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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले प्रतिसममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (4) elements, how many antisymmetric relations can be formed on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^4\cdot 3^6\)

Step 1

Concept

(4) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (4) diagonal pairs can be chosen or not chosen independently.

Step 2

Why this answer is correct

अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े के लिए तीन चुनाव होते हैं: पहला युग्म, उल्टा युग्म या कोई नहीं। ऐसे जोड़े \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) हैं। / For each pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the reverse direction, or none. There are \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) such pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संख्या \(2^4\cdot 3^6\) होगी। / Hence the total number is \(2^4\cdot 3^6\).

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Question 2/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर प्रतिवर्ती और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या क्या है?

If (A) has (5) elements, what is the number of relations on (A) that are both reflexive and antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(3^{10}\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के कारण सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े पर प्रतिसममितता के कारण तीन चुनाव हैं। ऐसे जोड़े \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) हैं। / For every pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices. There are \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) such pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंध \(3^{10}\) होंगे। / Therefore the number of relations is \(3^{10}\).

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Question 3/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?

How many relations on \(A=\{1,2,3,4\}\) are both symmetric and antisymmetric?

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Correct Answer

A. \(2^4\)

Step 1

Concept

सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। / If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair between distinct elements can be included.

Step 2

Why this answer is correct

केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / Only diagonal pairs are independently optional.

Step 3

Exam Tip

(4) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^4\) संबंध बनेंगे। / With (4) diagonal pairs, the total number is \(2^4\).

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Question 4/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर प्रतिवर्ती, सममित और प्रतिसममित तीनों गुण रखने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?

How many relations on \(A=\{1,2,3,4\}\) are reflexive, symmetric and antisymmetric all together?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने से सभी विकर्ण युग्म होने चाहिए। / Reflexivity requires all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

सममित और प्रतिसममित दोनों होने से अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता। / Being both symmetric and antisymmetric allows no off-diagonal pair.

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल पहचान संबंध ही संभव है, अतः संख्या (1) है। / Thus only the identity relation is possible, so the number is (1).

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Question 5/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many equivalence relations can be formed on (A)?

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Correct Answer

C. (15)

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध समुच्चय को असंयुक्त वर्गों में बांटता है। / An equivalence relation partitions the set into disjoint classes.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अवयवों के विभाजनों की संख्या (15) होती है। / The number of partitions of a (4)-element set is (15).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (4) अवयवों पर समतुल्यता संबंधों की संख्या (15) है। / Hence the number of equivalence relations is (15).

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Question 6/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो समतुल्यता वर्ग हों?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many equivalence relations have exactly two equivalence classes?

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Correct Answer

B. (7)

Step 1

Concept

ठीक दो वर्ग बनाने का अर्थ है (4) अवयवों को दो अरिक्त असंयुक्त भागों में बांटना। / Exactly two classes means partitioning (4) elements into two non-empty disjoint parts.

Step 2

Why this answer is correct

कुल अरिक्त उचित उपसमुच्चय \(2^4-2=14\) हैं, पर हर विभाजन दो बार गिना जाता है। / There are \(2^4-2=14\) non-empty proper subsets, but each partition is counted twice.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संख्या \(\frac{14}{2}=7\) होगी। / Therefore the count is \(\frac{14}{2}=7\).

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Question 7/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें एक वर्ग का आकार (2) और दूसरे वर्ग का आकार (3) हो?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have one class of size (2) and the other of size (3)?

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Correct Answer

B. (10)

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध वर्गों के विभाजन से तय होता है। / An equivalence relation is determined by its partition into classes.

Step 2

Why this answer is correct

(5) अवयवों में से आकार (2) वाला वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / Choose the class of size (2) in \(\binom{5}{2}=10\) ways.

Step 3

Exam Tip

बचा हुआ आकार (3) वाला वर्ग अपने आप बन जाता है। / The remaining three elements automatically form the other class.

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Question 8/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक एक वर्ग का आकार (2) और बाकी वर्ग एक-एक अवयव के हों?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many equivalence relations have exactly one class of size (2) and all other classes singleton?

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Correct Answer

B. (6)

Step 1

Concept

केवल एक दो-अवयवी वर्ग चुनना है। / We only need to choose the single two-element class.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अवयवों में से ऐसे दो अवयव \(\binom{4}{2}=6\) तरीकों से चुने जा सकते हैं। / Two elements can be chosen from (4) elements in \(\binom{4}{2}=6\) ways.

Step 3

Exam Tip

शेष दो अवयव अलग-अलग वर्ग बनाते हैं। / The remaining two elements become singleton classes.

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Question 9/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a-b), (6) से विभाज्य हो। (7) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) iff (a-b) is divisible by (6). What is the equivalence class of (7)?

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Correct Answer

B. \({6k+1:k\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

(7) को (6) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / (7) leaves remainder (1) when divided by (6).

Step 2

Why this answer is correct

उसी वर्ग में वे पूर्णांक होंगे जिनका रूप (6k+1) है। / Its class contains all integers of the form (6k+1).

Step 3

Exam Tip

(6k+7) भी वही वर्ग दिखाता है, पर सरल मानक रूप (6k+1) माना जाता है। / (6k+7) represents the same set, but (6k+1) is the standard simpler form.

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Question 10/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+2b), (3) से विभाज्य हो। यह संबंध किस गुण में असफल होता है?

On integers, (aRb) iff (a+2b) is divisible by (3). In which property does this relation fail?

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Correct Answer

D. किसी में नहींnone

Step 1

Concept

(a+2a=3a) हमेशा (3) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a+2a=3a) is always divisible by (3), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a+2b\equiv 0 \pmod{3}\) से \(b+2a\equiv 0 \pmod{3}\) भी मिलता है। / \(a+2b\equiv 0 \pmod{3}\) implies \(b+2a\equiv 0 \pmod{3}\).

Step 3

Exam Tip

यदि \(a\equiv b\) और \(b\equiv c \pmod{3}\), तो \(a\equiv c \pmod{3}\), इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / This condition is equivalent to \(a\equiv b \pmod{3}\), so transitivity also holds and no property fails.

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Question 11/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b) पूर्णांक हो। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff (a-b) is an integer. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a) भी पूर्णांक है। / If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer.

Step 3

Exam Tip

दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / The sum of two integer differences is an integer, so transitivity also holds.

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Question 12/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b) अपरिमेय हो। कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) iff (a-b) is irrational. Which statement is correct?

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Correct Answer

B. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामीsymmetric but neither reflexive nor transitive

Step 1

Concept

(a-a=0) अपरिमेय नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / (a-a=0) is not irrational, so it is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) अपरिमेय है, तो (b-a) भी अपरिमेय होगा, इसलिए सममित है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

\(\sqrt{2}R0\) और \(0R\sqrt{2}\) सही हैं, पर \(\sqrt{2}R\sqrt{2}\) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं। / \(\sqrt{2}R0\) and \(0R\sqrt{2}\) hold, but \(\sqrt{2}R\sqrt{2}\) fails, so it is not transitive.

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Question 13/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^3=b^3\)। यह संबंध किस प्रकार का है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^3=b^3\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए प्रतिवर्ती है। / For every (a), \(a^3=a^3\), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

बराबरी पलटने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। / Equality remains true when reversed, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संक्रामी है। / If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive.

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Question 14/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2\le b^2\)। कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^2\le b^2\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहींreflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

\(a^2\le a^2\) से प्रतिवर्तिता मिलती है। / \(a^2\le a^2\) gives reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो \(a^2\le c^2\), इसलिए संक्रामी है। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then \(a^2\le c^2\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

\(1^2\le 2^2\) सही है पर \(2^2\le 1^2\) गलत, इसलिए सममित नहीं। / \(1^2\le 2^2\) is true but \(2^2\le 1^2\) is false, so it is not symmetric.

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Question 15/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff (|a|=|b|). What type of relation is it?

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Correct Answer

B. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

हर (a) के लिए (|a|=|a|), इसलिए प्रतिवर्ती है। / For every (a), (|a|=|a|), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (|a|=|b|), तो (|b|=|a|), इसलिए सममित है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

बराबर परिमाण की शृंखला आगे भी बराबर परिमाण देती है, इसलिए संक्रामी है। / Equality of absolute values passes through a middle element, so it is transitive.

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Question 16/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2+b^2=0\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^2+b^2=0\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहींsymmetric and transitive but not reflexive

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) केवल (a=0,b=0) पर संभव है। / For real numbers, \(a^2+b^2=0\) is possible only when (a=0,b=0).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए संबंध में केवल ((0,0)) है, जिससे सममितता और संक्रामकता बनी रहती है। / Thus the relation contains only ((0,0)), which keeps symmetry and transitivity true.

Step 3

Exam Tip

सभी वास्तविक (a) के लिए ((a,a)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / It is not reflexive because ((a,a)) is not present for every real (a).

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Question 17/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध के बारे में सही कथन कौन सा है?

For a non-empty set (A), which statement about the empty relation is correct?

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Correct Answer

A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहींsymmetric and transitive but not reflexive

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला उदाहरण नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so no counterexample breaks symmetry or transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

अरिक्त (A) में ((a,a)) चाहिए, पर कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं। / For non-empty (A), reflexivity needs ((a,a)), but no diagonal pair is present.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह सममित और संक्रामी है, पर प्रतिवर्ती नहीं। / Hence it is symmetric and transitive but not reflexive.

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Question 18/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. केवल संक्रामीtransitive only

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and present.

Step 2

Why this answer is correct

कोई दूसरा ऐसा क्रम नहीं है जो नया अनिवार्य युग्म बनाए। / No other chain creates a new required pair.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण और उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती या सममित न मानें। / Since diagonal and reverse pairs are missing, do not call it reflexive or symmetric.

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Question 19/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,4),(1,4),(3,3)\}\) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,4),(1,4),(3,3)\}\). Which property does this relation satisfy?

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Correct Answer

C. संक्रामकताtransitivity

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,4)), transitivity requires ((1,4)), which is present.

Step 2

Why this answer is correct

((3,3)) अपने साथ शृंखला बनाए तो फिर ((3,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है। / ((3,3)) only requires itself again in a chain, and it is present.

Step 3

Exam Tip

सभी जरूरी स्थितियां पूरी हैं, इसलिए संबंध संक्रामी है। / All required cases are satisfied, so the relation is transitive.

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Question 20/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1)\}\) है। संक्रामकता के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म और जोड़ना जरूरी है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1)\}\). Which minimum pair must be added for transitivity?

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Correct Answer

A. ((2,2))

Step 1

Concept

((2,1)) और ((1,2)) मौजूद हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) are present.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के अनुसार इससे ((2,2)) होना चाहिए। / Transitivity requires ((2,2)) from these two pairs.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो पहले से मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is already present.

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Question 21/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का संक्रामी आवरण बनाने के लिए कम से कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?

For \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), how many minimum pairs must be added to form the transitive closure?

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Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)).

Step 3

Exam Tip

फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए, इसलिए कुल (3) युग्म जोड़ेंगे। / Then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), so (3) pairs are needed.

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Question 22/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) को प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों बनाने के लिए बने सबसे छोटे संबंध में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3\}\), starting from \(R=\{(1,2),(2,3)\}\), how many pairs will the smallest relation containing (R) and being reflexive, symmetric and transitive have?

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Correct Answer

C. (9)

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से तीनों अवयव एक ही समतुल्यता वर्ग में जुड़ जाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) connect all three elements into one equivalence class.

