Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^2+4\) में \(x\) की घातें 2 और 0 हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। इसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है, रैखिक बहुपद नहीं। \(5x-2\) रैखिक बहुपद है क्योंकि इसकी घात 1 है। \(\frac{1}{x}+1\) और \(\sqrt{x}+2\) बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें \(x\) की घात क्रमशः \(-1\) और \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात सदैव 0 या धनात्मक पूर्णांक होती है। / In \(x^2+4\), the powers of \(x\) are 2 and 0, which are non-negative integers; therefore, it is a polynomial. Its highest power is 2, so it is a quadratic polynomial, not a linear polynomial. \(5x-2\) is linear because its degree is 1. \(\frac{1}{x}+1\) and \(\sqrt{x}+2\) are not polynomials because they contain powers \(-1\) and \(\frac{1}{2}\), respectively. Exam tip: the exponent of a variable in a polynomial must be 0 or a positive integer.
\(5x^4-x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। अतः यह घात \(4\) का बहुपद है, घात \(2\) का नहीं। \(x^2+x+1\) भी बहुपद है, पर उसकी घात \(2\) है। \(\sqrt{x}+1\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) तथा \(\frac{1}{x}+x^2\) में \(x\) की घात \(-1\) आती है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल ऋणेतर पूर्णांक होती हैं। / In \(5x^4-x+2\), the highest power of \(x\) is \(4\). Therefore, it is a polynomial of degree \(4\), not degree \(2\). \(x^2+x+1\) is also a polynomial, but its degree is \(2\). \(\sqrt{x}+1\) has \(x\) raised to \(\frac{1}{2}\), and \(\frac{1}{x}+x^2\) has \(x\) raised to \(-1\), so neither is a polynomial. Exam tip: exponents of variables in a polynomial must be non-negative integers.
\(x^3+2x\) में \(x\) की घातें \(3\) और \(1\) हैं, जो पूर्ण गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए यह बहुपद है और इसकी घात \(3\) है। विकल्प B में व्यंजक बहुपद तो है, पर उसकी घात \(2\) है, \(1\) नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, लेकिन पहले जाँचें कि कोई ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात न हो। / In \(x^3+2x\), the powers of \(x\) are \(3\) and \(1\), both non-negative integers. The greatest power is \(3\), so it is a polynomial of degree \(3\). In option B, the expression is a polynomial, but its degree is \(2\), not \(1\). Exam tip: To find the degree, identify the greatest power of the variable only after checking that no negative or fractional powers occur.
\(x^4+x\) में \(x\) की घातें \(4\) और \(1\) हैं, जो दोनों अशून्य पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(x\) में बहुपद है और इसकी सबसे बड़ी घात \(4\) है। \(x^{-4}\), \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) और \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात आती है, इसलिए वे \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा \(0,1,2,\ldots\) होती है। / In \(x^4+x\), the powers of \(x\) are \(4\) and \(1\), both of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial in \(x\), and its highest power, or degree, is \(4\). The expressions \(x^{-4}\), \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) contain negative or fractional powers, so they are not polynomials in \(x\). Exam tip: in a polynomial, powers of the variable must be \(0,1,2,\ldots\).
\(x^2+6\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें चर \(x\) की घातें \(2\) और \(0\) जैसी गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। इसका सबसे बड़ा घातांक \(2\) है, इसलिए इसकी घात \(2\) है, \(1\) नहीं। \(4x-7\) निकटतम विकल्प है, पर उसकी घात \(1\) है। \(\frac{1}{x}+3\) और \(\sqrt{x}+2\) बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें क्रमशः \(x^{-1}\) और \(x^{1/2}\) आते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर का घातांक हमेशा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है। / \(x^2+6\) is a polynomial because the exponents of \(x\) are non-negative integers, namely \(2\) and \(0\). Its highest exponent is \(2\), so its degree is \(2\), not \(1\). The closest option, \(4x-7\), has degree \(1\). \(\frac{1}{x}+3\) and \(\sqrt{x}+2\) are not polynomials because they contain \(x^{-1}\) and \(x^{1/2}\), respectively. Exam tip: in a polynomial, every variable exponent must be a non-negative integer.
\(2x^6-x^3+8\) में \(x\) की घातें \(6\), \(3\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसका सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, इसलिए यह घात \(6\) का बहुपद है। विकल्प A में \(x^{6/2}=x^3\) होने से घात \(3\) है, जबकि B और D में \(x\) की ऋणात्मक घातें हैं, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले सुनिश्चित करें कि चर की कोई घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / In \(2x^6-x^3+8\), the powers of \(x\) are \(6\), \(3\), and \(0\), all of which are non-negative integers. The highest exponent is \(6\), so it is a polynomial of degree \(6\). In option A, \(x^{6/2}=x^3\), so its degree is \(3\); options B and D contain negative powers of \(x\), so they are not polynomials. Exam tip: before finding a polynomial’s degree, check that no variable has a negative or fractional exponent.
\(6x^4-x+3\) में \(x\) की घातें \(4\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए यह बहुपद है। इसकी सबसे बड़ी घात \(4\) है, अतः यह घात \(2\) का बहुपद नहीं है। \(x^2+5x+6\) घात \(2\) का बहुपद है। \(\sqrt{x}+2\) और \(\frac{1}{x}+x^2\) बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें \(x\) की घात क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(-1\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक होती हैं; सबसे बड़ी घात ही बहुपद की घात होती है। / In \(6x^4-x+3\), the powers of \(x\) are \(4\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial. Its highest power is \(4\), therefore it is not a polynomial of degree \(2\). \(x^2+5x+6\) is a degree-\(2\) polynomial. \(\sqrt{x}+2\) and \(\frac{1}{x}+x^2\) are not polynomials because they contain powers \(\frac{1}{2}\) and \(-1\), respectively. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers, and the greatest exponent gives the degree.
\(2x^5-x^2+3\) में \(x\) की घातें \(5\), \(2\) और \(0\) हैं। ये सभी अशून्येतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह एक बहुपद है। इसकी सबसे बड़ी घात \(5\) है, अतः इसकी घात \(5\) है। \(x^{5/2}+2\) में भिन्नात्मक घात है, जबकि \(x^{-5}+4\) तथा \(\frac{1}{x^5}+1\) में \(x\) की ऋणात्मक घात होती है; इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(2x^5-x^2+3\), the powers of \(x\) are \(5\), \(2\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial. Its highest power is \(5\), hence its degree is \(5\). \(x^{5/2}+2\) has a fractional exponent, whereas \(x^{-5}+4\) and \(\frac{1}{x^5}+1\) have negative powers of \(x\); therefore, they are not polynomials. Exam tip: In a polynomial, an exponent of a variable can only be \(0,1,2,\ldots\).
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में पदों की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। 2 केवल पद -5x-2 की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable with a non-zero coefficient. The exponents of the terms in the given polynomial are 4, 2, 1, and 0. The greatest exponent is 4, so its degree is 4. Option 2 is only the exponent of the term -5x-2, not of the whole polynomial. Exam tip: A constant term has degree 0.
बहुपद की डिग्री उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(0x^7\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह वास्तव में बहुपद का पद नहीं माना जाता। शेष पदों में \(8x^5\) की घात सबसे बड़ी, अर्थात 5, है। इसलिए सही उत्तर 5 है। \(7\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन शून्य गुणांक वाले पद की घात डिग्री तय नहीं करती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent among terms with non-zero coefficients. Here, the coefficient of \(0x^7\) is zero, so it does not count as a term of the polynomial. Among the remaining terms, \(8x^5\) has the greatest exponent, 5. Therefore, the degree is 5. Option 7 is a close distractor, but a term with a zero coefficient cannot determine the degree. Exam tip: First ignore all terms whose coefficients are zero before finding the highest power.
यहाँ 4x-3 और -4x-3 परस्पर कट जाते हैं, इसलिए व्यंजक 9x-2-5 रह जाता है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 3 गलत है क्योंकि x-3 वाले पद सरल करने पर शून्य हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सदृश पदों को अवश्य सरल करें। / Here, 4x-3 and -4x-3 cancel each other, so the expression becomes 9x-2-5. The highest power of x in this polynomial is 2; therefore, its degree is 2. Option 3 is incorrect because the x-3 terms become zero after simplification. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
जब
\(a=3\) रखा जाता है, तब \(a-3=0\) हो जाता है। इसलिए \(x^6\) वाला पद समाप्त हो जाता है और बहुपद \(p(x)=2x^2-1\) बनता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, अतः डिग्री \(2\) है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि उसका गुणांक शून्य होने पर \(x^6\) पद बहुपद का भाग नहीं रहता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Substituting \(a=3\) gives \(a-3=0\). Hence, the \(x^6\) term vanishes and the polynomial becomes \(p(x)=2x^2-1\). The highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is \(2\). Option 6 is incorrect because a term with zero coefficient is not part of the polynomial. Exam tip: Substitute any given parameter values and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। डिग्री 1 होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए: \(k+5=0\)। अतः \(k=-5\) होगा। इस मान पर बहुपद \(-7x+9\) बनता है, जिसकी डिग्री 1 है क्योंकि \(x\) का गुणांक \(-7\) शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले शून्य करके जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. For the degree to be 1, the coefficient of \(x^4\) must be zero: \(k+5=0\). Hence, \(k=-5\). The polynomial then becomes \(-7x+9\), which has degree 1 because the coefficient of \(x\), \(-7\), is non-zero. Exam tip: In parameter-based polynomials, first set the coefficient of the highest power equal to zero and then check the remaining terms.
सबसे बड़ी घात (8) वाले पद से डिग्री तय होती है। ऋणात्मक गुणांक डिग्री को नहीं बदलता। / The degree is decided by the term with highest power (8). A negative coefficient does not change the degree.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में घातें 2, 9, 5 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 9 है, जो पद \(x^9\) में है। इसलिए सही उत्तर 9 है। \(6x^5\) की घात 5 है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: पदों का क्रम बदलने से बहुपद की डिग्री नहीं बदलती। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. In the given polynomial, the exponents are 2, 9, 5, and 0; the greatest is 9 in the term \(x^9\). Therefore, the degree is 9. The term \(6x^5\) has exponent 5, so it does not determine the degree. Exam tip: the order of terms does not affect the degree of a polynomial.
