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यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें। / If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है। / \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है। / In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है। / \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
\(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। / It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Recurring decimals are rational.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। / \(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें। / Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal.
\(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। / It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है। / Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring.
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। / \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए। / First form a denominator with (9)'s according to the repeating block, then reduce.
A. सांत होगा और अधिकतम (3) दशमलव स्थान होंगे/It will terminate and have at most (3) decimal places
Step 1
Concept
सरलतम रूप में हर केवल (2) और (5) के घातों से बना है। / In lowest form, the denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात, यानी (3), तक हो सकती है। / So the decimal expansion is terminating. The number of decimal places can be up to the larger exponent, (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना न भूलें। / In exams, always reduce the fraction first.
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। / A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। / Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator.
\(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। / A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें। / Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational.
परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। / A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। / Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है। / Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers.
\(0.727272\ldots\) में (72) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.727272\ldots\), the block (72) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
बार-बार आने वाला दशमलव परिमेय होता है। / A repeating decimal is rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: केवल लंबा दशमलव नहीं, दोहराव का नियम पहचानें। / Exam tip: Do not only see that a decimal is long; check whether a fixed pattern repeats.
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। / Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है। / Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। / So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए। / Do not call a rational number non-terminating non-recurring.
ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। / The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / \(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें। / Check the denominator in lowest form, not the sign.
\(-\frac{17}{200}\) में ऋण चिह्न केवल मान को ऋणात्मक बनाता है। / The negative sign in \(-\frac{17}{200}\) only makes the value negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(200=2^3\times5^2\) है, इसलिए भाजक में केवल (2) और (5) हैं और दशमलव समाप्त होगा। / Since \(200=2^3\times5^2\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
प्रकार तय करते समय ऋण चिह्न को नहीं, सरल रूप के भाजक को देखें। / To decide the decimal type, check the denominator in lowest form, not the negative sign.
भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। / The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें। / In exams, first check the prime factors of the simplified denominator.
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। / If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है। / The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational.
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। / The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। / For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता। / Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root.
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। / Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं। / Such rules can also be checked by reverse reasoning.
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
A. (m) पूर्ण वर्ग होना चाहिए/(m) must be a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। यह जड़ों की प्रकृति का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. This is the key rule for roots.
\(400=20^2\) पूर्ण वर्ग है इसलिए \(\sqrt{400}\) परिमेय है। बाकी विकल्प पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / \(400=20^2\) is a perfect square so \(\sqrt{400}\) is rational. The other options are not perfect squares.
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। इस नियम को सीधे लागू करें। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. Apply this rule directly.
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। यह सीधा परीक्षा नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. This is a direct exam rule.
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। यह MCQ में सीधा नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. This is a direct MCQ rule.
\(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। / \(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें। / Break composite factors into primes first.
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। / This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा। / (2) or (5) may also be present, but some other prime must remain.
आवर्ती भाग (142857) में (6) अंक हैं। / The repeating block (142857) has (6) digits.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण आवर्ती दशमलव के लिए सरल करने से पहले हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं। इसलिए हर (999999) होगा। / For a purely recurring decimal, before reducing, the denominator has the same number of (9)'s. So it is (999999).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती अंकों की संख्या सीधे (9) की संख्या बताती है। / The number of repeating digits tells the number of (9)'s.
सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। / The reduced denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। (r>s) होने पर बड़ी घात (r) है। / The number of decimal places equals the larger exponent. Since (r>s), the larger exponent is (r).
Step 3
Exam Tip
दशमलव स्थान के लिए हमेशा (\max(r,s)) याद रखें। / Remember (\max(r,s)) for decimal places.
मान लें \(x=0.12333\ldots\)। / Let \(x=0.12333\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(100x=12.333\ldots\) और \(1000x=123.333\ldots\)। घटाने पर (900x=111), इसलिए \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\)। / Then \(100x=12.333\ldots\) and \(1000x=123.333\ldots\). Subtracting gives (900x=111), so \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\).
Step 3
Exam Tip
सांत और आवर्ती भाग अलग-अलग देखकर गुणा करें। / Separate the non-repeating and repeating parts before multiplying.
A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा/It terminates exactly after (4) decimal places
Step 1
Concept
\(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। / \(2^4\cdot 5^4=10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। / A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें। / If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places.
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। / \(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। / Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें। / The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first.
(0.75) समाप्त दशमलव है और \(0.\overline{3}\), \(5.2\overline{4}\) आवर्ती हैं। / (0.75) is terminating, while \(0.\overline{3}\) and \(5.2\overline{4}\) are recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.10110111011110\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं दिखता। / \(2.10110111011110\ldots\) has no fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या नहीं दर्शाता। / A non-terminating non-recurring decimal does not represent a rational number.
B. असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(45=3^2\times5\) है। / \(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर में (3) भी है, इसलिए यह (2) और (5) तक सीमित नहीं है। / The denominator also has (3), so it is not made only of (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य रूप में हर में अन्य अभाज्य आने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है। / If any other prime remains in the reduced denominator, the decimal expansion is non-terminating recurring.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। / In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। / Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें। / In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
शून्यक (t) और (4t) मानें, तो \(4t^2=36\) से (t=3) है। योग (15) है, इसलिए (k=15)। / Let the zeroes be (t) and (4t), then \(4t^2=36\) gives (t=3). The sum is (15), so (k=15).
\(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\) है। गैर शून्य परिमेय से अपरिमेय को गुणा करने पर संख्या अपरिमेय रहती है। / \(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\). Multiplying an irrational number by a non zero rational keeps it irrational.
सरलतम हर से \(7^3\) और (11) हटने चाहिए इसलिए \(n=7^3\cdot 11=3773\) होगा। न्यूनतम मान में (2) और (5) को काटना जरूरी नहीं है। / The factors \(7^3\) and (11) must be removed from the reduced denominator, so \(n=7^3\cdot 11=3773\). For the least value, do not cancel (2) and (5).
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(17^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=2601) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें। / For termination, \(3^2\) and \(17^2\) must cancel completely, so (n=2601). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(7^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=441) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें। / For termination, \(3^2\) and \(7^2\) must cancel completely, so (n=441). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें। / For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) रहने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
हर में \(3^3\) और (11) हटाने होंगे, इसलिए \(n=3^3\cdot 11=297\) न्यूनतम है। / The factors \(3^3\) and (11) must be cancelled, so the least (n) is \(3^3\cdot 11=297\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा मान पूछे तो केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटिए। / For the smallest value, cancel only the unwanted prime factors.
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। / The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए। / When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors.
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The square root of a prime number is usually irrational.
यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है, जबकि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो (b) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही हो सकता है?
(a) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है। / Since (a) is not a perfect square, \(\sqrt{a}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
दो धनात्मक वर्गमूलों का योग परिमेय तभी हो सकता है जब अपरिमेय भाग कटे, पर यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं इसलिए कटना संभव नहीं है। / A sum of two positive square roots could become rational only if irrational parts cancel, but both terms are positive here.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक मूलों के योग में विपरीत चिह्न न होने पर अपरिमेय भाग बचता है। / Without opposite signs, irrational surd parts remain in the sum.
B. \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है क्योंकि (72) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(\sqrt{72}\) is irrational because (72) is not a perfect square
Step 1
Concept
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(72) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है। / (72) is not a perfect square, so \(\sqrt{72}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
सम संख्या होना वर्गमूल को परिमेय नहीं बनाता। / Being even does not make a square root rational.
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational when that integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{mn}\) परिमेय होने के लिए (mn) का पूर्ण वर्ग होना पर्याप्त है। / Hence (mn) being a perfect square is sufficient for \(\sqrt{mn}\) to be rational.
Step 3
Exam Tip
योग या अंतर की समता से वर्गमूल की प्रकृति तय नहीं होती। / Parity of the sum or difference does not decide the nature of the square root.
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे (25) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example, (25) is a perfect square and \(\sqrt{25}=5\) is rational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले प्रश्नों में पूर्ण वर्ग की पहचान सबसे पहले करें। / In square-root questions, identify perfect squares first.
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=9\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=20\) है। इसलिए दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=9\) and the product is \(\frac{c}{a}=20\). So both are positive.
\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so it is rational. Repeating decimals are always rational.
विकल्प (A) में (D=(-17)2-4(1)(72)=1) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / In option (A), (D=(-17)2-4(1)(72)=1). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
पहले समीकरण में (D=(-9)2-4(1)(20)=1) है। इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न हैं। / In the first equation (D=(-9)2-4(1)(20)=1). Hence the roots are real, rational and distinct.
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें। / (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें। / \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें। / (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)/Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं। / With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है। / With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
दूसरा शून्यक \(2-\sqrt{13}\) होगा, इसलिए योग (4) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक (-4) होगा। / The other zero will be \(2-\sqrt{13}\), so the sum is (4). In a monic polynomial, the coefficient of (x) will be (-4).
दूसरा शून्यक \(-\sqrt{7}\) होगा, इसलिए योग (0) और (a=-0=0) है। परिमेय गुणांक में संयुग्मी शून्यक लेना जरूरी है। / The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है। / In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा/The other zero will be \(-\sqrt{13}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है। / For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है। / For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
\(x^2-6x+7\) में (D=36-28=8) है। गुणांक परिमेय हैं और शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे। / For \(x^2-6x+7\), (D=36-28=8). The coefficients are rational and the zeroes are \(3\pm\sqrt{2}\).
(r=3) पर (D=16-12=4) है, जो पूर्ण वर्ग है। इसलिए शून्यक परिमेय हैं। / For (r=3), (D=16-12=4), which is a perfect square. Therefore the zeroes are rational.
दूसरा शून्यक \(4-\sqrt{11}\) होगा। योग (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8) है। / The other zero will be \(4-\sqrt{11}\). The sum is (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8).
\(\sqrt{99}\) लगभग (9.95) है और \(\sqrt{100}=10\) है। (9.98) इनके बीच की परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{99}\) is about (9.95) and \(\sqrt{100}=10\). (9.98) is a rational number between them.
\(\sqrt{50}\approx7.07\) और \(\sqrt{72}\approx8.49\), इसलिए (8) इनके बीच है। (8) परिमेय है। / \(\sqrt{50}\approx7.07\) and \(\sqrt{72}\approx8.49\), so (8) lies between them. (8) is rational.
\(\sqrt{225}=15\) परिमेय है इसलिए \(12-\sqrt{225}\) परिमेय होगा। पूर्ण वर्ग की जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{225}=15\) is rational so \(12-\sqrt{225}\) will be rational. The root of a perfect square is rational.
\(\frac{25}{4}=6.25\) है जो (6) और (7) के बीच है। भिन्न रूप परिमेयता बताता है। / \(\frac{25}{4}=6.25\), which lies between (6) and (7). Fraction form shows rationality.
\(\sqrt{121}=11\) परिमेय है इसलिए \(5+\sqrt{121}\) परिमेय होगा। पूर्ण वर्ग वाली जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{121}=11\) is rational so \(5+\sqrt{121}\) will be rational. The root of a perfect square is rational.
\(\sqrt{100}=10\) परिमेय है इसलिए \(9-\sqrt{100}\) परिमेय होगा। पूर्ण वर्ग वाली जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{100}=10\) is rational so \(9-\sqrt{100}\) will be rational. The root of a perfect square is rational.
\(\frac{15}{2}=7.5\) है जो (7) और (8) के बीच है। भिन्न रूप परिमेयता बताता है। / \(\frac{15}{2}=7.5\), which lies between (7) and (8). Fraction form shows rationality.
(0.125) सांत है और \(\sqrt{169}=13\) है। पहले विकल्प की सभी संख्याएँ परिमेय हैं। / (0.125) is terminating and \(\sqrt{169}=13\). All numbers in the first option are rational.
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
पहले समूह की सभी संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखी जा सकती हैं। बाकी समूहों में अपरिमेय संख्या है। / All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
\(\frac{3}{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। यह योग अपरिमेय होगा। / \(\frac{3}{5}\) is rational and \(\sqrt{10}\) is irrational. This sum will be irrational.
(14) प्राकृतिक संख्या है और \(14=\frac{14}{1}\) भी है। इसलिए यह परिमेय भी है। / (14) is a natural number and \(14=\frac{14}{1}\). So it is also rational.
\(\frac{4}{9}\) (0) और (1) के बीच है और परिमेय है। भिन्न को संख्या रेखा पर रखें। / \(\frac{4}{9}\) lies between (0) and (1) and is rational. Place the fraction on the number line.
परिमेय और अपरिमेय का अंतर अपरिमेय होता है। यह गुण गैर मिश्रित संख्याओं को पहचानने में मदद करता है। / The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
\(\frac{7}{5}=1.4\) है जो (1) और (2) के बीच है। भिन्न के रूप में होने से यह परिमेय है। / \(\frac{7}{5}=1.4\), which lies between (1) and (2). Being a fraction shows it is rational.