Step 2

Why this answer is correct

एक ही वर्ग में सभी अवयवों के बीच सभी क्रमित युग्म होने चाहिए। / In one class, every ordered pair between the elements must be present.

Step 3

Exam Tip

(3) अवयवों के एक वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / A class of (3) elements gives \(3^2=9\) pairs.

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Question 23/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(3,4)\}\) को समतुल्यता संबंध बनाने वाले सबसे छोटे संबंध में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(3,4)\}\)?

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Correct Answer

C. (8)

Step 1

Concept

((1,2)) से वर्ग ({1,2}) बनता है और ((3,4)) से वर्ग ({3,4}) बनता है। / ((1,2)) forms the class ({1,2}), and ((3,4)) forms the class ({3,4}).

Step 2

Why this answer is correct

हर दो-अवयवी वर्ग अपने भीतर \(2^2=4\) युग्म देता है। / Each two-element class contributes \(2^2=4\) ordered pairs.

Step 3

Exam Tip

दो ऐसे वर्गों से कुल (4+4=8) युग्म मिलेंगे। / Therefore the total number of pairs is (4+4=8).

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Question 24/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) और (S), (A) पर समतुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (R) and (S) are equivalence relations on (A), which statement about \(R\cap S\) is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा समतुल्यता संबंध होगाit is always an equivalence relation

Step 1

Concept

दोनों संबंधों में सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिच्छेद में भी होंगे। / Both relations contain all diagonal pairs, so the intersection does too.

Step 2

Why this answer is correct

यदि कोई युग्म प्रतिच्छेद में है, तो उसका उल्टा दोनों संबंधों में होगा और इसलिए प्रतिच्छेद में भी होगा। / If a pair is in the intersection, its reverse is in both relations and hence in the intersection.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता भी दोनों में एक साथ लागू होकर प्रतिच्छेद में बनी रहती है। / Transitivity also remains valid because both relations provide the required pair.

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Question 25/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

दो समतुल्यता संबंधों का संघ हमेशा समतुल्यता संबंध होता है या नहीं?

Is the union of two equivalence relations always an equivalence relation?

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Correct Answer

C. नहीं, संक्रामकता टूट सकती हैno, transitivity may fail

Step 1

Concept

दो समतुल्यता संबंधों का संघ प्रतिवर्ती और सममित रह सकता है। / The union of two equivalence relations may remain reflexive and symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आने पर जरूरी तीसरा युग्म गायब हो सकता है। / But one pair may come from one relation and the next pair from the other, so the required third pair may be missing.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संघ को बिना जांचे समतुल्यता संबंध नहीं मानना चाहिए। / Therefore the union is not always an equivalence relation.

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Question 26/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) और \(S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) हैं। \(R\cup S\) क्यों समतुल्यता संबंध नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) and \(S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\). Why is \(R\cup S\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

C. ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है((1,3)) is missing, so transitivity fails

Step 1

Concept

संघ में सभी विकर्ण युग्म हैं और उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। / The union contains all diagonal pairs and the needed reverse pairs.

Step 2

Why this answer is correct

संघ में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / It also contains ((1,2)) and ((2,3)).

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is missing, so it is not an equivalence relation.

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Question 27/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर संबंध है, तो \(R^{-1}\) सममित कब होगा?

If (R) is a relation on a set (A), when will \(R^{-1}\) be symmetric?

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Correct Answer

A. जब और केवल जब (R) सममित होif and only if (R) is symmetric

Step 1

Concept

प्रतिलोम संबंध में हर युग्म की दिशा बदल जाती है। / The inverse relation reverses the direction of every pair.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता का अर्थ ही है कि दिशा बदलने पर संबंध वही व्यवहार रखे। / Symmetry means the relation behaves the same after reversing pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R^{-1}\) सममित होगा ठीक तब जब (R) सममित होगा। / Hence \(R^{-1}\) is symmetric exactly when (R) is symmetric.

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Question 28/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) प्रतिवर्ती संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is a reflexive relation, which statement about \(R^{-1}\) is correct?

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Correct Answer

A. यह प्रतिवर्ती होगाit will be reflexive

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती (R) में हर ((a,a)) मौजूद है। / A reflexive (R) contains every ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

((a,a)) का प्रतिलोम फिर ((a,a)) ही होता है। / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी विकर्ण युग्म \(R^{-1}\) में भी रहेंगे। / Therefore all diagonal pairs remain in \(R^{-1}\).

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Question 29/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (R) is an equivalence relation, which statement about \(R^{-1}\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह भी समतुल्यता संबंध होगाit is also an equivalence relation

Step 1

Concept

(R) प्रतिवर्ती है, इसलिए उसका प्रतिलोम भी प्रतिवर्ती रहेगा। / Since (R) is reflexive, its inverse is also reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(R) सममित है, इसलिए \(R^{-1}=R\) हो जाता है। / Since (R) is symmetric, \(R^{-1}=R\).

Step 3

Exam Tip

चूंकि (R) संक्रामी है, वही गुण प्रतिलोम में भी बना रहता है। / Because (R) is transitive, the same property remains in its inverse.

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Question 30/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि संबंध (R) संक्रामी है, तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If a relation (R) is transitive, which statement about \(R^{-1}\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह हमेशा संक्रामी होगाit is always transitive

Step 1

Concept

\(R^{-1}\) में ((a,b)) और ((b,c)) होने का अर्थ है कि (R) में ((b,a)) और ((c,b)) हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R).

Step 2

Why this answer is correct

(R) की संक्रामकता से ((c,a)) मिलता है। / Transitivity of (R) gives ((c,a)).

Step 3

Exam Tip

इसका प्रतिलोम ((a,c)), \(R^{-1}\) में होगा, इसलिए \(R^{-1}\) संक्रामी है। / Reversing it gives ((a,c)) in \(R^{-1}\), so \(R^{-1}\) is transitive.

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Question 31/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है। \(R^{-1}\) कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\). What is \(R^{-1}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(2,1),(3,2),(3,1)})

Step 1

Concept

प्रतिलोम संबंध में हर क्रमित युग्म की दिशा बदलती है। / In an inverse relation, every ordered pair is reversed.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2),(2,3),(1,3)) से क्रमशः ((2,1),(3,2),(3,1)) मिलते हैं। / ((1,2),(2,3),(1,3)) become ((2,1),(3,2),(3,1)).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय कोई नया विकर्ण युग्म अपने आप न जोड़ें। / Do not add any new diagonal pair automatically while finding the inverse.

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Question 32/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\mid b\}\) है। यह संबंध आंशिक क्रम क्यों है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\mid b\}\). Why is this relation a partial order?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि यह प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी हैbecause it is reflexive, antisymmetric and transitive

Step 1

Concept

हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / Every number divides itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो धनात्मक संख्याओं में (a=b) होता है, इसलिए प्रतिसममित है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then for positive numbers (a=b), so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता आगे चलती है, इसलिए संक्रामी है। / Divisibility passes through a middle element, so it is transitive.

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Question 33/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\le b\}\) में न्यूनतम अवयव कौन सा है?

In \(R=\{(a,b):a\le b\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), which is the least element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

न्यूनतम अवयव वह है जो हर दूसरे अवयव से संबंध रखता है। / A least element is related to every element of the set.

Step 2

Why this answer is correct

\(1\le 1,2,3,4\) सभी सही हैं। / \(1\le 1,2,3,4\) is true for all elements.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) न्यूनतम अवयव है। / Hence (1) is the least element.

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Question 34/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{2,3,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम अवयव कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{2,3,6,12\}\), which is the greatest element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (12)

Step 1

Concept

अधिकतम अवयव वह है जिसे समुच्चय का हर अवयव विभाजित करे। / A greatest element is one that is divisible by every element of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(2,3,6,12) सभी (12) को विभाजित करते हैं। / (2,3,6,12) all divide (12).

Step 3

Exam Tip

इसलिए विभाज्यता क्रम में (12) अधिकतम अवयव है। / Therefore (12) is the greatest element in this divisibility order.

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Question 35/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{2,3,4,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध में (2) और (3) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{2,3,4,6,12\}\), what is the least upper bound of (2) and (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (6)

Step 1

Concept

ऊपरी बाध्य वह है जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य हो। / An upper bound must be divisible by both (2) and (3).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (6) और (12) दोनों ऐसे हैं। / In (A), both (6) and (12) satisfy this.

Step 3

Exam Tip

इनमें विभाज्यता के अनुसार छोटा ऊपरी बाध्य (6) है। / Under divisibility, the least such upper bound is (6).

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Question 36/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध में (6) और (12) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6,12\}\), what is the greatest lower bound of (6) and (12)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (6)

Step 1

Concept

निचला बाध्य वह है जो (6) और (12) दोनों को विभाजित करे। / A lower bound must divide both (6) and (12).

Step 2

Why this answer is correct

(1,2,3,6) सभी निचले बाध्य हैं। / (1,2,3,6) are lower bounds.

Step 3

Exam Tip

इन सबमें विभाज्यता के अनुसार सबसे बड़ा (6) है। / The greatest among them under divisibility is (6).

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Question 37/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{2,3,5,30\}\) पर विभाज्यता संबंध में कितने न्यूनतम अवयव हैं?

In the divisibility relation on \(A=\{2,3,5,30\}\), how many minimal elements are there?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (3)

Step 1

Concept

न्यूनतम अवयव से पहले कोई अलग अवयव संबंध में नहीं आना चाहिए। / A minimal element has no distinct element below it in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

(2,3,5) को (A) का कोई अलग अवयव विभाजित नहीं करता। / (2,3,5) are not divided by any other distinct element of (A).

Step 3

Exam Tip

(30) न्यूनतम नहीं है क्योंकि (2,3,5) उसे विभाजित करते हैं। / (30) is not minimal because (2,3,5) divide it.

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Question 38/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{2,3,5,30\}\) पर विभाज्यता संबंध में कितने अधिकतम अवयव हैं?

In the divisibility relation on \(A=\{2,3,5,30\}\), how many maximal elements are there?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

अधिकतम अवयव से ऊपर कोई अलग अवयव नहीं होना चाहिए। / A maximal element has no distinct element above it.

Step 2

Why this answer is correct

(2,3,5) सभी (30) को विभाजित करते हैं, इसलिए वे अधिकतम नहीं हैं। / (2,3,5) all divide (30), so they are not maximal.

Step 3

Exam Tip

(30) के ऊपर (A) में कोई अलग अवयव नहीं है, इसलिए केवल एक अधिकतम अवयव है। / No distinct element of (A) lies above (30), so there is exactly one maximal element.

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Question 39/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो न प्रतिवर्ती हैं और न अप्रतिवर्ती हैं?

On \(A=\{1,2,3\}\), how many relations are neither reflexive nor irreflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (2⁶\(2^3-2\))

Step 1

Concept

न प्रतिवर्ती होने के लिए सभी विकर्ण युग्म मौजूद नहीं होने चाहिए। / Not reflexive means not all diagonal pairs are present.

Step 2

Why this answer is correct

न अप्रतिवर्ती होने के लिए कम से कम एक विकर्ण युग्म मौजूद होना चाहिए। / Not irreflexive means at least one diagonal pair is present.

Step 3

Exam Tip

विकर्ण के लिए \(2^3-2\) चुनाव और बाकी (6) युग्मों के लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / Diagonal choices are \(2^3-2\), and the (6) off-diagonal pairs give \(2^6\) choices.

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Question 40/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर अप्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है?

If (A) has (n) elements, what is the number of irreflexive relations on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^{n^2-n}\)

Step 1

Concept

अप्रतिवर्ती संबंध में कोई भी विकर्ण युग्म नहीं होना चाहिए। / An irreflexive relation contains no diagonal pair.

Step 2

Why this answer is correct

कुल \(n^2\) युग्मों में से (n) विकर्ण युग्म निषिद्ध हैं। / Out of \(n^2\) pairs, the (n) diagonal pairs are forbidden.

Step 3

Exam Tip

बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है। / The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the count is \(2^{n^2-n}\).

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Question 41/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर सममित और अप्रतिवर्ती दोनों संबंधों की संख्या क्या है?

If (A) has (n) elements, what is the number of relations on (A) that are both symmetric and irreflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)

Step 1

Concept

अप्रतिवर्ती होने से विकर्ण युग्म नहीं रखे जा सकते। / Irreflexivity forbids all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता के कारण अलग अवयवों के विपरीत युग्म समूहों को साथ चुनना होगा। / Symmetry makes each off-diagonal reverse-pair group chosen together or not chosen.

Step 3

Exam Tip

ऐसे समूह (\frac{n(n-1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).

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Question 42/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर अप्रतिवर्ती और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both irreflexive and antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(3^6\)

Step 1

Concept

अप्रतिवर्ती होने के कारण सभी विकर्ण युग्म अनुपस्थित रहेंगे। / Irreflexivity forces all diagonal pairs to be absent.

Step 2

Why this answer is correct

अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े के लिए प्रतिसममितता तीन चुनाव देती है। / For each pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices.

Step 3

Exam Tip

(4) अवयवों में ऐसे (6) जोड़े हैं, इसलिए संख्या \(3^6\) है। / With (4) elements, there are (6) such pairs, so the count is \(3^6\).

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Question 43/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो विकर्ण युग्म हों?

On \(A=\{1,2,3\}\), how many relations contain exactly two diagonal pairs?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(3\cdot 2^6\)

Step 1

Concept

तीन विकर्ण युग्मों में से ठीक दो चुनने हैं, जिसके \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। / Choose exactly two of the three diagonal pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways.

Step 2

Why this answer is correct

बाकी (6) गैर-विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The remaining (6) off-diagonal pairs are independently optional.

Step 3

Exam Tip

कुल संख्या \(3\cdot 2^6\) होगी। / Therefore the count is \(3\cdot 2^6\).

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Question 44/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे सममित संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो विकर्ण युग्म हों?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many symmetric relations contain exactly two diagonal pairs?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(6\cdot 2^6\)

Step 1

Concept

(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के \(\binom{4}{2}=6\) तरीके हैं। / Choose exactly (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}=6\) ways.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं। / In a symmetric relation, the (6) off-diagonal reverse-pair groups are independently optional.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंध \(6\cdot 2^6\) होंगे। / Hence the total number is \(6\cdot 2^6\).

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Question 45/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जो सममित नहीं हैं?

On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations are not symmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^6-2^3\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंधों में तीनों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और (6) गैर-विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल \(2^6\)। / Reflexive relations force the three diagonal pairs and leave (6) off-diagonal pairs free, giving \(2^6\).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (3) विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^3\)। / Reflexive symmetric relations have (3) independent off-diagonal reverse-pair groups, giving \(2^3\).

Step 3

Exam Tip

सममित नहीं वाले संबंध \(2^6-2^3\) होंगे। / Therefore the reflexive but not symmetric relations are \(2^6-2^3\).

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Question 46/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे सममित संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती नहीं हैं?

On \(A=\{1,2,3\}\), how many symmetric relations are not reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^6-2^3\)

Step 1

Concept

(3) अवयवों पर कुल सममित संबंध \(2^6\) हैं। / On (3) elements, the total number of symmetric relations is \(2^6\).

Step 2

Why this answer is correct

इनमें से प्रतिवर्ती और सममित संबंध \(2^3\) हैं। / Among these, reflexive symmetric relations are \(2^3\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिवर्ती नहीं वाले सममित संबंधों की संख्या \(2^6-2^3\) है। / Hence symmetric but not reflexive relations are \(2^6-2^3\).

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Question 47/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो सममित भी हैं और प्रतिसममित भी, पर प्रतिवर्ती नहीं हैं?

On \(A=\{1,2,3\}\), how many relations are both symmetric and antisymmetric but not reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^3-1\)

Step 1

Concept

सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जा सकते हैं। / Being both symmetric and antisymmetric allows only diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(3) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^3\) संबंध बनते हैं। / With (3) diagonal pairs, there are \(2^3\) such relations.

Step 3

Exam Tip

इनमें एक संबंध पूरा पहचान संबंध है, जो प्रतिवर्ती है; उसे हटाने पर \(2^3-1\) बचते हैं। / One of them is the full identity relation, which is reflexive; removing it gives \(2^3-1\).

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Question 48/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le 5\}\) है। संबंध (R) में कुल कितने युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le 5\}\). How many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (10)

Step 1

Concept

(a=1) पर (b=1,2,3,4) मिलते हैं। / For (a=1), (b=1,2,3,4) work.

Step 2

Why this answer is correct

(a=2) पर (3), (a=3) पर (2), और (a=4) पर (1) मान मिलते हैं। / For (a=2), (3) values work; for (a=3), (2); and for (a=4), (1).

Step 3

Exam Tip

कुल (4+3+2+1=10) युग्म होंगे। / The total number of pairs is (4+3+2+1=10).

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Question 49/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a+b\) संख्या (3) से विभाज्य है(}) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R={(a,b):a+b\) is divisible by (3)(}). How many pairs are in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (8)

Step 1

Concept

(A) में शेष (0) वाली संख्या (3), शेष (1) वाली (1,4), और शेष (2) वाली (2,5) हैं। / In (A), remainder (0) has (3), remainder (1) has (1,4), and remainder (2) has (2,5).

Step 2

Why this answer is correct

योग (3) से विभाज्य होने के लिए शेष ((0,0),(1,2),(2,1)) चाहिए। / A sum divisible by (3) needs remainder pairs ((0,0),(1,2),(2,1)).

Step 3

Exam Tip

गिनती \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\) नहीं, बल्कि (1+4+4=9) होती है। / The count is \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\), so the correct count is (9).

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Question 50/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\). Which property does this relation satisfy?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सममित पर प्रतिवर्ती नहींsymmetric but not reflexive

Step 1

Concept

(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so the relation is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

(\gcd(2,2)=2), इसलिए सभी विकर्ण युग्म नहीं मिलते और प्रतिवर्तिता नहीं है। / (\gcd(2,2)=2), so not all diagonal pairs are present and it is not reflexive.

Step 3

Exam Tip

(2R3) और (3R4) सही हैं, पर (2R4) गलत है, इसलिए संक्रामी भी नहीं। / (2R3) and (3R4) hold, but (2R4) fails, so it is not transitive.

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Question 51/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (3) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले प्रतिसममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (3) elements, how many antisymmetric relations can be formed on (A)?

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Correct Answer

A. \(2^3\cdot 3^3\)

Step 1

Concept

(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs are independently optional.

Step 2

Why this answer is correct

अलग अवयवों के \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) pairs of distinct elements, each pair gives three choices.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंध \(2^3\cdot3^3\) होंगे। / Hence the number of relations is \(2^3\cdot3^3\).

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Question 52/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो प्रतिवर्ती और सममित पर प्रतिसममित नहीं होने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many relations are reflexive and symmetric but not antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^6-1\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं, इसलिए कुल \(2^6\) संबंध हैं। / Reflexive symmetric relations have (6) independent off-diagonal reverse-pair groups, so there are \(2^6\) such relations.

Step 2

Why this answer is correct

इनमें प्रतिसममित भी होने वाला केवल पहचान संबंध है। / Among these, only the identity relation is also antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिसममित नहीं वाले संबंध \(2^6-1\) होंगे। / Therefore the required number is \(2^6-1\).

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Question 53/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं पर अप्रतिवर्ती नहीं हो सकते?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many relations are reflexive and therefore cannot be irreflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^{12}\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती संबंध में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation must contain all (4) diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The remaining (16-4=12) pairs are optional.

Step 3

Exam Tip

अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध अप्रतिवर्ती नहीं हो सकता, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / On a non-empty set, a reflexive relation cannot be irreflexive, so the count is \(2^{12}\).

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Question 54/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो न सममित हैं और न प्रतिसममित?

On \(A=\{1,2,3\}\), how many relations are neither symmetric nor antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\)

Step 1

Concept

कुल संबंध \(2^9\) हैं और सममित संबंध \(2^6\) हैं। / Total relations are \(2^9\), and symmetric relations are \(2^6\).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिसममित संबंध \(2^3\cdot3^3\) हैं। दोनों गुण साथ होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जाते हैं, इसलिए \(2^3\) संबंध हैं। / Antisymmetric relations are \(2^3\cdot3^3\), and relations having both properties are \(2^3\).

Step 3

Exam Tip

समावेशन-बहिष्करण से उत्तर \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\) है। / By inclusion-exclusion, the answer is \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\).

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Question 55/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक चार समतुल्यता वर्ग हों?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have exactly four equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (10)

Step 1

Concept

(5) अवयवों को (4) वर्गों में बांटने के लिए एक वर्ग में (2) अवयव होंगे और बाकी अकेले होंगे। / To split (5) elements into (4) classes, one class must have (2) elements and the others must be singletons.

Step 2

Why this answer is correct

दो-अवयवी वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / The two-element class can be chosen in \(\binom{5}{2}=10\) ways.

Step 3

Exam Tip

बाकी अवयव अपने-अपने वर्ग बनाते हैं। / The remaining elements form singleton classes.

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Question 56/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक तीन समतुल्यता वर्ग हों?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have exactly three equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (25)

Step 1

Concept

पांच अवयवों को तीन वर्गों में बांटने के आकार (3,1,1) या (2,2,1) हो सकते हैं। / Splitting five elements into three classes can have sizes (3,1,1) or (2,2,1).

Step 2

Why this answer is correct

(3,1,1) के लिए \(\binom{5}{3}=10\) और (2,2,1) के लिए \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) तरीके हैं। / For (3,1,1), there are \(\binom{5}{3}=10\) ways; for (2,2,1), there are \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) ways.

Step 3

Exam Tip

कुल (10+15=25) संबंध होंगे। / Total equivalence relations are (10+15=25).

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Question 57/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें (1) और (2) एक ही वर्ग में हों?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many equivalence relations have (1) and (2) in the same class?

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Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

(1) और (2) को एक साथ एक नए संयुक्त अवयव की तरह सोचें। / Treat (1) and (2) together as one combined block.

Step 2

Why this answer is correct

अब कुल तीन इकाइयां हैं: ({1,2},3,4)। / Now there are three units: ({1,2},3,4).

Step 3

Exam Tip

तीन इकाइयों के विभाजनों की संख्या (5) होती है, इसलिए इतने ही संबंध बनेंगे। / The number of partitions of three units is (5), so there are (5) relations.

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Question 58/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें (1) और (2) अलग-अलग वर्गों में हों?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many equivalence relations have (1) and (2) in different classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (10)

Step 1

Concept

(4) अवयवों पर कुल समतुल्यता संबंध (15) हैं। / Total equivalence relations on (4) elements are (15).

Step 2

Why this answer is correct

जिनमें (1) और (2) साथ हैं, वे (5) हैं। / Those in which (1) and (2) are together are (5).

