / Now \(4*3=2\cdot4+3=11\).

Step 3

Exam Tip

दिए गए विकल्पों से पहले गणना मिलाएं। यहां सही गणना (11) है, इसलिए विकल्पों में त्रुटि हो सकती है। / Compare your calculation with the options. The correct calculation is (11), so the options would be invalid if (11) is absent.

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Question 127/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+2b) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?

On real numbers, (a*b=a+2b) is defined. Is this operation associative?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

सहचारीता के लिए ((a*b)*c) और (a*(b*c)) की तुलना करें। / For associativity, compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=(a+2b)+2c=a+2b+2c), जबकि (a*(b*c)=a+2(b+2c)=a+2b+4c)। / ((a*b)*c=a+2b+2c), while (a*(b*c)=a+2b+4c).

Step 3

Exam Tip

दोनों सामान्यतः बराबर नहीं हैं, इसलिए संक्रिया सहचारी नहीं है। / Since these are not generally equal, the operation is not associative.

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Question 128/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस संक्रिया के लिए सही कथन चुनिए।

On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. Choose the correct statement for this operation.

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Correct Answer

C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों हैBoth commutative and associative

Step 1

Concept

(a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), इसलिए यह क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए तीन अवयवों पर भी समूह बदलने से परिणाम समान रहता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), grouping three elements does not change the result.

Step 3

Exam Tip

ऐसे रूपों में सरल बीजीय पहचान सहचारीता जल्दी दिखा देती है। / Useful algebraic rewriting can make associativity easier to verify.

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Question 129/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-4) परिभाषित है। (7) का प्रतिलोम क्या होगा?

On real numbers, (a*b=a+b-4) is defined. What will be the inverse of (7)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

पहले (a*e=a) से (a+e-4=a), इसलिए (e=4) मिलता है। / First find the identity from (a*e=a): (a+e-4=a), so (e=4).

Step 2

Why this answer is correct

(7*b=4) रखने पर (7+b-4=4), अतः (b=1)। / Put (7*b=4): (7+b-4=4), hence (b=1).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय संक्रिया का परिणाम तत्समक के बराबर रखें। / To find an inverse, equate the operation result to the identity.

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Question 130/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (a*b) को (a) और (b) का लघुत्तम समापवर्त्य माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), (a*b) is the least common multiple of (a) and (b). What is the identity element?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी (a) का (1) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (a) ही होता है। / The least common multiple of any (a) with (1) is (a) itself.

Step 3

Exam Tip

लघुत्तम समापवर्त्य वाली संक्रिया में (1) को तुरंत जांचें। / For an LCM operation, check (1) first as the identity.

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Question 131/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (a*b) को (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), (a*b) is the greatest common divisor of (a) and (b). What is the identity element?

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Correct Answer

D. (12)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a \in A\) पर चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a) must hold for every \(a \in A\).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा (e=12) लेने पर होता है, क्योंकि सभी अवयव (12) के भाजक हैं। / This happens for (e=12), because all elements of (A) divide (12).

Step 3

Exam Tip

महत्तम समापवर्तक वाली संक्रिया में सबसे बड़ा ऐसा अवयव देखें जो सबको समाहित करे। / For a GCD operation on divisors of a number, the largest element is often the identity.

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Question 132/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b\) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?

On real numbers, \(a*b=a^2+b\) is defined. Is this operation commutative?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

\(a*b=a^2+b\) और \(b*a=b^2+a\) लिखें। / Write \(a*b=a^2+b\) and \(b*a=b^2+a\).

Step 2

Why this answer is correct

उदाहरण के लिए (1*2=3), लेकिन (2*1=5)। दोनों बराबर नहीं हैं। / For example, (1*2=3), but (2*1=5). They are not equal.

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता तोड़ने के लिए एक सही प्रतिदाहरण पर्याप्त है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.

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Question 133/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया पूर्णांकों पर संवृत है?

On integers, (a*b=a+b+ab) is defined. Is this operation closed on integers?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

संवृतता के लिए परिणाम फिर उसी समुच्चय में होना चाहिए। / For closure, the result must stay in the same set.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) पूर्णांक हैं, तो (a+b+ab) भी पूर्णांक होगा। / If (a) and (b) are integers, then (a+b+ab) is also an integer.

