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\(x^2=7+2\sqrt{10}\) इसलिए घटाने पर (7) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में पहले वर्ग विस्तार करें। / Here \(x^2=7+2\sqrt{10}\), so subtracting gives (7). In such questions expand the square first.
दोनों वर्ग जोड़ने पर जड़ वाले पद कट जाते हैं और (32) मिलता है। संयुग्मी संख्याओं में कटने वाले पद पहचानें। / On adding the two squares the radical terms cancel and the result is (32). Identify cancelling terms in conjugates.
सूत्र से अंतर (4ab) होता है जहाँ \(a=\sqrt{11}\) और \(b=\sqrt{5}\) हैं। इसलिए उत्तर \(4\sqrt{55}\) है। / By identity the difference is (4ab), where \(a=\sqrt{11}\) and \(b=\sqrt{5}\). So the answer is \(4\sqrt{55}\).
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(y=6\sqrt{2}\)। वर्ग (72) होगा। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(y=6\sqrt{2}\). Its square is (72).
हर का संयुग्मी \(3-\sqrt{5}\) है और हर (9-5=4) बनता है। परिमेयकरण में संयुग्मी से गुणा करें। / The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (7-3=4) बनता है। इसलिए (\frac{2\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)}{4}) मिलता है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (7-3=4). Hence we get (\frac{2\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)}{4}).
क्योंकि (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(2-\sqrt{3}\) है। संयुग्मी को पहचानना तेज तरीका है। / Since (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), the reciprocal is \(2-\sqrt{3}\). Recognizing conjugates is a fast method.
पहला गुणनफल (25-6=19) है और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / The first product is (25-6=19) and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) होता है। जोड़ने पर \(2\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\). Adding gives \(2\sqrt{3}\).
यह \(4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}=0\) बनता है। पहले सभी जड़ों को समान रूप में बदलें। / It becomes \(4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}=0\). First convert all roots to like radical form.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए \(a=5\sqrt{2}\)। इसका वर्ग (50) परिमेय है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so \(a=5\sqrt{2}\). Its square is (50), a rational number.
अभिव्यक्ति \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}\) बनती है। \(2\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The expression becomes \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). \(2\sqrt{5}\) is irrational.
यदि यह परिमेय होता तो उसका वर्ग \(3+\sqrt{5}\) परिमेय होता, जो नहीं है। इसलिए यह वास्तविक अपरिमेय है। / If it were rational, its square \(3+\sqrt{5}\) would be rational, which it is not. Hence it is real irrational.
(\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)2=6+2-2\sqrt{12}=8-4\sqrt{3}) है। (2ab) पद ध्यान से लिखें। / (\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)2=6+2-2\sqrt{12}=8-4\sqrt{3}). Write the (2ab) term carefully.
अंतर वर्ग सूत्र से मान (13-12=1) है। संयुग्मी जोड़े का गुणन अक्सर परिमेय देता है। / By difference of squares the value is (13-12=1). Product of conjugate pairs often gives a rational number.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-2=3) हो जाता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(5\sqrt{3}\) है। भाग देने पर (5) मिलता है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the numerator is \(5\sqrt{3}\). Dividing gives (5).
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और संयुग्मी के साथ गुणन से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। दिए विकल्प में \(x^0=1\) इसलिए पहला रूप सही नहीं दिखता, ध्यान से पढ़ें। / Actually \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) satisfies \(x^4-10x^2+1=0\), not a simple quadratic here. Read powers carefully in such trick questions.
(x) का संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) है और योग (4), गुणनफल (1) है। इसलिए समीकरण \(x^2-4x+1=0\) है। / The conjugate is \(2-\sqrt{3}\), with sum (4) and product (1). Hence the equation is \(x^2-4x+1=0\).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) है। इसलिए \(4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=0\) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). So \(4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=0\).
दो संख्याओं का औसत उनके बीच होता है। इसलिए \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\) इनके बीच है। / The average of two numbers lies between them. Hence \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\) lies between them.
\(\sqrt{50}\approx7.07\) और \(\sqrt{72}\approx8.49\), इसलिए (8) इनके बीच है। (8) परिमेय है। / \(\sqrt{50}\approx7.07\) and \(\sqrt{72}\approx8.49\), so (8) lies between them. (8) is rational.
धनात्मक संख्याओं में जड़ के अंदर बड़ी संख्या हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (48<75<108) है। / For positive numbers a larger value inside the root gives a larger square root. Here (48<75<108).