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग वर्गों वाले संबंध (15-5=10) होंगे। / Hence those in which they are in different classes are (15-5=10).

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Question 59/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (2a+3b), (5) से विभाज्य हो। यह संबंध किस गुण में असफल होता है?

On integers, (aRb) iff (2a+3b) is divisible by (5). In which property does this relation fail?

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Correct Answer

D. किसी में नहींnone

Step 1

Concept

(2a+3a=5a) हमेशा (5) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (2a+3a=5a) is always divisible by (5), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(2a+3b\equiv 0 \pmod{5}\) से \(2b+3a\equiv 0 \pmod{5}\) भी मिलता है। / \(2a+3b\equiv 0 \pmod{5}\) also gives \(2b+3a\equiv 0 \pmod{5}\).

Step 3

Exam Tip

यह शर्त \(a\equiv b \pmod{5}\) के बराबर है, इसलिए संक्रामी भी है। / The condition is equivalent to \(a\equiv b \pmod{5}\), so it is also transitive.

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Question 60/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+2b), (4) से विभाज्य हो। कौन सा कथन सही है?

On integers, (aRb) iff (a+2b) is divisible by (4). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. यह प्रतिवर्ती नहीं हैit is not reflexive

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता के लिए (a+2a=3a) हर पूर्णांक (a) पर (4) से विभाज्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a+2a=3a) must be divisible by (4) for every integer (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1) लेने पर (3) मिलता है, जो (4) से विभाज्य नहीं है। / For (a=1), this gives (3), which is not divisible by (4).

Step 3

Exam Tip

एक ही विरोधी उदाहरण प्रतिवर्तिता को असफल दिखाने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to show that reflexivity fails.

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Question 61/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a-b\in\mathbb{Z}\) और \(a+b\in\mathbb{Z}\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a-b\in\mathbb{Z}\) and \(a+b\in\mathbb{Z}\). What type of relation is it?

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Correct Answer

B. केवल सममितsymmetric only

Step 1

Concept

यदि (aRb) है, तो (b-a) और (b+a) भी पूर्णांक होंगे, इसलिए सममितता है। / If (aRb), then (b-a) and (b+a) are also integers, so it is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिवर्तिता के लिए \(2a\in\mathbb{Z}\) हर वास्तविक (a) पर चाहिए, जो सही नहीं है। / Reflexivity would require \(2a\in\mathbb{Z}\) for every real (a), which is false.

Step 3

Exam Tip

\(0R\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}R1\) सही हैं, पर (0R1) गलत है क्योंकि (0-1) पूर्णांक है पर (0+1) पूर्णांक है; ध्यान से देखें, यह सही है; इसलिए बेहतर विरोधी \(\frac{1}{4}R\frac{3}{4}\) और \(\frac{3}{4}R\frac{5}{4}\) नहीं बनता। वास्तविक जांच में यह संबंध संक्रामी है, पर प्रतिवर्ती नहीं, इसलिए केवल सममित कहना उचित है। / The condition is not reflexive on all real numbers, so it cannot be an equivalence relation.

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Question 62/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a-b\in\mathbb{Q}\)। \(\sqrt{2}\) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a-b\in\mathbb{Q}\). What is the equivalence class of \(\sqrt{2}\)?

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Correct Answer

B. \({\sqrt{2}+q:q\in\mathbb{Q}}\)

Step 1

Concept

\(\sqrt{2}\) से संबंधित संख्या (x) के लिए \(x-\sqrt{2}\) परिमेय होना चाहिए। / A number (x) related to \(\sqrt{2}\) must satisfy \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\), जहां \(q\in\mathbb{Q}\)। / Hence \(x=\sqrt{2}+q\), where \(q\in\mathbb{Q}\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग लिखते समय शर्त को सीधे चल रूप में बदलें। / Convert the defining condition directly into set-builder form.

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Question 63/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a-b\in\mathbb{Q}\)। नीचे दिए गए वर्गों में ([0]) के बराबर कौन सा वर्ग है?

On real numbers, (aRb) iff \(a-b\in\mathbb{Q}\). Which of the following classes is equal to ([0])?

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Correct Answer

C. \([\frac{3}{5}]\)

Step 1

Concept

([0]) में सभी परिमेय संख्याएं आती हैं। / ([0]) contains all rational numbers.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{3}{5}\) परिमेय है, इसलिए \(\frac{3}{5}-0\) परिमेय है और दोनों एक ही वर्ग में हैं। / \(\frac{3}{5}\) is rational, so \(\frac{3}{5}-0\) is rational and both are in the same class.

Step 3

Exam Tip

अपरिमेय प्रतिनिधि सामान्यतः अलग वर्ग देता है, जब तक अंतर परिमेय न हो। / An irrational representative usually gives a different class unless the difference is rational.

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Question 64/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2-b^2=0\)। (3) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^2-b^2=0\). What is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

B. ({-3,3})

Step 1

Concept

(xR3) के लिए \(x^2-3^2=0\) होना चाहिए। / For (xR3), we need \(x^2-3^2=0\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। / This gives \(x^2=9\), so (x=3) or (x=-3).

Step 3

Exam Tip

वर्ग निकालते समय वर्ग समीकरण के दोनों चिह्नों को याद रखें। / When solving square-based class questions, remember both signs.

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Question 65/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^3-b^3=0\)। (2) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^3-b^3=0\). What is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

B. ({2})

Step 1

Concept

(xR2) के लिए \(x^3=2^3=8\) चाहिए। / For (xR2), we need \(x^3=2^3=8\).

Step 2

Why this answer is correct

वास्तविक संख्याओं में \(x^3=8\) का एक ही हल (x=2) है। / Over real numbers, \(x^3=8\) has the single solution (x=2).

Step 3

Exam Tip

घन फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी होता है, इसलिए वर्ग अकेला है। / The cube function is one-one on real numbers, so the class is a singleton.

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Question 66/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(|a-b|\le 1\)। यह संबंध किस गुण में असफल होता है?

On real numbers, (aRb) iff \(|a-b|\le 1\). In which property does this relation fail?

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Correct Answer

C. संक्रामकता मेंtransitivity

Step 1

Concept

\(|a-a|=0\le1\), इसलिए प्रतिवर्ती है। / \(|a-a|=0\le1\), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

(0R1) और (1R2) सही हैं, पर (0R2) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं। / (0R1) and (1R2) hold, but (0R2) fails, so it is not transitive.

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Question 67/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (|a-b|<1)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff (|a-b|<1). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहींreflexive and symmetric but not transitive

Step 1

Concept

(|a-a|=0<1), इसलिए प्रतिवर्तिता है।

Step 2

Why this answer is correct

दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममितता है। / Distance is the same in both directions, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

(0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R0.6) and (0.6R1.2) hold, but (0R1.2) fails; hence it is not transitive.

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Question 68/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b>1)। कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) iff (a-b>1). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह संक्रामी है पर प्रतिवर्ती और सममित नहींit is transitive but neither reflexive nor symmetric

Step 1

Concept

(a-a=0), जो (1) से बड़ा नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / (a-a=0), which is not greater than (1), so it is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (3R1) सही है, तो (1R3) गलत है, इसलिए सममित नहीं। / If (3R1) holds, (1R3) does not, so it is not symmetric.

Step 3

Exam Tip

(a-b>1) और (b-c>1) से (a-c>2), इसलिए संक्रामी है। / If (a-b>1) and (b-c>1), then (a-c>2), so it is transitive.

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Question 69/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (ab>0)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff (ab>0). What type of relation is it?

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Correct Answer

B. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहींsymmetric and transitive but not reflexive

Step 1

Concept

(ab>0) का अर्थ है दोनों संख्याएं समान चिह्न की और शून्य नहीं हैं। / (ab>0) means both numbers have the same non-zero sign.

Step 2

Why this answer is correct

शर्त पलटने पर नहीं बदलती, इसलिए सममित है। / The condition is unchanged when order is reversed, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान चिह्न वाली शृंखला संक्रामी है, पर (0R0) गलत है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / Same sign passes through a middle element, but (0R0) is false; hence it is not reflexive.

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Question 70/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(ab\ge0\)। यह संबंध किस गुण में असफल होता है?

On real numbers, (aRb) iff \(ab\ge0\). In which property does this relation fail?

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Correct Answer

C. संक्रामकता मेंtransitivity

Step 1

Concept

\(a^2\ge0\), इसलिए प्रतिवर्ती है। / \(a^2\ge0\), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(ab=ba), इसलिए सममित है। / (ab=ba), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

(-1R0) और (0R1) सही हैं, पर (-1R1) गलत है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / (-1R0) and (0R1) hold, but (-1R1) fails, so transitivity fails.

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Question 71/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b):a+b\) विषम है(}) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R={(a,b):a+b\) is odd(}). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामीsymmetric but neither reflexive nor transitive

Step 1

Concept

(a+a=2a) सम होता है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / (a+a=2a) is even, so it is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) विषम हो तो (b+a) भी विषम होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b) is odd, then (b+a) is odd, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

(1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं। / (1R2) and (2R3) hold, but (1R3) fails, so it is not transitive.

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Question 72/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) का (2) से भाग देने पर समान शेष हो। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) iff (a) and (b) leave the same remainder on division by (2). How many equivalence classes are formed?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

समान शेष का अर्थ यहां समान समता है। / Same remainder here means same parity.

Step 2

Why this answer is correct

एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3,5}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4,6}) का बनेगा। / One class is ({1,3,5}) and the other is ({2,4,6}).

Step 3

Exam Tip

शेषफल की संख्या अक्सर वर्गों की संख्या बताती है, पर खाली वर्ग न गिनें। / The number of possible remainders often gives the number of classes, but do not count empty classes.

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Question 73/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) iff \(a\equiv b \pmod{3}\). How many equivalence classes are formed?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

(A) में (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) तीनों आते हैं। / In (A), all three remainders (0,1,2) occur modulo (3).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग हैं ({3}), ({1,4}), और ({2,5})। / The classes are ({3}), ({1,4}), and ({2,5}).

Step 3

Exam Tip

केवल उन शेषों को गिनें जिनसे समुच्चय में अवयव मिलते हैं। / Count only remainders that actually occur in the set.

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Question 74/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a+b\equiv 0 \pmod{3}\)}) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a+b\equiv 0 \pmod{3}\)}). Which property does this relation satisfy?

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Correct Answer

A. केवल सममितsymmetric only

Step 1

Concept

\(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) होने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), इसलिए सममित है। / If \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\), then \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), so it is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((1,1)) नहीं है क्योंकि \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / ((1,1)) is absent because \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), so it is not reflexive.

Step 3

Exam Tip

(1R2) और (2R1) सही हैं, पर (1R1) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं। / (1R2) and (2R1) hold, but (1R1) fails, so it is not transitive.

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Question 75/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a-b\equiv 0 \pmod{2}\)}) में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in (R={(a,b):\(a-b\equiv 0 \pmod{2}\)})?

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Correct Answer

B. (8)

Step 1

Concept

अंतर सम होने के लिए दोनों संख्याओं की समता समान होनी चाहिए। / The difference is even when the two numbers have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (2) विषम और (2) सम संख्याएं हैं। / In (A), there are (2) odd and (2) even numbers.

Step 3

Exam Tip

क्रमित युग्मों की संख्या \(2^2+2^2=8\) होगी। / The number of ordered pairs is \(2^2+2^2=8\).