बहुपद में जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे बहुपद के मानक रूप में नहीं गिने जाते। इसलिए \(q(x)=11x-4\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की डिग्री 1 है। 5 और 3 घातें दिख रही हैं, पर उनके गुणांक 0 हैं; इसलिए वे डिग्री निर्धारित नहीं करतीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / Terms with coefficient 0 are not counted in the standard form of a polynomial. Thus, \(q(x)=11x-4\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 1, so its degree is 1. Although powers 5 and 3 appear in the expression, their coefficients are 0, so they do not determine the degree. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms before finding the degree.
यहाँ \(x^0=1\) होता है, इसलिए बहुपद \(1+6x^4-3x^2\) है। इसका शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक \(4\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(4\) है। \(2\) केवल \(-3x^2\) पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले \(x^0\) जैसे पदों को स्थिरांक में बदल लें। / Since \(x^0=1\), the polynomial becomes \(1+6x^4-3x^2\). The highest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient is \(4\), so its degree is \(4\). \(2\) is only the exponent in the term \(-3x^2\), not the greatest exponent. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) into constants before finding the degree.
बहुपद \(15\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें चर का कोई पद नहीं है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री \(0\) होती है। \(1\) केवल रैखिक बहुपदों की डिग्री होती है, नियतांक बहुपदों की नहीं। परीक्षा टिप: किसी अशून्य स्थिर संख्या, जैसे \(7\), \(-3\) या \(15\), की बहुपद के रूप में डिग्री हमेशा \(0\) होती है। / The polynomial \(15\) is a non-zero constant polynomial because it contains no variable term. The degree of every non-zero constant polynomial is \(0\). Degree \(1\) is for linear polynomials, not constant polynomials. Exam tip: Any non-zero fixed number, such as \(7\), \(-3\), or \(15\), has degree \(0\) when treated as a polynomial.
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। इसे अशून्य नियतांक बहुपद से अलग रखें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
समान पदों को जोड़ने पर 3x-5+2x-5=5x-5, इसलिए बहुपद 5x-5-4x-2+8 बनता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 5 है, अतः इसकी डिग्री 5 है। 8 अचर पद है; उसका मान 8 होने से बहुपद की डिग्री 8 नहीं होती। परीक्षा टिप: बहुपद को पहले सरल करें और फिर शून्येतर गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Combining like terms gives 3x-5+2x-5=5x-5, so the polynomial becomes 5x-5-4x-2+8. The highest power of x is 5; therefore, its degree is 5. The number 8 is a constant term, so it does not make the degree 8. Exam tip: simplify a polynomial first, then identify the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(r\neq0\) होने से \(rx^7\) पद का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए \(x\) की सबसे बड़ी घात \(7\) है और बहुपद की डिग्री \(7\) होगी। \(2\), पद \(3x^2\) की घात है, लेकिन यह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात के पद का गुणांक अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(r\neq0\), the coefficient of \(rx^7\) is non-zero. Hence the highest power of \(x\) is \(7\), so the degree is \(7\). Although \(3x^2\) has exponent \(2\), it is not the highest exponent. Exam tip: For a polynomial involving a parameter, always check whether the coefficient of the highest-power term is zero.
जब r=0 रखा जाता है, तब rx-7=0 हो जाता है। इसलिए बहुपद 3x-2-10 रह जाता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की डिग्री 2 है। 7 डिग्री नहीं होगी क्योंकि x-7 वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: किसी पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Putting r=0 makes rx-7=0. The polynomial therefore becomes 3x-2-10. Its highest power of x is 2, so its degree is 2. It is not 7 because the x-7 term has become zero. Exam tip: after substituting a parameter value, first remove all zero-coefficient terms and then identify the highest remaining exponent.
बहुपद में चर y की घातें 5, 2 और 0 हैं; अचर पद 8 की घात 0 मानी जाती है। इनमें सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 8 बहुपद का अचर पद है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The powers of y in the polynomial are 5, 2, and 0; the constant term 8 has power 0. The greatest power is 5, so the degree of the polynomial is 5. The number 8 is a constant term, not the degree. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the highest exponent of the variable.
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय केवल x की घात देखी जाती है। व्यंजक 5y-2-3y+1 में x उपस्थित नहीं है, इसलिए यह x के सापेक्ष एक अशून्य नियतांक बहुपद है। अतः इसकी डिग्री 0 है। विकल्प 2, y की उच्चतम घात है, x की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घात पर ध्यान दें। / To find the degree with respect to x, consider powers of x only. The expression 5y-2-3y+1 contains no x, so it is a non-zero constant polynomial with respect to x. Hence, its degree is 0. Option 2 is the highest power of y, not of x. Exam tip: Always check the powers of the variable specified in the question.
रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है। \(7x-4\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(x^2+3x-1\) की डिग्री 2 और \(5x^3-2\) की डिग्री 3 है, जबकि \(9\) एक अचर बहुपद है जिसकी डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: किसी अशून्य बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has degree 1. In \(7x-4\), the highest power of \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. \(x^2+3x-1\) has degree 2 and \(5x^3-2\) has degree 3, whereas \(9\) is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: to find the degree of a non-zero polynomial, look for the highest exponent of the variable.
दिया गया व्यंजक फैलाने पर \(2x^4(3x^2-1)=6x^6-2x^4\) प्राप्त होता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री 6 है। \(4\) केवल दूसरे पद \(-2x^4\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए सरल करने के बाद सबसे अधिक घात वाला शून्येतर पद देखें। / On expanding, \(2x^4(3x^2-1)=6x^6-2x^4\). The highest power of \(x\) is \(6\), so the degree of the polynomial is 6. Although \(-2x^4\) has degree 4, it is not the highest-degree term. Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest power in a non-zero term.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर: \(x^2(x^3+1)-x^5+4x=x^5+x^2-x^5+4x=x^2+4x\)। इसमें \(x^5\) और \(-x^5\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद \(x^2+4x\) में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 5 लेने पर रद्द होने वाले पद को अनदेखा किया जाएगा। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / On simplifying, \(x^2(x^3+1)-x^5+4x=x^5+x^2-x^5+4x=x^2+4x\). The terms \(x^5\) and \(-x^5\) cancel each other. The highest power of the variable in the remaining polynomial \(x^2+4x\) is 2, so its degree is 2. Choosing 5 would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
B. डिग्री बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जो यहाँ 5 है।/The degree is the highest exponent of \(x\) in the polynomial, which is 5 here.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है; पदों का क्रम डिग्री को प्रभावित नहीं करता। यहाँ \(-4x^5\) में \(x\) की घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प D गलत है, क्योंकि ऋणात्मक गुणांक घात को नहीं बदलता। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से देखने के बजाय सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms; the order of the terms does not matter. Here, \(-4x^5\) contains \(x\) with exponent 5, so the polynomial has degree 5. Option D is incorrect because a negative coefficient does not change an exponent. Exam tip: check every term and choose the largest exponent of the variable.
\(5x^3-2x+7\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प B में \(x^{-1}\) आता है, जो बहुपद में मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हों। / In \(5x^3-2x+7\), the highest power of x is 3, so it is a degree 3 polynomial. Option B contains \(x^{-1}\), which is not allowed in a polynomial. Exam tip: powers must be non-negative integers.
डिग्री (0) वाला अशून्य बहुपद नियतांक होता है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A non-zero polynomial of degree (0) is constant. The degree of the zero polynomial is not defined.
दिए गए बहुपद में समान घात वाले पदों को मिलाने पर
\(x^4-2x^4+x^4=(1-2+1)x^4=0\) हो जाता है। अतः \(f(x)=3x-5\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 1 है। विकल्प 4 मूल पदों को देखकर चुना जा सकता है, लेकिन उनके गुणांक मिलाकर वे पद निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / Combining the like terms gives
\(x^4-2x^4+x^4=(1-2+1)x^4=0\). Hence, \(f(x)=3x-5\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 1, so its degree is 1. Option 4 may seem tempting from the original expression, but the fourth-degree terms cancel out. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree of a polynomial.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। पद 2x-3y-2 की कुल घात 3+2=5 है, पद 5xy की कुल घात 1+1=2 है और अचर पद -7 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 5 है। 3 केवल x की घात है, कुल डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any one term. For 2x-3y-2, the sum is 3+2=5; for 5xy, it is 1+1=2; and the constant term -7 has degree 0. Hence, the highest total degree is 5. Note that 3 is only the exponent of x, not the total degree. Exam tip: In each term with two or more variables, add all exponents and select the greatest sum.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें: \(4x^2y^3\) की कुल घात \(2+3=5\), \(-3xy^2\) की कुल घात \(1+2=3\), और अचर पद \(9\) की घात \(0\) है। इनमें सबसे बड़ी कुल घात \(5\) है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री \(5\) है। विकल्प 3 दूसरे पद की कुल घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुचरों वाले बहुपद में प्रत्येक पद के घातांकों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / Find the total degree of each term: \(4x^2y^3\) has degree \(2+3=5\), \(-3xy^2\) has degree \(1+2=3\), and the constant term \(9\) has degree \(0\). The greatest of these is \(5\), so the total degree of the polynomial is \(5\). Option 3 is the degree of the second term, not of the whole polynomial. Exam tip: for a polynomial in several variables, add the exponents in each term and select the greatest sum.
(x) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय y को एक गुणांक माना जाता है। पदों में x की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 4, y की घात है; वह x के सापेक्ष डिग्री नहीं बताती। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the terms are 2, 1, and 0 respectively. The greatest power is 2, so the degree of the polynomial is 2. The number 4 is the power of y, not the degree with respect to x. Exam tip: Look only at the highest exponent of the variable specified in the question.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए y की सबसे बड़ी घात देखी जाती है; x को स्थिरांक माना जाता है। पद 3x-2y-4 में y की घात 4, 7xy में 1 और -1 में 0 है। अतः सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए सही उत्तर 4 है। 6, x और y की घातों को जोड़ने पर मिलता है, लेकिन वह y के संदर्भ में डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी हो, तो केवल उसी चर की घात देखें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y and treat x as a constant. The powers of y are 4 in 3x-2y-4, 1 in 7xy, and 0 in -1. Hence, the greatest power is 4, so the correct answer is 4. The value 6 comes from adding powers of x and y, which is not required when the degree is asked with respect to y. Exam tip: when a particular variable is specified, look only at its exponents.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (5) बचता है। (5) अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (5) remains. (5) is a non-zero constant polynomial of degree (0).
डिग्री (2) के लिए \(x^3\) पद हटना चाहिए और \(x^2\) पद बचना चाहिए। (t=1) पर दोनों शर्तें पूरी होती हैं। / For degree (2), the \(x^3\) term must vanish and the \(x^2\) term must remain. At (t=1), both conditions hold.
(u=-2) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / At (u=-2), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (3). Therefore the degree is (4).
\(7x^2-3x+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है और सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए यह डिग्री 2 का, अर्थात द्विघात बहुपद है। \(x^3+2x-1\) की डिग्री 3 है, इसलिए वह घन बहुपद है। \(\frac{4}{x}+1\) में \(x^{-1}\) तथा \(\sqrt{x}+2\) में \(x^{1/2}\) आता है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: द्विघात बहुपद में चर की उच्चतम घात ठीक 2 होनी चाहिए। / In \(7x^2-3x+5\), the highest power of \(x\) is 2, and all exponents are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial of degree 2, i.e. a quadratic polynomial. \(x^3+2x-1\) has degree 3, so it is cubic. \(\frac{4}{x}+1\) contains \(x^{-1}\), and \(\sqrt{x}+2\) contains \(x^{1/2}\); hence, neither is a polynomial. Exam tip: a quadratic polynomial must have highest variable exponent exactly 2.
दिया गया व्यंजक तीन रैखिक गुणनखंडों x, (x-2) और (x+5) का गुणनफल है। प्रत्येक की डिग्री 1 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 1+1+1=3 होगी। इसे फैलाने पर उच्चतम घात वाला पद x-3 मिलता है। विकल्प 2 गलत है क्योंकि वह केवल दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल की डिग्री होती। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के गुणनफल में डिग्रियाँ जोड़ें, बशर्ते उच्चतम घात वाले पद निरस्त न हों। / The expression is the product of three linear factors: x, (x-2), and (x+5). Each factor has degree 1, so the degree of the product is 1+1+1=3. On expansion, the highest-power term is x-3. Option 2 would be the degree of a product of only two linear factors. Exam tip: For a product of polynomials, add their degrees, provided the leading terms do not cancel.
दिए गए व्यंजक में \(2x^6-2x^6=0\) हो जाता है। अतः \(g(x)=x^4-x^2\) बचता है, जिसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। इसलिए बहुपद की डिग्री \(4\) है। \(6\) डिग्री नहीं होगी, क्योंकि \(x^6\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को अवश्य सरल करें। / In the given expression, \(2x^6-2x^6=0\). Thus, \(g(x)=x^4-x^2\), and the highest power of \(x\) remaining is \(4\). Therefore, the degree of the polynomial is \(4\). It is not \(6\) because the \(x^6\) terms cancel each other. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
\(x+1\) में \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है, 0 नहीं। \(8\), \(-3\) और \(\sqrt{2}\) सभी अशून्य नियतांक बहुपद हैं; इनमें चर की कोई घात नहीं होती, इसलिए इनकी डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उसकी डिग्री ज्ञात करें। / In \(x+1\), the highest power of \(x\) is 1, so its degree is 1, not 0. The expressions \(8\), \(-3\), and \(\sqrt{2}\) are all non-zero constant polynomials; they contain no variable term, so each has degree 0. Exam tip: find the highest exponent of the variable to determine the degree of a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों में x की घातें 2, 4, 6 और 8 हैं। सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 8 है। 6 निकटतम विचलित विकल्प है, पर x-8 पद मौजूद होने के कारण डिग्री 6 नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सबसे अधिक घात वाला गैर-शून्य गुणांक का पद पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of x are 2, 4, 6, and 8. The greatest exponent is 8, so the degree of the polynomial is 8. Option 6 is a close distractor, but the presence of the x-8 term means that the degree cannot be 6. Exam tip: identify the term with the highest power and a non-zero coefficient before deciding the degree.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर के सबसे बड़े घात के बराबर होती है। यहाँ \(y^7\) का घात 7 है, इसलिए डिग्री 7 है। पहला पद देखकर 4 चुनना गलत है। परीक्षा में पदों का क्रम नहीं, सबसे बड़ा घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term. Here, the term \(-y^7\) has exponent 7, so the degree is 7. Choosing 4 from the first term is incorrect. Exam tip: check every term for the highest power.
किसी एक-चर बहुपद की डिग्री उस चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 10, 7, 2 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 10 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 10 है। 3 केवल x^{10} का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 मानें और सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial in one variable is the highest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Here, the exponents of x are 10, 7, 2, and 0; the greatest is 10. Therefore, the degree of the polynomial is 10. The number 3 is only the coefficient of x^{10}, not the degree. Exam tip: treat a constant term as having exponent 0 and look for the greatest exponent.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्य न हो। यहाँ घातें n, 3 और 0 हैं। क्योंकि n > 3 है, सबसे बड़ी घात n होगी। दी गई डिग्री 7 है, इसलिए n = 7। विकल्प 3 लेने पर शर्त n > 3 पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानी जाती है। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here the exponents are n, 3, and 0. Since n > 3, the greatest exponent is n. As the given degree is 7, n = 7. Choosing 3 would also violate the condition n > 3. Exam tip: a non-zero constant term has degree 0.
A. (a) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है/(a) can be any real number
Explanation
Simple Explanation
\(x^4\) का गुणांक (1) है जो शून्य नहीं है। इसलिए (a) का मान डिग्री (4) को नहीं बदलता। / The coefficient of \(x^4\) is (1), which is non-zero. So the value of (a) does not change degree (4).
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (13) बचता है। यह डिग्री (0) का अशून्य नियतांक बहुपद है। / Terms with zero coefficients disappear and (13) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
\(5x^2-9\) में उच्चतम घात \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। इसमें \(x\) वाला पद नहीं है, जिसे \(0x\) माना जाता है; अतः \(x\) का गुणांक \(0\) है। \(5x^2+x-9\) में \(x\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपस्थित पद का गुणांक हमेशा \(0\) होता है। / In \(5x^2-9\), the highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is \(2\). There is no \(x\)-term, which can be written as \(0x\); therefore, the coefficient of \(x\) is \(0\). In \(5x^2+x-9\), the coefficient of \(x\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: the coefficient of an absent term is always \(0\).
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर: \(x^3(2x^2-5)+4x^2=2x^5-5x^3+4x^2\)। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है और उसका गुणांक 2 शून्य नहीं है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। \(x^3\) केवल कोष्ठक के बाहर का गुणनखंड है; \(2x^2\) से गुणा करने पर घातें जुड़कर \(x^5\) बनता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलें और पदों को सरल करें। / Expanding the expression gives \(x^3(2x^2-5)+4x^2=2x^5-5x^3+4x^2\). The highest power of \(x\) is 5, and its coefficient, 2, is non-zero. Therefore, the degree of the polynomial is 5. The outside factor \(x^3\) multiplies \(2x^2\), so their exponents add to give \(x^5\); hence 3 is not the degree. Exam tip: expand brackets and simplify terms before identifying the highest exponent.
(s=1) पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (4) है। इसलिए डिग्री (3) है। / At (s=1), the coefficient of \(x^4\) is (0) and the coefficient of \(x^3\) is (4). Therefore the degree is (3).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ 2x-2y की कुल घात 2+1=3, 3xy-4 की कुल घात 1+4=5 तथा अचर 5 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 5 है। विकल्प 3 केवल पहले पद की घात है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any term. Here, the degree of 2x-2y is 2+1=3, the degree of 3xy-4 is 1+4=5, and the constant 5 has degree 0. Therefore, the total degree is 5. Option 3 is only the degree of the first term. Exam tip: Add the exponents in each term and select the greatest sum.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^4+7\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है, 5 नहीं। अन्य विकल्पों में \(x^5\) पद उपस्थित है, इसलिए उनकी डिग्री 5 है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय स्थिर पद को नहीं, चर की सबसे बड़ी घात को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. In \(6x^4+7\), the highest power of \(x\) is 4, so its degree is 4, not 5. Each of the other options contains an \(x^5\) term and therefore has degree 5. Exam tip: For degree, look for the highest power of the variable, not the constant term.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(v\neq2\) है, इसलिए \(v-2\neq0\)। अतः \(x^6\) का गुणांक अशून्य है और सबसे बड़ी घात \(6\) है। इसलिए बहुपद की डिग्री \(6\) है। विकल्प \(4\) केवल तब सही होता, जब \(v=2\) होने पर \(x^6\) का पद समाप्त हो जाता। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में पहले उच्चतम घात के गुणांक की जाँच करें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, \(v\neq2\), so \(v-2\neq0\). Thus, the coefficient of \(x^6\) is non-zero, and the highest power of \(x\) is \(6\). Therefore, the degree is \(6\). Option \(4\) would be correct only if \(v=2\), making the \(x^6\) term vanish. Exam tip: In a polynomial involving a parameter, check the coefficient of the highest-power term first.
विकल्प 9 में कोई चर नहीं है। यह एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। 4x की डिग्री 1, x+9 की डिग्री 1 तथा 2x-2+1 की डिग्री 2 है; केवल अचर पद होने से 2x-2+1 अचर बहुपद नहीं बनता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी डिग्री बताती है। / The expression 9 contains no variable. It is a non-zero constant polynomial, so its degree is 0. The degrees of 4x and x+9 are 1, while that of 2x-2+1 is 2; having a constant term does not make 2x-2+1 a constant polynomial. Exam tip: the highest power of the variable gives the degree of a polynomial.
(w=3) रखने पर \(x^8\) का गुणांक (0) और \(x^5\) का गुणांक (4) होता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (5) है। / Putting (w=3) makes the coefficient of \(x^8\) equal to (0) and the coefficient of \(x^5\) equal to (4). So the highest power is (5).
\(7x^3-2x+5\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है और x की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह x में 3 डिग्री का बहुपद है। \(x^3+\frac{1}{x}\) में \(x^{-1}\) तथा \(\sqrt{x}+x^3\) में \(x^{1/2}\) आता है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। \(x^4-1\) बहुपद है, लेकिन उसकी डिग्री 4 है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3 जैसे अऋणात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। / In \(7x^3-2x+5\), the highest power of x is 3, and all powers of x are non-negative integers. Hence, it is a polynomial in x of degree 3. \(x^3+\frac{1}{x}\) contains \(x^{-1}\), while \(\sqrt{x}+x^3\) contains \(x^{1/2}\), so neither is a polynomial. \(x^4-1\) is a polynomial, but its degree is 4. Exam tip: in a polynomial, powers of the variable must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and 3.