\(\sqrt{0.49}=0.7\) और \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\) है। योग (0.9) है। / \(\sqrt{0.49}=0.7\) and \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\). The sum is (0.9).
\(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\) है। गैर शून्य परिमेय से अपरिमेय को गुणा करने पर संख्या अपरिमेय रहती है। / \(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\). Multiplying an irrational number by a non zero rational keeps it irrational.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(3\sqrt{2}\) है। गैर शून्य परिमेय गुणक के साथ \(\sqrt{2}\) अपरिमेय रहता है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(3\sqrt{2}\). A non zero rational multiple of \(\sqrt{2}\) remains irrational.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। अंश \(4\sqrt{2}\) है और भाग देने पर (4) मिलता है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The numerator is \(4\sqrt{2}\), and division gives (4).
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) बनता है। अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-3=2) और अंश \(8+2\sqrt{15}\) बनता है। सरल रूप \(4+\sqrt{15}\) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (5-3=2) and numerator \(8+2\sqrt{15}\). The simplified form is \(4+\sqrt{15}\).
यह \(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}\) है। समान जड़ वाले पद जोड़ें। / It is \(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). Add like radical terms.
दशमलव अनंत है और दोहरने वाला निश्चित समूह नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / The decimal is infinite and has no fixed repeating block. Therefore it is irrational.
कुछ अंकों के बाद (45) दोहरता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / After some digits, (45) repeats, so it is a recurring decimal. A recurring decimal is rational.
A. (m) पूर्ण वर्ग होना चाहिए/(m) must be a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। यह जड़ों की प्रकृति का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. This is the key rule for roots.
\(\sqrt{289}=17\) परिमेय है और \(\sqrt{290}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{289}=17\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
घन करने पर \(z^3=9\) मिलता है। भले (z) अपरिमेय हो, उसका घन यहाँ परिमेय है। / Cubing gives \(z^3=9\). Even if (z) is irrational, its cube here is rational.
(180) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{180}\) अपरिमेय है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) होता है। असमान जड़ \(\sqrt{5}\) अलग रहती है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\). The unlike root \(\sqrt{5}\) remains separate.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{5}\) बनता है। उसका वर्ग (5) है। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the bracket becomes \(\sqrt{5}\). Its square is (5).
संयुग्मी गुणन में (ab=7-2=5) होता है। अंतर वर्ग सूत्र जल्दी उत्तर देता है। / In conjugate multiplication, (ab=7-2=5). The difference of squares formula gives the answer quickly.
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) है। जड़ों के भाग में अनुपात सरल करें। / \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\). Simplify the ratio inside the roots.
दोनों पक्ष धनात्मक हैं और (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5) है। इसलिए पहला पक्ष बड़ा है। / Both sides are positive and (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5). So the first side is larger.
\(\sqrt{99}\) लगभग (9.95) है और \(\sqrt{100}=10\) है। (9.98) इनके बीच की परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{99}\) is about (9.95) and \(\sqrt{100}=10\). (9.98) is a rational number between them.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\) है। इसलिए \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) है। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\). Thus \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\).
हर का संयुग्मी \(5+\sqrt{6}\) है और हर (25-6=19) बनता है। इसलिए पहला विकल्प सही है। / The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{2}\) है। गुणनफल (2) है। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the bracket is \(\sqrt{2}\). The product is (2).
ये पद \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}\) बनते हैं। कुल \(10\sqrt{5}\) नहीं बल्कि \(10\sqrt{5}\) है, विकल्पों को ध्यान से जाँचें। / The terms become \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}\). The total is \(10\sqrt{5}\), so check the options carefully.
(\(\sqrt{6}+2\)2=6+4+4\sqrt{6}=10+\sqrt{96}) है। इसलिए \(\sqrt{6}+\sqrt{4}\) सही रूप है। / (\(\sqrt{6}+2\)2=6+4+4\sqrt{6}=10+\sqrt{96}). Hence \(\sqrt{6}+\sqrt{4}\) is correct.
B. दोनों अपरिमेय वास्तविक हैं/Both are irrational real
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-2=0\) से \(x=\pm\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ हैं। परीक्षा में मूल निकालते समय वास्तविकता और परिमेयता दोनों जाँचें। / From \(x^2-2=0\), \(x=\pm\sqrt{2}\), which are irrational real numbers. In exams, check both real nature and rationality of roots.