Step 3

Exam Tip

जोड़ और गुणा पूर्णांकों में संवृत होते हैं, इसलिए उनका ऐसा संयोजन भी पूर्णांक देता है। / Addition and multiplication are closed in integers, so such a combination also gives an integer.

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Question 134/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

प्राकृतिक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?

On natural numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Is this a binary operation?

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Correct Answer

B. नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं भी हो सकताNo because the result may not be natural

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया के लिए हर जोड़ी का परिणाम प्राकृतिक संख्या होना चाहिए। / For a binary operation, the result for every pair must be a natural number.

Step 2

Why this answer is correct

\(1*2=\frac{3}{2}\), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / \(1*2=\frac{3}{2}\), which is not a natural number.

Step 3

Exam Tip

संवृतता जांचते समय एक प्रतिदर्श लेकर भी निर्णय किया जा सकता है। / A single counterexample can show that closure fails.

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Question 135/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (ab=a+b-ab) परिभाषित है। (10) का मान क्या है?

On \(A=\{0,1\}\), (a*b=a+b-ab) is defined. What is the value of (1*0)?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

दिए गए नियम में (a=1) और (b=0) रखें। / Put (a=1) and (b=0) in the rule.

Step 2

Why this answer is correct

\(1*0=1+0-1\cdot0=1\)। / \(1*0=1+0-1\cdot0=1\).

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चयों में भी नियम को सीधे लगाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Even for small sets, directly applying the rule is the safest method.

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Question 136/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=3a+3b-2ab) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?

On real numbers, (a*b=3a+3b-2ab) is defined. Is this operation commutative?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(a*b=3a+3b-2ab) और (b*a=3b+3a-2ba) लिखें। / Write (a*b=3a+3b-2ab) and (b*a=3b+3a-2ba).

Step 2

Why this answer is correct

जोड़ और गुणा का क्रम बदलने पर मान नहीं बदलता, इसलिए दोनों समान हैं। / Addition and multiplication do not change value when order is changed, so both are equal.

Step 3

Exam Tip

सममित रूप वाली संक्रियाएं अक्सर क्रमविनिमेय होती हैं। / Symmetric-looking operations are often commutative.

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Question 137/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+2ab) is defined. What is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e+2ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e+2ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1+2a)=0) होता है। हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / This becomes (e(1+2a)=0). For all (a), (e=0) works.

Step 3

Exam Tip

तत्समक वही है जो हर अवयव के साथ परिणाम को न बदले। / The identity is the element that does not change any element under the operation.

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Question 138/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2ab) है। (1) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+2ab) is defined. What is the inverse of (1)?

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Correct Answer

C. \(-\frac{1}{3}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(1*b=0) रखने पर (1+b+2b=0) मिलता है। / Put (1*b=0), so (1+b+2b=0).

Step 3

Exam Tip

(1+3b=0), इसलिए \(b=-\frac{1}{3}\)। / (1+3b=0), hence \(b=-\frac{1}{3}\).

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Question 139/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (ab) को (a+b) को (5) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। (24) का मान क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (5). What is the value of (2*4)?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

पहले (2+4=6) जोड़ें। / First add (2+4=6).

Step 2

Why this answer is correct

(6) को (5) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / When (6) is divided by (5), the remainder is (1).

Step 3

Exam Tip

शेषफल आधारित संक्रिया में अंतिम उत्तर हमेशा दिए गए समुच्चय में होना चाहिए। / In remainder-based operations, the final answer must belong to the given set.

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Question 140/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder obtained when (ab) is divided by (5). What is the identity element?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। / In a multiplication-based remainder operation, we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर शेष (a) ही रहता है, क्योंकि (a) पहले से (0) से (4) के बीच है। / The remainder of \(a\cdot1\) when divided by (5) is (a), since (a) already lies from (0) to (4).

Step 3

Exam Tip

गुणन वाली शेषफल संक्रिया में (1) तत्समक होता है। / For multiplication modulo a number, (1) is the identity.

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Question 141/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=|a-b|) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=|a-b|) is defined. Is this a binary operation?

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Correct Answer

B. नहीं क्योंकि परिणाम (A) से बाहर जा सकता हैNo because the result can go outside (A)

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया के लिए परिणाम (A) में ही होना चाहिए। / For a binary operation, the result must remain in (A).