\(x^4\) पद पहले से मौजूद है और (m<4) है। इसलिए (m=2) होने पर भी सबसे बड़ी घात (4) रहेगी। / The \(x^4\) term is already present and (m<4). So even when (m=2), the highest power remains (4).
A. डिग्री सबसे बड़े गुणांक से नहीं, चर के सबसे बड़े घातांक से निर्धारित होती है; अतः डिग्री 5 है।
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके शून्येतर पदों में चर के सबसे बड़े घातांक से मिलती है, गुणांक के आकार से नहीं। यहाँ घातांक 0, 2 और 5 हैं; सबसे बड़ा 5 है। परीक्षा में पहले पदों के घातांक लिखकर अधिकतम चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its non-zero terms, not the largest coefficient. Here the exponents are 0, 2, and 5, so the degree is 5. Exam tip: list exponents first, then choose the maximum.
पद \(0x^8\) का गुणांक 0 है, इसलिए यह बहुपद का प्रभावी पद नहीं है। शेष अशून्य पदों \(7x^5\), \(-4x^2\) और \(1\) में सबसे अधिक घात 5 है। अतः बहुपद की डिग्री \(5\) है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि शून्य गुणांक वाले पद की घात डिग्री निर्धारित नहीं करती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The coefficient of \(0x^8\) is 0, so it does not contribute to the polynomial. Among the remaining non-zero terms, \(7x^5\), \(-4x^2\), and \(1\), the highest exponent is 5. Therefore, the degree of the polynomial is \(5\). Option 8 is incorrect because a term with zero coefficient does not determine the degree. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms before finding the degree.
यहाँ 6x-4 और -6x-4 समान पद हैं तथा उनका योग 0 होता है। इसलिए व्यंजक सरल होकर 3x-3-2 रह जाता है। इसका उच्चतम घात वाला पद 3x-3 है, अतः बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि x-4 वाले पद परस्पर कट चुके हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर बहुपद को सरल करें। / The terms 6x-4 and -6x-4 are like terms, and their sum is 0. Thus, the expression simplifies to 3x-3-2. Its highest-power term is 3x-3, so the degree of the polynomial is 3. Option 4 is incorrect because the x-4 terms cancel out. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree of a polynomial.
a=-2 रखने पर a+2=0 हो जाता है, इसलिए x-7 वाला पद समाप्त हो जाता है। तब p(x)=4x-3-5 बचता है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः इसकी डिग्री 3 है। 7 चुनना गलत होगा क्योंकि उसका गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान को रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Substituting a=-2 gives a+2=0, so the x-7 term disappears. The polynomial becomes p(x)=4x-3-5. Its highest power of x is 3, so its degree is 3. Choosing 7 would be incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Substitute the given value first and remove terms with zero coefficients before finding the degree.
बहुपद की डिग्री उसके सबसे बड़े घात वाले उस पद की घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। डिग्री 2 होने के लिए \(x^5\) का पद समाप्त होना चाहिए, इसलिए \(m-6=0\)। अतः \(m=6\) पर बहुपद \(2x^2+7\) बनता है, जिसकी डिग्री 2 है। \(m=-6\) जैसे मान पर \(x^5\) का गुणांक शून्य नहीं होता, इसलिए डिग्री 5 रहती है। परीक्षा टिप: किसी पैरामीटर वाले बहुपद में पहले उच्चतम घात के गुणांक को जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of a variable whose coefficient is non-zero. For the degree to be 2, the \(x^5\) term must vanish, so \(m-6=0\). Hence, \(m=6\), and the polynomial becomes \(2x^2+7\), which has degree 2. For a value such as \(m=-6\), the coefficient of \(x^5\) is not zero, so the degree remains 5. Exam tip: In a polynomial involving a parameter, first check the coefficient of the highest-power term.
सबसे बड़ी घात (7) वाले पद से डिग्री तय होती है। ऋणात्मक गुणांक डिग्री को नहीं बदलता। / The degree is decided by the term with highest power (7). A negative coefficient does not change the degree.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 2, 10, 4 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 10 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 10 है। 4 केवल एक पद की घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पदों का क्रम चाहे जैसा हो, हमेशा चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents are 2, 10, 4, and 0. The greatest exponent is 10, so the degree of the polynomial is 10. Although 4 is an exponent of one term, it is not the degree of the whole polynomial. Exam tip: The order of terms does not matter; identify the highest power of the variable.
बहुपद में जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे बहुपद के मान को प्रभावित नहीं करते। इसलिए q(x)=0x-6+0x-4-13x+9 को -13x+9 लिखा जा सकता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की डिग्री 1 है। 6 और 4 को नहीं लिया जाएगा, क्योंकि x-6 तथा x-4 के गुणांक शून्य हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Terms with coefficient 0 do not contribute to a polynomial. Thus, q(x)=0x-6+0x-4-13x+9 simplifies to -13x+9. The highest exponent of x in this polynomial is 1, so its degree is 1. Degrees 6 and 4 are not considered because the coefficients of x-6 and x-4 are zero. Exam tip: First remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
यहाँ \(x^0=1\) होता है, इसलिए \(2x^0=2\)। बहुपद को \(9x^5-4x^2+2\) लिखा जा सकता है। इसका शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक \(5\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(5\) है। \(2\) केवल एक पद की घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को सरल करें, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Since \(x^0=1\), \(2x^0=2\). The polynomial can be written as \(9x^5-4x^2+2\). The greatest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient is \(5\), so the degree of the polynomial is \(5\). The value \(2\) is only the degree of one term, not of the whole polynomial. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the highest exponent.
(-24) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें किसी चर का पद नहीं है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री 0 होती है। 1 डिग्री वाले बहुपद में चर की उच्चतम घात 1 होती है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: केवल शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती है; अशून्य नियतांक की डिग्री 0 होती है। / (-24) is a non-zero constant polynomial because it contains no variable term. The degree of every non-zero constant polynomial is 0. A polynomial of degree 1 must have a variable with highest power 1, which is absent here. Exam tip: only the zero polynomial has an undefined degree; a non-zero constant has degree 0.
यह शून्य बहुपद है और इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में इसे नियतांक (0) से अलग पहचानें। / This is the zero polynomial and its degree is not defined. In exams, identify it separately from non-zero constants.
बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है और यह घन बहुपद कहलाता है। \(-4x\) की घात 1 होने से वर्गीकरण नहीं बदलता। परीक्षा टिप: हमेशा सबसे बड़ी घात देखें। / The highest exponent of \(x\) is 3, so the polynomial has degree 3 and is cubic. The term \(-4x\) has exponent 1, so it does not determine the classification. Exam tip: identify the highest exponent first.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(8x^6-3x^6=5x^6\), इसलिए बहुपद \(5x^6+2x^3-7\) बनता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 6 है, अतः इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 5 गुणांक \(5x^6\) से भ्रमित करने वाला है; डिग्री गुणांक नहीं, चर की सबसे बड़ी घात होती है। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को सरल करें, फिर शून्येतर पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / Combining like terms gives \(8x^6-3x^6=5x^6\), so the polynomial becomes \(5x^6+2x^3-7\). The greatest exponent of the variable is 6; therefore, its degree is 6. Option 5 confuses the coefficient in \(5x^6\) with the degree. The degree is the highest power of the variable, not its coefficient. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest exponent among the non-zero terms.
बहुपद की डिग्री उस पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। क्योंकि \(r\neq0\), इसलिए \(rx^8\) शून्येतर पद है। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(8\) है, अतः इसकी डिग्री \(8\) है। विकल्प 3 में \(x^3\) की घात है, पर वह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले पद की घात लेने से पहले उसके गुणांक के शून्य या अशून्य होने की शर्त अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in a term whose coefficient is non-zero. Since \(r\neq0\), \(rx^8\) is a non-zero term. The greatest power of \(x\) in the polynomial is \(8\), so its degree is \(8\). Option 3 represents the exponent of \(x^3\), but it is not the highest exponent. Exam tip: Before finding degree when a parameter is present, check whether its coefficient is zero or non-zero.
जब \(r=0\) होता है, तब \(rx^8=0\cdot x^8=0\) हो जाता है। इसलिए व्यंजक \(-5x^3+2\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि \(x^8\) का गुणांक शून्य होने पर वह पद बहुपद में नहीं रहता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / When \(r=0\), \(rx^8=0\cdot x^8=0\). The expression therefore becomes \(-5x^3+2\). The highest power of \(x\) with a non-zero coefficient is 3, so the degree is 3. Option 8 is incorrect because the \(x^8\) term vanishes when its coefficient is zero. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 12 स्थिर पद है, उसकी घात 0 होती है, इसलिए वह डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक का मान नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 4, 2, and 0, and the greatest is 4. Therefore, the correct answer is 4. The number 12 is a constant term, so its exponent is 0; it does not determine the degree. Exam tip: To find degree, look for the highest power of the variable, not the numerical coefficient.
(x) के संदर्भ में इसमें (x) नहीं है इसलिए यह अशून्य नियतांक जैसा है। इसकी डिग्री (0) है। / With respect to (x), it has no (x), so it behaves like a non-zero constant. Its degree is (0).
बहुपद की डिग्री उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^3-2x+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। \(4x^2-7x+9\) की डिग्री 2 है, जबकि \(x^4+x^2-5\) की डिग्री 4 है। \(12\) एक अचर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल रूप में देखकर सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. In \(7x^3-2x+1\), the highest power of \(x\) is 3, so its degree is 3. \(4x^2-7x+9\) has degree 2, while \(x^4+x^2-5\) has degree 4. \(12\) is a non-zero constant polynomial and has degree 0. Exam tip: first identify the term with the greatest power after simplifying the polynomial.
व्यंजक को फैलाने पर 3x-3 को दोनों पदों से गुणा करते हैं: 3x-3\(2x^2-5\)=6x-5-15x-3। इसमें x की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 3 केवल दूसरे पद की घात है, जबकि 6 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: फैलाने के बाद शून्येतर गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात ही डिग्री होती है। / On expanding, multiply 3x-3 by both terms: 3x-3\(2x^2-5\)=6x-5-15x-3. The highest power of x is 5, so the degree of the polynomial is 5. Here, 3 is the power in the second term, while 6 is a coefficient, not a degree. Exam tip: after simplifying, the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient gives the degree.
पहले गुणा करें: \(x^3(x^2+2)=x^5+2x^3\)। अतः व्यंजक \(x^5+2x^3-x^5+7x^2=2x^3+7x^2\) होगा। \(x^5\) के पद परस्पर कट जाते हैं और शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x^5\) पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / First expand: \(x^3(x^2+2)=x^5+2x^3\). Thus, the expression becomes \(x^5+2x^3-x^5+7x^2=2x^3+7x^2\). The \(x^5\) terms cancel, and the highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 3. Therefore, its degree is 3. Option 5 is incorrect because the \(x^5\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always simplify and combine like terms before finding the degree of a polynomial.
\(-5\) एक अशून्य अचर बहुपद है। अशून्य अचर बहुपद में चर का कोई घात नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। \(x\) की डिग्री \(1\) और \(x^2+1\) की डिग्री \(2\) है। \(0\) शून्य बहुपद है, जिसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: केवल अशून्य अचर बहुपद की डिग्री \(0\) लिखें। / \(-5\) is a non-zero constant polynomial. Since it contains no variable with a positive power, its degree is \(0\). The degree of \(x\) is \(1\), while that of \(x^2+1\) is \(2\). \(0\) is the zero polynomial, whose degree is not defined. Exam tip: degree \(0\) applies only to non-zero constant polynomials.
A. बहुपद की डिग्री 5 है, क्योंकि \(6x^2y^3\) की डिग्री \(2+3=5\) है।/The degree is 5 because the degree of \(6x^2y^3\) is \(2+3=5\).
Explanation
Simple Explanation
बहुचरीय बहुपद में किसी पद की डिग्री उसके चरों की घातों का योग होती है। \(6x^2y^3\) की डिग्री \(2+3=5\) है, जो सबसे अधिक है। केवल \(y\) की घात देखना गलत है। परीक्षा में हर पद की कुल घात जाँचें। / In a multivariable polynomial, a term’s degree is the sum of the exponents of its variables. For \(6x^2y^3\), it is \(2+3=5\), the greatest term degree. Looking only at the exponent of \(y\) is incorrect. Exam tip: add exponents in each term.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है, उसकी डिग्री 1 होती है और उसे रेखीय बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, \(3x-5\) एक रेखीय बहुपद है। नियतांक बहुपद की डिग्री 0 होती है, जबकि द्विघात और त्रिघात बहुपदों की डिग्री क्रमशः 2 और 3 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A polynomial whose highest power of the variable is 1 has degree 1 and is called a linear polynomial. For example, \(3x-5\) is a linear polynomial. A constant polynomial has degree 0, while quadratic and cubic polynomials have degrees 2 and 3 respectively. Exam tip: identify the type of a polynomial by its highest power of the variable.
समान पदों को मिलाने पर 2x-5-5x-5=-3x-5 होता है। अतः f(x)=-3x-5+3x-2-8 है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 2 डिग्री नहीं है, क्योंकि x-5 का पद सरल करने के बाद भी शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले समान घात वाले पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें, फिर सबसे बड़ी शेष घात देखें। / Combining like terms gives 2x-5-5x-5=-3x-5. Thus, f(x)=-3x-5+3x-2-8. The highest power of x is 5, so the degree of the polynomial is 5. It is not 2 because the x-5 term does not cancel completely. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the highest remaining exponent.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। पद \(5x^2y^3\) की कुल घात \(2+3=5\) है, \(4xy\) की कुल घात \(1+1=2\) है और अचर \(-6\) की घात 0 है। इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 5 है। विकल्प 2 केवल \(4xy\) की कुल घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any one term. For \(5x^2y^3\), the sum is \(2+3=5\); for \(4xy\), it is \(1+1=2\); and the constant \(-6\) has degree 0. Therefore, the polynomial has total degree 5. Option 2 is only the degree of \(4xy\), not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents within each term and select the greatest sum.
पहले पद की कुल घात (3+2=5) और दूसरे पद की (1+4=5) है। इसलिए कुल डिग्री (5) है। / The total power of the first term is (3+2=5) and of the second term is (1+4=5). Therefore the total degree is (5).
(x) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय (y) को स्थिर गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में (x) की घातें 3, 1 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। (y) की घात 5 होने पर भी डिग्री 5 नहीं होगी, क्योंकि प्रश्न केवल (x) के सापेक्ष है। परीक्षा टिप: बहुचर वाले व्यंजक में पहले देखिए कि डिग्री किस चर के सापेक्ष पूछी गई है। / To find the degree with respect to (x), treat (y) as a constant coefficient. The powers of (x) in the expression are 3, 1, and 0. The greatest power is 3, so the degree is 3. Although (y) has power 5, the degree is not 5 because the question asks specifically with respect to (x). Exam tip: In a multivariable expression, first identify the variable with respect to which the degree is required.
बहुपद को केवल \(y\) के संदर्भ में देखने पर \(x\) को गुणांक माना जाता है। पदों में \(y\) की घातें \(2\), \(5\) और \(0\) हैं। इनमें सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए बहुपद की \(y\) के सापेक्ष डिग्री \(5\) है। \(3\) को चुनना गलत होगा, क्योंकि वह \(x\) की घात है, \(y\) की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / When the polynomial is considered with respect to \(y\), \(x\) is treated as part of the coefficient. The powers of \(y\) in the terms are \(2\), \(5\), and \(0\). The greatest of these is \(5\), so the degree with respect to \(y\) is \(5\). Choosing \(3\) would be incorrect because it is the power of \(x\), not of \(y\). Exam tip: For degree with respect to one variable, look only at the highest power of that variable.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-12) बचता है। (-12) अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-12) remains. (-12) is a non-zero constant polynomial of degree (0).
डिग्री (2) के लिए \(x^3\) पद हटना चाहिए और \(x^2\) पद बचना चाहिए। (t=-4) पर दोनों शर्तें पूरी होती हैं। / For degree (2), the \(x^3\) term must vanish and the \(x^2\) term must remain. At (t=-4), both conditions hold.
(u=2) पर \(x^6\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (5) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / At (u=2), the coefficient of \(x^6\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (5). Therefore the degree is (4).
बहुपद की घात चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^4-x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए यह चतुर्थ घात का बहुपद है। \(2x^5+x-1\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसकी घात 5 है। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात नहीं, बल्कि चर वाले पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(7x^4-x+2\), the highest power of \(x\) is 4, so it is a polynomial of degree four. The closest distractor, \(2x^5+x-1\), has degree 5, not 4. Exam tip: identify the term containing the highest power of the variable.
यहाँ x, (x+4) और (x-5) तीनों रैखिक गुणनखंड हैं, जिनमें प्रत्येक की डिग्री 1 है। गुणन में बहुपदों की डिग्रियाँ जुड़ती हैं: 1+1+1=3। इसलिए इस बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 2 केवल दो रैखिक गुणनखंडों के गुणन के लिए होता। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के रूप में दिए बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री जोड़ें। / Here, x, (x+4), and (x-5) are three linear factors, each of degree 1. When polynomials are multiplied, their degrees add: 1+1+1=3. Therefore, the degree of the polynomial is 3. Option 2 would apply to a product of only two linear factors. Exam tip: For a polynomial given in factorised form, add the degrees of its factors.
दिए गए व्यंजक में समान पदों का योग करने पर \(5x^7-5x^7=0\) हो जाता है। अतः \(g(x)=x^5-x^2\) है। इसमें शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 7 चुनना गलत होगा, क्योंकि \(x^7\) वाले पद परस्पर निरस्त हो चुके हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / On combining like terms, \(5x^7-5x^7=0\). Thus, \(g(x)=x^5-x^2\). The highest exponent having a non-zero coefficient is 5, so the degree of the polynomial is 5. Choosing 7 would be incorrect because the \(x^7\) terms cancel each other. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में x की घातें 3, 5, 7 और 9 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 9 है। इसलिए इसकी डिग्री 9 है। 7 निकटतम विचलनकारी विकल्प है, पर x-9 पद मौजूद होने के कारण डिग्री 7 नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: बहुपद के सभी पदों में चर की सर्वाधिक घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In the given polynomial, the powers of x are 3, 5, 7, and 9; the greatest is 9. Hence, its degree is 9. Although 7 is a close distractor, the term x-9 is present, so the degree cannot be 7. Exam tip: identify the highest power of the variable among all the terms.
A. डिग्री 5 है, क्योंकि शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात 5 है।/The degree is 5 because the highest exponent of a term with a non-zero coefficient is 5.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री शून्येतर गुणांक वाले किसी भी पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ घातें 2, 5 और 0 हैं; सबसे बड़ी 5 है। पहला पद डिग्री तय नहीं करता। परीक्षा में पदों के क्रम पर नहीं, सबसे बड़ी घात पर ध्यान दें। / The degree is the greatest exponent among terms having non-zero coefficients. Here the exponents are 2, 5, and 0, so the degree is 5. The first written term does not decide it. Exam tip: scan every term and select the highest power of the variable.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 11, 8, 4 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 11 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 11 है। 4 केवल x^{11} का गुणांक है, जबकि 8 दूसरे पद की घात है। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 मानें और सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in a term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of x are 11, 8, 4, and 0; the greatest is 11. Therefore, the degree of the polynomial is 11. The number 4 is only the coefficient of x^{11}, while 8 is the exponent in another term. Exam tip: Treat a constant term as having exponent 0 and identify the highest exponent.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ n > 4 है, इसलिए x^n की घात 4 से बड़ी है और वही सबसे बड़ी घात होगी। डिग्री 9 दी गई है, अतः n = 9। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि प्रश्न में n > 4 दिया है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य न होने की जाँच करें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. Since n > 4, the exponent n in x^n is greater than 4, so it must be the highest exponent. As the degree is given as 9, n = 9. Option 4 is not possible because the question states n > 4. Exam tip: while finding degree, check that the coefficient of the highest-power term is not zero.
A. (a) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है/(a) can be any real number
Explanation
Simple Explanation
\(x^5\) का गुणांक (1) है जो शून्य नहीं है। इसलिए (a) का मान डिग्री (5) को नहीं बदलता। / The coefficient of \(x^5\) is (1), which is non-zero. So the value of (a) does not change degree (5).