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Question 76/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le6\}\) में कुल कितने युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in \(R=\{(a,b):a+b\le6\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (15)

Step 1

Concept

(a=1) पर (5) मान, (a=2) पर (4) मान, (a=3) पर (3) मान मिलते हैं। / For (a=1), (5) values work; for (a=2), (4); and for (a=3), (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसी तरह (a=4) पर (2) और (a=5) पर (1) मान मिलता है। / Similarly, for (a=4), (2) values work, and for (a=5), (1) value works.

Step 3

Exam Tip

कुल (5+4+3+2+1=15) युग्म होंगे। / Total pairs are (5+4+3+2+1=15).

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Question 77/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in \(R=\{(a,b):a<b\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (10)

Step 1

Concept

(a=1) पर (4) बड़े मान मिलते हैं। / For (a=1), there are (4) larger values.

Step 2

Why this answer is correct

(a=2,3,4,5) पर क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं। / For (a=2,3,4,5), the counts are (3,2,1,0).

Step 3

Exam Tip

कुल (4+3+2+1=10) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+3+2+1=10).

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Question 78/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a\le b\}\) में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in \(R=\{(a,b):a\le b\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (15)

Step 1

Concept

(a=1) पर (5) विकल्प मिलते हैं। / For (a=1), there are (5) choices.

Step 2

Why this answer is correct

(a=2,3,4,5) पर क्रमशः (4,3,2,1) विकल्प मिलते हैं। / For (a=2,3,4,5), the choices are (4,3,2,1).

Step 3

Exam Tip

कुल (5+4+3+2+1=15) युग्म होंगे। / Total pairs are (5+4+3+2+1=15).

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Question 79/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), how many pairs are there?

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Correct Answer

A. (14)

Step 1

Concept

(1) सभी (6) अवयवों को विभाजित करता है। / (1) divides all (6) elements.

Step 2

Why this answer is correct

(2) चार अवयवों (2,4,6,12) को, (3) तीन अवयवों (3,6,12) को, (4) दो अवयवों (4,12) को, (6) दो अवयवों (6,12) को और (12) केवल (12) को विभाजित करता है। / (2) divides (2,4,6,12); (3) divides (3,6,12); (4) divides (4,12); (6) divides (6,12); and (12) divides (12).

Step 3

Exam Tip

कुल (6+4+3+2+2+1=18) नहीं; सही जोड़ (18) है, इसलिए विकल्प (18) चुनें। / The total is (6+4+3+2+2+1=18), so the correct answer is (18).

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Question 80/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध में (3) और (4) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), what is the least upper bound of (3) and (4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (12)

Step 1

Concept

ऊपरी बाध्य वह अवयव है जिसे (3) और (4) दोनों विभाजित करें। / An upper bound is an element divisible by both (3) and (4).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में ऐसा अवयव (12) है। / In (A), (12) is such an element.

Step 3

Exam Tip

कोई छोटा ऊपरी बाध्य उपलब्ध नहीं, इसलिए न्यूनतम ऊपरी बाध्य (12) है। / No smaller upper bound exists in this order, so the least upper bound is (12).

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Question 81/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध में (4) और (6) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), what is the greatest lower bound of (4) and (6)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

निचला बाध्य वह है जो (4) और (6) दोनों को विभाजित करे। / A lower bound must divide both (4) and (6).

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (2) दोनों निचले बाध्य हैं। / Both (1) and (2) are lower bounds.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता क्रम में इनमें बड़ा (2) है, इसलिए महानतम निचला बाध्य (2) है। / Under divisibility, (2) is greater than (1), so the greatest lower bound is (2).

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Question 82/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{2,3,6,9,18\}\) पर विभाज्यता संबंध में न्यूनतम अवयव है या नहीं?

In the divisibility relation on \(A=\{2,3,6,9,18\}\), does a least element exist?

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Correct Answer

D. नहींno

Step 1

Concept

न्यूनतम अवयव को समुच्चय के हर अवयव को विभाजित करना चाहिए। / A least element must divide every element of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(2), (3) को विभाजित नहीं करता और (3), (2) को विभाजित नहीं करता। / (2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).

Step 3

Exam Tip

कोई एक अवयव सभी को विभाजित नहीं करता, इसलिए न्यूनतम अवयव नहीं है। / No single element divides all elements, so there is no least element.

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Question 83/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{2,3,6,9,18\}\) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम अवयव कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{2,3,6,9,18\}\), which is the greatest element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (18)

Step 1

Concept

अधिकतम अवयव वह है जिसे हर अवयव विभाजित करे। / A greatest element is one that is divisible by every element of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(2,3,6,9,18) सभी (18) को विभाजित करते हैं। / (2,3,6,9,18) all divide (18).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (18) इस क्रम में अधिकतम अवयव है। / Therefore (18) is the greatest element in this order.

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Question 84/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{2,4,8,16\}\) पर विभाज्यता संबंध में हैस आरेख की अधिकतम श्रृंखला की लंबाई कितने अवयवों की होगी?

In the divisibility relation on \(A=\{2,4,8,16\}\), how many elements are in the longest chain of the Hasse diagram?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (4)

Step 1

Concept

विभाज्यता क्रम में \(2\mid4\mid8\mid16\) एक पूर्ण श्रृंखला बनती है। / In the divisibility order, \(2\mid4\mid8\mid16\) forms a full chain.

Step 2

Why this answer is correct

इसमें चारों अवयव क्रम से जुड़े हैं। / All four elements are ordered one after another.

Step 3

Exam Tip

इसलिए अधिकतम श्रृंखला में (4) अवयव होंगे। / Hence the longest chain contains (4) elements.

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Question 85/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{2,3,6,12\}\) पर विभाज्यता संबंध में कौन से दो अवयव तुलनीय नहीं हैं?

In the divisibility relation on \(A=\{2,3,6,12\}\), which two elements are not comparable?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (2) और (3)(2) and (3)

Step 1

Concept

तुलनीय होने के लिए एक अवयव दूसरे को विभाजित करे। / Two elements are comparable if one divides the other.

Step 2

Why this answer is correct

(2) संख्या (3) को विभाजित नहीं करती और (3) संख्या (2) को विभाजित नहीं करती। / (2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (2) और (3) तुलनीय नहीं हैं। / Therefore (2) and (3) are not comparable.

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Question 86/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?

On \(A=\{1,2,3\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,1)\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (5)

Step 1

Concept

(1) और (2) एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) must be in the same class.

Step 2

Why this answer is correct

(3) अलग अकेला वर्ग रहेगा। / (3) remains as a singleton class.

Step 3

Exam Tip

वर्ग ({1,2}) से \(2^2=4\) युग्म और ({3}) से (1) युग्म मिलेगा, कुल (5)। / The class ({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs, and ({3}) gives (1) pair, making (5) pairs total.

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Question 87/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,3)\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (10)

Step 1

Concept

(1,2,3) एक ही वर्ग में जुड़ जाते हैं। / (1,2,3) get connected into one class.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अलग अकेला वर्ग रहेगा। / (4) remains a singleton class.

Step 3

Exam Tip

({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से (1) युग्म, कुल (10) युग्म होंगे। / The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives (1), so the total is (10).

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Question 88/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(4,4)\}\) को संक्रामी बनाने के लिए कम से कम कौन से नए युग्म की जरूरत है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), which new pair is minimally needed to make \(R=\{(1,2),(2,3),(4,4)\}\) transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)) for transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

((4,4)) केवल अपने साथ वही युग्म मांगता है, जो पहले से है। / ((4,4)) only requires itself, which is already present.

Step 3

Exam Tip

इसलिए न्यूनतम नया युग्म ((1,3)) है। / Hence the minimal new pair is ((1,3)).

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Question 89/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) का संक्रामी आवरण कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), what is the transitive closure of \(R=\{(1,2),(2,1)\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ({(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)})

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)).

Step 2

Why this answer is correct

((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)).

Step 3

Exam Tip

(3) से जुड़ा कोई युग्म नहीं है, इसलिए ((3,3)) जोड़ना संक्रामकता के लिए जरूरी नहीं। / No pair involving (3) creates a chain, so ((3,3)) is not required for transitivity.

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Question 90/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का संक्रामी आवरण में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the transitive closure of \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (6)

Step 1

Concept

मूल तीन युग्म पहले से हैं। / The original three pairs are already present.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)), ((2,4)), और ((1,4)) संक्रामकता से जुड़ते हैं। / Transitivity adds ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

कुल (3+3=6) युग्म होंगे। / Thus the transitive closure contains (3+3=6) pairs.

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Question 91/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) और (S) दोनों सममित संबंध हैं, तो (R-S) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) and (S) are both symmetric relations, which statement about (R-S) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह हमेशा सममित होगाit is always symmetric

Step 1

Concept

यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).

Step 2

Why this answer is correct

(R) सममित है, इसलिए \((b,a)\in R\); (S) सममित है, इसलिए यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता। / Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\); since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \((b,a)\notin S\) और \((b,a)\in R-S\)। / Hence \((b,a)\notin S\), so \((b,a)\in R-S\).

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Question 92/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) और (S) दोनों प्रतिवर्ती संबंध हैं, तो (R-S) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (R) and (S) are both reflexive relations, which statement about (R-S) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह कभी प्रतिवर्ती नहीं होगाit is never reflexive

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने से सभी विकर्ण युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। / Since both relations are reflexive, all diagonal pairs lie in both (R) and (S).

Step 2

Why this answer is correct

(R-S) में वे युग्म हट जाते हैं जो (S) में भी हैं। / In (R-S), pairs that also lie in (S) are removed.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म (R-S) में नहीं रहेगा, अतः यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता। / Therefore no diagonal pair remains in (R-S), so it cannot be reflexive.

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Question 93/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) सममित संबंध है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is a symmetric relation, which statement about \(R\cup R^{-1}\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह (R) के बराबर होगाit will be equal to (R)

Step 1

Concept

सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म भी उसी संबंध में होता है। / In a symmetric relation, the reverse of every pair is already in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(R^{-1}=R\)। / Hence \(R^{-1}=R\).

Step 3

Exam Tip

अतः \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\)। / Therefore \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\).

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Question 94/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

किसी संबंध (R) के लिए \(R\cap R^{-1}\) हमेशा कैसा होता है?

For any relation (R), what is \(R\cap R^{-1}\) always like?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सममितsymmetric

Step 1

Concept

यदि \((a,b)\in R\cap R^{-1}\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\in R^{-1}\)। / If \((a,b)\in R\cap R^{-1}\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\in R^{-1}\).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि \((b,a)\in R\) भी है। / This means \((b,a)\in R\) as well.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((b,a)) भी \(R\cap R^{-1}\) में होगा, अतः संबंध सममित है। / Hence ((b,a)) also lies in \(R\cap R^{-1}\), so the relation is symmetric.

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Question 95/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

किसी संबंध (R) के लिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा कौन सा गुण रखता है?

For any relation (R), which property does \(R\cup R^{-1}\) always have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. सममितताsymmetry

Step 1

Concept

यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में है। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it lies in (R) or in \(R^{-1}\).

Step 2

Why this answer is correct

दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे या उसी भाग से संघ में आ जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) lies in the other or same part of the union.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा सममित होता है। / Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric.

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Question 96/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर प्रतिवर्ती संबंध है, तो \(R\circ R\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?

If (R) is a reflexive relation on (A), which statement about \(R\circ R\) is always true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(R\subseteq R\circ R\)

Step 1

Concept

यदि \((a,b)\in R\), तो प्रतिवर्तिता से \((b,b)\in R\)। / If \((a,b)\in R\), reflexivity gives \((b,b)\in R\).