Step 2

Why this answer is correct

(1*1=|1-1|=0), लेकिन \(0 \notin A\)। / (1*1=|1-1|=0), but \(0 \notin A\).

Step 3

Exam Tip

संवृतता में केवल कुछ जोड़े नहीं, हर जोड़ी जांची जाती है। / Closure must hold for every pair, not just some pairs.

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Question 142/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b=|a-b|) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b=|a-b|) is defined. Is this operation commutative?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(a*b=|a-b|) और (b*a=|b-a|) हैं। / (a*b=|a-b|) and (b*a=|b-a|).

Step 2

Why this answer is correct

निरपेक्ष मान के कारण (|a-b|=|b-a|) होता है। / Because of absolute value, (|a-b|=|b-a|).

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष अंतर वाली संक्रिया क्रमविनिमेय होती है, पर सहचारीता अलग से जांचनी पड़ती है। / Absolute difference is commutative, but associativity must be checked separately.

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Question 143/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On integers, (a*b=a+b-1) is defined. What is the identity element?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e-1=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-1=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e=1) प्राप्त होता है। / This gives (e=1).

Step 3

Exam Tip

रैखिक संक्रिया में तत्समक निकालने के लिए (a*e=a) सबसे सरल तरीका है। / For a linear operation, (a*e=a) is the simplest way to find the identity.

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Question 144/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) परिभाषित है। (4) का प्रतिलोम क्या है?

On integers, (a*b=a+b-1) is defined. What is the inverse of (4)?

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Correct Answer

A. (-2)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक (1) है। / The identity in this operation is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(4*b=1) रखने पर (4+b-1=1) मिलता है। / Put (4*b=1), so (4+b-1=1).

Step 3

Exam Tip

इससे (b=-2)। प्रतिलोम का अर्थ है ऐसा अवयव जो संक्रिया के बाद तत्समक दे। / Hence (b=-2). An inverse is the element that gives the identity under the operation.

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Question 145/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+5) परिभाषित है। यह संक्रिया किस प्रकार की है?

On real numbers, (a*b=a+b+5) is defined. Which type of operation is it?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनोंBoth commutative and associative

Step 1

Concept

(a+b+5=b+a+5), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a+b+5=b+a+5), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=a+b+c+10) और (a*(b*c)=a+b+c+10), इसलिए सहचारी भी है। / ((a*b)*c=a+b+c+10) and (a*(b*c)=a+b+c+10), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

स्थिर संख्या जुड़ने पर भी दोनों तरफ पूरा विस्तार करके देखें। / Even with a constant added, expand both sides completely.

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Question 146/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+5) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+5) is defined. What is the identity element?

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Correct Answer

C. (-5)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e+5=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e+5=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e=-5) प्राप्त होता है। / This gives (e=-5).

Step 3

Exam Tip

(a+b+k) जैसी संक्रिया में (-k) तत्समक बनता है। / In an operation like (a+b+k), the identity is usually (-k).

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Question 147/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Is this operation commutative?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

\(a*b=\sqrt{ab}\) और \(b*a=\sqrt{ba}\) लिखें। / Write \(a*b=\sqrt{ab}\) and \(b*a=\sqrt{ba}\).

Step 2

Why this answer is correct

क्योंकि (ab=ba), दोनों का वर्गमूल समान होगा। / Since (ab=ba), both square roots are equal.

Step 3

Exam Tip

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का प्रयोग करके नई संक्रिया की जांच करें। / Use the commutative property of multiplication to test the new operation.

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Question 148/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Is this operation associative?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

उदाहरण लेकर जांचें। ((4*1)*1=\sqrt{\sqrt{4\cdot1}\cdot1}=\sqrt{2})। / Test with an example. ((4*1)*1=\sqrt{\sqrt{4\cdot1}\cdot1}=\sqrt{2}).

Step 2

Why this answer is correct

(4*(1*1)=\sqrt{4\cdot1}=2)। दोनों बराबर नहीं हैं। / (4*(1*1)=\sqrt{4\cdot1}=2). These are not equal.

Step 3

Exam Tip

सहचारीता गलत सिद्ध करने के लिए एक स्पष्ट प्रतिदाहरण पर्याप्त है। / One clear counterexample is enough to disprove associativity.

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Question 149/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e-2ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-2ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1-2a)=0) बनता है। हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / This gives (e(1-2a)=0). For all (a), (e=0) works.

Step 3

Exam Tip

तत्समक के लिए एक ही अवयव सभी वास्तविक संख्याओं पर काम करना चाहिए। / The identity must be one fixed element that works for every real number.

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Question 150/150 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (ab) को (3) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder obtained when (ab) is divided by (3). What is the inverse of (2)?

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Correct Answer

C. (2)

Step 1

Concept

इस गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में तत्समक (1) है। / In this multiplication-based remainder operation, the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(2*b=1) चाहिए। \(2\cdot2=4\) और (4) को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / We need (2*b=1). Since \(2\cdot2=4\), and the remainder of (4) on division by (3) is (1), the inverse is (2).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम खोजते समय संक्रिया का परिणाम हमेशा तत्समक अवयव के बराबर रखें। / While finding an inverse, always equate the operation result to the identity element.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Binary operations Medium Quiz

यदि वास्तविक संख्याओं पर संक्रिया (a*b=a+b+ab) से परिभाषित है, तो (2*5) का मान क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

यदि \(a*b=a^2+2b\) है, तो (3*4) का मान क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=2a-b) है, तो ((5*2)*3) का मान क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=2a-b) है, तो (5*(2*3)) का मान क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b=\max(a,b)) दिया है। इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव कौन सा है?

Concept

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Exam Tip

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b=\min(a,b)) दिया है। तत्समक अवयव क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b-3) है, तो तत्समक अवयव (e) कौन सा है?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b-3) में तत्समक अवयव (3) है, तो (7) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b+ab) है, तो इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा है?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b+ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (2) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b+2ab) है, तो तत्समक अवयव कौन सा है?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b+2ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (1) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया बंद है?

Concept

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Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a-b) दिया है। कौन सा उदाहरण बंदता को गलत सिद्ध करता है?

Concept

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परिमेय संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह संक्रिया बंद क्यों है?

Concept

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Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?

Concept

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Exam Tip

यदि \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है, तो क्या यह संक्रिया साहचर्य है?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b-ab) है, तो (0) के बारे में सही कथन कौन सा है?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b-ab) में तत्समक अवयव (0) है, तो (3) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

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Exam Tip

यदि (a*b=a+b-ab) है, तो यह संक्रिया क्रमविनिमेय क्यों है?

Concept

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यदि वास्तविक संख्याओं पर संक्रिया (ab=a+b+ab) से परिभाषित है, तो (25) का मान क्या होगा?

यदि \(ab=a^2+2b\) है, तो (34) का मान क्या होगा?

यदि (ab=2a-b) है, तो ((52)*3) का मान क्या होगा?

यदि (ab=2a-b) है, तो (5(2*3)) का मान क्या होगा?

यदि (ab=a+b+ab) है, तो (ab=b*a) के बारे में सही कथन चुनिए।

यदि (ab=a-b+ab) है, तो (12) और (2*1) के आधार पर सही निष्कर्ष क्या है?

यदि (ab=a+b+2) है, तो ((12)*3) का मान क्या होगा?

यदि (ab=a+b+2) है, तो (1(2*3)) का मान क्या होगा?

यदि (ab=ab+a+b) है, तो (ab) को किस रूप में लिखा जा सकता है?

यदि (ab=a+b+ab) और (x2=8) है, तो (x) का मान क्या होगा?

यदि (ab=2a+b) और (x3=11) है, तो (x) का मान क्या है?

यदि \(ab=a^2+b\) और (2x=9) है, तो (x) का मान क्या होगा?

यदि \(ab=a+b^2\) और (x3=15) है, तो (x) का मान क्या होगा?

यदि (ab=|a-b|) और (x4=3) है, तो (x) के प्राकृतिक मानों में से कौन सा संभव है?

यदि \(ab=\frac{ab}{a+b}\), जहाँ \(a+b\neq 0\), तो (26) का मान क्या होगा?

यदि \(ab=\frac{a+b}{1+ab}\), जहाँ \(1+ab\neq 0\), तो (12) का मान क्या होगा?

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (ab) को (a) और (b) में बड़े अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है। (24) का मान क्या होगा?

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (ab) को (a) और (b) में छोटे अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है। (31) का मान क्या होगा?