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (19) बचता है। यह डिग्री (0) का अशून्य नियतांक बहुपद है। / Terms with zero coefficients disappear and (19) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
\(4x^3-8x+1\) में सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(3\) है। इसमें \(x^2\) का पद नहीं है, अतः \(x^2\) का गुणांक \(0\) माना जाता है। विकल्प B में \(x^2\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपस्थित घात वाले पद का गुणांक हमेशा \(0\) लिखें। / In \(4x^3-8x+1\), the highest power of \(x\) is \(3\), so its degree is \(3\). Since there is no \(x^2\) term, the coefficient of \(x^2\) is \(0\). In option B, the coefficient of \(x^2\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: The coefficient of a missing power term is always \(0\).
दिया गया व्यंजक फैलाने पर \(x^4(3x^2-2)+5x^3=3x^6-2x^4+5x^3\) प्राप्त होता है। इसमें \(x\) की सबसे अधिक घात 6 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 6 है। \(x^4\) को केवल देखकर 4 चुनना गलत होगा, क्योंकि इसे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल या विस्तृत करें, फिर शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात पहचानें। / Expanding the expression gives \(x^4(3x^2-2)+5x^3=3x^6-2x^4+5x^3\). The highest power of \(x\) is 6, so the degree of the polynomial is 6. Choosing 4 by looking only at \(x^4\) is incorrect because it must be multiplied by each term inside the bracket. Exam tip: simplify or expand a polynomial first, then identify the highest exponent with a non-zero coefficient.
(s=-1) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (3) है। इसलिए डिग्री (2) है। / At (s=-1), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (3). Therefore the degree is (2).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ 4x-3y की कुल घात 3+1=4, 2xy-5 की कुल घात 1+5=6 तथा स्थिर पद 6 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 6 है। 4 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की कुल घात अलग-अलग निकालकर सबसे बड़ा मान चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any term. Here, the total degree of 4x-3y is 3+1=4, that of 2xy-5 is 1+5=6, and the constant term 6 has degree 0. Therefore, the greatest total degree is 6. Option 4 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Find the total degree of each term separately, then select the greatest value.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^5+7\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(5\) है, \(6\) नहीं। जबकि अन्य तीनों विकल्पों में \(x^6\) वाला पद उपस्थित है, इसलिए उनकी डिग्री \(6\) है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात वाला पद पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient. In \(6x^5+7\), the greatest exponent of \(x\) is \(5\), so its degree is \(5\), not \(6\). Each of the other options contains a non-zero \(x^6\) term and therefore has degree \(6\). Exam tip: identify the term with the highest power of \(x\) before deciding the degree.
\(v\neq-3\) होने पर \(x^7\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (7) रहेगी। / When \(v\neq-3\), the coefficient of \(x^7\) is not zero. Therefore the highest power remains (7).
रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है। \(5x-7\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(x^2+4x+1\) की डिग्री 2 और \(3x^3-2\) की डिग्री 3 है। \(\frac{1}{x}+5\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x\) की घात \(-1\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल 0, 1, 2, 3 आदि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / A linear polynomial has degree 1. In \(5x-7\), the highest exponent of the variable \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. \(x^2+4x+1\) has degree 2, and \(3x^3-2\) has degree 3. \(\frac{1}{x}+5\) is not a polynomial because it contains \(x^{-1}\). Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and 3.
(z=4) रखने पर \(x^9\) का गुणांक (0) और \(x^6\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (6) है। / Putting (z=4) makes the coefficient of \(x^9\) equal to (0) and the coefficient of \(x^6\) equal to (3). So the highest power is (6).
B. \(x^5\) के पद निरस्त हो जाते हैं; प्राप्त बहुपद \(3x^2+x\) की डिग्री 2 है/The \(x^5\) terms cancel; the resulting polynomial \(3x^2+x\) has degree 2
Explanation
Simple Explanation
जोड़ने पर समान घात वाले पदों को मिलाते हैं: \(x^5+(-x^5)=0\)। इसलिए प्राप्त बहुपद \(3x^2+x\) है, जिसका शून्येतर पदों में सबसे बड़ा घात 2 है। अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प A में \(x^5\) पदों के विपरीत गुणांक होने से उनका निरस्तीकरण अनदेखा किया गया है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद पहले सरल कीजिए, फिर सबसे बड़ी शेष घात से डिग्री ज्ञात कीजिए। / When adding polynomials, combine terms with the same exponent: \(x^5+(-x^5)=0\). Thus, the resulting polynomial is \(3x^2+x\), whose highest exponent among its non-zero terms is 2. Therefore, its degree is 2. Option A ignores that the \(x^5\) terms have opposite coefficients and cancel. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest remaining exponent to find its degree.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(3x^5\) पद की घात 5 है। चूँकि \(n<5\) दिया है, इसलिए \(4x^n\) की घात 5 से कम होगी और बहुपद की डिग्री 5 ही रहेगी। \(n=3\) इस शर्त को पूरा करता है। \(n=5\) संभव नहीं है, क्योंकि प्रश्न में \(n<5\) है, \(n\leq5\) नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई असमानता को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable. Here, the term \(3x^5\) has power 5. Since \(n<5\), the power of \(4x^n\) is less than 5, so the polynomial still has degree 5. Thus, \(n=3\) is possible. \(n=5\) is not allowed because the condition is \(n<5\), not \(n\leq5\). Exam tip: While finding degree, always check any condition given on the exponent as well.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 5, 3, 1 और 0 हैं तथा x-5 का गुणांक 7 है, जो शून्य नहीं है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 3 केवल पद -4x-3 की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: नियत पद की घात 0 मानी जाती है। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 5, 3, 1, and 0, and the coefficient of x-5 is 7, which is non-zero. Therefore, the degree is 5. Option 3 is only the exponent of the term -4x-3, not the highest exponent. Exam tip: A constant term has degree 0.
पद 0x-9 का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य पद है और बहुपद की डिग्री निर्धारित करने में नहीं गिना जाता। शेष अशून्य पदों में 6x-4 की घात सबसे अधिक 4 है। अतः बहुपद की डिग्री 4 है। 9 चुनना गलत होगा, क्योंकि x-9 का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The coefficient of 0x-9 is 0, so it is a zero term and does not determine the degree of the polynomial. Among the remaining non-zero terms, 6x-4 has the highest exponent, 4. Therefore, the degree is 4. Choosing 9 would be incorrect because the coefficient of x-9 is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
यहाँ 5x-6 और -5x-6 समान पद हैं, इसलिए वे कटकर 0 हो जाते हैं। व्यंजक 8x-2-1 रह जाता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 0 डिग्री केवल किसी अचर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को अवश्य सरल करें। / Here, 5x-6 and -5x-6 are like terms, so they cancel to 0. The expression becomes 8x-2-1. Its highest exponent is 2, so the degree of the polynomial is 2. Degree 0 applies only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
जब \(b=4\) रखते हैं, तब \(b-4=0\) हो जाता है। इसलिए \(x^8\) वाला पद समाप्त हो जाता है और बहुपद \(3x^3+2\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(3\) है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On substituting \(b=4\), we get \(b-4=0\). Hence, the \(x^8\) term vanishes and the polynomial becomes \(3x^3+2\). The highest power of \(x\) now present is \(3\), so the degree is \(3\). Option 8 is incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Substitute any given parameter values first, then remove terms with zero coefficients before finding the degree.
बहुपद की डिग्री 2 होने के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य होना आवश्यक है। अतः \(a+7=0\), जिससे \(a=-7\) प्राप्त होता है। इस मान पर बहुपद \(-4x^2+9\) बनता है, जिसकी डिग्री 2 है। \(a=0\) लेने पर \(x^6\) का गुणांक 7 रहता है, इसलिए डिग्री 6 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य है या नहीं, पहले जाँचें। / For the polynomial to have degree 2, the coefficient of \(x^6\) must be zero. Thus, \(a+7=0\), which gives \(a=-7\). For this value, the polynomial becomes \(-4x^2+9\), whose degree is 2. If \(a=0\), the coefficient of \(x^6\) is still 7, so the degree remains 6. Exam tip: First check whether the coefficient of the highest-power term becomes zero.
सबसे बड़ी घात (9) वाले पद से डिग्री तय होती है। ऋणात्मक गुणांक डिग्री को नहीं बदलता। / The degree is decided by the term with highest power (9). A negative coefficient does not change the degree.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 3, 11 और 6 हैं तथा अचर पद 4 की घात 0 है। सबसे बड़ी घात 11 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 11 है। 6 केवल एक पद की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पदों के क्रम से नहीं, सबसे बड़ी घात से डिग्री निर्धारित करें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Here, the powers of x are 3, 11, and 6, while the constant term 4 has degree 0. The greatest exponent is 11, so the degree is 11. Option 6 is the degree of only one term, not of the whole polynomial. Exam tip: the order of terms does not affect the degree; identify the highest power of the variable.
बहुपद में जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे बहुपद के मान में कोई योगदान नहीं देते। इसलिए दिया गया व्यंजक केवल \(15x-6\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(1\) है। \(0\) डिग्री केवल अचर, शून्येतर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाइए, फिर शेष पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखिए। / Terms with coefficient 0 do not contribute to a polynomial. Thus the expression reduces to \(15x-6\). The highest power of \(x\) in this polynomial is \(1\), so its degree is \(1\). Degree \(0\) applies to a non-zero constant polynomial, not to this linear polynomial. Exam tip: first remove zero-coefficient terms, then identify the highest exponent of the variable left.
यहाँ \(x^0=1\) है, इसलिए दिया गया व्यंजक \(3+4x^6-9x^2\) बनता है। बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(4x^6\) में सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए सही उत्तर 6 है। \(x^0\) वाला पद केवल स्थिरांक होता है; वह डिग्री नहीं बढ़ाता। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को सरल करके सबसे बड़ी घात पहचानें। / Since \(x^0=1\), the expression becomes \(3+4x^6-9x^2\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) in any term with a non-zero coefficient. The term \(4x^6\) has the highest exponent, 6, so the answer is 6. The \(x^0\) term is only a constant term and does not increase the degree. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the highest exponent.
23 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें किसी चर का पद नहीं है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री 0 होती है, इसलिए सही उत्तर 0 है। 1 डिग्री वाले बहुपद में चर की अधिकतम घात 1 होती है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी अशून्य स्थिर संख्या, जैसे 5, -12 या 23, की बहुपद के रूप में डिग्री 0 होती है। / 23 is a non-zero constant polynomial because it has no variable term. The degree of every non-zero constant polynomial is 0, so the correct answer is 0. A polynomial of degree 1 must have a variable with highest power 1, which is not present here. Exam tip: Any non-zero constant such as 5, -12, or 23 has degree 0 when considered as a polynomial.
यह शून्य बहुपद है और इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में इसे अशून्य नियतांक से अलग पहचानें। / This is the zero polynomial and its degree is not defined. In exams, identify it separately from non-zero constants.
बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^5-2x+7\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प A की डिग्री 4 है और विकल्प C की डिग्री 6 है। विकल्प D एक अचर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. In \(6x^5-2x+7\), the greatest exponent of \(x\) is 5, so its degree is 5. Option A has degree 4, while option C has degree 6. Option D is a non-zero constant polynomial, so its degree is 0. Exam tip: identify the highest power of the variable to find the degree.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(9x^7-4x^7=5x^7\) मिलता है। अतः बहुपद का सरल रूप \(5x^7+5x^3-2\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(7\) है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 5, \(x^7\) का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को सरल करें, फिर जिस पद की घात सबसे अधिक हो वही बहुपद की डिग्री होती है। / Combining like terms gives \(9x^7-4x^7=5x^7\). Thus, the simplified polynomial is \(5x^7+5x^3-2\). The highest power of \(x\) is \(7\), so its degree is 7. Option 5 is the coefficient of \(x^7\), not the degree. Exam tip: simplify like terms first, then identify the greatest exponent with a non-zero coefficient.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(r\neq0\) होने के कारण \(rx^9\) शून्येतर पद है। अतः \(x\) की सबसे बड़ी घात \(9\) है और बहुपद की डिग्री \(9\) होगी। \(4\), पद \(2x^4\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य है या नहीं, यह अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(r\neq0\), the term \(rx^9\) is non-zero. Hence, the highest exponent of \(x\) is \(9\), so the degree of the polynomial is \(9\). The number \(4\) is the degree of the term \(2x^4\), not of the entire polynomial. Exam tip: always check whether the coefficient of the highest-power term is zero.
जब \(r=0\) रखते हैं, तब \(rx^9=0\cdot x^9=0\) हो जाता है। इसलिए बहुपद \(2x^4-3\) बचता है। इसमें चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, अतः इसकी डिग्री 4 है। 9 केवल मूल व्यंजक में संभावित घात थी; उसका गुणांक शून्य होने पर वह पद नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(r=0\), \(rx^9=0\cdot x^9=0\). The polynomial becomes \(2x^4-3\). The highest power of \(x\) in this remaining polynomial is 4, so its degree is 4. Degree 9 belongs only to the original possible term; it is not counted when its coefficient is zero. Exam tip: remove all zero-coefficient terms before identifying the highest exponent.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों में y की घातें 6, 3 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 6 है। इसलिए सही उत्तर 6 है। 14 स्थिर पद है, उसकी घात 0 होती है; अतः वह डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable in a term with a non-zero coefficient. Here, the powers of y are 6, 3, and 0, so the greatest power is 6. Therefore, the correct answer is 6. The number 14 is a constant term and has degree 0, so it is not the degree of the polynomial. Exam tip: To find the degree, look for the highest power of the variable, not the coefficient.
(x) के संदर्भ में इसमें (x) नहीं है इसलिए यह अशून्य नियतांक जैसा है। इसकी डिग्री (0) है। / With respect to (x), it has no (x), so it behaves like a non-zero constant. Its degree is (0).
B. डिग्री चर के सबसे बड़े घातांक से निर्धारित होती है, इसलिए डिग्री 5 है/Degree is determined by the greatest exponent of the variable, so the degree is 5.
Explanation
Simple Explanation
विद्यार्थी ने पदों की संख्या को बहुपद की डिग्री मान लिया, जो गलत है। बहुपद की डिग्री चर के उस सबसे बड़े घातांक से तय होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^5-3x+2\) में \(x\) के घातांक 5, 1 और 0 हैं; अतः इसकी डिग्री 5 है। 3 केवल पदों की संख्या है। परीक्षा टिप: बहुपद को देखकर सबसे बड़ी घात वाला शून्येतर पद पहचानें। / The student has confused the number of terms with the degree of a polynomial. The degree is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. In \(7x^5-3x+2\), the exponents of \(x\) are 5, 1, and 0, so its degree is 5. The number 3 only represents the number of terms. Exam tip: identify the non-zero term with the highest power first.
\(5x^3-2x+7\) में चर की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प B की डिग्री 4 है, जबकि C और D बहुपद नहीं हैं क्योंकि उनमें क्रमशः ऋणात्मक और भिन्नात्मक घात आती है। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि सभी घात अशून्य पूर्णांक हैं। / In \(5x^3-2x+7\), the highest power of the variable is 3, so its degree is 3. Option B has degree 4, while C and D are not polynomials because they contain negative and fractional powers respectively. Exam tip: first check that every exponent is a non-negative integer.
पहले गुणा करें: \(x^4(x^2+3)=x^6+3x^4\)। अतः व्यंजक \(x^6+3x^4-x^6+5x^3=3x^4+5x^3\) बनता है। \(x^6\) के पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। \(3\) केवल दूसरे पद की घात है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके समान पदों को मिलाएँ। / First expand: \(x^4(x^2+3)=x^6+3x^4\). Thus, the expression becomes \(x^6+3x^4-x^6+5x^3=3x^4+5x^3\). The \(x^6\) terms cancel. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 4, so its degree is 4. Although 3 is the power in one term, it is not the highest power. Exam tip: simplify and combine like terms before finding the degree of a polynomial.
विकल्प A में \(x\) की सर्वाधिक घात 3 है और \(x^3\) का गुणांक 5 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की घात 3 है। विकल्प B में सर्वाधिक घात 4 है, जबकि विकल्प C की घात 2 और विकल्प D की घात 0 है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी गैर-शून्य घात देखकर डिग्री ज्ञात करें। / In option A, the highest power of \(x\) is 3, and the coefficient of \(x^3\) is 5, which is non-zero. Therefore, its degree is 3. Option B has degree 4, option C has degree 2, and option D is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: identify the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient.
\((x-4)(x+6)=x^2+2x-24\)। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। डिग्री \(1\) नहीं होगी, क्योंकि दोनों रैखिक गुणकों का गुणन करने पर \(x^2\) पद प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखें, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / \((x-4)(x+6)=x^2+2x-24\). The highest power of \(x\) in this polynomial is \(2\), so its degree is \(2\). It is not \(1\), because multiplying the two linear factors produces an \(x^2\) term. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the greatest exponent of the variable.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(2x^8-6x^3+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(8\) है। विकल्प A की डिग्री \(7\) है, जबकि विकल्प B और D की डिग्रियाँ क्रमशः \(4\) और \(1\) हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय स्थिर पद को नहीं, बल्कि चर की सबसे बड़ी घात को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. In \(2x^8-6x^3+5\), the highest power of \(x\) is \(8\), so its degree is \(8\). Option A has degree \(7\), while options B and D have degrees \(4\) and \(1\), respectively. Exam tip: To find the degree, look for the highest power of the variable, not the constant term.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है, उसकी डिग्री 2 होती है और उसे द्विघात बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, \(3x^2-5x+1\) एक द्विघात बहुपद है। रेखीय बहुपद की डिग्री 1 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी उच्चतम घात से पहचानें। / A polynomial whose highest power of the variable is 2 has degree 2 and is called a quadratic polynomial. For example, \(3x^2-5x+1\) is quadratic. A linear polynomial has degree 1, so it is not correct. Exam tip: identify the polynomial by its highest exponent.
समान पदों को मिलाने पर 3x-6-8x-6=-5x-6 होता है। अतः f(x)=-5x-6+4x-2-7 है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 6 है और उसका गुणांक -5 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की डिग्री 6 है। विकल्प 2 केवल एक अन्य पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / Combining like terms gives 3x-6-8x-6=-5x-6. Thus, f(x)=-5x-6+4x-2-7. The highest power of x is 6, and its coefficient, -5, is non-zero; therefore, the degree of the polynomial is 6. Option 2 is the power of another term, not the highest power. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। पद 6x-3y-2 की कुल घात 3+2=5 है, जबकि 5xy की कुल घात 1+1=2 और स्थिर पद -4 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि किसी भी पद में घातों का योग 6 नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की कुल घात अलग-अलग निकालकर उनमें से सबसे बड़ा मान चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of its variables in any term. For 6x-3y-2, the total degree is 3+2=5; for 5xy, it is 1+1=2; and the constant term -4 has degree 0. Hence, the greatest total degree is 5. Option 6 is incorrect because no term has exponents whose sum is 6. Exam tip: Find the total degree of each term separately, then choose the greatest value.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें। पद 2x-4y की कुल घात 4+1=5 है, पद -7xy-3 की कुल घात 1+3=4 है और अचर पद 9 की घात 0 है। इनमें सबसे बड़ी कुल घात 5 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 4 केवल दूसरे पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: एक से अधिक चरों वाले बहुपद में किसी पद की कुल घात के लिए उस पद में सभी चरों की घातों को जोड़ें। / Find the total degree of each term. For 2x-4y, it is 4+1=5; for -7xy-3, it is 1+3=4; and the constant term 9 has degree 0. The greatest of these is 5, so the total degree of the polynomial is 5. Option 4 is only the total degree of the second term. Exam tip: for a term with more than one variable, add the exponents of all its variables to get its total degree.
केवल \(x\) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय \(y\) को गुणांक माना जाता है। पद \(5x^4y^3\) में \(x\) की घात 4, \(2xy^6\) में 1 और स्थिर पद \(-8\) में 0 है। इनमें सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए सही उत्तर 4 है। \(y\) की घात 6 होने पर भी विकल्प 6 सही नहीं है, क्योंकि डिग्री केवल \(x\) के सापेक्ष पूछी गई है। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to \(x\), treat \(y\) as part of the coefficient. The powers of \(x\) in \(5x^4y^3\), \(2xy^6\), and \(-8\) are 4, 1, and 0 respectively. The greatest power is 4, so the correct answer is 4. Although \(y\) has power 6, 6 is not correct because the degree is asked only with respect to \(x\). Exam tip: compare powers only of the variable named in the question.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए केवल y की घातें देखी जाती हैं। दिए गए व्यंजक में y की घातें 3, 6 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 6 है, जो पद 2xy-6 में है। इसलिए सही उत्तर 6 है। 3 केवल 5x-4y-3 में y की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, तो दूसरे चर को गुणांक मानें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y. In the given expression, the powers of y are 3, 6, and 0; the greatest is 6, occurring in 2xy-6. Therefore, the correct answer is 6. The value 3 is the power of y only in 5x-4y-3, not the highest power. Exam tip: When degree is asked with respect to one variable, treat the other variables as coefficients.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (31) बचता है। (31) अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (31) remains. (31) is a non-zero constant polynomial of degree (0).
डिग्री (3) के लिए \(x^4\) पद हटना चाहिए और \(x^3\) पद बचना चाहिए। (t=5) पर दोनों शर्तें पूरी होती हैं। / For degree (3), the \(x^4\) term must vanish and the \(x^3\) term must remain. At (t=5), both conditions hold.
(u=-3) पर \(x^7\) का गुणांक (0) और \(x^5\) का गुणांक (7) होता है। इसलिए डिग्री (5) है। / At (u=-3), the coefficient of \(x^7\) is (0) and the coefficient of \(x^5\) is (7). Therefore the degree is (5).
A. डिग्री पदों की संख्या नहीं, चर की सबसे बड़ी घात होती है; इसलिए डिग्री 4 है।/Degree is not the number of terms; it is the highest power of the variable, so the degree is 4.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री पदों की संख्या से निर्धारित नहीं होती। यह चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7-2x+x^4\) में \(7\), \(-2x\) और \(x^4\) की घातें क्रमशः 0, 1 और 4 हैं; अतः डिग्री 4 है। विकल्प C में घातों का योग 5 आता है, लेकिन यह डिग्री ज्ञात करने का नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल करके चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is not determined by the number of terms. It is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(7-2x+x^4\), the exponents of \(7\), \(-2x\), and \(x^4\) are 0, 1, and 4 respectively, so the degree is 4. Option C gives an exponent sum of 5, but adding exponents is not the rule for finding degree. Exam tip: simplify the polynomial, then identify the highest power of the variable.
यह बहुपद तीन रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है: x, (x-6) और (x+2)। प्रत्येक की डिग्री 1 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 1+1+1=3 होगी। इसे फैलाने पर उच्चतम घात वाला पद x³ मिलता है। विकल्प 6 गुणनखंडों के स्थिर पदों को देखकर लिया जा सकता है, पर डिग्री घात से निर्धारित होती है, स्थिरांकों से नहीं। परीक्षा टिप: गुणनफल में बहुपदों की डिग्रियाँ जोड़ें। / The polynomial is the product of three linear factors: x, (x-6), and (x+2). Each factor has degree 1, so the degree of the product is 1+1+1=3. On expansion, the highest-power term is x³. Option 6 may result from noticing the constants in the factors, but degree is determined by the highest exponent, not by constants. Exam tip: add the degrees of polynomial factors in a product.
दिए गए बहुपद में \(4x^8-4x^8=0\) हो जाता है। अतः \(g(x)=x^6-x^3\) बचता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाली सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(6\) है। \(8\) सही नहीं है क्योंकि \(x^8\) वाले पद परस्पर निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / In the given polynomial, \(4x^8-4x^8=0\). Thus, \(g(x)=x^6-x^3\). The highest power with a non-zero coefficient is \(6\), so the degree of the polynomial is \(6\). Option \(8\) is incorrect because the \(x^8\) terms cancel each other. Exam tip: simplify a polynomial by combining like terms before finding its degree.
किसी बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 4, 6, 8 और 10 हैं। सबसे बड़ी घात 10 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 10 है। 8 निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर x^{10} पद मौजूद होने के कारण डिग्री 8 नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सभी पदों में चर की घातों को ध्यान से देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the powers of x are 4, 6, 8, and 10. The greatest power is 10, so the degree of the polynomial is 10. Option 8 is a close distractor, but the term x^{10} is present, so the degree cannot be 8. Exam tip: Before finding the degree, check the exponents of the variable in every term.
घन बहुपद में चर की सर्वाधिक घात 3 होती है। \(5x^3-2x+7\) में सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। \(x^4+x\) की घात 4 है। परीक्षा में सबसे बड़ी घात देखें। / A cubic polynomial has highest exponent 3. In \(5x^3-2x+7\), the greatest power is 3, so it is cubic. \(x^4+x\) has degree 4. Exam tip: check the greatest exponent.
किसी एक चर वाले बहुपद की डिग्री उस चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में x की घातें 12, 9, 4 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 12 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 12 है। 2 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 मानें। / The degree of a polynomial in one variable is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, the powers of x are 12, 9, 4, and 0. The greatest power is 12, so the degree is 12. The number 2 is a coefficient, not the degree. Exam tip: Treat a non-zero constant term as having degree 0.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ n>6 है, इसलिए 5x^n की घात 6 से बड़ी होगी और वही सबसे बड़ी घात होगी। अतः बहुपद की डिग्री n है। दी गई डिग्री 11 होने पर n=11 होगा। 6 विकल्प गलत है क्योंकि x-6 केवल दूसरा उच्चतम घात वाला पद है। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात पहचानें और उसके गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Since n>6, the exponent in 5x^n is greater than 6, so it is the highest exponent. Hence, the degree of the polynomial is n. Given that the degree is 11, n=11. Option 6 is incorrect because x-6 is only the term with the next lower exponent. Exam tip: identify the highest exponent first and check that its coefficient is non-zero.
A. (a) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है/(a) can be any real number
Explanation
Simple Explanation
\(x^6\) का गुणांक (1) है जो शून्य नहीं है। इसलिए (a) का मान डिग्री (6) को नहीं बदलता। / The coefficient of \(x^6\) is (1), which is non-zero. So the value of (a) does not change degree (6).
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (37) बचता है। यह डिग्री (0) का अशून्य नियतांक बहुपद है। / Terms with zero coefficients disappear and (37) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
\(3x^4-2x+1\) में सबसे अधिक घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(4\) है। इसमें \(x^3\) पद नहीं है, अतः \(x^3\) का गुणांक \(0\) होता है। विकल्प B में \(x^3\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुपस्थित घात वाले पद का गुणांक हमेशा \(0\) मानें। / In \(3x^4-2x+1\), the highest power of \(x\) is \(4\), so its degree is \(4\). Since there is no \(x^3\) term, the coefficient of \(x^3\) is \(0\). In option B, the coefficient of \(x^3\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: The coefficient of any missing power of a variable is always \(0\).
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर: \(x^5(2x^2-3)+4x^4=2x^7-3x^5+4x^4\)। बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ी घात \(7\) है, इसलिए डिग्री \(7\) है। \(5\) केवल \(x^5\) वाले पद की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: पहले कोष्ठक का गुणन पूरा करें, फिर सबसे बड़ी घात पहचानें। / Expanding the expression gives \(x^5(2x^2-3)+4x^4=2x^7-3x^5+4x^4\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, the greatest exponent is \(7\), so the degree is \(7\). Option \(5\) is only the exponent in one term, not the degree of the whole polynomial. Exam tip: Expand the brackets first, then identify the highest power.
(s=2) पर \(x^6\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (7) है। इसलिए डिग्री (3) है। / At (s=2), the coefficient of \(x^6\) is (0) and the coefficient of \(x^3\) is (7). Therefore the degree is (3).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद की सबसे बड़ी कुल घात होती है। पद 3x-4y की कुल घात 4+1=5 है, 5xy-6 की कुल घात 1+6=7 है और अचर पद 2 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 7 है। विकल्प 5 केवल पहले पद की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में चरों की घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms. For 3x-4y, the total degree is 4+1=5; for 5xy-6, it is 1+6=7; and the constant term 2 has degree 0. Hence, the greatest total degree is 7. Option 5 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents of all variables in each term and select the largest sum.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^6+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है, 7 नहीं। इसके विपरीत \(x^7+2\) में \(x^7\) पद होने के कारण डिग्री 7 है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल रूप में लिखकर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(7x^6+5\), the highest power of \(x\) is 6, so its degree is 6, not 7. In contrast, \(x^7+2\) has the term \(x^7\), so its degree is 7. Exam tip: Simplify the polynomial first, then identify the highest exponent of the variable.
चूँकि \(v\neq5\), इसलिए \(v-5\neq0\)। अतः \(x^8\) का गुणांक शून्य नहीं है और बहुपद का उच्चतम घात वाला पद \((v-5)x^8\) है। इसलिए बहुपद की डिग्री \(8\) है। \(x^4\) की घात केवल \(4\) है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात के पद का गुणांक शून्य है या नहीं, यह पहले जाँचें। / Since \(v\neq5\), \(v-5\neq0\). Hence, the coefficient of \(x^8\) is non-zero, so \((v-5)x^8\) is the highest-degree term of the polynomial. Therefore, its degree is \(8\). The term \(x^4\) has degree \(4\), so it cannot determine the degree here. Exam tip: In a polynomial containing a parameter, first check whether the coefficient of the highest-power term becomes zero.
B. बहुपद की डिग्री पदों के क्रम से नहीं, चर के सबसे बड़े घात से निर्धारित होती है।/The degree of a polynomial is determined by the greatest exponent of the variable, not by the order of its terms.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री चर के उस सबसे बड़े घात से निर्धारित होती है जिसका गुणांक शून्य न हो; पद किस क्रम में लिखे हैं, इससे डिग्री नहीं बदलती। दिए गए बहुपद में पद \(-3x^4\) है, जिसमें \(x\) का घात 4 है, अतः बहुपद की डिग्री 4 है। \(x^2\) अंतिम पद होने पर भी उसकी डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सबसे बड़े घात वाला पद पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient; it does not depend on the order in which terms are written. The term \(-3x^4\) has exponent 4, so the polynomial has degree 4. Although \(x^2\) is the last term, it does not determine the degree. Exam tip: identify the term with the highest power before stating the degree.
(c=0) पर \(x^{10}\) पद हट जाता है और \(x^6\) का गुणांक (4) रहता है। इसलिए डिग्री (6) है। / When (c=0), the \(x^{10}\) term disappears and the coefficient of \(x^6\) remains (4). Therefore the degree is (6).
\(4x^3-5x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है तथा \(x\) की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(x\) में तृतीय घात का बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, इसलिए वह बहुपद नहीं है। विकल्प C एक बहुपद है, लेकिन उसकी घात 4 है; विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं, फिर सबसे बड़ी घात ज्ञात करें। / In \(4x^3-5x+2\), the highest power of \(x\) is 3, and all powers of \(x\) are non-negative integers. Hence, it is a polynomial of degree three. Option B has \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), so it is not a polynomial. Option C is a polynomial but has degree 4, while option D contains \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Exam tip: first verify that every exponent is a non-negative integer, then find the highest exponent.