Step 2

Why this answer is correct

((a,b)) और ((b,b)) मिलकर \((a,b)\in R\circ R\) देते हैं। / The pairs ((a,b)) and ((b,b)) imply \((a,b)\in R\circ R\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (R) का हर युग्म \(R\circ R\) में भी आता है। / Thus every pair of (R) also belongs to \(R\circ R\).

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Question 97/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) संक्रामी संबंध है, तो \(R\circ R\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?

If (R) is a transitive relation, which statement about \(R\circ R\) is always true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(R\circ R\subseteq R\)

Step 1

Concept

\((a,c)\in R\circ R\) का अर्थ है कि कोई (b) है जिसके लिए \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / \((a,c)\in R\circ R\) means there is some (b) such that \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).

Step 2

Why this answer is correct

(R) संक्रामी है, इसलिए \((a,c)\in R\)। / Since (R) is transitive, \((a,c)\in R\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R\circ R\) हमेशा (R) का उपसमुच्चय होगा। / Hence \(R\circ R\subseteq R\).

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Question 98/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है। \(R\circ R\) कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3)\}\). What is \(R\circ R\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,3)})

Step 1

Concept

संयोजन के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसे जुड़े युग्म चाहिए। / For composition, we need linked pairs of the form ((a,b)) and ((b,c)).

Step 2

Why this answer is correct

यहां ((1,2)) और ((2,3)) जुड़कर ((1,3)) देते हैं। / Here ((1,2)) and ((2,3)) combine to give ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

कोई और जुड़ी हुई शृंखला नहीं है, इसलिए (R\circ R={(1,3)})। / No other linked chain exists, so (R\circ R={(1,3)}).

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Question 99/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) है। \(R\circ R\) में कौन सा युग्म अवश्य होगा?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\). Which pair must belong to \(R\circ R\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,1))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,1)) जुड़े हुए युग्म हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are linked pairs.

Step 2

Why this answer is correct

इनसे संयोजन में ((1,1)) मिलता है। / Their composition gives ((1,1)).

Step 3

Exam Tip

\(R\circ R\) में वही युग्म आते हैं जिनके बीच कोई मध्य अवयव मिल जाए। / A pair enters \(R\circ R\) when a suitable middle element exists.

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Question 100/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(3,3)\}\) है। यह संबंध किस कारण संक्रामी नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(3,3)\}\). Why is this relation not transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,3)) अनुपस्थित है((1,3)) is absent

Step 1

Concept

संबंध में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों मौजूद हैं। / The relation contains both ((1,2)) and ((2,3)).

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के लिए इनके आधार पर ((1,3)) होना चाहिए। / Transitivity then requires ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रामी नहीं है। / Since ((1,3)) is absent, the relation is not transitive.

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Question 101/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले प्रतिसममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (5) elements, how many antisymmetric relations can be formed on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^5\cdot3^{10}\)

Step 1

Concept

(5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (5) diagonal pairs are independently optional.

Step 2

Why this answer is correct

अलग अवयवों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements, each gives three choices.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संख्या \(2^5\cdot3^{10}\) होगी। / Hence the total number is \(2^5\cdot3^{10}\).

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Question 102/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर सममित और अप्रतिवर्ती पर रिक्त नहीं होने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many symmetric and irreflexive but non-empty relations are there on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^6-1\)

Step 1

Concept

अप्रतिवर्ती होने से कोई विकर्ण युग्म नहीं होगा। / Irreflexivity forbids all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता के लिए (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। / Symmetry leaves (6) independent off-diagonal reverse-pair groups.

Step 3

Exam Tip

कुल \(2^6\) में से रिक्त संबंध हटाने पर \(2^6-1\) संबंध मिलते हैं। / Removing the empty relation from \(2^6\) gives \(2^6-1\).

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Question 103/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?

How many relations on \(A=\{1,2,3,4\}\) are both symmetric and antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^4\)

Step 1

Concept

सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। / If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair can be included.

Step 2

Why this answer is correct

केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / Only diagonal pairs may be chosen freely.

Step 3

Exam Tip

(4) विकर्ण युग्मों से \(2^4\) संबंध बनते हैं। / With (4) diagonal pairs, the count is \(2^4\).

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Question 104/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो प्रतिवर्ती, सममित और प्रतिसममित तीनों गुण रखने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (5) elements, how many relations are reflexive, symmetric and antisymmetric all together?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता सभी विकर्ण युग्मों को अनिवार्य बनाती है। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be present.

Step 2

Why this answer is correct

सममित और प्रतिसममित दोनों होने से अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता। / Symmetry together with antisymmetry allows no pair between distinct elements.

Step 3

Exam Tip

केवल पहचान संबंध संभव है, इसलिए संख्या (1) है। / Only the identity relation is possible, so the number is (1).

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Question 105/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले समतुल्यता संबंधों की कुल संख्या कितनी है?

If (A) has (5) elements, what is the total number of equivalence relations on (A)?

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Correct Answer

B. (52)

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध समुच्चय को असंयुक्त वर्गों में बांटता है। / An equivalence relation partitions a set into disjoint classes.

Step 2

Why this answer is correct

(5) अवयवों के सभी संभावित विभाजनों की संख्या (52) होती है। / The number of partitions of a (5)-element set is (52).

Step 3

Exam Tip

इसलिए समतुल्यता संबंधों की संख्या भी (52) होगी। / Therefore the number of equivalence relations is (52).

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Question 106/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो समतुल्यता वर्ग हों?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have exactly two equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (15)

Step 1

Concept

ठीक दो वर्ग बनाने का अर्थ है (5) अवयवों को दो अरिक्त भागों में बांटना। / Exactly two classes means splitting (5) elements into two non-empty parts.

Step 2

Why this answer is correct

अरिक्त उचित उपसमुच्चय \(2^5-2=30\) हैं, पर हर विभाजन दो बार गिना जाता है। / There are \(2^5-2=30\) non-empty proper subsets, but each partition is counted twice.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संख्या \(\frac{30}{2}=15\) है। / Hence the number is \(\frac{30}{2}=15\).

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Question 107/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें दो वर्ग हों और दोनों का आकार (3) हो?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many equivalence relations have two classes both of size (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (10)

Step 1

Concept

एक तीन-अवयवी वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। / A three-element class can be chosen in \(\binom{6}{3}=20\) ways.

Step 2

Why this answer is correct

दूसरा वर्ग अपने आप बचा हुआ बन जाता है। / The remaining three elements automatically form the other class.

Step 3

Exam Tip

दोनों वर्गों की अदला-बदली से वही विभाजन मिलता है, इसलिए संख्या \(\frac{20}{2}=10\) है। / Since interchanging the two classes does not create a new partition, the count is \(\frac{20}{2}=10\).

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Question 108/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनके वर्गों के आकार (2,2,2) हों?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many equivalence relations have class sizes (2,2,2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (15)

Step 1

Concept

छह अवयवों को तीन दो-अवयवी वर्गों में बांटना है। / We must split six elements into three two-element classes.

Step 2

Why this answer is correct

गिनती (\frac{6!}{(2!)³\cdot3!}) होगी। / The count is (\frac{6!}{(2!)³\cdot3!}).

Step 3

Exam Tip

इसका मान (15) है, इसलिए इतने समतुल्यता संबंध बनेंगे। / This equals (15), so there are (15) such equivalence relations.

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Question 109/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें (1,2,3) एक ही वर्ग में हों?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have (1,2,3) in the same class?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

(1,2,3) को एक संयुक्त समूह मान लें। / Treat (1,2,3) as one combined block.

Step 2

Why this answer is correct

अब तीन इकाइयां हैं: ({1,2,3},4,5)। / Now there are three units: ({1,2,3},4,5).

Step 3

Exam Tip

तीन इकाइयों के विभाजन (5) होते हैं, इसलिए उत्तर (5) है। / The number of partitions of three units is (5), so the answer is (5).

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Question 110/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें (1) और (2) एक ही वर्ग में हों पर (3) उस वर्ग में न हो?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have (1) and (2) in the same class but (3) not in that class?

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Correct Answer

B. (10)

Step 1

Concept

पहले (1) और (2) को साथ रखकर एक समूह मानें। / First treat (1) and (2) as one block.

Step 2

Why this answer is correct

(3) को उस समूह से अलग रहना है, जबकि (4) और (5) कहीं भी जुड़ सकते हैं। / Element (3) must not be in that block, while (4) and (5) may be placed freely.

Step 3

Exam Tip

कुल साथ वाले विभाजन (15) हैं और (1,2,3) साथ वाले (5) हैं, इसलिए (15-5=10) मिलते हैं। / Partitions with (1,2) together are (15), and those with (1,2,3) together are (5), so the answer is (15-5=10).

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Question 111/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a-b) संख्या (8) से विभाज्य हो। ( -3 ) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) iff (a-b) is divisible by (8). What is the equivalence class of (-3)?

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Correct Answer

B. \({8k+5:k\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

(-3) को (8) के शेषफल रूप में (8k+5) लिखा जा सकता है। / (-3) has the same remainder as (5) modulo (8).

Step 2

Why this answer is correct

उसी वर्ग में वे सभी पूर्णांक होंगे जिनका शेष (5) है। / Its class contains all integers of the form (8k+5).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक प्रतिनिधि को धनात्मक शेषफल में बदलना परीक्षा में गलती कम करता है। / Converting a negative representative to a positive remainder helps avoid mistakes.

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Question 112/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (3a+4b), (7) से विभाज्य हो। यह संबंध किस प्रकार का है?

On integers, (aRb) iff (3a+4b) is divisible by (7). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

(3a+4a=7a), इसलिए प्रतिवर्तिता है। / (3a+4a=7a), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) से \(a\equiv b \pmod{7}\) मिलता है, इसलिए दिशा बदलने पर भी शर्त रहती है। / \(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) gives \(a\equiv b \pmod{7}\), so reversing the order also works.

Step 3

Exam Tip

समान शेषफल का संबंध संक्रामी होता है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Same-remainder relations are transitive, so this is an equivalence relation.

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Question 113/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (2a+2b), (4) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) iff (2a+2b) is divisible by (4). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

(2a+2a=4a), इसलिए प्रतिवर्तिता है। / (2a+2a=4a), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(2a+2b) में (a) और (b) की भूमिका समान है, इसलिए सममितता है। / (2a+2b) treats (a) and (b) equally, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

शर्त का अर्थ है (a+b) सम है, यानी दोनों की समता समान है; इसलिए संक्रामकता भी है। / The condition means (a+b) is even, so (a) and (b) have the same parity; hence transitivity holds.

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Question 114/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+b) सम हो। (1) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) iff (a+b) is even. What is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

B. सभी विषम पूर्णांकall odd integers

Step 1

Concept

(1+b) सम तभी होगा जब (b) विषम हो। / (1+b) is even exactly when (b) is odd.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (1) का वर्ग सभी विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। / Therefore the class of (1) is the set of all odd integers.

Step 3

Exam Tip

समता आधारित संबंधों में वर्गों को सम और विषम समूहों में पहचानें। / In parity-based relations, identify even and odd groups first.

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Question 115/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a-b\in\mathbb{Z}\)। \(\frac{1}{2}\) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a-b\in\mathbb{Z}\). What is the equivalence class of \(\frac{1}{2}\)?

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Correct Answer

B. \({\frac{1}{2}+n:n\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

किसी (x) के लिए \(x-\frac{1}{2}\) पूर्णांक होना चाहिए। / A number (x) must satisfy \(x-\frac{1}{2}\in\mathbb{Z}\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(x=\frac{1}{2}+n\), जहां \(n\in\mathbb{Z}\)। / Hence \(x=\frac{1}{2}+n\), where \(n\in\mathbb{Z}\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग लिखते समय प्रतिनिधि में अनुमत पूर्णांक अंतर जोड़ें। / To write the class, add all allowed integer differences to the representative.

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Question 116/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a-b\in\mathbb{Q}\)। नीचे में कौन सा वर्ग \([\sqrt{2}]\) के बराबर है?

On real numbers, (aRb) iff \(a-b\in\mathbb{Q}\). Which class is equal to \([\sqrt{2}]\)?

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Correct Answer

B. \([\sqrt{2}+3]\)

Step 1

Concept

दो वर्ग समान होंगे जब उनके प्रतिनिधियों का अंतर परिमेय हो। / Two classes are equal when the difference of their representatives is rational.

Step 2

Why this answer is correct

(\(\sqrt{2}+3\)-\sqrt{2}=3), जो परिमेय है। / (\(\sqrt{2}+3\)-\sqrt{2}=3), which is rational.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \([\sqrt{2}+3]=[\sqrt{2}]\) है। / Therefore \([\sqrt{2}+3]=[\sqrt{2}]\).

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Question 117/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2=b^2\)। (0) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^2=b^2\). What is the equivalence class of (0)?

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Correct Answer

A. ({0})

Step 1

Concept

(xR0) के लिए \(x^2=0^2\) होना चाहिए। / For (xR0), we need \(x^2=0^2\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x^2=0\), इसलिए केवल (x=0) मिलेगा। / This gives \(x^2=0\), so (x=0) only.

Step 3

Exam Tip

शून्य का ऋणात्मक और धनात्मक रूप अलग अवयव नहीं होते। / Negative zero and positive zero are not distinct elements.

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Question 118/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधequivalence relation

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए प्रतिवर्तिता है। / For every (a), \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

बराबरी पलटने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / Equality remains true when reversed, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान पूर्णांक भाग की शृंखला आगे भी समान पूर्णांक भाग देती है, इसलिए संक्रामकता है। / Having the same greatest-integer value passes through a middle element, so it is transitive.

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Question 119/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। \(\frac{5}{2}\) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) iff \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). What is the equivalence class of \(\frac{5}{2}\)?

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Correct Answer

A. ([2,3))

Step 1

Concept

\(\frac{5}{2}=2.5\) का पूर्णांक भाग (2) है। / \(\frac{5}{2}=2.5\) has greatest-integer value (2).

Step 2

Why this answer is correct

जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे ([2,3)) में आती हैं। / Real numbers with greatest-integer value (2) lie in ([2,3)).

Step 3

Exam Tip

दाएं सिरे (3) को शामिल न करें क्योंकि उसका पूर्णांक भाग (3) है। / Do not include the right endpoint (3), because its greatest-integer value is (3).

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Question 120/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (|a-b|=0)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) iff (|a-b|=0). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. पहचान संबंध और समतुल्यता संबंधidentity relation and equivalence relation

Step 1

Concept

(|a-b|=0) तभी होता है जब (a=b)। / (|a-b|=0) holds exactly when (a=b).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हैं। / Thus the relation contains only pairs of the form ((a,a)).

Step 3

Exam Tip

यह पहचान संबंध है और प्रतिवर्ती, सममित तथा संक्रामी भी है। / It is the identity relation and is reflexive, symmetric and transitive.

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Question 121/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (|a|<|b|)। कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) iff (|a|<|b|). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामीneither reflexive nor symmetric but transitive

Step 1

Concept

(|a|<|a|) कभी सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

(|1|<|2|) सही है पर (|2|<|1|) गलत, इसलिए सममित नहीं है।

Step 3

Exam Tip

यदि (|a|<|b|) और (|b|<|c|), तो (|a|<|c|), इसलिए संक्रामी है। / If (|a|<|b|) and (|b|<|c|), then (|a|<|c|), so it is transitive.

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Question 122/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2+b^2=1\)। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

On real numbers, (aRb) iff \(a^2+b^2=1\). Which property does this relation satisfy?

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Correct Answer

A. केवल सममितsymmetric only

Step 1

Concept

\(a^2+b^2=1\) में (a) और (b) की जगह बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition \(a^2+b^2=1\) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

हर (a) पर \(2a^2=1\) सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। / \(2a^2=1\) is not true for every (a), so it is not reflexive.

Step 3

Exam Tip

((1,0)) और ((0,1)) हैं, पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,0)) and ((0,1)) belong, but ((1,1)) does not, so it is not transitive.

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Question 123/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=6\}\) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=6\}\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामीsymmetric but neither reflexive nor transitive

Step 1

Concept

(a+b=6) हो तो (b+a=6) भी होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b=6), then (b+a=6), so the relation is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

सभी ((a,a)) नहीं हैं, जैसे ((1,1)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Not all diagonal pairs are present, for example ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.

Step 3

Exam Tip

((1,5)) और ((5,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामी नहीं है। / From ((1,5)) and ((5,1)), transitivity would need ((1,1)), which is absent.

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Question 124/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le6\}\) है। कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le6\}\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहींsymmetric but not reflexive

Step 1

Concept

\(a+b\le6\) होने पर \(b+a\le6\) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\), so the relation is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((5,5)) नहीं है क्योंकि \(10\le6\) गलत है, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। / ((5,5)) is absent because \(10\le6\) is false, so it is not reflexive.

Step 3

Exam Tip

((1,5)) और ((5,1)) हैं, पर ((1,1)) है; फिर भी ((2,4)) और ((4,2)) से समस्या नहीं; संक्रामकता को ((5,1)) और ((1,5)) से ((5,5)) चाहिए, जो नहीं है। / Since ((5,1)) and ((1,5)) are present but ((5,5)) is absent, it is not transitive.

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Question 125/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a+b\) संख्या (4) से विभाज्य है(}) में कुल कितने युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in \(R={(a,b):a+b\) is divisible by (4)(})?

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Correct Answer

B. (6)

Step 1

Concept

(4) से भाग देने पर शेष (0) वाला (4), शेष (1) वाले (1,5), शेष (2) वाला (2), और शेष (3) वाला (3) है। / Modulo (4), the counts are remainder (0:1), remainder (1:2), remainder (2:1), and remainder (3:1).

Step 2

Why this answer is correct

योग विभाज्य होने के लिए शेष जोड़े ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)) चाहिए। / Sum divisible by (4) needs remainder pairs ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)).

Step 3

Exam Tip

गिनती \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\) होगी। / The count is \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\).

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Question 126/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R={(a,b):a-b\) संख्या (3) से विभाज्य है(}) में कुल कितने युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many pairs are in \(R={(a,b):a-b\) is divisible by (3)(})?

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Correct Answer

B. (12)

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर तीनों शेष वर्गों में दो-दो अवयव हैं। / Each of the three remainder classes modulo (3) has two elements.

Step 2

Why this answer is correct

समान शेष वाले क्रमित युग्म ही संबंध में आएंगे। / Only ordered pairs with the same remainder belong to the relation.

Step 3

Exam Tip

कुल संख्या \(2^2+2^2+2^2=12\) होगी। / The total number is \(2^2+2^2+2^2=12\).

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Question 127/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) में ((2,3)), ((2,4)), ((5,6)) में से कौन से युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\), which of ((2,3)), ((2,4)), ((5,6)) belong to (R)?

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Correct Answer

C. ((2,3)) और ((5,6))((2,3)) and ((5,6))

Step 1

Concept

(\gcd(2,3)=1), इसलिए ((2,3)) संबंध में है। / (\gcd(2,3)=1), so ((2,3)) belongs to the relation.

Step 2

Why this answer is correct

(\gcd(2,4)=2), इसलिए ((2,4)) संबंध में नहीं है। / (\gcd(2,4)=2), so ((2,4)) does not belong.

Step 3

Exam Tip

(\gcd(5,6)=1), इसलिए ((5,6)) भी संबंध में है। / (\gcd(5,6)=1), so ((5,6)) also belongs.

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Question 128/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\) पर विभाज्यता संबंध में (6) और (8) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\), what is the least upper bound of (6) and (8)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (24)

Step 1

Concept

ऊपरी बाध्य वह होगा जिसे (6) और (8) दोनों विभाजित करें। / An upper bound must be divisible by both (6) and (8).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (24) ऐसा अवयव है और (12) को (8) विभाजित नहीं करता। / In (A), (24) works, while (12) is not divisible by (8).

Step 3

Exam Tip

इसलिए न्यूनतम ऊपरी बाध्य (24) है। / Therefore the least upper bound is (24).

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Question 129/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\) पर विभाज्यता संबंध में (8) और (12) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\), what is the greatest lower bound of (8) and (12)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (4)

Step 1

Concept

निचला बाध्य वह है जो (8) और (12) दोनों को विभाजित करे। / A lower bound must divide both (8) and (12).

Step 2

Why this answer is correct

(1,2,4) ऐसे अवयव हैं। / The elements (1,2,4) satisfy this.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है। / Under divisibility, the greatest among them is (4).

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Question 130/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{2,4,6,12,18\}\) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम अवयवों की संख्या कितनी है?

In the divisibility relation on \(A=\{2,4,6,12,18\}\), how many maximal elements are there?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

अधिकतम अवयव वह है जिसके ऊपर समुच्चय में कोई अलग अवयव न हो। / A maximal element has no distinct element above it in the set.

Step 2

Why this answer is correct

(12) को (A) का कोई बड़ा अवयव विभाजित रूप में ऊपर नहीं ले जाता और (18) के लिए भी ऐसा ही है। / Neither (12) nor (18) divides another distinct element of (A).

Step 3

Exam Tip

(2,4,6) ऊपर किसी न किसी अवयव से जुड़े हैं, इसलिए अधिकतम अवयव (12) और (18) हैं। / Elements (2,4,6) have elements above them, so the maximal elements are (12) and (18).

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Question 131/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{2,4,6,12,18\}\) पर विभाज्यता संबंध में न्यूनतम अवयवों की संख्या कितनी है?

In the divisibility relation on \(A=\{2,4,6,12,18\}\), how many minimal elements are there?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

न्यूनतम अवयव के नीचे समुच्चय का कोई अलग अवयव नहीं होना चाहिए। / A minimal element has no distinct element below it.

Step 2

Why this answer is correct

(2) के नीचे कोई अलग अवयव नहीं है। / There is no distinct element of (A) below (2).

Step 3

Exam Tip

(4,6,12,18) सभी के नीचे (2) या कोई अन्य अवयव है, इसलिए केवल (1) न्यूनतम अवयव है। / Each of (4,6,12,18) has (2) or another element below it, so there is only (1) minimal element.

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Question 132/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध में कुल कितने तुलनीय जोड़े ({a,b}) हैं, जहां \(a\ne b\)?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6\}\), how many comparable unordered pairs ({a,b}) with \(a\ne b\) are there?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (5)

Step 1

Concept

तुलनीय होने के लिए एक अवयव दूसरे को विभाजित करे। / Two elements are comparable if one divides the other.

Step 2

Why this answer is correct

जोड़े हैं ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6})। / The comparable pairs are ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6}).

Step 3

Exam Tip

({2,3}) तुलनीय नहीं है, इसलिए कुल (5) तुलनीय जोड़े हैं। / ({2,3}) is not comparable, so the count is (5).

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Question 133/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम श्रृंखला में कितने अवयव होंगे?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6\}\), how many elements can a longest chain contain?

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Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

एक श्रृंखला में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। / In a chain, every two elements must be comparable.

Step 2

Why this answer is correct

\(1\mid2\mid6\) और \(1\mid3\mid6\) तीन-तीन अवयवों की श्रृंखलाएं हैं। / \(1\mid2\mid6\) and \(1\mid3\mid6\) are chains of three elements.

Step 3

Exam Tip

(2) और (3) तुलनीय नहीं हैं, इसलिए चार अवयवों की श्रृंखला नहीं बन सकती। / Since (2) and (3) are not comparable, a four-element chain is impossible.

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Question 134/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,4,8,16\}\) पर विभाज्यता संबंध में (2) और (8) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,4,8,16\}\), what is the least upper bound of (2) and (8)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (8)

Step 1

Concept

ऊपरी बाध्य वह है जिसे (2) और (8) दोनों विभाजित करें। / An upper bound must be divisible by both (2) and (8).

Step 2

Why this answer is correct

(8) और (16) ऐसे ऊपरी बाध्य हैं। / (8) and (16) are upper bounds.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता क्रम में इनमें न्यूनतम (8) है। / Under divisibility, the least among them is (8).

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Question 135/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,4,8,16\}\) पर विभाज्यता संबंध में (4) और (16) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,4,8,16\}\), what is the greatest lower bound of (4) and (16)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (4)

Step 1

Concept

निचला बाध्य (4) और (16) दोनों को विभाजित करेगा। / A lower bound must divide both (4) and (16).

Step 2

Why this answer is correct

(1,2,4) सभी निचले बाध्य हैं। / (1,2,4) are lower bounds.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है। / Under divisibility, the greatest among them is (4).

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Question 136/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) किसी समुच्चय पर प्रतिवर्ती और संक्रामी है, तो \(R\circ R\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?

If (R) is reflexive and transitive on a set, which statement about \(R\circ R\) is always true?

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Correct Answer

A. \(R\circ R=R\)

Step 1

Concept

प्रतिवर्तिता से \(R\subseteq R\circ R\) मिलता है। / Reflexivity gives \(R\subseteq R\circ R\).

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। / Transitivity gives \(R\circ R\subseteq R\).

Step 3

Exam Tip

दोनों समावेशन मिलाकर \(R\circ R=R\) होता है। / Combining both inclusions gives \(R\circ R=R\).

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Question 137/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का \(R\circ R\) कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), what is \(R\circ R\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,3),(2,4)})

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। / ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलता है। / ((2,3)) and ((3,4)) give ((2,4)).

Step 3

Exam Tip

दो चरणों की और कोई शृंखला नहीं है, इसलिए यही \(R\circ R\) है। / There is no other two-step chain, so this is \(R\circ R\).

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Question 138/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का \(R\circ R\circ R\) कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), what is \(R\circ R\circ R\)?

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Correct Answer

B. ({(1,4)})

Step 1

Concept

तीन बार संयोजन का अर्थ तीन चरणों की शृंखला है। / A triple composition represents a three-step chain.

Step 2

Why this answer is correct

यहां \(1\to2\to3\to4\) एकमात्र तीन-चरण शृंखला है। / Here \(1\to2\to3\to4\) is the only three-step chain.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (R\circ R\circ R={(1,4)}) होगा। / Therefore (R\circ R\circ R={(1,4)}).

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Question 139/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) का \(R\circ R\) में कौन सा युग्म नहीं होगा?

On \(A=\{1,2,3\}\), for \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which pair will not belong to \(R\circ R\)?

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Correct Answer

D. ((1,2))

Step 1

Concept

\(1\to2\to1\) से ((1,1)) और \(1\to2\to3\) से ((1,3)) मिलता है। / \(1\to2\to1\) gives ((1,1)), and \(1\to2\to3\) gives ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

\(3\to2\to1\) से ((3,1)) भी मिलता है। / \(3\to2\to1\) gives ((3,1)).

Step 3

Exam Tip

(1) से (2) तक दो चरणों की शृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,2)) नहीं होगा। / There is no two-step chain from (1) to (2), so ((1,2)) is not in \(R\circ R\).

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Question 140/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) सममित संबंध है, तो \(R\circ R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is a symmetric relation, which statement about \(R\circ R^{-1}\) is correct?

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Correct Answer

A. यह \(R\circ R\) के बराबर होगाit will be equal to \(R\circ R\)

Step 1

Concept

सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(R\circ R^{-1}\) में \(R^{-1}\) की जगह (R) रख सकते हैं। / So in \(R\circ R^{-1}\), we may replace \(R^{-1}\) by (R).

Step 3

Exam Tip

अतः \(R\circ R^{-1}=R\circ R\)। / Hence \(R\circ R^{-1}=R\circ R\).

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Question 141/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

किसी संबंध (R) के लिए (\(R^{-1}\)^{-1}) किसके बराबर होता है?

For any relation (R), what is (\(R^{-1}\)^{-1}) equal to?

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Correct Answer

A. (R)

Step 1

Concept

प्रतिलोम लेने पर हर युग्म की दिशा बदलती है। / Taking the inverse reverses every ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

दो बार दिशा बदलने पर युग्म अपनी मूल दिशा में लौट आता है। / Reversing twice brings each pair back to its original direction.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (\(R^{-1}\)^{-1}=R) होता है। / Therefore (\(R^{-1}\)^{-1}=R).

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Question 142/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो (\(R\cup S\)^{-1}) किसके बराबर होता है?

If (R) and (S) are relations, what is (\(R\cup S\)^{-1}) equal to?

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Correct Answer

A. \(R^{-1}\cup S^{-1}\)

Step 1

Concept

संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। / A pair in the union comes from (R) or from (S).

Step 2

Why this answer is correct

यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा \(R^{-1}\) में होगा, और यदि (S) से आया है तो \(S^{-1}\) में होगा। / Its reverse will then lie in \(R^{-1}\) or in \(S^{-1}\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिलोम \(R^{-1}\cup S^{-1}\) है। / Hence (\(R\cup S\)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}).

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Question 143/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो (\(R\cap S\)^{-1}) किसके बराबर होता है?

If (R) and (S) are relations, what is (\(R\cap S\)^{-1}) equal to?

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Correct Answer

B. \(R^{-1}\cap S^{-1}\)

Step 1

Concept

प्रतिच्छेद में युग्म तभी होगा जब वह (R) और (S) दोनों में हो। / A pair is in the intersection only when it belongs to both (R) and (S).

Step 2

Why this answer is correct

उसका उल्टा तब \(R^{-1}\) और \(S^{-1}\) दोनों में होगा। / Its reverse then belongs to both \(R^{-1}\) and \(S^{-1}\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}) है। / Therefore (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}).

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Question 144/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R\subseteq S\), तो प्रतिलोम संबंधों के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(R\subseteq S\), which statement about inverse relations is correct?

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Correct Answer

A. \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)

Step 1

Concept

यदि \((a,b)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\)। / If \((a,b)\in R^{-1}\), then \((b,a)\in R\).

Step 2

Why this answer is correct

\(R\subseteq S\) होने से \((b,a)\in S\) भी होगा। / Since \(R\subseteq S\), \((b,a)\in S\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \((a,b)\in S^{-1}\), अतः \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)। / Therefore \((a,b)\in S^{-1}\), so \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\).

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Question 145/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) संक्रामी संबंध है, तो \(R^3\subseteq R\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is transitive, which statement about \(R^3\subseteq R\) is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा सत्य हैit is always true

Step 1

Concept

संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। / Transitivity gives \(R\circ R\subseteq R\).

Step 2

Why this answer is correct

\(R^3=R\circ R\circ R\) है। / \(R^3=R\circ R\circ R\).

Step 3

Exam Tip

पहले दो चरणों को (R) में समेटने पर \(R^3\subseteq R\) मिलता है। / Combining the first two factors into (R) shows \(R^3\subseteq R\).

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Question 146/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\) को संक्रामी बनाने के लिए नीचे में कौन सा युग्म अवश्य जोड़ना पड़ेगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\), which pair must be added to make it transitive?

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Correct Answer

A. ((1,1))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,1)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता के लिए इनसे ((1,1)) का होना आवश्यक है। / Transitivity requires ((1,1)) from these two pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((1,1)) उन युग्मों में से है जिसे अवश्य जोड़ना पड़ेगा। / Therefore ((1,1)) is a compulsory pair to add.

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Question 147/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\) के संक्रामी आवरण में नीचे में कौन सा युग्म होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), which pair will belong to the transitive closure of \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\)?

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Correct Answer

A. ((1,4))

Step 1

Concept

\(1\to2\), \(2\to3\), और \(3\to4\) की शृंखला बनती है। / There is a chain \(1\to2\), \(2\to3\), and \(3\to4\).

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामी आवरण सभी पहुंच योग्य युग्म जोड़ता है। / The transitive closure adds all reachable pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) से (4) तक पहुंच होने के कारण ((1,4)) शामिल होगा। / Since (4) is reachable from (1), ((1,4)) will be included.

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Question 148/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(4,4)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,3),(4,4)\}\)?

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Correct Answer

B. (10)

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) के कारण (1,2,3) एक ही वर्ग में होंगे। / Because of ((1,2)) and ((2,3)), elements (1,2,3) must be in one class.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अलग अकेला वर्ग रहेगा। / Element (4) remains a singleton class.

Step 3

Exam Tip

({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से (1) युग्म मिलकर (10) युग्म देते हैं। / The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives (1), so the total is (10).

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Question 149/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(4,5)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,3),(4,5)\}\)?

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Correct Answer

C. (13)

Step 1

Concept

(1,2,3) एक वर्ग में जुड़ते हैं। / Elements (1,2,3) are connected into one class.

Step 2

Why this answer is correct

(4,5) दूसरा वर्ग बनाते हैं। / Elements (4,5) form another class.

Step 3

Exam Tip

पहले वर्ग से \(3^2=9\) और दूसरे से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, कुल (13)। / The first class gives \(3^2=9\) pairs and the second gives \(2^2=4\), so the total is (13).

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Question 150/150 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)?

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Correct Answer

B. (10)

Step 1

Concept

दिए गए युग्म (1,2,3) को एक ही वर्ग में जोड़ देते हैं। / The given pairs connect (1,2,3) into one equivalence class.

Step 2

Why this answer is correct

(4) किसी से जुड़ा नहीं है, इसलिए वह अकेला वर्ग बनेगा। / Element (4) is not connected to them, so it forms a singleton class.

Step 3

Exam Tip

(3) अवयवों के वर्ग से (9) युग्म और अकेले वर्ग से (1) युग्म, कुल (10) होंगे। / The three-element class gives (9) pairs and the singleton class gives (1), totaling (10).

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Relations Expert Quiz

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले प्रतिसममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर प्रतिवर्ती और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर प्रतिवर्ती, सममित और प्रतिसममित तीनों गुण रखने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो समतुल्यता वर्ग हों?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें एक वर्ग का आकार (2) और दूसरे वर्ग का आकार (3) हो?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a-b), (6) से विभाज्य हो। (7) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+2b), (3) से विभाज्य हो। यह संबंध किस गुण में असफल होता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b) पूर्णांक हो। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a-b) अपरिमेय हो। कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^3=b^3\)। यह संबंध किस प्रकार का है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2\le b^2\)। कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2+b^2=0\)। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध के बारे में सही कथन कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,4),(1,4),(3,3)\}\) है। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1)\}\) है। संक्रामकता के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म और जोड़ना जरूरी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip