100 results found for "parity-sqrt2" in Class 10.
कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सम-विषम विचार की सही व्याख्या करता है?
Which option correctly explains the parity idea in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#odd-square
A यदि संख्या विषम होती, तो उसका वर्ग विषम होता; पर वर्ग सम है, इसलिए संख्या सम है / If the number were odd, its square would be odd; but the square is even, so the number is even
B हर विषम संख्या का वर्ग सम होता है / The square of every odd number is even
C हर सम संख्या का वर्ग विषम होता है / The square of every even number is odd
D वर्ग का सम-विषम से कोई संबंध नहीं है / A square has no relation with parity
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Correct Answer
A. यदि संख्या विषम होती, तो उसका वर्ग विषम होता; पर वर्ग सम है, इसलिए संख्या सम है / If the number were odd, its square would be odd; but the square is even, so the number is even
Step 1
Concept
विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
जब वर्ग सम मिला, तो मूल संख्या विषम नहीं हो सकती। / When the square is even, the original number cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस विचार से (p) और (q) दोनों के सम होने का प्रमाण बनता है। / This idea proves both (p) and (q) even.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। यदि (p) विषम माना जाए, तो क्या समस्या होगी?
In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) shows \(p^2\) is even. If (p) is assumed odd, what problem occurs?
#real-numbers
#root2
#parity
#logical-reasoning
A विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए / The square of an odd number should be odd
B विषम संख्या का वर्ग शून्य होता है / The square of an odd number is zero
C विषम संख्या का वर्ग हमेशा (2) होता है / The square of an odd number is always (2)
D विषम संख्या का वर्ग परिभाषित नहीं होता / The square of an odd number is undefined
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Correct Answer
A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए / The square of an odd number should be odd
Step 1
Concept
विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd integer is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(p^2\) सम है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / Here \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार (p) सम सिद्ध होता है। / Thus (p) is proved even.
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यदि (n) विषम पूर्णांक है, तो \(n^2\) विषम होगा। यह तथ्य किस प्रमाण में विशेष रूप से उपयोगी है?
If (n) is an odd integer, then \(n^2\) is odd. This fact is especially useful in which proof?
#real-numbers
#root2
#parity
#odd-square
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{4}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{4}\)
C \(\sqrt{9}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{9}\)
D \(\sqrt{25}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) विषम होता; इसलिए (p) सम है। / If (p) were odd, \(p^2\) would be odd; so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
यही सम-विषम विचार फिर (q) के लिए भी उपयोग होता है। / The same parity idea is then used for (q).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन \(p^2\) से (p) तक सही ढंग से पहुँचाता है?
Which statement correctly moves from \(p^2\) to (p) in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is also even
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम है / If \(p^2\) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (p=1) / If \(p^2\) is even, then (p=1)
D यदि \(p^2\) सम है, तो (q=0) / If \(p^2\) is even, then (q=0)
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is also even
Step 1
Concept
किसी विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है। / The square of an odd integer is odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) cannot be odd and must be even.
Step 3
Exam Tip
यह सम-विषम नियम प्रमाण में मुख्य कदम है। / This parity rule is a key step in the proof.
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यदि किसी पूर्णांक (n) का वर्ग सम है, तो (n) सम है। यह बात \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कितनी बार उपयोग होती है?
If the square of an integer (n) is even, then (n) is even. How many times is this fact used in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#proof-count
A दो बार / Twice
B एक बार / Once
C तीन बार / Thrice
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. दो बार / Twice
Step 1
Concept
पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। / First \(p^2\) even proves (p) even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। / Then \(q^2\) even proves (q) even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है। / Therefore this fact is used twice in an important way.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे गंभीर त्रुटि है?
Which option is the most serious error in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
C वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) / After squaring, \(p^2=2q^2\)
D (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) / Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने पर (p) सम होना चाहिए। / If \(p^2\) is even, then (p) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में छोटी तार्किक गलती पूरी दलील बदल सकती है। / In proofs, a small logical error can change the whole argument.
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यदि (n) विषम है, तो \(n^2\) विषम होता है। यह तथ्य किस प्रमाण में सीधे प्रयोग होता है?
If (n) is odd, then \(n^2\) is odd. In which proof is this fact used directly?
#real-numbers
#root2
#parity
#odd-square
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{5}\) को पूर्णांक सिद्ध करने में / In proving \(\sqrt{5}\) an integer
C \(\sqrt{3}\) को सम सिद्ध करने में / In proving \(\sqrt{3}\) even
D (5) को परिमेय सिद्ध करने में / In proving (5) rational
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) विषम होता तो \(p^2\) विषम होता, इसलिए (p) सम है। / If (p) were odd, \(p^2\) would be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम का यह नियम \(\sqrt{2}\) में बहुत उपयोगी है। / This parity rule is very useful for \(\sqrt{2}\).
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत तर्क दिखाता है?
Which option shows an incorrect argument in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / \(p^2=2q^2\) implies \(p^2\) is even
C (p) सम है तो (p=2r) / If (p) is even, then (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) से (q) सम है / \(q^2=2r^2\) implies (q) is even
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम होगा। / If \(p^2\) is even, then (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
गलती पहचानने वाले प्रश्नों में छोटे नियम बहुत ध्यान से जाँचें। / In error-based questions, check small rules carefully.
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यदि \(x^2\) सम है, तो (x) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(x^2\) is even, what is the correct conclusion about (x)?
#real-numbers
#parity
#even-square
#root2
#hard
A (x) सम है / (x) is even
B (x) विषम है / (x) is odd
C (x) अभाज्य है / (x) is prime
D (x=1) है / (x=1)
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Correct Answer
A. (x) सम है / (x) is even
Step 1
Concept
यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। / If (x) were odd, then \(x^2\) would be odd.
Step 2
Why this answer is correct
दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। / Since \(x^2\) is given even, (x) must be even.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है। / This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\).
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कौन-सा कथन सही है यदि (n) विषम पूर्णांक है?
Which statement is correct if (n) is an odd integer?
#real-numbers
#parity
#odd-square
#root2
#hard
A \(n^2\) विषम होगा / \(n^2\) will be odd
B \(n^2\) सम होगा / \(n^2\) will be even
C \(n^2\) शून्य होगा / \(n^2\) will be zero
D \(n^2\) हमेशा अभाज्य होगा / \(n^2\) will always be prime
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Correct Answer
A. \(n^2\) विषम होगा / \(n^2\) will be odd
Step 1
Concept
विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। / An odd integer can be written as (2k+1).
Step 2
Why this answer is correct
उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। / Its square becomes \(4k^2+4k+1\), which is odd.
Step 3
Exam Tip
यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है। / This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम क्यों माना जाता है?
Why is (p) considered even when \(p^2\) is even in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
#hard
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या का वर्ग सम होता है / Because the square of every number is even
C क्योंकि सम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an even number is odd
D क्योंकि \(p^2\) हमेशा (p) से छोटा होता है / Because \(p^2\) is always smaller than (p)
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Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है। / This parity fact is very important in the proof.
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निम्न में से कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में प्रयोग होता है?
Which statement is used in proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#proof of sqrt 2
#parity
#class 10
A यदि \(a^2\) सम है, तो (a) सम है / If \(a^2\) is even, then (a) is even
B यदि (a) सम है, तो (a) अभाज्य है / If (a) is even, then (a) is prime
C हर विषम संख्या पूर्ण वर्ग है / Every odd number is a perfect square
D हर सम संख्या अपरिमेय है / Every even number is irrational
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Correct Answer
A. यदि \(a^2\) सम है, तो (a) सम है / If \(a^2\) is even, then (a) is even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में मानते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) है। / In the proof for \(\sqrt{2}\), we assume \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(a^2=2b^2\) मिलता है, इसलिए \(a^2\) सम है और (a) सम होगा। / This gives \(a^2=2b^2\), so \(a^2\) is even and hence (a) is even.
Step 3
Exam Tip
समता वाला यह तर्क विरोध तक पहुँचाता है। / This parity argument leads to a contradiction.
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किस संख्या का वर्ग (2) होता है और वह अपरिमेय है?
Which number has square (2) and is irrational?
#square
#irrational-number
#sqrt2
A \(\sqrt{2}\)
B (2)
C \(\frac{1}{2}\)
D (4)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{2}\)2 =2) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। यह एक महत्वपूर्ण मूल उदाहरण है। / (\(\sqrt{2}\)2 =2) and \(\sqrt{2}\) is irrational. This is an important basic example.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध हो गया है और \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है। अब सबसे सही अगला कदम कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) has been proved even and \(\frac{a}{b}\) is in lowest form. What is the most correct next step?
#sqrt2 proof
#proof order
#hard
#class 10
A (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
B यहीं विरोधाभास लिख देना / Write contradiction here itself
C (a=b) मान लेना / Assume (a=b)
D \(\sqrt{2}=2\) लिख देना / Write \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। / Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। / Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले। / Contradiction occurs only when both have common factor (2).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) लिखना किस प्रकार की गलती है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), what type of error is directly writing (a=2b) from \(a^2=2b^2\)?
#sqrt2 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना / Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
B सहअभाज्य शर्त का सही उपयोग / Correct use of coprime condition
C वर्गमूल हटाने का सही तरीका / Correct way to remove the square root
D सरलतम रूप की सही पहचान / Correct identification of lowest form
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Correct Answer
A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना / Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। / (a=2b) does not directly follow from \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष है कि \(a^2\) सम है और (a) सम है। / The correct conclusion is that \(a^2\) is even and (a) is even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न बनाएं। / Do not hastily make a root-level equation from a squared equation.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (a=2m) और (b=2n), तो यह किस बात के विरुद्ध है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2m) and (b=2n), what does this go against?
#sqrt2 proof
#gcd contradiction
#hard
#class 10
A (\gcd(a,b)=1)
B \(b\neq 0\)
C (a) और (b) पूर्णांक हैं / (a) and (b) are integers
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
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Correct Answer
A. (\gcd(a,b)=1)
Step 1
Concept
(a=2m) और (b=2n) से दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / (a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in both.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\gcd(a,b)) (1) नहीं हो सकता। / So (\gcd(a,b)) cannot be (1).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की शर्त के विरुद्ध है। / This goes against the lowest-form condition.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(a^2=2b^2\) से (a=2k) मिलता है, तो (k) के बारे में क्या सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2k) is obtained from \(a^2=2b^2\), what is true about (k)?
#sqrt2 proof
#integer parameter
#hard
#class 10
A (k) पूर्णांक है / (k) is an integer
B (k) अपरिमेय है / (k) is irrational
C (k=0) ही है / (k) is only (0)
D \(k=\sqrt{2}\) है / \(k=\sqrt{2}\)
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Correct Answer
A. (k) पूर्णांक है / (k) is an integer
Step 1
Concept
(a) पूर्णांक है और सम सिद्ध हुआ है। / (a) is an integer and has been proved even.
Step 2
Why this answer is correct
सम पूर्णांक को (2k) के रूप में लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक होता है। / An even integer is written as (2k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
नए अक्षर का प्रकार स्पष्ट लिखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Clearly mentioning the type of the new variable strengthens the proof.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय मानने पर \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं रह पाती, तो निष्कर्ष क्या होगा?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational makes \(\frac{a}{b}\) not remain in lowest form, what is the conclusion?
#sqrt2 proof
#rational assumption
#hard
#class 10
A परिमेय मान्यता गलत है / The rational assumption is false
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C (b=0) है / (b=0)
D (a=b) है / (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मान्यता गलत है / The rational assumption is false
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप माना गया था। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was assumed in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रमाण दिखाता है कि यह घट सकती है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। / If the proof shows it can be reduced, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कोई \(a^2=2b^2\) से सीधे (b) सम लिखे, तो गलती क्या है?
If someone writes (b) is even directly from \(a^2=2b^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), what is the mistake?
#sqrt2 proof
#error spotting
#hard
#class 10
A पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है / First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
B (b) कभी सम नहीं हो सकता / (b) can never be even
C (2) अभाज्य नहीं है / (2) is not prime
D (b=0) होना चाहिए / (b) must be (0)
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Correct Answer
A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है / First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से तुरंत \(a^2\) और फिर (a) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\), then (a), is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
(b) को सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) रखना पड़ता है। / To prove (b) even, (a=2k) must be substituted.
Step 3
Exam Tip
सीधे (b) पर जाना प्रमाण की क्रम-गलती है। / Jumping directly to (b) is an order error.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों का सही अंतर बताता है?
Which option correctly states the difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#hard
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
B दोनों में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / Both give common factor (3)
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives (5), while \(\sqrt{5}\) gives (2)
D दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं मिलता / No common factor is found in either
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में \(a^2=2b^2\) से (2) मुख्य गुणनखंड बनता है। / In \(\sqrt{2}\), \(a^2=2b^2\) makes (2) the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) से (5) मुख्य गुणनखंड बनता है। / In \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (5) the key factor.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड तय करती है। / The number inside the root decides the proof factor.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि \(a^2\) सम है, तो (a) सम क्यों होना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(a^2\) is even, why must (a) be even?
#sqrt2 proof
#even square
#logic
#hard
A क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता / Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
B क्योंकि हर संख्या सम होती है / Because every number is even
C क्योंकि (a=b) होता है / Because (a=b)
D क्योंकि (b=0) होता है / Because (b=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता / Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। / The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। / Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
अतः (a) सम होना निश्चित है। / Hence (a) must be even.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है। यदि (a=2m) और (b=2n) मिले, तो कौन सा निष्कर्ष सबसे ठीक है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(\frac{a}{b}\) is in lowest form. If (a=2m) and (b=2n), which conclusion is most suitable?
#sqrt2 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है / \(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
B \(\frac{a}{b}=2\)
C \(\frac{a}{b}=0\)
D \(\frac{a}{b}\) परिभाषित नहीं है / \(\frac{a}{b}\) is undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है / \(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
Step 1
Concept
(a=2m) और (b=2n) से अंश और हर दोनों में (2) साझा है। / (a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in numerator and denominator.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है। / So \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा विकल्प सही लेकिन अधूरा निष्कर्ष है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), which option is a correct but incomplete conclusion?
#sqrt2 proof
#incomplete conclusion
#hard
#class 10
A (a) सम है / (a) is even
B (a=b)
C (b=0)
D \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) सम है / (a) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से (a) सम सिद्ध होता है। / From \(a^2=2b^2\), (a) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
पर प्रमाण पूरा करने के लिए (b) भी सम सिद्ध करना होगा। / But to complete the proof, (b) must also be proved even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलने पर ही सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा। / Only when both are even does contradiction arise with the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a=2k) और (b=2r) मिलने पर (\gcd(a,b)) के बारे में कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2k) and (b=2r), which statement about (\gcd(a,b)) is correct?
#sqrt2 proof
#gcd
#hard
#class 10
A (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है / (\gcd(a,b)) is at least (2)
B (\gcd(a,b)=1) ही रहेगा / (\gcd(a,b)) will remain (1)
C (\gcd(a,b)=0)
D (\gcd(a,b)=a+b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है / (\gcd(a,b)) is at least (2)
Step 1
Concept
(a=2k) और (b=2r) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (a=2k) and (b=2r) show both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। / So their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की आरंभिक शर्त को तोड़ता है। / This breaks the initial coprime condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास को सबसे सही रूप में बताता है?
Which option states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) most correctly?
#sqrt2 proof
#final contradiction
#hard
#class 10
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so there is contradiction
C \(b\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(b\neq 0\), so there is contradiction
D (a) और (b) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (a) and (b) are integers, so there is contradiction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही सही अंतिम विरोधाभास है। / This is the correct final contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध होने के तुरंत बाद (b) सम कहना क्यों अधूरा तर्क है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), why is saying (b) is even immediately after proving (a) even an incomplete reasoning?
#sqrt2 proof
#logical order
#hard
#class 10
A क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
B क्योंकि (b) कभी सम नहीं हो सकता / Because (b) can never be even
C क्योंकि (b=0) होता है / Because (b=0)
D क्योंकि (a=b) सिद्ध हो चुका है / Because (a=b) is already proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। / (a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। / After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है। / Only then can (b) be proved even.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a=2r) रखने पर \(a^2=2b^2\) से \(b^2\) का सही रूप क्या मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (a=2r), what correct form of \(b^2\) follows from \(a^2=2b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#hard
#class 10
A \(b^2=4r^2\)
B \(b^2=r^2\)
C \(b^2=2r^2\)
D (b=2r)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(b^2=2r^2\)
Step 1
Concept
(a=2r) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। / If (a=2r), then \(a^2=4r^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2b^2\) से (2) से भाग करने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। / From \(4r^2=2b^2\), dividing by (2) gives \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (b) के सम होने का आधार मिलता है। / This becomes the basis for proving (b) even.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिला। कौन सा निष्कर्ष प्रमाण के क्रम के अनुसार पहले आएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest form, \(a^2=2b^2\) is obtained. Which conclusion comes first according to proof order?
#sqrt2 proof
#even square
#hard
#class 10
A \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
B (b) सम है / (b) is even
C (a=b)
D (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। / So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें। / Do not change the order of conclusions in exams.
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, तो यह किस कथन को खंडित करता है?
If both (p) and (q) are found even in the proof of \(\sqrt{2}\), which statement does it refute?
#sqrt2 proof
#gcd contradiction
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)=1)
B \(q\neq 0\)
C (p) पूर्णांक है / (p) is an integer
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। / If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। / Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है। / Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप मानने की भूमिका बताता है?
Which option tells the role of assuming \(\frac{p}{q}\) in lowest form in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#lowest form role
#hard
#class 10
A बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
B दशमलव मान निकालना / To find decimal value
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है। / Both being even breaks the lowest-form condition.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है लेकिन गलत कारण के साथ दिया गया है?
Which statement is true but given with a wrong reason in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong reason
#hard
#class 10
A (p) सम है क्योंकि \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / (p) is even because \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even
B (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / (p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
C (q) सम है क्योंकि \(q^2=2k^2\) / (q) is even because \(q^2=2k^2\)
D (p) और (q) सहअभाज्य माने गए हैं / (p) and (q) are assumed coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / (p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
Step 1
Concept
(p) का सम होना सही हो सकता है, पर इसका कारण \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना नहीं है। / (p) being even may be true, but the reason is not the positivity of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सही कारण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलना है। / The correct reason is that \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में सही कथन के साथ सही कारण भी जरूरी है। / In proof writing, a true statement must have the correct reason.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p=2k) और (q=2r) मिलने पर \(\frac{p}{q}\) को कैसे घटाया जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2k) and (q=2r), how can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#sqrt2 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{2r}=\frac{k}{r}\)
B \(\frac{p}{q}=\frac{k}{2r}\)
C \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{r}\)
D \(\frac{p}{q}=2kr\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{2r}=\frac{k}{r}\)
Step 1
Concept
(p=2k) और (q=2r) होने पर अंश और हर में (2) साझा है। / If (p=2k) and (q=2r), both numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{2k}{2r}\) को (2) से घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। / So \(\frac{2k}{2r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
यह दिखाता है कि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था। / This shows \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन प्रमाण की तार्किक कमजोरी दिखाता है?
Which statement shows a logical weakness in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#logical weakness
#hard
#class 10
A (p) सम है, इसलिए (q) भी बिना किसी प्रतिस्थापन के सम है / (p) is even, so (q) is also even without any substitution
B \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है / \(p^2=2q^2\), so \(p^2\) is even
C (p) सम है, इसलिए (p=2k) / (p) is even, so (p=2k)
D \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) सम है, इसलिए (q) भी बिना किसी प्रतिस्थापन के सम है / (p) is even, so (q) is also even without any substitution
Step 1
Concept
(p) सम होने से अपने आप (q) सम नहीं होता। / (p) being even does not automatically make (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
(q) को सम सिद्ध करने के लिए (p=2k) को मूल समीकरण में रखना पड़ता है। / To prove (q) even, (p=2k) must be substituted in the original equation.
Step 3
Exam Tip
बिना आधार के निष्कर्ष लिखना प्रमाण को कमजोर बनाता है। / Writing conclusions without support weakens the proof.
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर अंत में \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह पाती, तो सही निष्कर्ष क्या है?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational finally makes \(\frac{p}{q}\) not remain in lowest form, what is the correct conclusion?
#sqrt2 proof
#rational assumption
#hard
#class 10
A आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C (q=0) है / (q=0)
D (p=q) है / (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / Assuming rationality, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रमाण दिखा दे कि वह सरलतम रूप में नहीं है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। / If the proof shows it is not in lowest form, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) की सिद्धियों के अंतर को सही बताता है?
Which statement correctly describes the difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt3
#hard
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है / Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)
B दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है / Both give common factor (5)
C \(\sqrt{2}\) में (q=0), \(\sqrt{3}\) में (p=q) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives (q=0), and \(\sqrt{3}\) gives (p=q)
D दोनों में वर्ग करने की जरूरत नहीं होती / Neither requires squaring
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है / Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में \(p^2=2q^2\) से समता का तर्क आता है। / In \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) gives the evenness argument.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से विभाज्यता का तर्क आता है। / In \(\sqrt{3}\), the primality of (3) gives the divisibility argument.
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में मूल के अंदर की संख्या के अनुसार तर्क चुनें। / Choose the reasoning according to the number under the root.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(p^2=2q^2\) मिलने के बाद कौन सा कथन सही है लेकिन अभी प्रमाण पूरा नहीं करता?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(p^2=2q^2\), which statement is correct but does not yet complete the proof?
#sqrt2 proof
#incomplete step
#hard
#class 10
A (p) सम है / (p) is even
B (p=q)
C (q=0)
D \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) सम है / (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। / But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा। / Only then a contradiction arises through common factor (2).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होने के बाद अंतिम निष्कर्ष कैसे लिखा जाना चाहिए?
After proving both (p) and (q) even in the proof of \(\sqrt{2}\), how should the final conclusion be written?
#sqrt2 final conclusion
#exam writing
#hard
A यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
B इसलिए \(\sqrt{2}=2\) / Therefore \(\sqrt{2}=2\)
C इसलिए (q=0) / Therefore (q=0)
D इसलिए (p=q) / Therefore (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यह (p) और (q) के सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts the assumption that (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (q) को सम सिद्ध करने का सही आधार देता है?
Which statement gives the correct basis for proving (q) even in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#q even
#hard
#class 10
A (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है / After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
B \(p^2=2q^2\) से सीधे (q=2k) मिलता है / From \(p^2=2q^2\), (q=2k) is obtained directly
C \(q\neq 0\) होने से (q) सम है / Since \(q\neq 0\), (q) is even
D (p) सम है इसलिए (q=p) / Since (p) is even, (q=p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है / After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
Step 1
Concept
पहले \(p^2=2q^2\) से (p) सम सिद्ध होता है। / First (p) is proved even from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Substituting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है। / This proves \(q^2\), and then (q), is even.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का अंतिम विरोधाभास सही भाषा में लिखा है?
Which option states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) in correct language?
#sqrt2 proof
#final contradiction
#hard
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले / (p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so it is a contradiction
C \(q\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(q\neq 0\), so it is a contradiction
D (p) और (q) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (p) and (q) are integers, so it is a contradiction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले / (p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। / At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
यही साफ और सही विरोधाभास है। / This is the clear and correct contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि कोई कहे कि \(p^2=2q^2\) से (p) और (q) दोनों तुरंत सम हैं, तो सही टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if someone says that \(p^2=2q^2\) immediately makes both (p) and (q) even, what is the correct comment?
#sqrt2 proof
#proof sequence
#hard
#class 10
A यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
D इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। / After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है। / Skipping order is considered an error in proof writing.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p=2r) रखने पर \(p^2=2q^2\) से कौन सा सही सरलीकरण प्राप्त होता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2r), which correct simplification is obtained from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#substitution
#simplification
#hard
A \(q^2=2r^2\)
B \(q^2=4r^2\)
C (q=2r)
D \(q^2=r^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2=2r^2\)
Step 1
Concept
(p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) होगा। / If (p=2r), then \(p^2=4r^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2q^2\) से दोनों ओर (2) से भाग करने पर \(q^2=2r^2\) मिलता है। / From \(4r^2=2q^2\), dividing both sides by (2) gives \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है। / This proves \(q^2\), and then (q), is even.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया है, तो \(p^2=2q^2\) से कौन सा तर्क सबसे सटीक है?
While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, which reasoning from \(p^2=2q^2\) is most accurate?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#hard
#class 10
A \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / \(p^2\) is even, so (p) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
C (p=2q), इसलिए (p) सम है / (p=2q), so (p) is even
D (p=q), इसलिए विरोधाभास है / (p=q), so there is a contradiction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / \(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। / If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें। / Do not directly write (p=2q); first use divisibility.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) और (b) दोनों सम सिद्ध होने पर कौन सा निष्कर्ष सबसे उचित है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), when both (a) and (b) are proved even, which conclusion is most appropriate?
#sqrt2 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
B \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध हो गया / \(\sqrt{2}=2\) is proved
C (b=0) सिद्ध हो गया / (b=0) is proved
D (a) और (b) अपरिमेय हैं / (a) and (b) are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। / In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय मानकर विरोधाभास प्राप्त हुआ, तो सही निष्कर्ष क्या होगा?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational gives a contradiction, what is the correct conclusion?
#sqrt2 conclusion
#contradiction method
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=2\)
D \(\sqrt{2}=0\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता असंभव सिद्ध हो जाए, तो वह गलत है। / If the rational assumption is proved impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Hence \(\sqrt{2}\) is irrational.
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यदि \(p^2=2q^2\) से (p=2k) और फिर (q=2r) मिलते हैं, तो यह कौन सा प्रमाण पूरा करता है?
If from \(p^2=2q^2\), (p=2k) and then (q=2r) are obtained, which proof does this complete?
#identify proof
#sqrt2
#class 10
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{4}\) की परिमेयता / Rationality of \(\sqrt{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में मुख्य गुणनखंड (2) है। / In \(p^2=2q^2\), the key factor is (2).
Step 2
Why this answer is correct
(p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलना \(\sqrt{2}\) के प्रमाण की पहचान है। / Finding both (p) and (q) divisible by (2) identifies the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
इससे सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास आता है। / This gives contradiction to the coprime condition.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है, तो कौन सी आरंभिक बात गलत होती है?
If in the proof of \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), both (p) and (q) get common factor (2), which initial statement becomes false?
#sqrt2 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में (2) मिलना बताता है कि भिन्न और घट सकती है। / Finding (2) in both shows the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की आरंभिक बात गलत सिद्ध होती है। / Therefore the initial lowest-form statement becomes false.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सही अंतिम कारण देता है?
Which option gives the correct final reason in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#final reason
#class 10
A (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
B (p) और (q) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (p) and (q) are integers, so it is a contradiction
C \(q\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(q\neq 0\), so it is a contradiction
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so it is a contradiction
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। / This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम कारण \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This final reason proves \(\sqrt{2}\) irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=2q^2\) से \(q^2\) सम लिखता है, तो यह क्यों जल्दबाजी है?
If someone writes \(q^2\) is even directly from \(p^2=2q^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), why is this a rushed step?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
B क्योंकि \(q^2\) कभी सम नहीं हो सकता / Because \(q^2\) can never be even
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (2) अभाज्य नहीं है / Because (2) is not prime
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Correct Answer
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है। / Skipping the order makes the proof weak.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों का सही अंतर बताता है?
Which option gives the correct difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
B दोनों में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In both, common factor (3) is found
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (5) is found; in \(\sqrt{5}\), (2) is found
D दोनों में कोई विरोधाभास नहीं मिलता / In both, no contradiction is found
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से गुणनखंड (2) आता है। / In \(\sqrt{2}\)'s proof, factor (2) comes from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से गुणनखंड (5) आता है। / In \(\sqrt{5}\)'s proof, factor (5) comes from \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या मुख्य गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the key factor.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलना किस कथन को असत्य बनाता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) being even makes which statement false?
#sqrt2 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
B (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
C \(q\neq 0\)
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have any common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने की बात असत्य हो जाती है। / So the statement that they are coprime becomes false.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(a^2\) सम होने से (a) सम होने को सही ठहराता है?
Which statement justifies that (a) is even when \(a^2\) is even in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#even square
#logical reasoning
#sqrt2
#class 10
A यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता / If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
B हर वर्ग शून्य होता है / Every square is zero
C हर पूर्णांक सम होता है / Every integer is even
D यदि \(a^2\) सम है, तो (a=1) / If \(a^2\) is even, then (a=1)
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Correct Answer
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता / If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। / Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
अतः (a) सम होना चाहिए। / Therefore (a) must be even.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलना अंतिम विरोधाभास देता है?
In which proof does finding both (p) and (q) even give the final contradiction?
#sqrt2 proof
#even contradiction
#class 10
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) की परिमेयता में / In the rationality of \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Both even contradict the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (p=2k) और (q=2r) मिल जाएं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2k) and (q=2r) are obtained, what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt2 proof
#lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (2) है / It is necessarily (2)
C यह शून्य है / It is zero
D यह अपरिमेय है / It is irrational
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
(p=2k) और (q=2r) से अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2k) and (q=2r) mean numerator and denominator are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने का महत्व क्या है?
What is the importance of getting \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
B इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
C इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
(p) पहले सम था और (q) भी सम मिला, यही विरोधाभास बनाता है। / (p) was already even and (q) is also even, creating contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही क्रम कौन सा है?
What is the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
B दशमलव मान लिखना, उत्तर याद करना, प्रमाण रोकना / Write decimal value, memorize answer, stop proof
C \(\sqrt{2}=2\) मानना, वर्ग करना, निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{2}=2\), square, write conclusion
D (q=0) मानना, भिन्न बनाना, निष्कर्ष लिखना / Assume (q=0), make fraction, write conclusion
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। / Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Finding both even contradicts the coprime condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सही नहीं है?
Which option is not correct in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong step
#class 10
A \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even
B \(a^2\) सम है, इसलिए (a) सम है / Since \(a^2\) is even, (a) is even
C (a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) / If (a=2k), then \(a^2=4k^2\)
D \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) सम है, लेकिन सीधे (a=2b) नहीं मिलता। / This gives (a) even, but not directly (a=2b).
Step 3
Exam Tip
सही कदम (a=2k) लिखना है। / The correct step is to write (a=2k).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलने पर (a) के लिए सही रूप कौन सा है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after getting \(a^2=2b^2\), which is the correct form for (a)?
#sqrt2 proof
#even number
#class 10
A (a=2k)
B (a=3k)
C (a=5k)
D (a=bk)
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Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=2k) लिखते हैं, जहां (k) पूर्णांक है। / Therefore we write (a=2k), where (k) is an integer.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है, तो (a) और (b) के बारे में क्या सही है?
Assume \(\sqrt{2}\) is rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\). If \(\frac{a}{b}\) is in lowest form, what is true about (a) and (b)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
A वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
B वे दोनों सम हैं / Both are even
C वे दोनों (2) के बराबर हैं / Both are equal to (2)
D वे दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। / In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later, finding a common factor creates the contradiction.
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एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) से (q=2k) लिख दिया। सही टिप्पणी क्या है?
A student writes (q=2k) from \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\). What is the correct comment?
#sqrt2 proof
#student error
#class 10
A सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / This proves (q=0)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / This proves \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम मिलता है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर नियम से (q) सम कहा जाता है और (q=2r) लिखा जा सकता है। / Then by rule (q) is even and can be written as (q=2r).
Step 3
Exam Tip
सीधे (q=2k) लिखना सावधानी के बिना किया गया कदम है। / Directly writing (q=2k) is a careless step.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2k) और (q=2r) मिलना क्यों असंभव है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p) and (q) are coprime, why is getting (p=2k) and (q=2r) impossible?
#sqrt2 proof
#coprime impossibility
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (3)
C क्योंकि (q=0) हो जाएगा / Because (q) will become (0)
D क्योंकि (p=q) हो जाएगा / Because (p=q) will happen
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) का अर्थ है (p) सम है। / (p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। / (q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे। / Both have common factor (2), so they cannot be coprime.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही अंतिम वाक्य है?
Which option is the correct final sentence of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 final statement
#exam writing
#class 10
A यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{2}=2\) / Hence \(\sqrt{2}=2\)
C अतः (q=0) / Hence (q=0)
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
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Correct Answer
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / The rational assumption makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम वाक्य में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों लिखें। / So the final sentence should state both contradiction and irrationality.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#sqrt2 proof
#fraction
#lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (2) है / It is necessarily (2)
C यह शून्य है / It is zero
D यह अपरिमेय भिन्न है / It is an irrational fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (2) से और घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced further by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है लेकिन अधूरा निष्कर्ष है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), which statement is correct but an incomplete conclusion?
#sqrt2 proof
#incomplete conclusion
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(\sqrt{2}=2\)
C (q=0)
D (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। / But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें। / Complete the proof up to contradiction.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा। यदि अंत में (p) और (q) दोनों सम हैं, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational, \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is written. If finally both (p) and (q) are even, what is the correct conclusion?
#sqrt2 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=2\)
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। / (p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। / Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (2) के गुणनखंड की भूमिका सही बताता है?
Which statement correctly tells the role of factor (2) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#factor 2
#class 10
A यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
B यह (q=0) बना देता है / It makes (q=0)
C यह \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध करता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
D यह (p=q) सिद्ध करता है / It proves (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले (p) में (2) का गुणनखंड आता है। / From \(p^2=2q^2\), factor (2) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में (q) में भी (2) का गुणनखंड मिलता है। / Later factor (2) also appears in (q).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Common factor (2) contradicts the coprime condition.
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यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2k), तो \(b^2\) के बारे में क्या सही है?
If \(a^2=2b^2\) and (a=2k), what is true about \(b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#medium
#class 10
A \(b^2=2k^2\)
B \(b^2=4k^2\)
C \(b^2=k^2\)
D \(b^2=8k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(b^2=2k^2\)
Step 1
Concept
(a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) होगा। / If (a=2k), then \(a^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4k^2=2b^2\) से \(b^2=2k^2\) मिलता है। / From \(4k^2=2b^2\), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(b^2\) सम और (b) सम सिद्ध होता है। / This proves \(b^2\) and then (b) are even.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। इसे विरोधाभास क्यों कहा जाता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) are found even. Why is this called a contradiction?
#sqrt2 contradiction
#even numbers
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
B क्योंकि दोनों पूर्णांक हैं / Because both are integers
C क्योंकि दोनों धनात्मक हैं / Because both are positive
D क्योंकि दोनों भिन्न में हैं / Because both are in a fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही अंतर बताता है?
Which option correctly states a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
B दोनों में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / Common factor (5) is found in both
C दोनों में कोई विरोधाभास नहीं आता / No contradiction occurs in either
D \(\sqrt{2}\) में (3), \(\sqrt{3}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (3) is found; in \(\sqrt{3}\), (2) is found
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) आता है, इसलिए (2) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) appears, so (2) is key.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) आता है, इसलिए (3) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) appears, so (3) is key.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the proof factor.
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यदि कोई विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करते समय केवल \(p^2=2q^2\) तक लिखकर रुक जाता है, तो प्रमाण क्यों अधूरा है?
If a student stops at only \(p^2=2q^2\) while proving \(\sqrt{2}\) irrational, why is the proof incomplete?
#incomplete proof
#sqrt2
#class 10
A क्योंकि अभी (p) और (q) दोनों सम दिखाकर विरोधाभास लिखना बाकी है / Because it still remains to show both (p) and (q) even and write contradiction
B क्योंकि \(p^2=2q^2\) गलत है / Because \(p^2=2q^2\) is wrong
C क्योंकि (q=0) लिखना बाकी है / Because (q=0) remains to be written
D क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) लिखना बाकी है / Because \(\sqrt{2}=2\) remains to be written
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि अभी (p) और (q) दोनों सम दिखाकर विरोधाभास लिखना बाकी है / Because it still remains to show both (p) and (q) even and write contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) केवल मध्य चरण है। / \(p^2=2q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों सम दिखाने होते हैं। / From it, both (p) and (q) must be shown even.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is not complete without writing the coprime contradiction.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन सा तर्क सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which reasoning is correct?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) विषम है / \(q^2\) is even, so (q) is odd
C \(q^2=2k^2\) से \(q=2k^2\) / From \(q^2=2k^2\), \(q=2k^2\)
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं और विरोधाभास बनता है। / Then both (p) and (q) are even and contradiction occurs.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत निष्कर्ष है?
Which option is a wrong conclusion in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#error spotting
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2k) इसलिए \(p^2=4k^2\) / (p=2k), so \(p^2=4k^2\)
D \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q) / \(p^2=2q^2\), so (p=2q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q) / \(p^2=2q^2\), so (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से केवल \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष आता है। / From \(p^2=2q^2\), we only conclude that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p) सम है और (p=2k) लिखा जाता है। / Then (p) is even and (p=2k) is written.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना बीजगणितीय गलती है। / Writing (p=2q) directly is an algebraic mistake.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद \(p^2=2q^2\) से कौन सा समीकरण मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2k), which equation follows from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#substitution
#algebra
#class 10
A \(2k^2=2q^2\)
B \(4k^2=2q^2\)
C \(k^2=2q^2\)
D \(p^2=4q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(4k^2=2q^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) होने पर (p-2 =(2k)2 =4k-2 )। / If (p=2k), then (p-2 =(2k)2 =4k-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
((2k)2 ) को \(2k^2\) लिखना सामान्य गलती है। / Writing ((2k)2 ) as \(2k^2\) is a common mistake.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा गया है। यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(p^2=2q^2\) से सही अगला निष्कर्ष कौन सा है?
\(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\). If (p) and (q) are coprime, what is the correct next conclusion from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#even square
#class 10
A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B \(q^2\) सम है / \(q^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। / So \(p^2\) is even and then (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की। / In proofs, first write divisibility of the square, then of the number.
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किस स्थिति में \(\sqrt{2}\) की परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाती है?
In which situation is the rational assumption for \(\sqrt{2}\) proved false?
#sqrt2 proof
#false assumption
#class 10
A जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों / When (p) and (q) in lowest form are both proved even
B जब (p) और (q) पूर्णांक हों / When (p) and (q) are integers
C जब \(q\neq 0\) हो / When \(q\neq 0\)
D जब \(\sqrt{2}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों / When (p) and (q) in lowest form are both proved even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम सिद्ध होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are proved even, both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यह असंभव है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / This is impossible, so the rational assumption is false.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद गलत सरलीकरण है?
Which statement is a wrong simplification after putting (p=2k) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong simplification
#class 10
A \(p^2=4k^2\)
B \(4k^2=2q^2\)
C \(q^2=2k^2\)
D \(p^2=2k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(p^2=2k^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) है तो (p-2 =(2k)2 )। / If (p=2k), then (p-2 =(2k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसका सही मान \(4k^2\) है, \(2k^2\) नहीं। / Its correct value is \(4k^2\), not \(2k^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करते समय गुणांक का भी वर्ग करें। / Square the coefficient while squaring.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में परिमेय संख्या की परिभाषा का सही उपयोग है?
Which option is the correct use of the definition of rational number in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#rational definition
#sqrt2 proof
#class 10
A \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\) / \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
B \(\sqrt{2}=p+q\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं / \(\sqrt{2}=p+q\), where (p), (q) are integers
C \(\sqrt{2}=pq\), जहां (p), (q) धनात्मक हैं / \(\sqrt{2}=pq\), where (p), (q) are positive
D \(\sqrt{2}=0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\) / \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(q\neq 0\) जरूरी है। / The denominator cannot be zero, so \(q\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य भी लिए जाते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are also taken coprime.
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एक प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से (p=2r) और फिर (q=2s) मिला। यह कौन सा विरोधाभास देता है?
In a proof, from \(p^2=2q^2\), we get (p=2r) and then (q=2s). What contradiction does this give?
#sqrt2 contradiction
#proof reasoning
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
B (p) और (q) पूर्णांक नहीं हैं / (p) and (q) are not integers
C \(\sqrt{2}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{2}\) is negative
D (q=0) है / (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
Step 1
Concept
(p=2r) और (q=2s) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2r) and (q=2s) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
जबकि शुरुआत में उन्हें सहअभाज्य माना गया था, यही विरोधाभास है। / But they were assumed coprime at the start, which is the contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(q\neq 0\) की जरूरत को सही बताता है?
Which statement correctly explains why \(q\neq 0\) is needed in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#denominator
#rational form
#sqrt2
#class 10
A भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
B (q) हमेशा (2) होना चाहिए / (q) must always be (2)
C (q) हमेशा सम होना चाहिए / (q) must always be even
D (q) अपरिमेय होना चाहिए / (q) must be irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है। / Therefore \(q\neq 0\) must be written.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के दोनों सम होने पर भिन्न \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, what can be said about the fraction \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt2 proof
#fraction lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (1) है / It is necessarily (1)
C यह हर हाल में पूर्णांक है / It is always an integer
D यह शून्य है / It is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / Both even means numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / So it cannot be in lowest form.
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एक छात्र \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में लिखता है कि \(p^2\) सम है इसलिए (p) सम है। यह कदम क्यों सही है?
A student writes in the proof of \(\sqrt{2}\) that \(p^2\) is even so (p) is even. Why is this step correct?
#even square
#logical reasoning
#sqrt2
#class 10
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या सम होती है / Because every number is even
C क्योंकि (p=q) है / Because (p=q)
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस तरह (p) सम होना तय है। / Thus (p) must be even.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में अंतर को सही दिखाता है?
Which option correctly shows a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं मिलता / No common factor is found in either
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (5) is found; in \(\sqrt{5}\), (2) is found
D दोनों में (q=0) मिलता है / In both, (q=0) is found
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संख्या (2) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में संख्या (5) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), (5) is the key factor.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग प्रमाणों में मूल के अंदर की संख्या पर ध्यान दें। / Pay attention to the number under the root in each proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के सहअभाज्य होने की शर्त का सही अर्थ देता है?
Which option gives the correct meaning of the coprime condition for (p) and (q) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#coprime meaning
#sqrt2 proof
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
B (p) और (q) दोनों सम हैं / Both (p) and (q) are even
C (p=q) है / (p=q)
D (p) और (q) दोनों (2) हैं / Both (p) and (q) are (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य का अर्थ है कि दो संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Coprime means two numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों सम मिलना इस अर्थ को तोड़ता है। / So finding both even breaks this meaning.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा साफ समझने से प्रमाण सरल होता है। / Understanding the definition makes the proof easier.
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने से अंत में (q=2s) मिले, तो प्रमाण में यह क्यों महत्वपूर्ण है?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational finally gives (q=2s), why is this important in the proof?
#sqrt2 proof
#q even
#class 10
A क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
B क्योंकि इससे (q=0) सिद्ध होता है / Because it proves (q=0)
C क्योंकि इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / Because it proves \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि इससे (p=q) सिद्ध होता है / Because it proves (p=q)
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Correct Answer
A. क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) सम सिद्ध किया जाता है। / First (p) is proved even in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q=2s) मिल गया, तो (q) भी सम है। / If (q=2s), then (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने से (2) साझा गुणनखंड मिलता है और विरोधाभास बनता है। / Both even gives common factor (2) and creates a contradiction.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) और (p), (q) सहअभाज्य हैं, तो (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होना किससे टकराता है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and (p), (q) are coprime, proving both (p) and (q) even contradicts what?
#sqrt2 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) के सहअभाज्य होने से / The coprime nature of (p) and (q)
B \(q\neq 0\) से / \(q\neq 0\)
C \(\sqrt{2}\) के धनात्मक होने से / The positivity of \(\sqrt{2}\)
D (p) और (q) के पूर्णांक होने से / (p) and (q) being integers
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Correct Answer
A. (p) और (q) के सहअभाज्य होने से / The coprime nature of (p) and (q)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है। / Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सीधे सहअभाज्य होने से टकराता है। / Therefore it directly contradicts their being coprime.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो (p) और (q) के बारे में कौन सा निष्कर्ष बनेगा?
In proving \(\sqrt{2}\), if (q) is also proved even, what conclusion follows about (p) and (q)?
#sqrt2 proof
#even
#coprime
#class 10
A दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
B दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
C दोनों बराबर हैं / Both are equal
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
पहले (p) सम सिद्ध होता है। / First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। / If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / Common factor (2) breaks the coprime condition.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में (p) और (q) दोनों सम मिलने से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(\sqrt{2}\) were rational, what conclusion follows if both (p) and (q) are found even in lowest form \(\frac{p}{q}\)?
#lowest form
#sqrt2
#contradiction
#class 10
A सरलतम रूप की मान्यता टूटती है / The lowest form assumption breaks
B भिन्न और सरल नहीं हो सकती / The fraction cannot be reduced further
C \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / \(\sqrt{2}=2\) is proved
D (p) और (q) सहअभाज्य ही रहेंगे / (p) and (q) remain coprime
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Correct Answer
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है / The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है। / Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही संक्षिप्त ढांचा देता है?
Which option gives the correct short structure of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof structure
#class 10
A परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
B वर्ग करें, दशमलव निकालें, उत्तर याद करें / Square, find decimal, memorize answer
C पूर्ण वर्ग मानें, हर शून्य करें, निष्कर्ष लें / Assume perfect square, make denominator zero, conclude
D परिमेय मानें, (p=q) लिखें, प्रमाण पूरा करें / Assume rational, write (p=q), finish proof
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Correct Answer
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। / Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both even contradict the coprime condition.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत कदम है?
Which statement is a wrong step in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#common mistake
#sqrt2 proof
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) / If (p=2r), then \(p^2=4r^2\)
D \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
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Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष निकलता है। / From \(p^2=2q^2\), we conclude \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) सम है, लेकिन सीधे (p=2q) नहीं लिख सकते। / This gives (p) even, but not directly (p=2q).
Step 3
Exam Tip
सही रूप (p=2r) होता है, जहां (r) पूर्णांक है। / The correct form is (p=2r), where (r) is an integer.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2r) रखने पर \(p^2=2q^2\) किस रूप में बदलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2r), how does \(p^2=2q^2\) change?
#sqrt2 proof
#substitution
#algebra
#class 10
A \(2r^2=2q^2\)
B \(4r^2=2q^2\)
C \(p^2=4q^2\)
D \(r^2=q^2\)
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Correct Answer
B. \(4r^2=2q^2\)
Step 1
Concept
(p=2r) है, इसलिए (p-2 =(2r)2 =4r-2 )। / Since (p=2r), (p-2 =(2r)2 =4r-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(4r^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें। / Do not forget to square the coefficient.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में माना जाए, तो \(p^2=2q^2\) से पहले कौन सा निष्कर्ष लेना चाहिए?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, what should be concluded first from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#real numbers
#class 10
A (q) सम है / (q) is even
B \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
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Correct Answer
B. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has a factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सबसे पहले \(p^2\) को सम कहा जाता है, फिर (p) सम निकाला जाता है। / So first we say \(p^2\) is even, then conclude (p) is even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में निष्कर्षों का क्रम सही रखना जरूरी है। / Keep the order of conclusions correct in the proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सहअभाज्य शर्त टूटने को सही दिखाता है?
Which option correctly shows the breaking of the coprime condition in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime condition
#class 10
A (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (p) और (q) पूर्णांक होना / (p) and (q) being integers
D \(q\neq 0\) होना / \(q\neq 0\)
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Correct Answer
A. (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) और (q=2n) का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (2) उनका साझा गुणनखंड बन जाता है। / Then (2) becomes their common factor.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / A lowest-form fraction should not have such a common factor.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=2k^2\) मिल जाए, तो (q) के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(q^2=2k^2\) is obtained, what conclusion follows about (q)?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#class 10
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
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Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है। / So (q) is even, which helps form the contradiction.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (2)?
#sqrt2 proof
#divisible by 2
#class 10
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) की परिमेयता में / In the rationality of \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य यानी सम मिलते हैं। / This makes both (p) and (q) divisible by (2), that is even.
Step 3
Exam Tip
(2) वाला साझा गुणनखंड विरोधाभास बनाता है। / The common factor (2) creates the contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का सही क्रम बताता है?
Which option gives the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#proof order
#sqrt2
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, दोनों सम मिलना, विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradiction
B दोनों सम मानना, फिर वर्गमूल निकालना / Assume both even, then find square root
C पहले दशमलव लिखना, फिर उत्तर मानना / Write decimal first, then assume answer
D पहले \(\sqrt{2}=2\) लिखना / First write \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, दोनों सम मिलना, विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradiction
Step 1
Concept
पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / First assume \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने के बाद (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / After squaring, both (p) and (q) are found even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both being even contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) सम मिलने के बाद (p=2k) में (k) कैसा होता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after (p) is found even, what type of number is (k) in (p=2k)?
#integer
#even form
#sqrt2
#class 10
A पूर्णांक / Integer
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C वर्गमूल / Square root
D ऋणात्मक ही / Necessarily negative
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Correct Answer
A. पूर्णांक / Integer
Step 1
Concept
सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। / An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। / Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
(k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है। / Mentioning the type of (k) makes the proof clear.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का सही छोटा कारण है?
Which option is the correct short reason for the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 short reason
#irrationality
#class 10
A परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
B क्योंकि (2) ऋणात्मक है / Because (2) is negative
C क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) है / Because \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Because every square root is an integer
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Correct Answer
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों सम मिलते हैं। / The proof gives both numerator and denominator even.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोध करता है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This contradicts lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य लिखने का मुख्य कारण क्या है?
What is the main reason for writing (p) and (q) coprime in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
A क्योंकि वे दोनों (2) हैं / Because both are (2)
B क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
C क्योंकि वे दोनों शून्य हैं / Because both are zero
D क्योंकि वे दोनों अपरिमेय हैं / Because both are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न के रूप में लिया जाता है। / A rational number is taken as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Finding a common factor later contradicts this condition.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में अंत में कौन सी बात सिद्ध होती है?
What is proved at the end in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 conclusion
#irrationality
#class 10
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
B \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
C \(\sqrt{2}=2\)
D \(\sqrt{2}=0\)
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Correct Answer
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the initial assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय हो, तो उसे किस रूप में लिखा जा सकता है?
If \(\sqrt{2}\) is rational, in which form can it be written?
#rational number definition
#sqrt2
#class 10
A दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
B केवल पूर्णांक के रूप में / Only as an integer
C केवल ऋणात्मक संख्या के रूप में / Only as a negative number
D केवल शून्य के रूप में / Only as zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। / So assuming \(\sqrt{2}\) rational, we write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा से प्रमाण की शुरुआत करें। / Start the proof from the definition.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(4k^2=2q^2\) से क्या मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), what follows from \(4k^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#simplification
#class 10
A \(q^2=2k^2\)
B \(q^2=4k^2\)
C (q=k)
D (q=2)
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Correct Answer
A. \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
\(4k^2=2q^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। / Divide both sides of \(4k^2=2q^2\) by (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। / We get \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
यही आगे (q) के सम होने का संकेत देता है। / This indicates that (q) is even later.
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