A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना/Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
Contradiction occurs only when both have common factor (2). चरण 1: केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। चरण 2: (a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले।
A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना/Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(a=2b) does not directly follow from \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(a^2\) is even and (a) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not hastily make a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(a^2\) सम है और (a) सम है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न बनाएं।
This goes against the lowest-form condition. चरण 1: (a=2m) और (b=2n) से दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए (\gcd(a,b)) (1) नहीं हो सकता। चरण 3: यह सरलतम रूप की शर्त के विरुद्ध है।
An even integer is written as (2k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Clearly mentioning the type of the new variable strengthens the proof. चरण 1: (a) पूर्णांक है और सम सिद्ध हुआ है। चरण 2: सम पूर्णांक को (2k) के रूप में लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक होता है। चरण 3: नए अक्षर का प्रकार स्पष्ट लिखना प्रमाण को मजबूत बनाता है।
A. परिमेय मान्यता गलत है/The rational assumption is false
Step 1
Concept
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was assumed in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it can be reduced, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप माना गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखाता है कि यह घट सकती है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है/First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\), then (a), is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
To prove (b) even, (a=2k) must be substituted.
Step 3
Exam Tip
Jumping directly to (b) is an order error. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से तुरंत \(a^2\) और फिर (a) सम मिलता है। चरण 2: (b) को सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) रखना पड़ता है। चरण 3: सीधे (b) पर जाना प्रमाण की क्रम-गलती है।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
Step 1
Concept
(a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in numerator and denominator.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: (a=2m) और (b=2n) से अंश और हर दोनों में (2) साझा है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप के विरुद्ध है।
But to complete the proof, (b) must also be proved even.
Step 3
Exam Tip
Only when both are even does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से (a) सम सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (b) भी सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: दोनों सम मिलने पर ही सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है/(\gcd(a,b)) is at least (2)
Step 1
Concept
(a=2k) and (b=2r) show both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
This breaks the initial coprime condition. चरण 1: (a=2k) और (b=2r) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की आरंभिक शर्त को तोड़ता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is the correct final contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही सही अंतिम विरोधाभास है।
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Only then can (b) be proved even. चरण 1: (a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। चरण 2: (a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है।
From \(4r^2=2b^2\), dividing by (2) gives \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This becomes the basis for proving (b) even. चरण 1: (a=2r) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2b^2\) से (2) से भाग करने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (b) के सम होने का आधार मिलता है।
So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Do not change the order of conclusions in exams. चरण 1: \(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। चरण 3: परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें।
If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted. चरण 1: दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है।
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Both being even breaks the lowest-form condition. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
B. (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है/(p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
Step 1
Concept
(p) being even may be true, but the reason is not the positivity of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct reason is that \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even.
Step 3
Exam Tip
In proof writing, a true statement must have the correct reason. चरण 1: (p) का सम होना सही हो सकता है, पर इसका कारण \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना नहीं है। चरण 2: सही कारण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलना है। चरण 3: प्रमाण में सही कथन के साथ सही कारण भी जरूरी है।
If (p=2k) and (q=2r), both numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{2k}{2r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
This shows \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form. चरण 1: (p=2k) और (q=2r) होने पर अंश और हर में (2) साझा है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2k}{2r}\) को (2) से घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: यह दिखाता है कि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था।
A. (p) सम है, इसलिए (q) भी बिना किसी प्रतिस्थापन के सम है/(p) is even, so (q) is also even without any substitution
Step 1
Concept
(p) being even does not automatically make (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
To prove (q) even, (p=2k) must be substituted in the original equation.
Step 3
Exam Tip
Writing conclusions without support weakens the proof. चरण 1: (p) सम होने से अपने आप (q) सम नहीं होता। चरण 2: (q) को सम सिद्ध करने के लिए (p=2k) को मूल समीकरण में रखना पड़ता है। चरण 3: बिना आधार के निष्कर्ष लिखना प्रमाण को कमजोर बनाता है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it is not in lowest form, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखा दे कि वह सरलतम रूप में नहीं है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Only then a contradiction arises through common factor (2). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। चरण 3: तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा।
A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है/After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
Step 1
Concept
First (p) is proved even from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: पहले \(p^2=2q^2\) से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the clear and correct contradiction. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: यही साफ और सही विरोधाभास है।
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है/This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Skipping order is considered an error in proof writing. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है।
From \(4r^2=2q^2\), dividing both sides by (2) gives \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2q^2\) से दोनों ओर (2) से भाग करने पर \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/\(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not directly write (p=2q); first use divisibility. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। चरण 3: सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है/\(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Finding (2) in both shows the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial lowest-form statement becomes false. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों में (2) मिलना बताता है कि भिन्न और घट सकती है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की आरंभिक बात गलत सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This final reason proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही अंतिम कारण \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है/First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Skipping the order makes the proof weak. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
(p=2k) and (q=2r) mean numerator and denominator are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: (p=2k) और (q=2r) से अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है।
A. इससे (q) भी सम सिद्ध होता है/It proves (q) is also even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
(p) was already even and (q) is also even, creating contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक सम होता है। चरण 3: (p) पहले सम था और (q) भी सम मिला, यही विरोधाभास बनाता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना/Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
Finding both even contradicts the coprime condition. चरण 1: विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। चरण 3: दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b)/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
This gives (a) even, but not directly (a=2b).
Step 3
Exam Tip
The correct step is to write (a=2k). चरण 1: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। चरण 2: इससे (a) सम है, लेकिन सीधे (a=2b) नहीं मिलता। चरण 3: सही कदम (a=2k) लिखना है।
If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
Therefore we write (a=2k), where (k) is an integer. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (a=2k) लिखते हैं, जहां (k) पूर्णांक है।
In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए/We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Then by rule (q) is even and can be written as (q=2r).
Step 3
Exam Tip
Directly writing (q=2k) is a careless step. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर नियम से (q) सम कहा जाता है और (q=2r) लिखा जा सकता है। चरण 3: सीधे (q=2k) लिखना सावधानी के बिना किया गया कदम है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Both have common factor (2), so they cannot be coprime. चरण 1: (p=2k) का अर्थ है (p) सम है। चरण 2: (q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। चरण 3: दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced further by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों सम होने पर अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (2) से और घटाया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है।
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है/From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
Complete the proof up to contradiction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। चरण 2: पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। चरण 3: प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें।
A. यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है/It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), factor (2) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
Later factor (2) also appears in (q).
Step 3
Exam Tip
Common factor (2) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से पहले (p) में (2) का गुणनखंड आता है। चरण 2: बाद में (q) में भी (2) का गुणनखंड मिलता है। चरण 3: दोनों में (2) साझा होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
This proves \(b^2\) and then (b) are even. चरण 1: (a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) होगा। चरण 2: \(4k^2=2b^2\) से \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(b^2\) सम और (b) सम सिद्ध होता है।
A. \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है/\(q^2\) is even, so (q) is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If a square is even, the original integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Then both (p) and (q) are even and contradiction occurs. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं और विरोधाभास बनता है।
D. \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q)/\(p^2=2q^2\), so (p=2q)
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we only conclude that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Then (p) is even and (p=2k) is written.
Step 3
Exam Tip
Writing (p=2q) directly is an algebraic mistake. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से केवल \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष आता है। चरण 2: फिर (p) सम है और (p=2k) लिखा जाता है। चरण 3: सीधे (p=2q) लिखना बीजगणितीय गलती है।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) होने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना सामान्य गलती है।
In proofs, first write divisibility of the square, then of the number. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। चरण 3: प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की।
A. जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों/When (p) and (q) in lowest form are both proved even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are proved even, both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is impossible, so the rational assumption is false. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: दोनों सम सिद्ध होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: यह असंभव है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
Square the coefficient while squaring. चरण 1: (p=2k) है तो (p-2=(2k)2)। चरण 2: इसका सही मान \(4k^2\) है, \(2k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय गुणांक का भी वर्ग करें।
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\)/\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, so \(q\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
In lowest form, (p) and (q) are also taken coprime. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(q\neq 0\) जरूरी है। चरण 3: सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य भी लिए जाते हैं।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
Both even means numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
So it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है/The only common factor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
Coprime means two numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
So finding both even breaks this meaning.
Step 3
Exam Tip
Understanding the definition makes the proof easier. चरण 1: सहअभाज्य का अर्थ है कि दो संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। चरण 2: इसलिए दोनों सम मिलना इस अर्थ को तोड़ता है। चरण 3: परिभाषा साफ समझने से प्रमाण सरल होता है।
A. क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था/Because it proves (q) even and (p) was already even
Step 1
Concept
First (p) is proved even in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
If (q=2s), then (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Both even gives common factor (2) and creates a contradiction. चरण 1: प्रमाण में पहले (p) सम सिद्ध किया जाता है। चरण 2: यदि (q=2s) मिल गया, तो (q) भी सम है। चरण 3: दोनों सम होने से (2) साझा गुणनखंड मिलता है और विरोधाभास बनता है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Common factor (2) breaks the coprime condition. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। चरण 3: साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास/Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
D. \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q)/From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we conclude \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
This gives (p) even, but not directly (p=2q).
Step 3
Exam Tip
The correct form is (p=2r), where (r) is an integer. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष निकलता है। चरण 2: इससे (p) सम है, लेकिन सीधे (p=2q) नहीं लिख सकते। चरण 3: सही रूप (p=2r) होता है, जहां (r) पूर्णांक है।
Do not forget to square the coefficient. चरण 1: (p=2r) है, इसलिए (p-2=(2r)2=4r-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें।
So first we say \(p^2\) is even, then conclude (p) is even.
Step 3
Exam Tip
Keep the order of conclusions correct in the proof. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। चरण 2: इसलिए सबसे पहले \(p^2\) को सम कहा जाता है, फिर (p) सम निकाला जाता है। चरण 3: प्रमाण में निष्कर्षों का क्रम सही रखना जरूरी है।
A. (p=2m) और (q=2n) मिलना/Getting (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then (2) becomes their common factor.
Step 3
Exam Tip
A lowest-form fraction should not have such a common factor. चरण 1: (p=2m) और (q=2n) का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब (2) उनका साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
So (q) is even, which helps form the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में/In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) divisible by (2), that is even.
Step 3
Exam Tip
The common factor (2) creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य यानी सम मिलते हैं। चरण 3: (2) वाला साझा गुणनखंड विरोधाभास बनाता है।
B. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है/Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is taken as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न के रूप में लिया जाता है। चरण 2: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
This indicates that (q) is even later. चरण 1: \(4k^2=2q^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। चरण 2: \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: यही आगे (q) के सम होने का संकेत देता है।
From \(p^2=2q^2\), we get only that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Then by rule, (p) is even and can be written as (p=2k).
Step 3
Exam Tip
Writing (p=2q) directly from it is wrong. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) सम है। चरण 2: फिर नियम से (p) सम है और (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: इससे सीधे (p=2q) लिखना गलत है।
A. क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) होता है/Because \(\sqrt{2}=2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\) is false because \(2^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct proof uses \(a^2=2b^2\) to get evenness and contradiction.
Step 3
Exam Tip
Avoid writing false equalities. चरण 1: \(\sqrt{2}=2\) गलत है क्योंकि \(2^2=4\) होता है। चरण 2: सही प्रमाण में \(a^2=2b^2\) से समता और विरोधाभास मिलता है। चरण 3: गलत बराबरी लिखने से बचें।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में/In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So the factor (2) plays the main role.
Step 3
Exam Tip
The number under the square root appears as the key factor in the proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए (2) का गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है। चरण 3: जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही गुणनखंड प्रमाण में आता है।
In such steps, divide both sides by the same number. चरण 1: \(4k^2=2b^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। चरण 2: इससे \(2k^2=b^2\), अर्थात \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: ऐसे चरण में दोनों ओर समान संख्या से भाग करें।
A. यदि किसी संख्या का वर्ग सम है, तो संख्या सम है/If the square of a number is even, the number is even
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
By the rule, (a) is even, and later (b) is also even.
Step 3
Exam Tip
Understanding this rule clearly is important. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। चरण 2: नियम से (a) सम मिलता है और आगे (b) भी सम मिलता है। चरण 3: इस नियम को स्पष्ट रूप से समझना जरूरी है।
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में/As a ratio of two integers
Step 1
Concept
A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
So after assuming rationality, we write \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
The definition of rationality starts the proof. चरण 1: परिमेय संख्या की पहचान है कि वह दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सके। चरण 2: इसलिए परिमेय मानते ही \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। चरण 3: परिमेयता की परिभाषा प्रमाण की शुरुआत बनती है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
So in (a=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
It is good to mention the type of (k) in such forms. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (a=2k) में (k) पूर्णांक होता है। चरण 3: ऐसे रूपों में (k) का प्रकार साफ लिखना अच्छा होता है।
A. क्योंकि तब दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because then both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (a) and (b) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है।
Do not forget to square the coefficient also. चरण 1: (a=2k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (a-2=(2k)2=4k-2) मिलता है। चरण 3: गुणांक का भी वर्ग करना न भूलें।
So \(a^2\) has factor (2) and is divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Use the factor to decide divisibility. चरण 1: समीकरण में दाईं ओर \(2b^2\) है। चरण 2: इसलिए \(a^2\) में (2) गुणनखंड है और वह (2) से विभाज्य है। चरण 3: गुणनखंड देखकर विभाज्यता का निष्कर्ष लें।
In exams, do not skip the squaring step. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानते हैं। चरण 2: वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करते हैं। चरण 3: परीक्षा में वर्ग करने का चरण छोड़े बिना लिखें।
A. ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे/So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 3
Exam Tip
Later, finding both even creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के सबसे सरल रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 3: बाद में दोनों सम मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
The common factor (2) creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समीकरण \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: (2) वाला साझा गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) है। चरण 2: दोनों ओर वर्ग करने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना आम गलती है।
Saying (p=q) from this equation is a wrong step. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर (p) सम और (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: इस समीकरण से (p=q) कहना गलत कदम है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers do not have a common factor other than (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता।
