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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) दिया है। यह संबंध किस प्रकार का अवश्य है?

On the set \(A=\{1,2,3\}\), the relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) is given. Which type of relation is it definitely?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वसमReflexive

Step 1

Concept

स्वसम होने के लिए हर अवयव के साथ उसका जोड़ा होना चाहिए। / For reflexive relation, every element must be related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

((1,1),(2,2),(3,3)) सभी दिए हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में पहले विकर्ण जोड़ों को जाँचें, फिर बाकी गुण देखें। / In exams, check diagonal pairs first, then test other properties.

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Question 2/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{a,b,c\}\) पर कौन-सा संबंध स्वसम नहीं है?

On the set \(A=\{a,b,c\}\), which relation is not reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. ({(a,a),(c,c),(a,c)})

Step 1

Concept

स्वसम संबंध में ((a,a),(b,b),(c,c)) तीनों होने चाहिए। / A reflexive relation must contain ((a,a),(b,b),(c,c)).

Step 2

Why this answer is correct

तीसरे विकल्प में ((b,b)) नहीं है, इसलिए वह स्वसम नहीं है। / The third option misses ((b,b)), so it is not reflexive.

Step 3

Exam Tip

किसी भी अवयव का अपना जोड़ा छूटे तो संबंध स्वसम नहीं रहेगा। / If even one self-pair is missing, the relation is not reflexive.

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Question 3/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (A) पर न्यूनतम स्वसम संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many ordered pairs will be in the smallest reflexive relation on (A)?

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Correct Answer

B. (4)

Step 1

Concept

न्यूनतम स्वसम संबंध में केवल अपने-अपने जोड़े होते हैं। / The smallest reflexive relation contains only self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

चार अवयवों के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) होंगे। / For four elements, the pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम स्वसम संबंध में जोड़ों की संख्या अवयवों की संख्या के बराबर होती है। / The number of pairs in the smallest reflexive relation equals the number of elements.

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Question 4/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर सार्वत्रिक संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?

If (A) has (5) elements, how many ordered pairs are there in the universal relation on (A)?

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Correct Answer

D. (25)

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है। / The universal relation is \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होंगे। / If (A) has (5) elements, then \(A\times A\) has \(5^2=25\) pairs.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध के लिए हमेशा \(n^2\) याद रखें। / For a universal relation, remember the count is \(n^2\).

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Question 5/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध के बारे में सही कथन चुनिए।

Choose the correct statement about the empty relation on \(A=\{1,2,3\}\).

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Correct Answer

B. यह सममित हैIt is symmetric

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। / The empty relation has no ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता की शर्त को तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है, इसलिए रिक्त संबंध सममित माना जाता है। / There is no pair that violates symmetry, so it is considered symmetric.

Step 3

Exam Tip

रिक्त संबंध को स्वसम समझने की गलती न करें, क्योंकि अपने जोड़े नहीं होते। / Do not confuse it with reflexive, because self-pairs are absent.

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Question 6/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2)\}\) किस नाम से जाना जाता है?

On \(A=\{1,2\}\), the relation \(R=\{(1,1),(2,2)\}\) is known as which relation?

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Correct Answer

C. तत्समक संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

तत्समक संबंध में केवल ((a,a)) जैसे अपने-अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs of the form ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (1) और (2) दोनों के अपने युग्म हैं और कोई अतिरिक्त युग्म नहीं है। / Here both (1) and (2) have their self-pairs and no extra pair is present.

Step 3

Exam Tip

तत्समक संबंध स्वसम भी होता है, पर उसका सही विशेष नाम तत्समक है। / Identity relation is also reflexive, but its specific name is identity relation.

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Question 7/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि किसी संबंध (R) में ((2,3)) है और सममितता चाहिए, तो कौन-सा युग्म अवश्य होना चाहिए?

If a relation (R) contains ((2,3)) and symmetry is required, which pair must be present?

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Correct Answer

A. ((3,2))

Step 1

Concept

सममित संबंध में यदि ((a,b)) हो, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) के लिए उल्टा युग्म ((3,2)) है। / The reverse of ((2,3)) is ((3,2)).

Step 3

Exam Tip

सममितता में उल्टे युग्म पर ध्यान दें, अपने युग्म पर नहीं। / For symmetry, focus on reverse pairs, not only self-pairs.

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Question 8/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) किस कारण से सममित नहीं है?

Why is the relation \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) not symmetric?

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Correct Answer

B. क्योंकि ((3,2)) नहीं हैBecause ((3,2)) is missing

Step 1

Concept

सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। / In a symmetric relation, every pair must have its reverse pair.

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) दिया है, पर ((3,2)) नहीं है, इसलिए सममितता टूटती है। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, so symmetry fails.

Step 3

Exam Tip

केवल एक गायब उल्टा युग्म भी संबंध को असममित बना देता है। / One missing reverse pair is enough to make the relation not symmetric.

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Question 9/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि संबंध (R) सममित और \((4,5)\in R\) है, तो सही निष्कर्ष कौन-सा है?

If relation (R) is symmetric and \((4,5)\in R\), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. \((5,4)\in R\)

Step 1

Concept

सममितता का सीधा अर्थ उल्टे क्रमित युग्म की उपस्थिति है। / Symmetry directly means the reverse ordered pair must exist.

Step 2

Why this answer is correct

((4,5)) होने पर ((5,4)) अवश्य होगा। / Since ((4,5)) is present, ((5,4)) must be present.

Step 3

Exam Tip

सममितता अपने जोड़ों की गारंटी नहीं देती, इसलिए विकल्पों को सावधानी से पढ़ें। / Symmetry does not guarantee self-pairs, so read options carefully.

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Question 10/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) में कौन-सा गुण मुख्य रूप से दिख रहा है?

Which property is mainly shown in \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)?

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Correct Answer

C. संक्रमणीयता का उदाहरणExample of transitivity

Step 1

Concept

संक्रमणीयता में ((a,b)) और ((b,c)) होने पर ((a,c)) होना चाहिए। / Transitivity means if ((a,b)) and ((b,c)) are present, then ((a,c)) must be present.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) के साथ ((1,3)) भी है। / Here ((1,2)) and ((2,3)) are present along with ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

संक्रमणीयता जाँचते समय दो जुड़े हुए युग्मों को मिलाकर तीसरा युग्म खोजें। / To test transitivity, combine linked pairs and look for the third pair.

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Question 11/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) किस कारण से संक्रमणीय नहीं है?

Why is \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) not transitive?

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Correct Answer

C. ((1,3)) नहीं है((1,3)) is missing

Step 1

Concept

संक्रमणीयता में ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) आना चाहिए। / For transitivity, ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है। / The relation does not contain ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

संक्रमणीयता में बीच वाला अवयव समान हो तो बनने वाला नया युग्म अवश्य जाँचें। / When the middle element matches, always check the resulting pair.

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Question 12/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) के लिए सही कथन चुनिए।

For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), choose the correct statement.

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Correct Answer

B. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय हैIt is reflexive, symmetric and transitive

Step 1

Concept

सभी अपने जोड़े हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

अपने जोड़ों के उल्टे वही युग्म होते हैं और संक्रमणीयता भी नहीं टूटती। / The reverse of each self-pair is itself, and transitivity is also satisfied.

Step 3

Exam Tip

तत्समक संबंध प्रायः स्वसम, सममित और संक्रमणीय तीनों होता है। / An identity relation is usually reflexive, symmetric and transitive.

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Question 13/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

किसी समुच्चय पर ऐसा संबंध जो स्वसम, सममित और संक्रमणीय हो, क्या कहलाता है?

A relation on a set that is reflexive, symmetric and transitive is called what?

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Correct Answer

B. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध की तीन शर्तें होती हैं: स्वसम, सममित और संक्रमणीय। / An equivalence relation has three conditions: reflexive, symmetric and transitive.

Step 2

Why this answer is correct

प्रश्न में यही तीनों गुण दिए गए हैं। / The question gives exactly these three properties.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में तुल्यता संबंध के लिए इन तीन शब्दों को साथ में याद रखें। / For exams, remember these three words together for equivalence relation.

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Question 14/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो संबंध \(R=A\times A\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If \(A=\{1,2,3\}\), which statement is correct about \(R=A\times A\)?

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Correct Answer

B. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय हैIt is reflexive, symmetric and transitive

Step 1

Concept

\(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए अपने युग्म, उल्टे युग्म और संक्रमणीयता के लिए जरूरी युग्म सभी मिल जाते हैं। / So all self-pairs, reverse pairs and required transitive pairs are present.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध को कई बार तुल्यता संबंध भी माना जा सकता है। / The universal relation can also be an equivalence relation.

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Question 15/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध (R) को \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तभी जब (a=b) से परिभाषित किया गया है। (R) कैसा है?

A relation (R) on \(A=\{1,2,3\}\) is defined by (aRb) if and only if (a=b). What type is (R)?

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Correct Answer

B. तत्समक संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

शर्त (a=b) केवल अपने-अपने युग्म बनाती है। / The condition (a=b) gives only self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए संबंध ((1,1),(2,2),(3,3)) तक सीमित है। / So the relation is limited to ((1,1),(2,2),(3,3)).

Step 3

Exam Tip

(a=b) दिखते ही तत्समक संबंध पहचानें। / Whenever you see (a=b), identify the identity relation.

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Question 16/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a) संख्या (b) को विभाजित करती है। कौन-सा गुण सही है?

On natural numbers, (aRb) if (a) divides (b). Which property is correct?

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Correct Answer

A. स्वसम हैIt is reflexive

Step 1

Concept

कोई भी प्राकृतिक संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Every natural number divides itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (aRa) हर (a) के लिए सत्य है और संबंध स्वसम है। / Hence (aRa) is true for every (a), so the relation is reflexive.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता में स्वसमता आती है, पर सममितता सामान्यतः नहीं आती। / Divisibility is reflexive, but it is generally not symmetric.

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Question 17/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) सम संख्या हो। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) if (a-b) is even. What type of relation is this?

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Correct Answer

C. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) सम है, इसलिए स्वसमता है। / (a-a=0) is even, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

दो सम अंतरों को जोड़ने पर फिर सम अंतर मिलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Adding two even differences gives an even difference, so it is an equivalence relation.

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Question 18/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) विषम संख्या हो। यह संबंध स्वसम क्यों नहीं है?

On integers, (aRb) if (a-b) is odd. Why is this relation not reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (a-a=0) विषम नहीं हैBecause (a-a=0) is not odd

Step 1

Concept

स्वसमता के लिए हर (a) पर (aRa) सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (aRa) must be true for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (a-a=0) है, और (0) विषम संख्या नहीं है। / Here (a-a=0), and (0) is not odd.

Step 3

Exam Tip

अपने युग्म की जाँच में अक्सर (a-a) लगाकर देखें। / To test self-pairs, substitute (a-a).

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Question 19/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब \(a\le b\)। कौन-सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) if \(a\le b\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह स्वसम और संक्रमणीय हैIt is reflexive and transitive

Step 1

Concept

\(a\le a\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। / \(a\le a\) is always true, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

\(\le\) को सममित न मानें, क्योंकि \(2\le3\) है पर \(3\le2\) नहीं। / Do not treat \(\le\) as symmetric, because \(2\le3\) but \(3\le2\) is false.

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Question 20/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a<b)। कौन-सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) if (a<b). Which statement is correct?

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Correct Answer

C. संक्रमणीय हैIt is transitive

Step 1

Concept

(a<a) कभी सत्य नहीं, इसलिए स्वसमता नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

(a<b) से (b<a) नहीं मिलता, इसलिए सममितता नहीं है।

Step 3

Exam Tip

यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए संक्रमणीयता है। / If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.

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Question 21/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) के लिए सही कथन क्या है?

For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what is correct?

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Correct Answer

A. स्वसम है, पर सममित नहींReflexive but not symmetric

Step 1

Concept

सभी अपने जोड़े मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so it is not symmetric.

Step 3

Exam Tip

स्वसमता और सममितता को अलग-अलग जाँचें। / Test reflexivity and symmetry separately.

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Question 22/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

कौन-सा संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित है, पर स्वसम नहीं है?

Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) is symmetric but not reflexive?

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Correct Answer

B. ({(1,2),(2,1)})

Step 1

Concept

सममितता के लिए उल्टे युग्म साथ होने चाहिए। / For symmetry, reverse pairs must be present together.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, पर सभी अपने जोड़े नहीं हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, but not all self-pairs are present.

Step 3

Exam Tip

सममित संबंध स्वसम हो ही, यह जरूरी नहीं है। / A symmetric relation need not be reflexive.

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Question 23/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) क्यों स्वसम नहीं है?

Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\) not reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((3,3)) नहीं हैBecause ((3,3)) is missing

Step 1

Concept

स्वसमता के लिए (A) के हर अवयव का अपना युग्म चाहिए। / Reflexivity requires the self-pair of every element of (A).

Step 2

Why this answer is correct

(3) समुच्चय में है, पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। / (3) is in the set, but ((3,3)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

सभी अवयवों की सूची बनाकर अपने जोड़े टिक करें। / List all elements and tick their self-pairs.

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Question 24/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (R) और (S), (A) पर दो स्वसम संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?

If (R) and (S) are two reflexive relations on (A), what can be said about \(R\cap S\)?

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Correct Answer

A. हमेशा स्वसमAlways reflexive

Step 1

Concept

दोनों स्वसम संबंधों में हर ((a,a)) मौजूद होगा। / Both reflexive relations contain every ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए समान भाग \(R\cap S\) में भी हर ((a,a)) रहेगा। / Therefore \(R\cap S\) also contains every ((a,a)).

Step 3

Exam Tip

प्रतिच्छेद में वही युग्म बचते हैं जो दोनों में हों, अपने युग्म यहाँ सुरक्षित रहते हैं। / Intersection keeps pairs common to both, so self-pairs remain.

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Question 25/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (R) और (S), (A) पर दो सममित संबंध हैं, तो \(R\cup S\) कैसा होगा?

If (R) and (S) are two symmetric relations on (A), what type will \(R\cup S\) be?

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Correct Answer

A. सममितSymmetric

Step 1

Concept

सममित संबंध में युग्म के साथ उसका उल्टा भी होता है। / In a symmetric relation, every pair has its reverse pair.

Step 2

Why this answer is correct

\(R\cup S\) में जो युग्म आएगा, उसका उल्टा उसी संबंध से साथ आएगा। / Any pair in \(R\cup S\) comes from either (R) or (S), and its reverse comes with it.

Step 3

Exam Tip

दो सममित संबंधों का संघ सममित रहता है। / The union of two symmetric relations remains symmetric.

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Question 26/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

दो संक्रमणीय संबंधों का संघ हमेशा संक्रमणीय होगा या नहीं?

Will the union of two transitive relations always be transitive?

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Correct Answer

B. नहीं, हमेशा नहींNo, not always

Step 1

Concept

संक्रमणीयता में जुड़े हुए युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two linked pairs.

Step 2

Why this answer is correct

संघ में एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे से आ सकता है, तब तीसरा युग्म छूट सकता है। / In a union, one pair may come from one relation and the second from another, so the third pair may be missing.

Step 3

Exam Tip

संघ के लिए संक्रमणीयता अलग से जाँचें, सीधे मानकर न चलें। / Always test transitivity of a union separately.

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Question 27/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कौन-सा संबंध संक्रमणीय है?

Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) is transitive?

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Correct Answer

B. ({(1,2),(2,3),(1,3)})

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

दूसरे विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। / The second option contains this required pair.

Step 3

Exam Tip

संक्रमणीयता में केवल जुड़े हुए युग्मों से बनने वाले युग्मों को जाँचें। / In transitivity, check only pairs that can be linked through a middle element.

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Question 28/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि किसी संबंध में केवल एक युग्म ((2,3)) है, तो वह संबंध सममित है या नहीं?

If a relation contains only one pair ((2,3)), is it symmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि ((3,2)) नहीं हैNo, because ((3,2)) is missing

Step 1

Concept

सममितता युग्म की संख्या पर नहीं, उल्टे युग्म पर निर्भर करती है। / Symmetry depends on reverse pairs, not on the number of pairs.

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है, जो नहीं है। / The reverse of ((2,3)) is ((3,2)), which is missing.

Step 3

Exam Tip

एक भी बिना उल्टे वाला असमान युग्म सममितता को तोड़ देता है। / Even one non-self pair without its reverse breaks symmetry.

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Question 29/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि किसी संबंध में केवल एक युग्म ((2,2)) है, तो वह संबंध सममित क्यों है?

If a relation contains only one pair ((2,2)), why is it symmetric?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((2,2)) का उल्टा वही हैBecause the reverse of ((2,2)) is itself

Step 1

Concept

सममितता में हर युग्म का उल्टा संबंध में होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every pair to be in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

((2,2)) का उल्टा फिर ((2,2)) ही है, जो मौजूद है। / The reverse of ((2,2)) is again ((2,2)), which is present.

Step 3

Exam Tip

अपने युग्म सममितता को अपने आप संतुष्ट करते हैं। / Self-pairs automatically satisfy symmetry.

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Question 30/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर कितने स्वसम संबंध संभव हैं?

How many reflexive relations are possible on \(A=\{1,2\}\)?

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Correct Answer

C. (4)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(2^2=4\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(2^2=4\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

स्वसमता के लिए ((1,1),(2,2)) निश्चित रूप से लेने होंगे, बाकी दो युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। / For reflexivity, ((1,1),(2,2)) are fixed, while the other two pairs may be chosen or not.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी। / Therefore the count is \(2^2=4\).

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Question 31/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (A) में (3) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (3) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

कुल युग्म \(3^2=9\) होते हैं। / Total pairs are \(3^2=9\).

Step 2

Why this answer is correct

स्वसमता के लिए (3) अपने युग्म निश्चित हैं, इसलिए (9-3=6) युग्म स्वतंत्र हैं। / For reflexivity, (3) self-pairs are fixed, so (9-3=6) pairs are free.

Step 3

Exam Tip

हर स्वतंत्र युग्म के दो विकल्प होते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / Each free pair has two choices, so the number is \(2^6\).

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Question 32/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या क्या है?

If (A) has (n) elements, what is the total number of relations on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(2^{n^2}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / Any relation is a subset of \(A\times A\).

Step 3

Exam Tip

\(n^2\) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n^2}\) होती है। / The number of subsets of \(n^2\) pairs is \(2^{n^2}\).

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Question 33/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या क्या है?

If (A) has (n) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^{n^2-n}\)

Step 1

Concept

कुल युग्म \(n^2\) होते हैं। / Total pairs are \(n^2\).

Step 2

Why this answer is correct

स्वसमता के लिए (n) अपने युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes (n) self-pairs.

Step 3

Exam Tip

बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है। / The remaining \(n^2-n\) pairs are free, so the count is \(2^{n^2-n}\).

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Question 34/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (A) में (3) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (3) elements, what is the number of symmetric relations on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

सममित संबंध में अपने युग्म अलग से चुने जा सकते हैं और असमान युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / In a symmetric relation, self-pairs are chosen independently and non-self pairs are chosen in reverse-pair groups.

Step 2

Why this answer is correct

(3) अपने युग्म और (3) असमान जोड़ी-समूह हैं, कुल (6) स्वतंत्र चुनाव हैं। / There are (3) self-pairs and (3) non-self pair groups, giving (6) independent choices.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) है। / Thus the number is \(2^6\).

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Question 35/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो सममित संबंधों की संख्या किसके बराबर है?

If (A) has (n) elements, the number of symmetric relations is equal to which expression?

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Correct Answer

A. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)

Step 1

Concept

(n) अपने युग्म स्वतंत्र हैं। / The (n) self-pairs are independent.

Step 2

Why this answer is correct

असमान युग्मों के (\frac{n(n-1)}{2}) उल्टे-जोड़ी समूह स्वतंत्र हैं। / The non-self reverse-pair groups are (\frac{n(n-1)}{2}).

Step 3

Exam Tip

कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the count is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

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Question 36/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। कौन-सा गुण तुरंत स्पष्ट है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Which property is immediately clear?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वसम और सममितReflexive and symmetric

Step 1

Concept

तीनों अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All three self-pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं, इसलिए सममितता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

संक्रमणीयता अलग से जाँचनी पड़ेगी, तुरंत मानना ठीक नहीं। / Transitivity needs a separate check and should not be assumed immediately.

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Question 37/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

उसी \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) में संक्रमणीयता क्यों नहीं है?

Why is transitivity absent in \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,3)) नहीं है((1,3)) is missing

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) दोनों संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are both in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणीयता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर वह नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is missing.

Step 3

Exam Tip

किसी एक आवश्यक युग्म की कमी संक्रमणीयता को समाप्त कर देती है। / Missing even one required pair destroys transitivity.

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Question 38/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

कौन-सा कथन हमेशा सही है?

Which statement is always true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. हर तत्समक संबंध स्वसम होता हैEvery identity relation is reflexive

Step 1

Concept

तत्समक संबंध में हर अवयव का अपना युग्म होता है। / An identity relation contains the self-pair of every element.

Step 2

Why this answer is correct

यही स्वसमता की मूल शर्त है। / That is exactly the condition for reflexivity.

Step 3

Exam Tip

बाकी कथन सामान्यतः गलत हैं, इसलिए परिभाषा से मिलान करें। / The other statements are not generally true, so match with definitions.

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Question 39/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

कौन-सा कथन हमेशा गलत है?

Which statement is always false?

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Correct Answer

D. स्वसम संबंध में कोई अपना युग्म नहीं होताA reflexive relation has no self-pair

Step 1

Concept

स्वसम संबंध की परिभाषा ही अपने युग्मों की उपस्थिति है। / Reflexive relation is defined by the presence of self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह कहना कि उसमें कोई अपना युग्म नहीं होता, हमेशा गलत है। / So saying it has no self-pair is always false.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा के विपरीत कथनों को तुरंत पहचानें। / Identify statements that directly contradict definitions.

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Question 40/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) में कौन-से गुण हैं?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), which properties does (R) have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वसम और संक्रमणीय, पर सममित नहींReflexive and transitive, but not symmetric

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है, इसलिए मुख्य संक्रमणीय शर्त पूरी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so transitivity is satisfied here.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) का उल्टा ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) lacks ((2,1)), so it is not symmetric.

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Question 41/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि \(A=\{1,2,3\}\), तो संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) क्या है?

If \(A=\{1,2,3\}\), what is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\)?

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Correct Answer

C. सार्वत्रिक संबंधUniversal relation

Step 1

Concept

(A) के तीन अवयवों के लिए \(A\times A\) में (9) युग्म होते हैं। / For three elements, \(A\times A\) has (9) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में सभी (9) संभव युग्म हैं। / The given relation contains all (9) possible pairs.

Step 3

Exam Tip

सभी संभव युग्म होने पर संबंध सार्वत्रिक होता है। / A relation containing all possible pairs is universal.

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Question 42/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

रिक्त संबंध और सार्वत्रिक संबंध में मुख्य अंतर क्या है?

What is the main difference between empty relation and universal relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. रिक्त में कोई युग्म नहीं, सार्वत्रिक में सभी संभव युग्मEmpty has no pair, universal has all possible pairs

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में एक भी क्रमित युग्म नहीं होता। / The empty relation has no ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है, इसलिए सभी संभव युग्म रखता है। / The universal relation is \(A\times A\), so it contains all possible pairs.

Step 3

Exam Tip

दोनों को उल्टा याद करने से प्रश्न गलत हो जाता है। / Do not interchange these two definitions in exams.

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Question 43/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि (A) अरिक्त समुच्चय है, तो (A) पर रिक्त संबंध स्वसम क्यों नहीं है?

If (A) is a non-empty set, why is the empty relation on (A) not reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि इसमें ((a,a)) जैसे अपने युग्म नहीं हैंBecause it has no self-pairs like ((a,a))

Step 1

Concept

स्वसम संबंध में हर अवयव का अपना युग्म चाहिए। / A reflexive relation needs the self-pair of every element.

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं होता, इसलिए अपने युग्म भी नहीं होते। / The empty relation has no pair at all, so it has no self-pairs.

Step 3

Exam Tip

अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध स्वसम नहीं होता। / On a non-empty set, the empty relation is not reflexive.

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Question 44/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

यदि \(A=\{1\}\), तो रिक्त संबंध और तत्समक संबंध के बारे में सही कथन क्या है?

If \(A=\{1\}\), which statement is correct about the empty relation and identity relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. रिक्त संबंध \(\varnothing\) है और तत्समक संबंध ({(1,1)}) हैEmpty relation is \(\varnothing\) and identity relation is ({(1,1)})

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। / The empty relation has no pair.

Step 2

Why this answer is correct

एक अवयव वाले समुच्चय पर तत्समक संबंध में ((1,1)) होता है। / On a one-element set, the identity relation contains ((1,1)).

Step 3

Exam Tip

छोटा समुच्चय होने पर भी रिक्त और तत्समक को अलग पहचानें। / Even for a small set, distinguish empty and identity relations.

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Question 45/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध (R) में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हैं, जहाँ \(a\ne b\)। केवल इस जानकारी से कौन-सा गुण निश्चित नहीं होता?

A relation (R) contains both ((a,b)) and ((b,a)), where \(a\ne b\). Which property is not guaranteed by this information alone?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. पूरे संबंध की स्वसमताReflexivity of the whole relation

Step 1

Concept

((a,b)) और ((b,a)) एक-दूसरे के उल्टे हैं। / ((a,b)) and ((b,a)) are reverse pairs.

Step 2

Why this answer is correct

इससे इन युग्मों के लिए सममितता दिखती है, पर हर अवयव के अपने युग्मों की जानकारी नहीं मिलती। / This shows symmetry for these pairs, but says nothing about self-pairs of all elements.

Step 3

Exam Tip

स्वसमता के लिए अलग से ((x,x)) जाँचें। / Reflexivity must be checked separately using ((x,x)).

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Question 46/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(3,2),(3,1)\}\) किस संबंध से मिलता-जुलता है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(3,2),(3,1)\}\) resembles which relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(\ge\) जैसाLike \(\ge\)

Step 1

Concept

दिए गए युग्मों में बड़ा या बराबर पहला अवयव दूसरे से संबंधित है। / The pairs show the first element is greater than or equal to the second.

Step 2

Why this answer is correct

जैसे (3) का (2) और (1) से संबंध है, और (2) का (1) से। / For example, (3) is related to (2) and (1), and (2) is related to (1).

Step 3

Exam Tip

ऐसे पैटर्न को \(\ge\) संबंध की तरह पहचानें। / Recognize this pattern as similar to the \(\ge\) relation.

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Question 47/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध (aRb) तभी जब (a) और (b) का जन्मदिन एक ही तारीख को हो। लोगों के समुच्चय पर यह कैसा संबंध है?

A relation (aRb) holds if (a) and (b) have birthdays on the same date. On a set of people, what type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर व्यक्ति का जन्मदिन अपने ही जन्मदिन जैसा है, इसलिए स्वसमता है। / Every person has the same birthday date as themselves, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) की तारीख (b) जैसी है, तो (b) की तारीख (a) जैसी है, इसलिए सममितता है। / If (a)'s date matches (b)'s date, then (b)'s date matches (a)'s date, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समान तारीख का संबंध तीसरे व्यक्ति तक भी जुड़ता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Matching the same date passes through a third person, so it is an equivalence relation.

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Question 48/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध (aRb) तभी जब (a) और (b) एक ही कक्षा में पढ़ते हों। विद्यार्थियों के समुच्चय पर यह संबंध कैसा है?

A relation (aRb) holds if (a) and (b) study in the same class. On a set of students, what type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर विद्यार्थी अपने साथ उसी कक्षा में है, इसलिए स्वसमता है। / Every student is in the same class as themselves, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a), (b) की कक्षा में है, तो (b), (a) की कक्षा में है, इसलिए सममितता है। / If (a) is in the same class as (b), then (b) is in the same class as (a), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

एक ही कक्षा की कड़ी तीसरे विद्यार्थी तक भी सही रहती है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The same-class link transfers to a third student, so it is an equivalence relation.

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Question 49/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

संबंध (aRb) तभी जब (a) व्यक्ति (b) से लंबा हो। लोगों के समुच्चय पर कौन-सा गुण सही है?

A relation (aRb) holds if person (a) is taller than person (b). On a set of people, which property is correct?

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Correct Answer

C. संक्रमणीयTransitive

Step 1

Concept

कोई व्यक्ति स्वयं से लंबा नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। / A person is not taller than themselves, so it is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a), (b) से लंबा है, तो (b), (a) से लंबा नहीं होगा। / If (a) is taller than (b), then (b) is not taller than (a).

Step 3

Exam Tip

यदि (a), (b) से और (b), (c) से लंबा है, तो (a), (c) से लंबा होगा, इसलिए संक्रमणीयता है। / If (a) is taller than (b) and (b) is taller than (c), then (a) is taller than (c), so it is transitive.

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Question 50/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 4

कौन-सा संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर तुल्यता संबंध है?

Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) is an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)})

Step 1

Concept

पहले विकल्प में सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / The first option has all self-pairs, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)) है, इसलिए सममितता है। / ((1,2)) is paired with ((2,1)), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

जुड़े हुए युग्मों से बनने वाली शर्तें भी पूरी हैं, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The required linked-pair conditions are also satisfied, so it is an equivalence relation.

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Question 51/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) है। (R) किस प्रकार का है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\). What type is (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

चारों अपने युग्म हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All four self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) हैं, इसलिए सममितता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

हर छोटे समूह में संक्रमणीयता भी पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Transitivity is satisfied inside each small group, so it is an equivalence relation.

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Question 52/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (3) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (3). What type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0), (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वसमता है। / (a-a=0), which is divisible by (3), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता वाले अंतरों का जोड़ फिर (3) से विभाज्य रहता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The sum of such divisible differences remains divisible by (3), so it is an equivalence relation.

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Question 53/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a) संख्या (b) का गुणज हो। कौन-सा कथन सही है?

On natural numbers, (aRb) if (a) is a multiple of (b). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वसम और संक्रमणीयReflexive and transitive

Step 1

Concept

हर संख्या स्वयं की गुणज होती है, इसलिए स्वसमता है। / Every number is a multiple of itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a), (b) का गुणज और (b), (c) का गुणज है, तो (a), (c) का गुणज होगा। / If (a) is a multiple of (b) and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c).

Step 3

Exam Tip

गुणज संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता, जैसे (6), (3) का गुणज है पर (3), (6) का नहीं। / The multiple relation is generally not symmetric, for example (6) is a multiple of (3), but (3) is not a multiple of (6).

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Question 54/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\) है। सही कथन चुनिए।

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\). Choose the correct statement.

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) तथा ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद हैं, इसलिए संक्रमणीयता भी है। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)) and ((3,3)), which are present, so it is transitive.

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Question 55/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

किस संबंध में सममितता है, पर संक्रमणीयता नहीं है?

Which relation is symmetric but not transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,2),(2,1)}) on ({1,2})

Step 1

Concept

पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / In the first option, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is missing.

Step 3

Exam Tip

उल्टे युग्म होने से सममितता आती है, पर संक्रमणीयता अपने आप नहीं आती। / Reverse pairs give symmetry, but not automatic transitivity.

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Question 56/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

कौन-सा संबंध स्वसम और सममित है, पर संक्रमणीय नहीं है?

Which relation is reflexive and symmetric but not transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) on ({1,2,3})

Step 1

Concept

पहले विकल्प में सभी अपने युग्म हैं और हर असमान युग्म का उल्टा भी है। / The first option has all self-pairs and reverse pairs for every non-self pair.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is missing.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध बनने के लिए तीनों गुण चाहिए, दो गुण काफी नहीं हैं। / An equivalence relation needs all three properties, not just two.

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Question 57/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध है, तो कौन-सा निष्कर्ष हमेशा सही है?

If (R) is an equivalence relation on a set, which conclusion is always true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (R) स्वसम, सममित और संक्रमणीय है(R) is reflexive, symmetric and transitive

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों से बनती है। / An equivalence relation is defined by three properties.

Step 2

Why this answer is correct

ये गुण हैं स्वसमता, सममितता और संक्रमणीयता। / These are reflexivity, symmetry and transitivity.

Step 3

Exam Tip

किसी प्रश्न में तुल्यता लिखा हो तो तुरंत तीनों गुणों को लागू करें। / Whenever a question says equivalence, immediately apply all three properties.

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Question 58/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) क्यों तुल्यता संबंध नहीं है?

Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\) not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((2,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है((2,3)) is missing, so transitivity fails

Step 1

Concept

संबंध स्वसम और सममित दिखता है। / The relation looks reflexive and symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। / ((2,1)) and ((1,3)) require ((2,3)), but it is missing.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में संक्रमणीयता की पूरी जाँच करना जरूरी है। / For equivalence relation, full transitivity checking is necessary.

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Question 59/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) का संबंध समान शेष (2) से भाग देने पर परिभाषित है, तो (R) कितने वर्ग बनाता है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is defined by having the same remainder when divided by (2), how many classes does (R) form?

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Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

(2) से भाग देने पर केवल दो शेष संभव हैं: (0) और (1)। / When divided by (2), only two remainders are possible: (0) and (1).

Step 2

Why this answer is correct

(2,4) एक वर्ग में और (1,3) दूसरे वर्ग में आएँगे। / (2,4) form one class and (1,3) form another.

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाले संबंध में वर्गों की संख्या संभावित शेषों से जुड़ी होती है। / In same-remainder relations, the number of classes is linked to possible remainders.

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Question 60/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) का (5) से भाग देने पर समान शेष है, तो यह संबंध कैसा है?

If (aRb) means (a) and (b) have the same remainder when divided by (5), what type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या का शेष अपने साथ समान है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same remainder as itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) का शेष समान है, तो (b) और (a) का भी समान है। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also do.

Step 3

Exam Tip

समान शेष की कड़ी तीसरी संख्या तक जाती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The same-remainder link passes to a third number, so it is an equivalence relation.

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Question 61/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) से बनने वाले तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?

For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what are the equivalence classes?

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Correct Answer

A. ({1,2}) और ({3})({1,2}) and ({3})

Step 1

Concept

(1) और (2) एक-दूसरे से संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) are related to each other, so they belong to the same class.

Step 2

Why this answer is correct

(3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग बनेगा। / (3) is related only to itself, so it forms a separate class.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग बनाते समय जो अवयव आपस में जुड़े हों उन्हें एक समूह में रखें। / While forming equivalence classes, group elements that are mutually related.

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Question 62/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

कौन-सा संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर आंशिक क्रम संबंध का उदाहरण हो सकता है?

Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) can be an example of a partial order relation?

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Correct Answer

A. \(\le\) द्वारा बना संबंधRelation defined by \(\le\)

Step 1

Concept

आंशिक क्रम में स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। / A partial order needs reflexivity, antisymmetry and transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

\(\le\) संबंध ये तीनों गुण पूरा करता है। / The relation \(\le\) satisfies all three.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता और आंशिक क्रम में अंतर याद रखें: तुल्यता में सममितता, आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है। / Remember the difference: equivalence uses symmetry, partial order uses antisymmetry.

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Question 63/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

विरोधी सममित संबंध में यदि ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों, तो क्या निष्कर्ष निकलता है?

In an antisymmetric relation, if both ((a,b)) and ((b,a)) are present, what conclusion follows?

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Correct Answer

A. (a=b)

Step 1

Concept

विरोधी सममितता में दो उल्टे युग्म तभी साथ हो सकते हैं जब दोनों अवयव समान हों। / In antisymmetry, two reverse pairs can both exist only when the two elements are equal.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) से (a=b) निष्कर्ष आता है। / So ((a,b)) and ((b,a)) imply (a=b).

Step 3

Exam Tip

विरोधी सममितता को सममितता का विपरीत समझने की गलती न करें। / Do not treat antisymmetry as simply the opposite of symmetry.

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Question 64/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) क्या विरोधी सममित है?

On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) antisymmetric?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

विरोधी सममितता तब टूटती है जब \(a\ne b\) के लिए ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों। / Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) occur for \(a\ne b\).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.

Step 3

Exam Tip

उल्टे असमान युग्म की जोड़ी न होने पर विरोधी सममितता बनी रहती है। / If no reverse non-self pair pair exists, antisymmetry holds.

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Question 65/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) क्या विरोधी सममित है?

On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) antisymmetric?

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Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\)No, because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)

Step 1

Concept

विरोधी सममितता में असमान अवयवों के उल्टे युग्म साथ नहीं होने चाहिए। / In antisymmetry, reverse pairs for unequal elements must not both be present.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ \(1\ne2\) है और ((1,2),(2,1)) दोनों हैं। / Here \(1\ne2\), and both ((1,2)) and ((2,1)) are present.

Step 3

Exam Tip

यह विरोधी सममितता तोड़ने का सीधा उदाहरण है। / This is a direct violation of antisymmetry.

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Question 66/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

कौन-सा संबंध स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है?

Which relation is reflexive, antisymmetric and transitive?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

आंशिक क्रम संबंध की तीन शर्तें होती हैं। / A partial order relation has three conditions.

Step 2

Why this answer is correct

ये शर्तें स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता हैं। / These are reflexivity, antisymmetry and transitivity.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता में सममितता होती है, जबकि आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है। / Equivalence uses symmetry, while partial order uses antisymmetry.

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Question 67/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

धनात्मक पूर्णांकों पर विभाज्यता संबंध (aRb) तभी जब (a) संख्या (b) को विभाजित करे। यह कैसा संबंध है?

On positive integers, (aRb) if (a) divides (b). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

हर धनात्मक पूर्णांक स्वयं को विभाजित करता है, इसलिए स्वसमता है। / Every positive integer divides itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो धनात्मक पूर्णांकों में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then for positive integers (a=b), so antisymmetry holds.

Step 3

Exam Tip

यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए यह आंशिक क्रम है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is a partial order.

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Question 68/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चयों के परिवार पर संबंध (A R B) तभी जब \(A\subseteq B\)। यह संबंध कैसा है?

On a family of sets, (A R B) if \(A\subseteq B\). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। / Every set is a subset of itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो (A=B), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then (A=B), so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\subseteq C\), इसलिए यह आंशिक क्रम है। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then \(A\subseteq C\), so it is a partial order.

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Question 69/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब \(a^2=b^2\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) if \(a^2=b^2\). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(a^2=a^2\), इसलिए स्वसमता है। / \(a^2=a^2\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so transitivity holds.

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Question 70/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) if (|a|=|b|). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(|a|=|a|), इसलिए स्वसमता है। / (|a|=|a|), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान परम मान तीसरी संख्या तक भी जुड़ता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of absolute values transfers through a third number, so it is an equivalence relation.

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Question 71/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a=b) या (a=-b)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) if (a=b) or (a=-b). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर (a) के लिए (a=a), इसलिए स्वसमता है। / For every (a), (a=a), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी सही रहता है। / If (a=b) or (a=-b), the reverse relation also holds.

Step 3

Exam Tip

यह संबंध (|a|=|b|) जैसा है, इसलिए संक्रमणीयता भी मिलती है और यह तुल्यता संबंध है। / This relation is like (|a|=|b|), so transitivity also holds and it is an equivalence relation.

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Question 72/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b>0)। कौन-सा गुण सही है?

On real numbers, (aRb) if (a-b>0). Which property is correct?

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Correct Answer

A. संक्रमणीयTransitive

Step 1

Concept

(a-b>0) का अर्थ (a>b) है। / (a-b>0) means (a>b).

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए संक्रमणीयता है। / If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

यह स्वसम या सममित नहीं है, क्योंकि कोई संख्या स्वयं से बड़ी नहीं होती। / It is not reflexive or symmetric because no number is greater than itself.

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Question 73/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब \(a-b\ge0\)। यह संबंध किसका उदाहरण है?

On real numbers, (aRb) if \(a-b\ge0\). This relation is an example of what?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

\(a-b\ge0\) का अर्थ \(a\ge b\) है। / \(a-b\ge0\) means \(a\ge b\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\ge\) संबंध स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय होता है। / The relation \(\ge\) is reflexive, antisymmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

इसे तुल्यता न मानें, क्योंकि यह सामान्यतः सममित नहीं है। / Do not call it equivalence because it is generally not symmetric.

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Question 74/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

कौन-सा संबंध न स्वसम है, न सममित है, पर संक्रमणीय है?

Which relation is neither reflexive nor symmetric, but transitive?

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Correct Answer

A. वास्तविक संख्याओं पर (<)(<) on real numbers

Step 1

Concept

(a<a) असत्य है, इसलिए (<) स्वसम नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

(a<b) से (b<a) नहीं आता, इसलिए यह सममित नहीं है।

Step 3

Exam Tip

(a<b) और (b<c) से (a<c) आता है, इसलिए यह संक्रमणीय है।

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Question 75/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((2,5)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?

If (R) is an equivalence relation and \((2,5)\in R\), which pair must be in (R)?

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Correct Answer

A. ((5,2))

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध सममित होता है। / An equivalence relation is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता के कारण ((2,5)) होने पर ((5,2)) अवश्य होगा। / Because of symmetry, ((2,5)) implies ((5,2)).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में दिए गए युग्म से पहले उसका उल्टा युग्म निकालें। / In equivalence relation questions, first write the reverse pair of a given pair.

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Question 76/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((1,2)\in R\), \((2,4)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?

If (R) is an equivalence relation and \((1,2)\in R\), \((2,4)\in R\), which pair must be in (R)?

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Correct Answer

A. ((1,4))

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध संक्रमणीय होता है। / An equivalence relation is transitive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) अवश्य मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) must be present.

Step 3

Exam Tip

फिर सममितता से ((4,1)) भी मिल सकता है, पर पहले सीधा निष्कर्ष ((1,4)) है। / Symmetry can then give ((4,1)), but the direct transitive conclusion is ((1,4)).

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Question 77/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) आंशिक क्रम संबंध है और \((a,b)\in R\), \((b,a)\in R\), तो क्या होगा?

If (R) is a partial order relation and \((a,b)\in R\), \((b,a)\in R\), what follows?

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Correct Answer

A. (a=b)

Step 1

Concept

आंशिक क्रम संबंध विरोधी सममित होता है। / A partial order relation is antisymmetric.

Step 2

Why this answer is correct

विरोधी सममितता में दोनों उल्टे युग्म होने पर अवयव समान होने चाहिए। / In antisymmetry, if both reverse pairs are present, the elements must be equal.

Step 3

Exam Tip

आंशिक क्रम के प्रश्न में यह निष्कर्ष बहुत उपयोगी होता है। / This conclusion is very useful in partial order questions.

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Question 78/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

तत्समक संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Which statement about identity relation is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा स्वसम, सममित और संक्रमणीय होता हैIt is always reflexive, symmetric and transitive

Step 1

Concept

तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

ये युग्म स्वसमता देते हैं, अपने उल्टे स्वयं हैं और संक्रमणीयता भी नहीं तोड़ते। / These pairs give reflexivity, are their own reverses, and do not break transitivity.

Step 3

Exam Tip

इसलिए तत्समक संबंध तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण है। / So identity relation is a simple example of an equivalence relation.

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Question 79/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

सार्वत्रिक संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Which statement about the universal relation is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा स्वसम और सममित होता हैIt is always reflexive and symmetric

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए हर अपने युग्म और हर उल्टा युग्म भी मौजूद होता है। / Hence every self-pair and every reverse pair is present.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध को सभी युग्मों का पूरा संग्रह समझें। / Think of the universal relation as the complete collection of all pairs.

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Question 80/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many total relations are possible on (A)?

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Correct Answer

C. \(2^{16}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / Every relation is a subset of \(A\times A\).

Step 3

Exam Tip

(16) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) है। / The number of subsets of (16) pairs is \(2^{16}\).

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Question 81/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many reflexive relations are possible on (A)?

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Correct Answer

A. \(2^{12}\)

Step 1

Concept

कुल युग्म \(4^2=16\) हैं। / Total pairs are \(4^2=16\).

Step 2

Why this answer is correct

स्वसम संबंध में (4) अपने युग्म निश्चित रहेंगे। / A reflexive relation fixes (4) self-pairs.

Step 3

Exam Tip

बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).

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Question 82/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (4) elements, how many symmetric relations are possible on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^{10}\)

Step 1

Concept

सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

Step 2

Why this answer is correct

(n=4) रखने पर \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / For (n=4), \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) independent choices.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी। / Therefore the number is \(2^{10}\).

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Question 83/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?

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Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

स्वसमता के कारण (4) अपने युग्म निश्चित हो जाते हैं। / Reflexivity fixes the (4) self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं। / The non-self reverse-pair groups are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).

Step 3

Exam Tip

ये (6) समूह स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / These (6) groups can be chosen independently, so the number is \(2^6\).

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Question 84/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या है?

If (A) has (n) elements, what is the number of relations that are both reflexive and symmetric?

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Correct Answer

A. \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)

Step 1

Concept

स्वसमता सभी (n) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। / Reflexivity fixes all (n) self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता के लिए केवल असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह स्वतंत्र रहते हैं। / For symmetry, only non-self reverse-pair groups remain independent.

Step 3

Exam Tip

ऐसे समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).

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Question 85/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) सममित है और \((1,2),(2,3)\in R\), तो क्या \((1,3)\in R\) अवश्य होगा?

If (R) is symmetric and \((1,2),(2,3)\in R\), must \((1,3)\in R\)?

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Correct Answer

B. नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैंNo, symmetry gives only reverse pairs

Step 1

Concept

सममितता केवल ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) देती है। / Symmetry gives only ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) की गारंटी संक्रमणीयता से आती, सममितता से नहीं। / ((1,3)) would be guaranteed by transitivity, not symmetry.

Step 3

Exam Tip

गुणों को मिलाकर न पढ़ें, हर गुण का अलग काम है। / Do not mix properties; each property has a separate role.

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Question 86/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) संक्रमणीय है और \((1,2),(2,1)\in R\), तो कौन-से युग्म अवश्य होंगे?

If (R) is transitive and \((1,2),(2,1)\in R\), which pairs must be present?

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Correct Answer

A. ((1,1)) और ((2,2))((1,1)) and ((2,2))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,1)) से संक्रमणीयता के अनुसार ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).

Step 2

Why this answer is correct

((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), it requires ((2,2)).

Step 3

Exam Tip

उल्टे युग्मों की जोड़ी होने पर संक्रमणीयता अपने युग्मों की मांग कर सकती है। / A pair of reverse pairs can force self-pairs through transitivity.

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Question 87/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) स्वसम और सममित है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?

If (R) is reflexive and symmetric, must (R) be an equivalence relation?

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Correct Answer

B. नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिएNo, transitivity is also needed

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। / An equivalence relation needs three properties.

Step 2

Why this answer is correct

स्वसमता और सममितता के साथ संक्रमणीयता भी जरूरी है। / Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also necessary.

Step 3

Exam Tip

दो गुण देखकर तुल्यता संबंध घोषित न करें। / Do not declare equivalence after checking only two properties.

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Question 88/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) स्वसम और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?

If (R) is reflexive and transitive, must (R) be an equivalence relation?

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Correct Answer

B. नहीं, सममितता भी चाहिएNo, symmetry is also needed

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में स्वसमता और संक्रमणीयता के साथ सममितता भी चाहिए। / Equivalence relation needs symmetry along with reflexivity and transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

कई संबंध जैसे \(\le\) स्वसम और संक्रमणीय होते हैं, पर सममित नहीं। / Many relations like \(\le\) are reflexive and transitive but not symmetric.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता के लिए तीनों गुण पूरे होने चाहिए। / All three properties are required for equivalence.

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Question 89/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (R) सममित और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य स्वसम होगा?

If (R) is symmetric and transitive, must (R) be reflexive?

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Correct Answer

B. नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलतेNo, self-pairs for all elements need not occur

Step 1

Concept

सममित और संक्रमणीय होने से कुछ जुड़े अवयवों के अपने युग्म मिल सकते हैं। / Symmetry and transitivity can create self-pairs for connected elements.

Step 2

Why this answer is correct

पर जिन अवयवों का कोई संबंध नहीं है, उनके अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते। / But elements not related to anything may still miss their self-pairs.

Step 3

Exam Tip

स्वसमता के लिए हर अवयव का अपना युग्म अलग से जाँचना जरूरी है। / Reflexivity requires checking self-pairs for every element separately.

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Question 90/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\) है। यह सममित और संक्रमणीय है, पर स्वसम क्यों नहीं?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\). It is symmetric and transitive, but why is it not reflexive?

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Correct Answer

A. ((3,3)) नहीं है((3,3)) is missing

Step 1

Concept

स्वसमता के लिए (1,2,3) तीनों के अपने युग्म चाहिए। / Reflexivity requires self-pairs for (1,2,3).

Step 2

Why this answer is correct

संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) हैं, पर ((3,3)) नहीं है। / The relation has ((1,1)) and ((2,2)), but not ((3,3)).

Step 3

Exam Tip

किसी भी एक अवयव का अपना युग्म छूटे तो संबंध स्वसम नहीं होता। / If even one element lacks its self-pair, the relation is not reflexive.

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Question 91/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

किसी समुच्चय पर रिक्त संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Which statement about the empty relation on a set is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता हैIt is always symmetric and transitive

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में कोई ऐसा युग्म नहीं होता जो सममितता को तोड़े। / In the empty relation, no pair exists to violate symmetry.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं होते। / There are no linked pairs to violate transitivity either.

Step 3

Exam Tip

पर अरिक्त समुच्चय पर यह स्वसम नहीं होता, क्योंकि अपने युग्म नहीं होते। / But on a non-empty set it is not reflexive because self-pairs are missing.

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Question 92/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि (A) रिक्त समुच्चय है, तो (A) पर रिक्त संबंध के बारे में क्या कहा जा सकता है?

If (A) is the empty set, what can be said about the empty relation on (A)?

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Correct Answer

A. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता हैIt is considered reflexive, symmetric and transitive

Step 1

Concept

रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए स्वसमता की शर्त तोड़ने वाला कोई अवयव नहीं है। / In the empty set, there is no element that can violate reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता और संक्रमणीयता तोड़ने वाले युग्म भी नहीं हैं। / There are no pairs that can violate symmetry or transitivity.

Step 3

Exam Tip

रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में शर्तें रिक्त रूप से सत्य हो सकती हैं। / In empty-set questions, conditions can be vacuously true.

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Question 93/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

कौन-सा संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों हो सकता है?

Which relation can be both symmetric and antisymmetric?

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Correct Answer

A. तत्समक संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

अपने युग्म सममितता भी पूरी करते हैं और विरोधी सममितता भी नहीं तोड़ते। / Self-pairs satisfy symmetry and do not violate antisymmetry.

Step 3

Exam Tip

असमान उल्टे युग्म साथ हों तो विरोधी सममितता टूट जाती है। / Reverse pairs of unequal elements would break antisymmetry.

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Question 94/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

यदि कोई संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों है, तो असमान अवयवों के बारे में क्या सही होगा?

If a relation is both symmetric and antisymmetric, what is true about unequal elements?

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Correct Answer

A. असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकताNo pair can occur between unequal elements

Step 1

Concept

सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.

Step 2

Why this answer is correct

विरोधी सममितता असमान (a,b) के लिए दोनों युग्मों को साथ अनुमति नहीं देती। / Antisymmetry does not allow both pairs for unequal (a,b).

Step 3

Exam Tip

इसलिए असमान अवयवों के बीच युग्म रखना संभव नहीं रहता। / Therefore no pair between unequal elements can remain.

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Question 95/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) क्या संक्रमणीय है?

On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) transitive?

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Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं हैNo, because ((1,3)) is missing

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणीयता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, जो नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is missing.

Step 3

Exam Tip

स्वसम युग्म मौजूद होने पर भी संक्रमणीयता अलग से टूट सकती है। / Even with self-pairs present, transitivity can fail separately.

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Question 96/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) क्या आंशिक क्रम संबंध है?

On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) a partial order relation?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements occurs, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.

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Question 97/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)\}\) आंशिक क्रम क्यों नहीं है?

Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\) not a partial order?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\)Because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)

Step 1

Concept

आंशिक क्रम के लिए विरोधी सममितता जरूरी है। / A partial order requires antisymmetry.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ असमान (1) और (2) के लिए दोनों उल्टे युग्म मौजूद हैं। / Here for unequal (1) and (2), both reverse pairs are present.

Step 3

Exam Tip

विरोधी सममितता टूटते ही संबंध आंशिक क्रम नहीं रह सकता। / Once antisymmetry fails, the relation cannot be a partial order.

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Question 98/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

कौन-सा संबंध तुल्यता संबंध नहीं है, पर आंशिक क्रम संबंध है?

Which relation is not an equivalence relation but is a partial order relation?

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Correct Answer

A. वास्तविक संख्याओं पर \(\le\)\(\le\) on real numbers

Step 1

Concept

\(\le\) स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है, इसलिए आंशिक क्रम है। / \(\le\) is reflexive, antisymmetric and transitive, so it is a partial order.

Step 2

Why this answer is correct

यह सममित नहीं है, क्योंकि \(2\le3\) है पर \(3\le2\) नहीं। / It is not symmetric because \(2\le3\) but \(3\le2\) is false.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध के लिए 3: तुल्यता संबंध के लिए सममितता जरूरी होती है। / Symmetry is required for equivalence relation.

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Question 99/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

कौन-सा संबंध आंशिक क्रम नहीं है, पर तुल्यता संबंध है?

Which relation is not a partial order but is an equivalence relation?

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Correct Answer

A. पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने परSame remainder on division by (2) over integers

Step 1

Concept

समान शेष संबंध स्वसम, सममित और संक्रमणीय है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The same-remainder relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.

Step 2

Why this answer is correct

यह विरोधी सममित नहीं होता, क्योंकि अलग संख्याएँ भी समान शेष रख सकती हैं। / It is not antisymmetric because different numbers can have the same remainder.

Step 3

Exam Tip

सममित तुल्यता संबंधों को आंशिक क्रम से अलग पहचानें। / Distinguish symmetric equivalence relations from partial orders.

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Question 100/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 5

संबंधों के प्रकार पहचानते समय सही जाँच क्रम कौन-सा उपयोगी है?

While identifying types of relations, which checking order is useful?

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Correct Answer

A. पहले अपने युग्म, फिर उल्टे युग्म, फिर जुड़े युग्मFirst self-pairs, then reverse pairs, then linked pairs

Step 1

Concept

अपने युग्मों से स्वसमता जल्दी जाँची जाती है। / Self-pairs help check reflexivity quickly.

Step 2

Why this answer is correct

उल्टे युग्मों से सममितता या विरोधी सममितता जाँची जाती है। / Reverse pairs help check symmetry or antisymmetry.

Step 3

Exam Tip

जुड़े युग्मों से संक्रमणीयता जाँचकर अंतिम प्रकार तय करें। / Linked pairs help check transitivity and then decide the final type.

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Question 101/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) है। यह संबंध किस प्रकार का है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(1,2,3) के बीच उल्टे युग्म भी पूरे हैं और (4) केवल स्वयं से संबंधित है। / Reverse pairs among (1,2,3) are complete, and (4) is related only to itself.

Step 3

Exam Tip

प्रत्येक जुड़े समूह के भीतर संक्रमणीयता पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Transitivity holds inside each connected group, so it is an equivalence relation.

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Question 102/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

उसी संबंध में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर बनने वाले तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?

For the same relation on \(A=\{1,2,3,4\}\), what are the equivalence classes?

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Correct Answer

A. ({1,2,3}) और ({4})({1,2,3}) and ({4})

Step 1

Concept

(1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,2,3) are mutually connected, so they form one class.

Step 2

Why this answer is correct

(4) केवल ((4,4)) से स्वयं से जुड़ा है, इसलिए उसका अलग वर्ग है। / (4) is connected only to itself through ((4,4)), so it forms a separate class.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े अवयवों को एक समूह में रखें। / While finding equivalence classes, group mutually related elements together.

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Question 103/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो कौन-सा कथन सही है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह आंशिक क्रम संबंध हैIt is a partial order relation

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

किसी असमान युग्म का उल्टा साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements occurs, so antisymmetry holds.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), so it is a partial order relation.

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Question 104/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\), तो (R) आंशिक क्रम क्यों नहीं है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\), why is (R) not a partial order?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((1,3)) नहीं हैBecause ((1,3)) is missing

Step 1

Concept

आंशिक क्रम में संक्रमणीयता जरूरी होती है। / A partial order must be transitive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) is required, but it is missing.

Step 3

Exam Tip

स्वसमता और विरोधी सममितता होने पर भी संक्रमणीयता टूटे तो आंशिक क्रम नहीं बनेगा। / Even if reflexivity and antisymmetry hold, failure of transitivity prevents partial order.

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Question 105/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर संबंध (aRb) तभी जब (a), (b) को विभाजित करे। कौन-सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3,6\}\), (aRb) if (a) divides (b). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह आंशिक क्रम संबंध हैIt is a partial order relation

Step 1

Concept

हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए स्वसमता है। / Every number divides itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो इस समुच्चय में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then (a=b) here, so antisymmetry holds.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता संक्रमणीय भी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / Divisibility is also transitive, so it is a partial order relation.

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Question 106/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध में कौन-सा युग्म अवश्य होगा?

In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6\}\), which pair must be present?

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Correct Answer

A. ((2,6))

Step 1

Concept

((a,b)) तब होगा जब (a), (b) को विभाजित करे। / ((a,b)) occurs when (a) divides (b).

Step 2

Why this answer is correct

(2), (6) को विभाजित करता है, इसलिए ((2,6)) संबंध में होगा। / (2) divides (6), so ((2,6)) belongs to the relation.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहले देखें कि पहला अवयव दूसरे को पूरा भाग देता है या नहीं। / In divisibility questions, check whether the first element divides the second exactly.

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Question 107/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चयों के परिवार पर (A R B) तभी जब \(A\subset B\)। यह संबंध कैसा है?

On a family of sets, (A R B) if \(A\subset B\). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. संक्रमणीय है, पर स्वसम नहींTransitive but not reflexive

Step 1

Concept

कोई समुच्चय स्वयं का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। / No set is a proper subset of itself, so it is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो \(A\subset C\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), then \(A\subset C\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

वास्तविक उपसमुच्चय और उपसमुच्चय में अंतर ध्यान से रखें। / Carefully distinguish proper subset from subset.

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Question 108/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चयों के परिवार पर (A R B) तभी जब \(A\subseteq B\)। यह संबंध किस कारण आंशिक क्रम है?

On a family of sets, (A R B) if \(A\subseteq B\). Why is this a partial order?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय हैBecause it is reflexive, antisymmetric and transitive

Step 1

Concept

हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। / Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। / If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.

Step 3

Exam Tip

उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है। / The subset relation passes through another set, so transitivity holds.

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Question 109/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (4) से विभाज्य हो। (0) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?

On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (4). What is the equivalence class of (0)?

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Correct Answer

A. (4) के गुणजMultiples of (4)

Step 1

Concept

(0) से संबंधित संख्याओं के लिए (a-0), (4) से विभाज्य होना चाहिए। / Numbers related to (0) must satisfy (a-0) divisible by (4).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (a), (4) का गुणज है। / This means (a) is a multiple of (4).

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाले संबंध में वर्ग वही संख्याएँ रखता है जिनका शेष समान हो। / In same-remainder relations, a class contains numbers with the same remainder.

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Question 110/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (4) से विभाज्य हो। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (4). Which is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) होNumbers leaving remainder (1) on division by (4)

Step 1

Concept

(a), (1) से संबंधित है जब (a-1), (4) से विभाज्य हो। / (a) is related to (1) when (a-1) is divisible by (4).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेष (1) आता है। / This means (a) leaves remainder (1) when divided by (4).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग को शेष के आधार पर पहचानना आसान रहता है। / Equivalence classes are easy to identify by remainders.

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Question 111/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (aRb) तभी जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेष हो, तो कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and (aRb) if (a) and (b) have the same remainder on division by (3), how many equivalence classes are formed?

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Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) हो सकते हैं। / On division by (3), possible remainders are (0,1,2).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में तीनों प्रकार के शेष वाले अवयव हैं। / The given set contains elements of all three remainder types.

Step 3

Exam Tip

समान शेष का प्रत्येक समूह एक तुल्यता वर्ग बनाता है। / Each same-remainder group forms one equivalence class.

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Question 112/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

उपरोक्त समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में (3) से समान शेष वाले संबंध के लिए (2) का वर्ग कौन-सा है?

In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for the same-remainder modulo (3) relation, what is the class of (2)?

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Correct Answer

A. ({2,5})

Step 1

Concept

(2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (2) leaves remainder (2) on division by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(5) को भी (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (5) also leaves remainder (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (2) का तुल्यता वर्ग ({2,5}) है। / Hence the equivalence class of (2) is ({2,5}).

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Question 113/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि संबंध (R) सममित है और \((a,b)\in R\), तो कौन-सा कथन निश्चित रूप से सत्य है?

If relation (R) is symmetric and \((a,b)\in R\), which statement is definitely true?

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Correct Answer

A. \((b,a)\in R\)

Step 1

Concept

सममित संबंध की पहचान उल्टे युग्म से होती है। / A symmetric relation is identified by reverse pairs.

Step 2

Why this answer is correct

((a,b)) होने पर ((b,a)) अवश्य होना चाहिए। / If ((a,b)) is present, ((b,a)) must be present.

Step 3

Exam Tip

सममितता अपने युग्म या संक्रमणीयता की गारंटी नहीं देती। / Symmetry does not guarantee self-pairs or transitivity.

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Question 114/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि संबंध (R) विरोधी सममित है और \(a\ne b\), तो कौन-सी स्थिति संभव नहीं है?

If relation (R) is antisymmetric and \(a\ne b\), which situation is impossible?

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Correct Answer

A. \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनोंBoth \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)

Step 1

Concept

विरोधी सममितता असमान अवयवों के उल्टे युग्मों को साथ नहीं रहने देती। / Antisymmetry does not allow reverse pairs together for unequal elements.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\ne b\) होने पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों नहीं हो सकते। / If \(a\ne b\), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur.

Step 3

Exam Tip

अपने युग्म विरोधी सममितता को नहीं तोड़ते। / Self-pairs do not violate antisymmetry.

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Question 115/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

कौन-सा संबंध सममित भी है और विरोधी सममित भी है?

Which relation is both symmetric and antisymmetric?

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Correct Answer

A. ({(1,1),(2,2)}) on ({1,2})

Step 1

Concept

केवल अपने युग्मों वाला संबंध सममित होता है, क्योंकि उल्टा युग्म वही रहता है। / A relation with only self-pairs is symmetric because each reverse is the same pair.

Step 2

Why this answer is correct

इसमें असमान अवयवों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / It has no reverse pairs between unequal elements, so it is also antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

असमान उल्टे युग्म साथ मिलते ही विरोधी सममितता टूटती है। / Antisymmetry fails when reverse pairs of unequal elements occur together.

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Question 116/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) स्वसम है और (S) स्वसम है, तो \(R\cup S\) कैसा होगा?

If (R) is reflexive and (S) is reflexive, what type is \(R\cup S\)?

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Correct Answer

A. स्वसमReflexive

Step 1

Concept

दोनों संबंधों में हर अपने युग्म ((a,a)) मौजूद है। / Both relations contain every self-pair ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

संघ में दोनों के सभी युग्म आ जाते हैं, इसलिए अपने युग्म भी रहेंगे। / The union contains all pairs from both relations, so self-pairs remain.

Step 3

Exam Tip

स्वसम संबंधों का संघ स्वसम रहता है। / The union of reflexive relations is reflexive.

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Question 117/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If (R) and (S) are symmetric relations, which statement is correct about \(R\cap S\)?

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Correct Answer

A. यह सममित होगाIt will be symmetric

Step 1

Concept

\(R\cap S\) में वही युग्म होंगे जो दोनों में हैं। / \(R\cap S\) contains only pairs common to both relations.

Step 2

Why this answer is correct

यदि ((a,b)) दोनों में है, तो सममितता के कारण ((b,a)) भी दोनों में होगा। / If ((a,b)) is in both, symmetry gives ((b,a)) in both.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिच्छेद भी सममित रहता है। / Therefore the intersection is also symmetric.

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Question 118/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

दो संक्रमणीय संबंधों का प्रतिच्छेद कैसा होता है?

What can be said about the intersection of two transitive relations?

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Correct Answer

A. हमेशा संक्रमणीयAlways transitive

Step 1

Concept

प्रतिच्छेद में आने वाले जुड़े युग्म दोनों संबंधों में मौजूद होंगे। / Linked pairs in the intersection are present in both relations.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों संबंध संक्रमणीय हैं, इसलिए जरूरी तीसरा युग्म दोनों में होगा। / Since both relations are transitive, the required third pair is present in both.

Step 3

Exam Tip

इस कारण प्रतिच्छेद में भी तीसरा युग्म रहेगा और वह संक्रमणीय होगा। / Hence that third pair is also in the intersection, making it transitive.

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Question 119/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

दो संक्रमणीय संबंधों का संघ हमेशा संक्रमणीय क्यों नहीं होता?

Why is the union of two transitive relations not always transitive?

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Correct Answer

A. क्योंकि जुड़े युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं और तीसरा युग्म छूट सकता हैBecause linked pairs may come from different relations and the third pair may be missing

Step 1

Concept

संक्रमणीयता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। / Transitivity requires ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).

Step 2

Why this answer is correct

संघ में पहले दो युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं, इसलिए तीसरा युग्म मिलना जरूरी नहीं। / In a union, the first two pairs may come from different relations, so the third pair may not be present.

Step 3

Exam Tip

संघ की संक्रमणीयता को अलग से जाँचना चाहिए। / Always check transitivity of a union separately.

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Question 120/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) है। क्या (R) संक्रमणीय है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\). Is (R) transitive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

मुख्य जुड़े युग्म ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जिनसे ((1,3)) चाहिए। / The main linked pairs are ((1,2)) and ((2,3)), requiring ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) मौजूद है और ((3,3)) से कोई नई कमी नहीं बनती। / ((1,3)) is present, and ((3,3)) does not create a missing requirement.

Step 3

Exam Tip

संक्रमणीयता के लिए अपने सभी युग्म होना जरूरी नहीं, जरूरी जुड़े निष्कर्ष पूरे होने चाहिए। / Transitivity does not require all self-pairs, only required linked conclusions.

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Question 121/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1)\}\) है। यह संक्रमणीय क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1)\}\). Why is it not transitive?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((2,2)) नहीं हैBecause ((2,2)) is missing

Step 1

Concept

((2,1)) और ((1,2)) दोनों संबंध में हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) are both in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणीयता के लिए इनसे ((2,2)) चाहिए। / Transitivity requires ((2,2)) from them.

Step 3

Exam Tip

((2,2)) न होने से संक्रमणीयता टूट जाती है। / Since ((2,2)) is missing, transitivity fails.

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Question 122/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (5) elements, what is the total number of relations on (A)?

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Correct Answer

A. \(2^{25}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(5^2=25\) क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(5^2=25\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / Every relation is a subset of \(A\times A\).

Step 3

Exam Tip

(25) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{25}\) है। / The number of subsets of (25) pairs is \(2^{25}\).

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Question 123/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (5) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?

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Correct Answer

A. \(2^{20}\)

Step 1

Concept

कुल युग्म \(5^2=25\) हैं। / Total pairs are \(5^2=25\).

Step 2

Why this answer is correct

स्वसमता के लिए (5) अपने युग्म निश्चित होंगे। / Reflexivity fixes (5) self-pairs.

Step 3

Exam Tip

बाकी (25-5=20) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{20}\) है। / The remaining (25-5=20) pairs are free, so the count is \(2^{20}\).

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Question 124/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (5) elements, what is the number of symmetric relations on (A)?

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Correct Answer

A. \(2^{15}\)

Step 1

Concept

सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

Step 2

Why this answer is correct

(n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / For (n=5), \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) independent choices.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संख्या \(2^{15}\) होगी। / Therefore the number is \(2^{15}\).

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Question 125/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (5) elements, what is the number of relations that are both reflexive and symmetric?

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Correct Answer

A. \(2^{10}\)

Step 1

Concept

स्वसमता (5) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। / Reflexivity fixes the (5) self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। / The non-self reverse-pair groups are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\).

Step 3

Exam Tip

ये (10) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / These (10) groups are independent, so the count is \(2^{10}\).

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Question 126/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध किस गुण को पूरा करता है?

If (A) has (n) elements and is non-empty, which property does the empty relation satisfy?

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Correct Answer

A. सममित और संक्रमणीयSymmetric and transitive

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता, इसलिए सममितता को तोड़ने वाला युग्म भी नहीं है। / The empty relation has no pair, so no pair violates symmetry.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं हैं। / There are no linked pairs to violate transitivity.

Step 3

Exam Tip

पर अरिक्त समुच्चय पर अपने युग्म न होने से यह स्वसम नहीं होता। / But on a non-empty set, it is not reflexive because self-pairs are missing.

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Question 127/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (A) अरिक्त समुच्चय है, तो सार्वत्रिक संबंध किस गुण को अवश्य पूरा करता है?

If (A) is a non-empty set, which property does the universal relation definitely satisfy?

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Correct Answer

A. स्वसम, सममित और संक्रमणीयReflexive, symmetric and transitive

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए अपने युग्म, उल्टे युग्म और संक्रमणीयता के लिए जरूरी युग्म सभी उपलब्ध होते हैं। / Hence self-pairs, reverse pairs and pairs required for transitivity are all available.

Step 3

Exam Tip

सभी संभव युग्म होने से तीनों गुण पूरे हो जाते हैं। / Since all possible pairs are present, all three properties hold.

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Question 128/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

तत्समक संबंध और सार्वत्रिक संबंध कब समान होते हैं?

When are the identity relation and universal relation the same?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. जब समुच्चय में केवल एक अवयव होWhen the set has exactly one element

Step 1

Concept

एक अवयव वाले समुच्चय में केवल एक ही संभव युग्म ((a,a)) होता है। / A one-element set has only one possible pair ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

वही युग्म तत्समक संबंध में भी है और सार्वत्रिक संबंध में भी। / The same pair appears in both the identity and universal relations.

Step 3

Exam Tip

दो या अधिक अवयवों पर सार्वत्रिक संबंध में अतिरिक्त असमान युग्म भी होते हैं। / With two or more elements, the universal relation has extra non-self pairs.

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Question 129/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?

If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. (aRc)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध संक्रमणीय होता है। / An equivalence relation is transitive.

Step 2

Why this answer is correct

(aRb) और (bRc) से (aRc) अवश्य मिलेगा। / From (aRb) and (bRc), (aRc) must follow.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में एक कड़ी से जुड़े अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, linked elements belong to the same class.

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Question 130/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), तो (bRa) किस गुण से मिलेगा?

If (R) is an equivalence relation and (aRb), by which property do we get (bRa)?

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Correct Answer

A. सममितताSymmetry

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में सममितता शामिल होती है। / Symmetry is included in an equivalence relation.

Step 2

Why this answer is correct

सममितता कहती है कि (aRb) होने पर (bRa) होगा। / Symmetry says that if (aRb), then (bRa).

Step 3

Exam Tip

प्रश्न में उल्टा संबंध माँगा हो तो सममितता पहचानें। / When the reverse relation is asked, identify symmetry.

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Question 131/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो हर अवयव (a) के लिए (aRa) किस गुण से सत्य है?

If (R) is an equivalence relation, by which property is (aRa) true for every element (a)?

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Correct Answer

A. स्वसमताReflexivity

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में स्वसमता पहला आवश्यक गुण है। / Reflexivity is the first required property of an equivalence relation.

Step 2

Why this answer is correct

स्वसमता के अनुसार हर अवयव स्वयं से संबंधित होता है। / Reflexivity means every element is related to itself.

Step 3

Exam Tip

अपने युग्म दिखें तो स्वसमता को तुरंत याद करें। / When self-pairs are involved, recall reflexivity immediately.

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Question 132/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) आंशिक क्रम संबंध है, तो कौन-सा गुण आवश्यक नहीं है?

If (R) is a partial order relation, which property is not required?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सममितताSymmetry

Step 1

Concept

आंशिक क्रम संबंध के लिए स्वसमता जरूरी है। / A partial order requires reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

इसमें विरोधी सममितता और संक्रमणीयता भी जरूरी होती है। / It also requires antisymmetry and transitivity.

Step 3

Exam Tip

सममितता तुल्यता संबंध में आती है, आंशिक क्रम की जरूरी शर्त नहीं है। / Symmetry belongs to equivalence relations, not as a required condition for partial order.

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Question 133/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो कौन-सा गुण आवश्यक नहीं है?

If (R) is an equivalence relation, which property is not required?

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Correct Answer

A. विरोधी सममितताAntisymmetry

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध के लिए स्वसमता, सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। / An equivalence relation needs reflexivity, symmetry and transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

विरोधी सममितता इसकी शर्त नहीं है। / Antisymmetry is not a required condition for equivalence.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता और आंशिक क्रम की शर्तों को अलग-अलग याद रखें। / Remember the conditions of equivalence and partial order separately.

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Question 134/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

संबंध (aRb) तभी जब (a) और (b) का वर्ग समान हो। वास्तविक संख्याओं पर यह संबंध कैसा है?

A relation (aRb) holds if (a) and (b) have the same square. On real numbers, what type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या का वर्ग स्वयं के वर्ग के बराबर है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same square as itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

वर्ग की समानता तीसरी संख्या तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of squares transfers to a third number, so it is an equivalence relation.

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Question 135/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

संबंध (aRb) तभी जब \(|a|\le |b|\)। वास्तविक संख्याओं पर यह संबंध कैसा है?

A relation (aRb) holds if \(|a|\le |b|\). On real numbers, what type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वसम और संक्रमणीय, पर विरोधी सममित नहींReflexive and transitive, but not antisymmetric

Step 1

Concept

\(|a|\le |a|\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। / \(|a|\le |a|\) is always true, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो \(|a|\le |c|\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then \(|a|\le |c|\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

(1) और (-1) अलग हैं, फिर भी दोनों दिशाओं में संबंध हो सकता है, इसलिए विरोधी सममितता नहीं है। / (1) and (-1) are different but can be related both ways, so antisymmetry fails.

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Question 136/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2\le b^2\)। यह संबंध आंशिक क्रम क्यों नहीं है?

On real numbers, (aRb) if \(a^2\le b^2\). Why is this not a partial order?

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Correct Answer

A. क्योंकि विरोधी सममितता नहीं हैBecause antisymmetry fails

Step 1

Concept

\(a^2\le a^2\) से स्वसमता मिलती है। / \(a^2\le a^2\) gives reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

वर्गों की तुलना संक्रमणीय भी होती है। / Comparison of squares is transitive.

Step 3

Exam Tip

(1) और (-1) के लिए दोनों दिशाओं में संबंध है, पर \(1\ne -1\), इसलिए विरोधी सममितता टूटती है। / For (1) and (-1), relation holds both ways but \(1\ne -1\), so antisymmetry fails.

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Question 137/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) के लिए सही कथन चुनिए।

For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), choose the correct statement.

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Correct Answer

A. यह स्वसम और संक्रमणीय हैIt is reflexive and transitive

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) या ((1,3)) से कोई ऐसा नया जुड़ा युग्म नहीं बनता जो गायब हो। / ((1,2)) or ((1,3)) does not create any missing linked conclusion.

Step 3

Exam Tip

उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए यह सममित नहीं, पर संक्रमणीय हो सकता है। / Reverse pairs are absent, so it is not symmetric, but it can be transitive.

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Question 138/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) आंशिक क्रम है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) a partial order?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म होने से स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements appears, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

जुड़े युग्मों से कोई जरूरी युग्म गायब नहीं, इसलिए संक्रमणीयता भी है। / No required linked pair is missing, so it is also transitive.

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Question 139/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

कौन-सा संबंध न स्वसम है, न सममित है, पर विरोधी सममित और संक्रमणीय है?

Which relation is neither reflexive nor symmetric, but antisymmetric and transitive?

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Correct Answer

A. वास्तविक संख्याओं पर (<)(<) on real numbers

Step 1

Concept

(a<a) असत्य है, इसलिए (<) स्वसम नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

(a<b) होने पर (b<a) नहीं होता, इसलिए सममितता नहीं है और विरोधी सममितता नहीं टूटती। / If (a<b), then (b<a) is false, so symmetry fails and antisymmetry is not violated.

Step 3

Exam Tip

(a<b) और (b<c) से (a<c), इसलिए संक्रमणीयता है।

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Question 140/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

कौन-सा संबंध स्वसम, सममित, विरोधी सममित और संक्रमणीय चारों हो सकता है?

Which relation can be reflexive, symmetric, antisymmetric and transitive all together?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तत्समक संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

तत्समक संबंध में हर अपने युग्म होता है, इसलिए स्वसमता है। / Identity relation has every self-pair, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

अपने युग्म अपने ही उल्टे हैं, इसलिए सममितता है। / Self-pairs are their own reverses, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

असमान उल्टे युग्म नहीं होते और संक्रमणीयता भी पूरी रहती है। / There are no reverse pairs for unequal elements and transitivity also holds.

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Question 141/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) केवल अपने युग्मों से बना है, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If (R) consists only of self-pairs, which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगाIt will be both symmetric and antisymmetric

Step 1

Concept

अपने युग्म का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता पूरी होती है। / The reverse of a self-pair is the same pair, so symmetry holds.

Step 2

Why this answer is correct

असमान अवयवों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / There are no two-way pairs between unequal elements, so antisymmetry also holds.

Step 3

Exam Tip

केवल अपने युग्मों वाले संबंधों में दोनों गुण साथ मिल सकते हैं। / Relations with only self-pairs can satisfy both properties.

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Question 142/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) सममित है और (R) में ((1,2),(2,3)) हैं, तो सममितता से कौन-से युग्म अवश्य मिलेंगे?

If (R) is symmetric and contains ((1,2),(2,3)), which pairs must be present by symmetry?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((2,1)) और ((3,2))((2,1)) and ((3,2))

Step 1

Concept

सममितता प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म देती है। / Symmetry gives the reverse of each pair.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। / ((1,2)) gives ((2,1)), and ((2,3)) gives ((3,2)).

Step 3

Exam Tip

((1,3)) संक्रमणीयता से आ सकता है, सममितता से नहीं। / ((1,3)) may come from transitivity, not symmetry.

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Question 143/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) संक्रमणीय है और (R) में ((1,2),(2,3),(3,4)) हैं, तो कौन-सा युग्म अवश्य होगा?

If (R) is transitive and contains ((1,2),(2,3),(3,4)), which pair must be present?

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Correct Answer

A. ((1,4))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,3)), we get ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मिलेगा। / Then from ((1,3)) and ((3,4)), we get ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

लंबी कड़ी में संक्रमणीयता को क्रम से लगाएँ। / Apply transitivity step by step in a chain.

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Question 144/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (a) का वर्ग ({a,b,c}) है, तो (b) का वर्ग क्या होगा?

If (R) is an equivalence relation and the class of (a) is ({a,b,c}), what is the class of (b)?

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Correct Answer

A. ({a,b,c})

Step 1

Concept

तुल्यता वर्गों में एक ही वर्ग के सभी अवयव समान समूह साझा करते हैं। / In equivalence classes, all elements of the same class share the same group.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (b), (a) के वर्ग में है, तो (b) का वर्ग भी वही होगा। / Since (b) is in the class of (a), the class of (b) is the same.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या बिल्कुल अलग होते हैं। / Equivalence classes are either identical or disjoint.

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Question 145/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

तुल्यता संबंध से बने दो तुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Which statement is correct about two equivalence classes formed by an equivalence relation?

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Correct Answer

A. वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगेThey are either identical or disjoint

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate classes.

Step 2

Why this answer is correct

किसी अवयव को दो अलग वर्गों में आधा-आधा नहीं रखा जा सकता। / An element cannot belong partly to two different classes.

Step 3

Exam Tip

इसलिए दो वर्ग या तो एक जैसे होंगे या बिल्कुल अलग होंगे। / Hence two classes are either identical or disjoint.

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Question 146/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि किसी संबंध से समुच्चय (A) का विभाजन बनता है, तो वह संबंध सामान्यतः किस प्रकार से जुड़ा होता है?

If a relation creates a partition of set (A), it is generally connected with which type of relation?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध समुच्चय को तुल्यता वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into equivalence classes.

Step 2

Why this answer is correct

ये वर्ग मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं और आपस में अलग रहते हैं। / These classes together cover the set and remain disjoint.

Step 3

Exam Tip

विभाजन दिखे तो तुल्यता संबंध का विचार करें। / When you see a partition, think of an equivalence relation.

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Question 147/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

यदि किसी संबंध में हर दो अवयव तुलनीय हों और वह आंशिक क्रम भी हो, तो उसे क्या कहा जाता है?

If every two elements are comparable in a relation and it is also a partial order, what is it called?

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Correct Answer

A. पूर्ण क्रम संबंधTotal order relation

Step 1

Concept

आंशिक क्रम में सभी अवयवों का तुलनीय होना जरूरी नहीं है। / In a partial order, not every pair of elements must be comparable.

Step 2

Why this answer is correct

जब हर दो अवयव तुलनीय हों, तो आंशिक क्रम पूर्ण क्रम बन जाता है। / When every two elements are comparable, the partial order becomes a total order.

Step 3

Exam Tip

\(\le\) जैसे संबंध पूर्ण क्रम के सामान्य उदाहरण हैं। / Relations like \(\le\) are common examples of total order.

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Question 148/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

प्राकृतिक संख्याओं पर \(\le\) संबंध कैसा है?

What type of relation is \(\le\) on natural numbers?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. पूर्ण क्रम संबंधTotal order relation

Step 1

Concept

\(\le\) स्वसम है क्योंकि \(a\le a\)। / \(\le\) is reflexive because \(a\le a\).

Step 2

Why this answer is correct

यह विरोधी सममित और संक्रमणीय भी है। / It is also antisymmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं में हर दो संख्याओं की तुलना \(\le\) से हो सकती है, इसलिए यह पूर्ण क्रम है। / Any two natural numbers are comparable under \(\le\), so it is a total order.

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Question 149/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

समुच्चय ({{1},{2},{1,2}}) पर \(\subseteq\) संबंध पूर्ण क्रम क्यों नहीं है?

On the set ({{1},{2},{1,2}}), why is \(\subseteq\) not a total order?

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Correct Answer

A. क्योंकि ({1}) और ({2}) तुलनीय नहीं हैंBecause ({1}) and ({2}) are not comparable

Step 1

Concept

पूर्ण क्रम में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। / In a total order, every two elements must be comparable.

Step 2

Why this answer is correct

\({1}\subseteq{2}\) नहीं है और \({2}\subseteq{1}\) भी नहीं है। / \({1}\subseteq{2}\) is false and \({2}\subseteq{1}\) is also false.

Step 3

Exam Tip

एक अतुलनीय जोड़ी मिलते ही पूर्ण क्रम नहीं बनता। / One incomparable pair is enough to stop it from being a total order.

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Question 150/154 Medium Mathematics Relations and Functions Types of relations Class 12 Level 6

संबंधों के प्रकार की पहचान में सबसे सुरक्षित अंतिम रणनीति कौन-सी है?

What is the safest final strategy for identifying the type of a relation?

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संयुक्त फलन \((h\circ g\circ f)(2)\) में फलनों का मान अंदर से बाहर की ओर निकालते हैं। पहले \(f(2)=2-1=1\), फिर \(g(1)=3\times1=3\), और अंत में \(h(3)=3^2+1=10\)। अतः सही उत्तर 10 है। विकल्प B (9) चुनने पर \(h(x)\) में दिए गए \(+1\) को छोड़ दिया जाता है। परीक्षा टिप: \(h\circ g\circ f\) में सबसे पहले \(f\), फिर \(g\), और अंत में \(h\) लगाया जाता है। / In the composite function \((h\circ g\circ f)(2)\), evaluate the functions from the inside outward. First, \(f(2)=2-1=1\); then \(g(1)=3\times1=3\); finally, \(h(3)=3^2+1=10\). Therefore, the correct answer is 10. Option B, 9, results from omitting the \(+1\) in \(h(x)\). Exam tip: in \(h\circ g\circ f\), apply \(f\) first, followed by \(g\), and then \(h\).

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Types of relations Medium Quiz

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) दिया है। यह संबंध किस प्रकार का अवश्य है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{a,b,c\}\) पर कौन-सा संबंध स्वसम नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (A) पर न्यूनतम स्वसम संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर सार्वत्रिक संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध के बारे में सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2)\}\) किस नाम से जाना जाता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी संबंध (R) में ((2,3)) है और सममितता चाहिए, तो कौन-सा युग्म अवश्य होना चाहिए?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

संबंध \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) किस कारण से सममित नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि संबंध (R) सममित और \((4,5)\in R\) है, तो सही निष्कर्ष कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

संबंध \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) में कौन-सा गुण मुख्य रूप से दिख रहा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

संबंध \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) किस कारण से संक्रमणीय नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) के लिए सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किसी समुच्चय पर ऐसा संबंध जो स्वसम, सममित और संक्रमणीय हो, क्या कहलाता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो संबंध \(R=A\times A\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

संबंध (R) को \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तभी जब (a=b) से परिभाषित किया गया है। (R) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a) संख्या (b) को विभाजित करती है। कौन-सा गुण सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) सम संख्या हो। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) विषम संख्या हो। यह संबंध स्वसम क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब \(a\le b\)। कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (aRb) तभी जब (a<b)। कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct