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Subjects
Class 10 Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Hard Level 26

यदि द्विघात बहुपद \(x^2-4x+r\) के शून्यक परिमेय हों, तो \(r=3\) होने पर यह कथन सही है या गलत?

If the zeros of the quadratic \(x^2-4x+r\) are rational, is the statement true when \(r=3\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. कथन सही है — शून्यक परिमेय हैंThe statement is true — the zeros are rational

Explanation

Simple Explanation

परिभाषा के अनुसार परिमेय शून्यक के लिए निरुपणक \(D=b^2-4ac\) का पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=r\)। \(r=3\) पर \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), जो एक पूर्ण वर्ग है (\(\sqrt{D}=2\))। अतः शून्यक \(\frac{4\pm2}{2}\) यानी 3 और 1 परिमेय हैं। विकल्प B निकटवर्ती भ्रम है — वह गलत है क्योंकि \(D\) अपरिमेयता नहीं दर्शाता; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि \(D<0\) या \(D=0\) के दावे सत्य नहीं हैं (यहाँ \(D=4>0\)). परीक्षा संकेत: हमेशा पहले \(D=b^2-4ac\) निकालें और देखें कि क्या वह पूर्ण वर्ग है; फिर शून्यक सीधे निकालकर सत्यापित करें। / For rational zeros of a quadratic with integer coefficients, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be a perfect square. Here \(a=1, b=-4, c=r\). For \(r=3\): \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), which is a perfect square (\(\sqrt{D}=2\)). Hence the zeros are \((4\pm2)/2\), i.e. 3 and 1, both rational. Distractor B is incorrect because the discriminant is not non-square; C and D are wrong because \(D<0\) (complex roots) and \(D=0\) (equal roots) do not hold here — actually \(D=4>0\). Exam tip: compute \(D\) first, check if it is a perfect square, then compute the roots to confirm.

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यदि द्विघात बहुपद \(x^2-4x+r\) के शून्यक परिमेय हों, तो \(r=3\) होने पर यह कथन सही है या गलत? / If the zeros of the quadratic \(x^2-4x+r\) are rational, is the statement true when \(r=3\)?

Correct Answer: A. कथन सही है — शून्यक परिमेय हैं / The statement is true — the zeros are rational. Explanation: परिभाषा के अनुसार परिमेय शून्यक के लिए निरुपणक \(D=b^2-4ac\) का पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=r\)। \(r=3\) पर \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), जो एक पूर्ण वर्ग है (\(\sqrt{D}=2\))। अतः शून्यक \(\frac{4\pm2}{2}\) यानी 3 और 1 परिमेय हैं। विकल्प B निकटवर्ती भ्रम है — वह गलत है क्योंकि \(D\) अपरिमेयता नहीं दर्शाता; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि \(D<0\) या \(D=0\) के दावे सत्य नहीं हैं (यहाँ \(D=4>0\)). परीक्षा संकेत: हमेशा पहले \(D=b^2-4ac\) निकालें और देखें कि क्या वह पूर्ण वर्ग है; फिर शून्यक सीधे निकालकर सत्यापित करें। / For rational zeros of a quadratic with integer coefficients, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be a perfect square. Here \(a=1, b=-4, c=r\). For \(r=3\): \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), which is a perfect square (\(\sqrt{D}=2\)). Hence the zeros are \((4\pm2)/2\), i.e. 3 and 1, both rational. Distractor B is incorrect because the discriminant is not non-square; C and D are wrong because \(D<0\) (complex roots) and \(D=0\) (equal roots) do not hold here — actually \(D=4>0\). Exam tip: compute \(D\) first, check if it is a perfect square, then compute the roots to confirm.