योग \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\) है, जो परिमेय है। संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का योग अक्सर परिमेय होता है। / The sum is \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\), which is rational. Conjugate irrational numbers often have a rational sum.
A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{5}\) हैं। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो वास्तविक शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), so the zeroes are \(3\pm\sqrt{5}\). If (D) is not a perfect square, real zeroes can be irrational.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(2-\sqrt{3}\) दूसरा शून्यक होगा। / With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
शून्यकों का योग (0) और गुणनफल (-7) है, इसलिए बहुपद \(x^2-7\) है। \(शून्यकों से बहुपद बनाते समय (x^2-\)योगx+गुणनफल) प्रयोग करें। \(/ The sum of zeroes is (0) and product is (-7), so the polynomial is (x^2-7). Use (x^2-\)sumx+product) to form a polynomial from zeroes.
गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\) है, जो परिमेय है। शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं पर उनका गुणनफल परिमेय हो सकता है। / The product is \(\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\), which is rational. Zeroes may be irrational but their product can be rational.
योग (10) और गुणनफल (25-2=23) है। इसलिए बहुपद \(x^2-10x+23\) होगा। / The sum is (10) and the product is (25-2=23). Therefore the polynomial is \(x^2-10x+23\).
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\) है। हर को सरल करते समय पूरा पद विभाजित करें। / By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\). Divide the whole expression carefully while simplifying.
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है। / For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
B. दो समान अपरिमेय शून्यक हैं/It has two equal irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=\(x-\sqrt{3}\)2), इसलिए दोनों शून्यक \(\sqrt{3}\) हैं। समान शून्यक के लिए पूर्ण वर्ग रूप पहचानें। / Since (p(x)=\(x-\sqrt{3}\)2), both zeroes are \(\sqrt{3}\). Recognize perfect-square form for equal zeroes.
(\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) और (\sqrt{5}\cdot\(-\sqrt{5}\)=-5) है। विपरीत अपरिमेयों का योग शून्य हो सकता है। / (\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) and (\sqrt{5}\cdot\(-\sqrt{5}\)=-5). Opposite irrationals can have zero sum.
(3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), इसलिए शून्यक \(2\pm\sqrt{2}\) हैं। पहले सामान्य गुणनखंड हटाना गणना आसान करता है। / Since (3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), the zeroes are \(2\pm\sqrt{2}\). Removing a common factor first makes calculation easier.
A. योग (-4), दोनों अपरिमेय वास्तविक/Sum (-4), both irrational real
Explanation
Simple Explanation
योग \(-\frac{b}{a}=-4\) और (D=16-4=12) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए दोनों शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं। / The sum is \(-\frac{b}{a}=-4\) and (D=16-4=12), not a perfect square. Hence both zeroes are irrational real.
गुणनफल (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}) है। संयुग्मी गुणनफल में \(a^2-b\) प्रयोग करें। / The product is (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}). Use \(a^2-b\) for conjugate products.
A. पहले के परिमेय, दूसरे के अपरिमेय वास्तविक/First are rational, second are irrational real
Explanation
Simple Explanation
पहले में (D=64-28=36) पूर्ण वर्ग है, दूसरे में (D=64-40=24) पूर्ण वर्ग नहीं है। विविक्तकर से शून्यकों का प्रकार तुरंत पता चलता है। / For the first, (D=64-28=36) is a perfect square; for the second, (D=64-40=24) is not. The discriminant quickly tells the type of zeroes.
एकक बहुपद में स्थिर पद शून्यकों का गुणनफल होता है। यहाँ गुणनफल (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b) है। / In a monic polynomial, the constant term is the product of zeroes. Here the product is (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b).
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा/At least one coefficient will be irrational
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए। / The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
योग \(1+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}\) नहीं बल्कि दिए बहुपद में योग \(2+\sqrt{3}\) है, इसलिए जाँच में (2) और \(\sqrt{3}\) सही हैं क्योंकि गुणनफल \(2\sqrt{3}\) नहीं आता। सही गणना से विकल्पों में कोई नहीं लगता, लेकिन (1) और \(\sqrt{3}\) का योग \(1+\sqrt{3}\) है। / The sum in the given polynomial is \(2+\sqrt{3}\), while checking options shows a mismatch if done carelessly. This item needs coefficient matching with both sum and product.
शून्यकों का योग \(1+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{3}\) है। (1) और \(\sqrt{3}\) दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / The sum of zeroes is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\). The numbers (1) and \(\sqrt{3}\) satisfy both conditions.
(p\(\sqrt{2}\)=\(\sqrt{2}\)2-2\sqrt{2}-2=2-2\sqrt{2}-2=-2\sqrt{2}) है। मान रखते समय (\(\sqrt{2}\)2=2) लिखें। / (p\(\sqrt{2}\)=\(\sqrt{2}\)2-2\sqrt{2}-2=2-2\sqrt{2}-2=-2\sqrt{2}). When substituting, write (\(\sqrt{2}\)2=2).
\(3+a\sqrt{3}+3=0\) से \(a\sqrt{3}=-6\), इसलिए \(a=-2\sqrt{3}\) है। अपरिमेय मान रखने के बाद समान पद अलग करें। / From \(3+a\sqrt{3}+3=0\), \(a\sqrt{3}=-6\), so \(a=-2\sqrt{3}\). After substituting an irrational value, separate like terms carefully.
(x)-अक्ष पर (p(x)=0), इसलिए \(x^2-5=0\) से \(x=\pm\sqrt{5}\) है। ग्राफ में (x)-कट शून्यक होते हैं। / On the (x)-axis, (p(x)=0), so \(x^2-5=0\) gives \(x=\pm\sqrt{5}\). The (x)-intercepts are the zeroes.
(x-2-2\sqrt{2}x+2=\(x-\sqrt{2}\)2) है। पूर्ण वर्ग पहचानने से समान अपरिमेय शून्यक मिलते हैं। / (x-2-2\sqrt{2}x+2=\(x-\sqrt{2}\)2). Recognizing a perfect square gives equal irrational zeroes.
योग (8) है, इसलिए (p=-8), और गुणनफल (16-7=9) है। एकक बहुपद में (p=-) योग होता है। / The sum is (8), so (p=-8), and the product is (16-7=9). In a monic polynomial, (p=-) sum.
(D=36-24=12) है, जो धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / (D=36-24=12), which is positive but not a perfect square. Hence the zeroes are real and irrational.
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\) है। (D) को सरल करने में \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) याद रखें। / By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=9-11=-2\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=36-2(-2)=40)। पहचान (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) उपयोगी है। / \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=9-11=-2\), so (\alpha-2+\beta-2=36-2(-2)=40). The identity (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) is useful.
योग (2m) और गुणनफल \(m^2-3\) है, जो \(m+\sqrt{3}\) और \(m-\sqrt{3}\) से मिलता है। सामान्य रूप में भी योग और गुणनफल मिलाएँ। / The sum is (2m) and product is \(m^2-3\), matching \(m+\sqrt{3}\) and \(m-\sqrt{3}\). Even in general form, match sum and product.
A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा/The other zero will be \(-\sqrt{13}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है। / For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
\(5x^2-5=0\) से \(x^2=1\), इसलिए \(x=\pm1\) हैं। सामान्य गुणनखंड से भ्रमित होकर \(\sqrt{5}\) न लें। / From \(5x^2-5=0\), \(x^2=1\), so \(x=\pm1\). Do not mistakenly take \(\sqrt{5}\) because of the common factor.
शून्यक \(6\pm\sqrt{5}\) हैं, इसलिए अंतर \(2\sqrt{5}\) है। संयुग्मी शून्यकों का अंतर (2) गुणा मूल पद होता है। / The zeroes are \(6\pm\sqrt{5}\), so the difference is \(2\sqrt{5}\). The difference of conjugate zeroes is (2) times the radical part.
(D=49-20=29) धनात्मक और पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए दोनों शून्यक अपरिमेय वास्तविक होंगे। / (D=49-20=29) is positive and not a perfect square. Therefore both zeroes are irrational real.
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है। / In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है। / (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
दूसरा शून्यक \(-\sqrt{7}\) होगा, इसलिए योग (0) और (a=-0=0) है। परिमेय गुणांक में संयुग्मी शून्यक लेना जरूरी है। / The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
B. एक गुणांक अपरिमेय है/One coefficient is irrational
Explanation
Simple Explanation
स्थिर पद \(-\sqrt{2}\) अपरिमेय है, जबकि बाकी गुणांक परिमेय हैं। शून्यक नियम लागू करने से पहले गुणांकों का प्रकार देखें। / The constant term \(-\sqrt{2}\) is irrational, while the other coefficients are rational. Check coefficient type before applying root rules.
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{6}\) है। ये \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) से मिलते हैं। / The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{6}\). These match \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\).
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=196-180=16), जबकि (q(x)) के लिए (D=196-160=36) है, इसलिए दोनों परिमेय हैं। इसलिए सही कथन विकल्प में नहीं है। / For (p(x)), (D=196-180=16), while for (q(x)), (D=196-160=36), so both are rational. Therefore the listed intended contrast is not valid.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=16) पूर्ण वर्ग है और (q(x)) के लिए (D=24) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। इसलिए पहला परिमेय और दूसरा अपरिमेय वास्तविक है। / For (p(x)), (D=16) is a perfect square, and for (q(x)), (D=24) is positive but not a perfect square. Thus the first has rational and the second irrational real zeroes.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{4}{4-5}=-4\)। पहले योग और गुणनफल निकालना आसान रहता है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{4}{4-5}=-4\). Finding sum and product first is easier.
B. गुणनफल (-3) है, इसलिए स्थिर पद (12) नहीं हो सकता/Product is (-3), so constant term cannot be (12)
Explanation
Simple Explanation
इन शून्यकों का गुणनफल (4-7=-3) है। एकक बहुपद में स्थिर पद गुणनफल के बराबर होना चाहिए। / The product of these zeroes is (4-7=-3). In a monic polynomial, the constant term must equal the product.
यहाँ (D=4-20=-16), जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ वास्तविक शून्यक नहीं होते। / Here (D=4-20=-16), which is negative. A negative discriminant means there are no real zeroes.
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\) होता है। शून्यक सरल करते समय वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\). While simplifying zeroes, take square factors outside the radical.
A. गुणनफल (5), योग \(2\sqrt{6}\)/Product (5), sum \(2\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
एकक द्विघात में योग (-b) और गुणनफल (c) होता है। यहाँ योग \(2\sqrt{6}\) और गुणनफल (5) है। / In a monic quadratic, the sum is (-b) and the product is (c). Here the sum is \(2\sqrt{6}\) and the product is (5).
A. शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं, दोनों वास्तविक अपरिमेय हो सकते हैं/Zeroes are \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), both can be real irrational
Explanation
Simple Explanation
बहुपद ((x-a)2-b) के बराबर है, इसलिए \(x=a\pm\sqrt{b}\) है। जब (b) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{b}\) अपरिमेय होता है। / The polynomial equals ((x-a)2-b), so \(x=a\pm\sqrt{b}\). When (b) is not a perfect square, \(\sqrt{b}\) is irrational.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=81-56=25) पूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक परिमेय हैं। (q(x)) के लिए (D=81-60=21) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं। / For (p(x)), (D=81-56=25), a perfect square, so the zeroes are rational. For (q(x)), (D=81-60=21), positive but not a perfect square, so the zeroes are irrational real.
शून्यक \(x=\pm\sqrt{2}\) हैं और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गमूल वाले शून्यकों को सरल करके जाँचें। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. In exams, simplify square-root zeroes before deciding the type.
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
A. \(8+2\sqrt{15}\), अपरिमेय/\(8+2\sqrt{15}\), irrational
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में ((a+b)2) का प्रयोग सावधानी से करें। / \(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), so it is irrational. In exams use ((a+b)2) carefully.
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में इसे संयुग्मी शून्यक नियम की तरह याद रखें। / For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या का गुणन अपरिमेय रहता है। परीक्षा में \(a\ne0\) शर्त बहुत महत्वपूर्ण है। / The product of a non-zero rational number and an irrational number remains irrational. In exams the condition \(a\ne0\) is very important.
एकघात बहुपद \(x-\alpha\) का शून्यक \(\alpha\) होता है। यहाँ \(\alpha=2\sqrt{3}\) है। / A linear polynomial \(x-\alpha\) has zero \(\alpha\). Here \(\alpha=2\sqrt{3}\).
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है; सही परिमेय विकल्प नहीं दिखता, अतः ध्यान दें कि \(\sqrt{7}\sqrt{14}=7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। / Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
B. यह अनवसानी आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating recurring decimal
Explanation
Simple Explanation
हर में (13) है और भिन्न सरल करने पर भी केवल (2) और (5) नहीं बचते। परीक्षा में हर के अभाज्य गुणनखंड जरूर जांचें। / The denominator contains (13), and after simplification the denominator is not made only of (2) and (5). In exams always check prime factors of the denominator.
C. दो भिन्न अपरिमेय शून्यक/Two distinct irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है और (20) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए शून्यक वास्तविक भिन्न और अपरिमेय हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), and (20) is not a perfect square. So the zeroes are real, distinct, and irrational.
\(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में गुणन में वर्गमूलों को पहले एक साथ सरल करें। / Since \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), it is rational. In exams simplify products of radicals first.
A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(-\frac{p}{q}\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय मानना पड़ेगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि को पहचानें। / Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
शून्यकों का योग (0) और गुणनफल (-7) है। इसलिए बहुपद \(x^2-7\) होगा। / The sum of zeroes is (0) and the product is (-7). Hence the polynomial is \(x^2-7\).
(p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), जो अपरिमेय है। परीक्षा में पहले प्रतिस्थापन करें फिर वर्गमूल को सरल करें। / (p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), which is irrational. In exams substitute first and then simplify the radical.
(ab=(7)2-\(4\sqrt{3}\)2=49-48=1), इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी युग्म पर \(a^2-b^2\) लगाएं। / (ab=(7)2-\(4\sqrt{3}\)2=49-48=1), so it is rational. In exams apply \(a^2-b^2\) for conjugate pairs.
शून्यकों का योग (4) है और \(x^2-kx+1\) में योग (k) होता है। इसलिए (k=4) है। / The sum of zeroes is (4), and in \(x^2-kx+1\), the sum is (k). Hence (k=4).
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है। / For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक सामान्यतः संयुग्मी रूप में आते हैं। इसलिए \(3-\sqrt{5}\) का साथी शून्यक \(3+\sqrt{5}\) होगा। / For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
यह बहुपद (\(x-\sqrt{5}\)2) के बराबर है। अतः \(\sqrt{5}\) दोहरा शून्यक है। / This polynomial equals (\(x-\sqrt{5}\)2). Hence \(\sqrt{5}\) is a repeated zero.
योग (\(3+\sqrt{5}\)+\(3-\sqrt{5}\)=6) है। संयुग्मी अपरिमेयों में वर्गमूल भाग कट जाता है। / The sum is (\(3+\sqrt{5}\)+\(3-\sqrt{5}\)=6). In conjugate irrationals the radical parts cancel.
गुणनफल (\(4+\sqrt{7}\)\(4-\sqrt{7}\)=16-7=9) है। परीक्षा में ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) लगाएं। / The product is (\(4+\sqrt{7}\)\(4-\sqrt{7}\)=16-7=9). Use ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) in exams.
शून्यकों का योग (0) है और \(x^2+ax+6\) में योग (-a) होता है। अतः (a=0)। / The sum of the zeroes is (0), and in \(x^2+ax+6\), the sum is (-a). Thus (a=0).
योग (4) और गुणनफल (4-6=-2) है, इसलिए बहुपद \(x^2-4x-2\) है। परीक्षा में \(x^2-Sx+P\) सूत्र याद रखें। / The sum is (4) and the product is (4-6=-2), so the polynomial is \(x^2-4x-2\). Remember the formula \(x^2-Sx+P\).
क्योंकि (\(\sqrt{3}\)2=3), इसलिए \(x^2-3=0\) है। परीक्षा में वर्गमूल का वर्ग मूलांक देता है। / Since (\(\sqrt{3}\)2=3), \(x^2-3=0\). In exams the square of a square root gives the radicand.
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से शून्यक \(\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{2}=4\pm\sqrt{6}\) हैं। पहले विविक्तकर सरल करें। / By the formula, the zeroes are \(\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{2}=4\pm\sqrt{6}\). Simplify the discriminant first.
(\(\sqrt{7}+1\)2-7=8+2\sqrt{7}-7=1+2\sqrt{7}) है। परीक्षा में ((a+b)2) सावधानी से लगाएं। / (\(\sqrt{7}+1\)2-7=8+2\sqrt{7}-7=1+2\sqrt{7}). Use ((a+b)2) carefully in exams.
C. दो भिन्न अपरिमेय शून्यक/Two distinct irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप \(x^2-4x+2\) है और (D=16-8=8) है। (8) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक अपरिमेय हैं। / The simplified form is \(x^2-4x+2\), and (D=16-8=8). Since (8) is not a perfect square, the zeroes are irrational.
रखने पर \(2+k\sqrt{2}-2=k\sqrt{2}=0\), इसलिए (k=0) है। परीक्षा में शून्यक होने पर (p\(\alpha\)=0) लिखें। / Substitution gives \(2+k\sqrt{2}-2=k\sqrt{2}=0\), so (k=0). In exams write (p\(\alpha\)=0) for a zero.
(\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) है। संयुग्मी गुणनफल से अपरिमेय भाग कट जाता है। / (\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2). The irrational part cancels in conjugate multiplication.
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), इसलिए योग \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण तेज तरीका है। / \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
योग \(2\sqrt{2}\) और गुणनफल (2-3=-1) है। इसलिए बहुपद \(x^2-2\sqrt{2}x-1\) बनेगा। / The sum is \(2\sqrt{2}\) and the product is (2-3=-1). Hence the polynomial is \(x^2-2\sqrt{2}x-1\).
दूसरा शून्यक \(4-\sqrt{11}\) होगा। योग (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8) है। / The other zero will be \(4-\sqrt{11}\). The sum is (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8).
क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), इसलिए व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है। परीक्षा में गुणनफल (1) होने पर व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है। / Because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), the reciprocal is \(3-\sqrt{8}\). If the product is (1), the reciprocal is immediate.
A. \(-1+\sqrt{2}\) और \(-1-\sqrt{2}\)/\(-1+\sqrt{2}\) and \(-1-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से \(x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\)। चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / By the formula, \(x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\). Pay special attention to signs.
यहाँ (D=(-2)2-4(1)(-3)=16) है, जो धनात्मक है। इसलिए दोनों शून्यक वास्तविक हैं। / Here (D=(-2)2-4(1)(-3)=16), which is positive. So both zeroes are real.
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। / For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
(\alpha\beta=\(\sqrt{5}+2\)\(\sqrt{5}-2\)=5-4=1) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से परिमेय उत्तर मिलता है। / (\alpha\beta=\(\sqrt{5}+2\)\(\sqrt{5}-2\)=5-4=1). Conjugate multiplication often gives a rational answer.
\(x^2=7+2\sqrt{10}\) से (\(x^2-7\)2=40) मिलता है। इसलिए \(x^4-14x^2+9=0\) है। / From \(x^2=7+2\sqrt{10}\), we get (\(x^2-7\)2=40). Hence \(x^4-14x^2+9=0\).
योग (10) और गुणनफल (25-6=19) है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों के लिए योग और गुणनफल जल्दी निकालें। / The sum is (10) and the product is (25-6=19). In exams quickly find sum and product for conjugate zeroes.
द्विघात \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(\frac{2}{1}=2\) है। / In \(ax^2+bx+c\), the product of zeroes is \(\frac{c}{a}\). Here it is \(\frac{2}{1}=2\).
विविक्तकर (100-76=24) है, इसलिए शून्यक \(\frac{10\pm\sqrt{24}}{2}=5\pm\sqrt{6}\) हैं। परीक्षा में \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) सरल करें। / The discriminant is (100-76=24), so the zeroes are \(\frac{10\pm\sqrt{24}}{2}=5\pm\sqrt{6}\). Simplify \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) in exams.
योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\) है। गुणांक देखते समय (a) को मत भूलें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\). Do not forget the coefficient (a).
C. दो अलग अपरिमेय वास्तविक/Two distinct irrational real values
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (36-4=32) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है और धनात्मक है। इसलिए दो अलग अपरिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। / The discriminant is (36-4=32), positive but not a perfect square. So there are two distinct irrational real roots.
योग \(3\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\) है। इसलिए \(m=\frac{9\sqrt{2}}{2}\) होगा। / The sum is \(3\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\). Hence \(m=\frac{9\sqrt{2}}{2}\).
विविक्तकर (16-16=0), इसलिए मूल समान हैं और (x=2) परिमेय है। परीक्षा में (D=0) का अर्थ समान मूल होता है। / The discriminant is (16-16=0), so the roots are equal and (x=2) is rational. In exams (D=0) means equal roots.
\(मानक बहुपद (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) होता है। इसलिए उत्तर \(x^2-2\sqrt{5}x+4\) है। \(/ A monic polynomial is (x^2-(\)sum)x+product\(). So the answer is (x^2-2\sqrt{5}x+4).\)
C. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें। / The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
क्योंकि \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), योग \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) है। पहले करणी को सरल करें। / Since \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), the sum is \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Simplify radicals first.
