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योग का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए \(x\ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या अधिक रखें। / The domain of a sum is the intersection of both domains, so \(x\ge 2\). In exams, keep the radicand of a square root non-negative.
हर समान करने पर अंश ((x+1)+(x-3)=2x-2) मिलता है। सरल करते समय मूल प्रतिबंध \(x\ne3,-1\) भी याद रखें। / Using a common denominator gives numerator ((x+1)+(x-3)=2x-2). While simplifying, remember original restrictions \(x\ne3,-1\).
गुणन का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद है, इसलिए \(5-x\ge0\) और \(x+1\ge0\)। अतः \(-1\le x\le5\)। / The domain of a product is the intersection of both domains, so \(5-x\ge0\) and \(x+1\ge0\). Hence \(-1\le x\le5\).
(\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), पर (x=-2) निषिद्ध रहेगा। कटाव के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / (\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but (x=-2) remains excluded. Do not forget the original denominator restriction after cancellation.
((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), इसलिए (x=4) पर मान (17) नहीं बल्कि (17)? जाँचें: (28-11=17)। / ((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), so at (x=4) the value is (17). Always simplify before substituting.
((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), इसलिए ((2f-3g)(4)=17)। रैखिक संयोजन में चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / ((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), hence ((2f-3g)(4)=17). In linear combinations, pay close attention to signs.
\(x\ge2\) पर (|x-2|=x-2), इसलिए अंतर (0) है। मापांक प्रश्नों में अंतराल बनाकर हल करें। / For \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so the difference is (0). For modulus questions, solve by splitting intervals.
समान \(x^2\) पद कट जाते हैं और (2x-(-2x)=4x) मिलता है। घटाव में दूसरी पूरी फलन का चिह्न बदलता है। / The equal \(x^2\) terms cancel and (2x-(-2x)=4x). In subtraction, the sign of the whole second function changes.
यद्यपि गुणनफल (1) बनता है, मूल फलनों में (x=0) और (x=1) निषिद्ध हैं। सरलीकरण से पहले प्रांत तय करना सुरक्षित तरीका है। / Although the product becomes (1), the original functions exclude (x=0) and (x=1). It is safer to decide the domain before simplification.
A. \(x\le-3\) या \(x\ge3,\ x\ne4\)/\(x\le-3\) or \(x\ge3,\ x\ne4\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x^2-9}\) के लिए \(x^2-9\ge0\) और भिन्न के लिए \(x\ne4\)। इसलिए \(x\le-3\) या \(x\ge3\), पर (x=4) हटेगा। / For \(\sqrt{x^2-9}\), \(x^2-9\ge0\), and for the fraction \(x\ne4\). Thus \(x\le-3\) or \(x\ge3\), but (x=4) is removed.
((f+g)(x)=x-3+2x) और ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x))। विषम फलनों का योग सामान्यतः विषम होता है। / ((f+g)(x)=x-3+2x) and ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x)). The sum of odd functions is generally odd.
दोनों \(x^2\) और (|x|) सम फलन हैं, इसलिए उनका योग भी सम है। समता जाँचने के लिए (x) के स्थान पर (-x) रखें। / Both \(x^2\) and (|x|) are even functions, so their sum is even. To test evenness, replace (x) by (-x).
((fg)(x)=x-3), जो विषम फलन है। सम और विषम फलन का गुणनफल विषम हो सकता है। / ((fg)(x)=x-3), which is an odd function. The product of an even and an odd function can be odd.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) और हर में \(\sqrt{4-x}\) के लिए (4-x>0)। इसलिए \(0\le x<4\)। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge0\), and for denominator \(\sqrt{4-x}\), (4-x>0). Hence \(0\le x<4\).
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए भागफल (x-3) है और (x=2) निषिद्ध है। गुणनखंडन के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध रखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3) and (x=2) is excluded. Keep the original denominator restriction after factorization.
(f(0)=\frac{1}{-1}=-1) और (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), इसलिए योग (-2) है। पहले जाँचें कि दिया गया (x) प्रांत में है। / (f(0)=\frac{1}{-1}=-1) and (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), so the sum is (-2). First check whether the given (x) lies in the domain.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) है। अतः (>0) सभी \(x\ne1\) के लिए होना चाहिए, इसलिए दिए विकल्पों में कोई? / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) at (x=1). Therefore (>0) holds for all \(x\ne1\); none of the broad options is exact.
((f-g)(x)=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) और बाकी जगह धनात्मक है। वर्ग रूप कठिन असमानताओं में तेज संकेत देता है। / ((f-g)(x)=(x-1)2), which is (0) at (x=1) and positive elsewhere. A square form gives a quick clue in inequalities.
((f+g)(x)=4x-2+2), अतः ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18)। पहले फलनों को जोड़ना गणना को आसान बनाता है। / ((f+g)(x)=4x-2+2), so ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18). Adding functions first makes calculation easier.
\(\frac{1}{x^2-1}\) में \(x^2-1\ne0\), इसलिए \(x\ne\pm1\)। बहुपद (g(x)) प्रांत को सीमित नहीं करता। / In \(\frac{1}{x^2-1}\), \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). The polynomial (g(x)) does not restrict the domain.
दोनों वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए, इसलिए \(x-1\ge0\) और \(3-x\ge0\)। अतः \(1\le x\le3\)। / Both square roots must be defined, so \(x-1\ge0\) and \(3-x\ge0\). Hence \(1\le x\le3\).
हर में \(\sqrt{x+2}\) है, इसलिए (x+2>0) चाहिए। अतः (x>-2), भले ही अंश कहीं भी परिभाषित हो। / The denominator is \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. Hence (x>-2), regardless of where the numerator is defined.
((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (2) है। गुणन में प्रमुख पदों का गुणन पहले देखें। / ((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), so the coefficient of \(x^2\) is (2). In multiplication, check the leading terms first.
(x-2+x+1=x-2(x+1)) से \(x^3-x-1=0\) नहीं, सही समीकरण \(x^2+x+1=x^3+x^2\) है। इसे जाँचने पर दिए विकल्प सही नहीं हैं। / From (x-2+x+1=x-2(x+1)), the equation is \(x^3-x-1=0\). The listed integer pairs are not exact solutions.
\(2x+1=x^2+x\) से \(x^2-x-1=0\) मिलता है। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), इसलिए विकल्पों में त्रुटि होगी। / \(2x+1=x^2+x\) gives \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), so the listed option pattern would be wrong.
A. \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
((f+g)(x)=2x+1) और ((fg)(x)=x(x+1)), इसलिए \(x^2-x-1=0\)। द्विघात सूत्र से सही हल \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) हैं। / ((f+g)(x)=2x+1) and ((fg)(x)=x(x+1)), so \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\).
(\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2})। दोनों मूल फलनों के प्रतिबंध \(x\ne\pm2\) रहेंगे। / (\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2}). The restrictions \(x\ne\pm2\) from the original functions remain.
((g-f)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2)। समान पदों के कटने से स्थिर फलन मिल सकता है। / ((g-f)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2). Cancellation of like terms can produce a constant function.
(f(1)=1) और (g(1)=-1), इसलिए योग (0) है। मूल्य निकालने से पहले (x=1) प्रांत में है या नहीं, यह देखें। / (f(1)=1) and (g(1)=-1), so the sum is (0). Before evaluating, check whether (x=1) lies in the domain.
समान हर ((x-2)(x+2)) लेने पर अंश (2x-(x+2)=x-2) होगा, इसलिए \(\frac{1}{x+2}\) पर \(x\ne\pm2\)। सही सरलीकरण विकल्प (C) है। / With common denominator ((x-2)(x+2)), numerator is (2x-(x+2)=x-2), so the form is \(\frac{1}{x+2}\) with \(x\ne\pm2\). Thus option (C) is the simplification.
(\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)})। इसलिए सरल रूप \(\frac{1}{x+2}\) है, पर \(x=\pm2\) हटे रहेंगे। / (\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}). Hence the simplified form is \(\frac{1}{x+2}\), but \(x=\pm2\) remain excluded.
((fg)(x)=|x|x-2) और ((fg)(-x)=|x|x-2), इसलिए यह सम फलन है। सम फलनों का गुणनफल सम रहता है। / ((fg)(x)=|x|x-2) and ((fg)(-x)=|x|x-2), so it is even. The product of even functions remains even.
((f+g)(x)=2x-2), जो सम फलन है। अलग-अलग फलन सम या विषम न हों, फिर भी योग सम बन सकता है। / ((f+g)(x)=2x-2), which is an even function. Even if individual functions are not even or odd, their sum may become even.
((f-g)(x)=6x), जो विषम फलन है। घटाव में समान घात वाले पद कट सकते हैं और प्रकृति बदल सकती है। / ((f-g)(x)=6x), which is an odd function. In subtraction, like-degree terms may cancel and change the nature.
((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), जिसका मान (-x) पर ऋणात्मक बदल जाता है। इसलिए यह विषम है और \(x\ne0\) प्रांत है। / ((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), whose value changes sign at (-x). Thus it is odd with domain \(x\ne0\).
\(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\)। मूल फलनों के कारण \(x\ne0,-1\) रहेगा। / \(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\). Because of the original functions, \(x\ne0,-1\) remains.
(3f-2g=3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=4x-2-7)। स्थिर पदों में ऋण चिह्न की गलती आम होती है। / (3f-2g=3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=4x-2-7). Sign mistakes in constant terms are common.
(f) के लिए \(x\ge4\) और (g) के लिए \(x\ne6\)। \(\frac{f}{g}\) में (g(x)\ne0) भी चाहिए, पर \(\frac{1}{x-6}\) कभी (0) नहीं होता। / For (f), \(x\ge4\), and for (g), \(x\ne6\). In \(\frac{f}{g}\), (g(x)\ne0) is also needed, but \(\frac{1}{x-6}\) is never (0).
(f(2)=1) और (g(2)=1), इसलिए योग (2) है। यहाँ (x=1) निषिद्ध है, पर (x=2) मान्य है। / (f(2)=1) and (g(2)=1), so the sum is (2). Here (x=1) is excluded, but (x=2) is valid.
(f=x(x-2)) और (g=x(x+2)), इसलिए (fg=x-2(x-2)(x+2))। पहले गुणनखंड बनाना लंबे विस्तार से बेहतर है। / (f=x(x-2)) and (g=x(x+2)), so (fg=x-2(x-2)(x+2)). Factoring first is better than long expansion.
पहले \(x^2-1\ge0\) से \(|x|\ge1\), और \(4-x^2\ge0\) से \(|x|\le2\)। प्रतिच्छेद \([-2,-1]\cup[1,2]\) है। / First \(x^2-1\ge0\) gives \(|x|\ge1\), and \(4-x^2\ge0\) gives \(|x|\le2\). The intersection is \([-2,-1]\cup[1,2]\).
(\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}) है, पर (x=-2) पर मूल हर (0) है। कटाव के बाद भी वह बिंदु प्रांत में वापस नहीं आता। / (\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}), but at (x=-2) the original denominator is (0). Cancellation does not bring that point back into the domain.
A. दोनों सूत्र समान हैं पर प्रांत अलग हैं/Their formulas match after simplification but domains differ
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x+3) केवल \(x\ne3\) के लिए है, जबकि (g) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। समान बीजगणितीय रूप हमेशा समान फलन नहीं बनाता। / (f(x)=x+3) only for \(x\ne3\), while (g) is defined for all real (x). The same algebraic form does not always mean the same function.
((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) और हर \(x^2-4\) है। वर्गों को फैलाते समय मध्यम पद कटते हैं। / ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) and the denominator is \(x^2-4\). The middle terms cancel when expanding the squares.
(\frac{f}{g}=\frac{(x-3)2}{x-3}=x-3), जहाँ \(x\ne3\)। (x=5) पर मान (2) है। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-3)2}{x-3}=x-3), where \(x\ne3\). At (x=5), the value is (2).
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge0\) और \(x-1\ge0\), इसलिए \(x\ge1\)। गुणनफल (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}) है। / For both square roots, \(x+3\ge0\) and \(x-1\ge0\), so \(x\ge1\). The product is (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}).
(\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), पर (x=-1) हटेगा। मूल हर से प्रतिबंध तय करें। / (\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), but (x=-1) is excluded. Use the original denominator to set restrictions.
((fg)(x)=2x-3+4x), जो \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए कोई न्यूनतम वास्तविक मान नहीं है। / ((fg)(x)=2x-3+4x), which tends to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\). Therefore no real minimum value exists.
(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1})। हर के शून्य \(x=\pm1\) निषिद्ध हैं। / (\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1}). The zeros \(x=\pm1\) of the denominator are excluded.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+2\ge0\) और \(6-x\ge0\), इसलिए \(-2\le x\le6\)। हर (f(x)+g(x)) इस अंतराल में (0) नहीं होता, इसलिए कोई बिंदु हटता नहीं है। / For both square roots, \(x+2\ge0\) and \(6-x\ge0\), so \(-2\le x\le6\). The denominator (f(x)+g(x)) is never (0) on this interval, so no point is removed.
दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \) है। परीक्षा में जोड़ के लिए हमेशा डोमेन का प्रतिच्छेद लें। / The common domain is \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \). For addition, always take the intersection of domains.
गुणन में डोमेन (f) और (g) के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए केवल (x=3) हटेगा। सरलीकरण से पहले मूल डोमेन देखना जरूरी है। / For product, the domain is the intersection of original domains, so only (x=3) is excluded. Check the original domain before simplifying.
हर जगह (g(x)\neq0) चाहिए, और \(x^2-4=0\) से \(x=\pm2\) मिलते हैं। भाग वाले प्रश्नों में हर के शून्य हमेशा हटाएं। / We need (g(x)\neq0), and \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm2\). In quotient questions, always exclude zeros of the denominator.
((f+g)(x)=2x-5+3-x=x-2), इसलिए ((f+g)(4)=2)। पहले फलन जोड़ें, फिर मान रखें। / ((f+g)(x)=2x-5+3-x=x-2), so ((f+g)(4)=2). First add the functions, then substitute the value.
((f-g)(x)=4x), अतः ((f-g)(-3)=-12)। घटाव में दूसरे पूरे फलन का चिन्ह बदलना न भूलें। / ((f-g)(x)=4x), hence ((f-g)(-3)=-12). In subtraction, change the sign of the whole second function.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) और \(\frac{1}{x-4}\) के लिए \(x\neq4\) चाहिए। इसलिए डोमेन \( [0,\infty\)-{4} ) है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge0\), and for \(\frac{1}{x-4}\), \(x\neq4\). Hence the domain is \( [0,\infty\)-{4} ).
यद्यपि (fg=1) बनता है, मूल फलनों में (x=-2) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। सरलीकृत अभिव्यक्ति से डोमेन बढ़ाना गलत है। / Although (fg=1), the original functions do not allow (x=-2) and (x=1). It is wrong to enlarge the domain after simplification.
\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), पर (x=1) मूल हर को शून्य करता है। रद्द करने के बाद भी हटाए गए बिंदु याद रखें। / \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), but (x=1) makes the original denominator zero. After cancellation, remember the removed point.
जब \(x\ge2\), तब (|x-2|=x-2), इसलिए (f-g=0)। मापांक वाले फलन में केस बनाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / When \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so (f-g=0). For modulus functions, making cases is the safest method.
((fg)(x)=x-2(2x+1)), इसलिए ((fg)(-2)=4(-3)=-12)। (fg) का अर्थ (f(x)g(x)) होता है, संयोजन नहीं। / ((fg)(x)=x-2(2x+1)), so ((fg)(-2)=4(-3)=-12). (fg) means (f(x)g(x)), not composition.
\(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) के लिए (x>1) और \(\sqrt{4-x}\) के लिए \(x\le4\) चाहिए। अतः साझा डोमेन ( (1,4] ) है। / For \(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\), (x>1), and for \(\sqrt{4-x}\), \(x\le4\). Thus the common domain is ( (1,4] ).
\(f+g=2x^2\) और (f-g=2), इसलिए अनुपात \(x^2\) है। पहले (f+g) और (f-g) अलग-अलग निकालें। / Here \(f+g=2x^2\) and (f-g=2), so the ratio is \(x^2\). First find (f+g) and (f-g) separately.
पहले फलन में \(x\neq-1\) और दूसरे में \(x\neq2\) चाहिए। जोड़ का डोमेन इन दोनों शर्तों का साझा भाग है। / The first function needs \(x\neq-1\), and the second needs \(x\neq2\). The domain of the sum is the common part of these conditions.
(g=(f+g)-f=x-2+x-(3x-2)=x-2-2x+2)। अज्ञात फलन निकालते समय पूरे फलन को घटाएं। / (g=(f+g)-f=x-2+x-(3x-2)=x-2-2x+2). To find the unknown function, subtract the whole known function.
(g=f-(f-g)=x-2+3x-\(2x^2-x\)=-x-2+4x)। इस प्रकार के प्रश्न में (g=f-(f-g)) याद रखें। / (g=f-(f-g)=x-2+3x-\(2x^2-x\)=-x-2+4x). In such questions, remember (g=f-(f-g)).
(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), पर (h(x)\neq0) से \(x\neq\pm2\) है। सरलीकरण के बाद भी मूल हर की रोक बनी रहती है। / (\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), but (h(x)\neq0) gives \(x\neq\pm2\). The original denominator restriction remains after simplification.
\(\sqrt{9-x^2}\) के लिए \(-3\le x\le3\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x\neq0\) है। अतः डोमेन ( [-3,3]-{0} ) है। / For \(\sqrt{9-x^2}\), \(-3\le x\le3\), and for \(\frac{1}{x}\), \(x\neq0\). Hence the domain is ( [-3,3]-{0} ).
दोनों हरों के शून्य हटाने होंगे, इसलिए \(x=\pm1,\pm2\) निषिद्ध हैं। घटाव में भी डोमेन का प्रतिच्छेद लिया जाता है। / Zeros of both denominators must be removed, so \(x=\pm1,\pm2\) are excluded. For subtraction also, take the intersection of domains.
((f-g)(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1)), इसलिए शून्य (-1,0,1) हैं। शून्य-समुच्चय के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f-g)(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1)), so the zeros are (-1,0,1). For a zero set, equate the function to (0).
(\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), पर (x=2) डोमेन में नहीं है। इसलिए शून्य नहीं मिलता। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), but (x=2) is not in the domain. Hence there is no zero.
मान \(x^2-|x|\) है, \(t=|x|\ge0\) रखने पर \(t^2-t\) का न्यूनतम \(-\frac{1}{4}\) है। कठिन प्रश्नों में मापांक को (t) से बदलना उपयोगी है। / The expression is \(x^2-|x|\). Put \(t=|x|\ge0\), then \(t^2-t\) has minimum \(-\frac{1}{4}\). For hard modulus questions, using (t) is helpful.
(f(0)=-1) और (g(0)=-1), इसलिए योग (-2) है। मान रखने से पहले जांचें कि (0) डोमेन में है। / (f(0)=-1) and (g(0)=-1), so the sum is (-2). Before substituting, check that (0) lies in the domain.
(g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, और तब (f(x)\neq0) अपने आप सत्य है। इसलिए डोमेन \( [1,\infty\) ) है। / For (g), \(x\ge1\) is needed, and then (f(x)\neq0) is automatically true. Hence the domain is \( [1,\infty\) ).
हर (g(x)) है, इसलिए \(\sqrt{x-1}\neq0\) और (x>1) चाहिए। भाग में हर वाले मूल को शून्य नहीं होने देना है। / The denominator is (g(x)), so \(\sqrt{x-1}\neq0\) and (x>1) are required. In division, the denominator radical cannot be zero.
(f-g=2kx), अतः (2k=6) और (k=3)। गुणांक मिलाना पैरामीटर प्रश्नों में तेज तरीका है। / (f-g=2kx), so (2k=6) and (k=3). Comparing coefficients is the fastest method in parameter questions.
(af+bg=(a+b)x+(a-b)), इसलिए (a+b=5)। ऐसे प्रश्न में (x) के गुणांक को सीधे मिलाएं। / (af+bg=(a+b)x+(a-b)), so (a+b=5). In such questions, compare the coefficient of (x) directly.
(2f-3g=2\(x^2-2x\)-3(3x-1)=2x-2-13x+3)। स्केलर गुणन में पूरे फलन पर गुणा करें। / (2f-3g=2\(x^2-2x\)-3(3x-1)=2x-2-13x+3). In scalar multiplication, multiply the whole function.
(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x[(x+1)-(x-1)]}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। समान हर बनाते समय कोष्ठक सही रखें। / (\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x[(x+1)-(x-1)]}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). Keep brackets correct while taking a common denominator.
समीकरण \(x^2+\frac{1}{x}=2\) से (x-3-2x+1=0=(x-1)\(x^2+x-1\)) मिलता है। \(x\neq0\) होने पर तीन में से दो वास्तविक हल अलग-अलग हैं? / The equation \(x^2+\frac{1}{x}=2\) gives (x-3-2x+1=0=(x-1)\(x^2+x-1\)). Since \(x\neq0\), count all valid real roots carefully.
((fg)(x)=x-2\cdot\frac{1}{x}=x), पर (x=0) डोमेन में नहीं है। अतः हर अशून्य वास्तविक संख्या हल है। / ((fg)(x)=x-2\cdot\frac{1}{x}=x), but (x=0) is not in the domain. Hence every non-zero real number is a solution.
\(\sqrt{x^2-4}\) के लिए \(x\le-2\) या \(x\ge2\), और (g) के लिए \(x\neq5\) है। दोनों शर्तें साथ लगेंगी। / For \(\sqrt{x^2-4}\), \(x\le-2\) or \(x\ge2\), and for (g), \(x\neq5\). Both conditions must be applied together.
(f(x)=x+3) केवल \(x\neq3\) पर है, इसलिए (f-g=0) उसी डोमेन पर है। बीजगणितीय समानता और फलन की समानता में डोमेन जरूरी है। / (f(x)=x+3) only for \(x\neq3\), so (f-g=0) on that domain. Domain is essential when comparing algebraic expressions as functions.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जिसका न्यूनतम (0) है। पूर्ण वर्ग बनाना ऐसे प्रश्नों में उपयोगी है। / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), whose minimum is (0). Completing the square is useful in such questions.
((f-g)(x)=x-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4})। इसलिए न्यूनतम \(\frac{3}{4}\) है। / ((f-g)(x)=x-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4}). Therefore the minimum is \(\frac{3}{4}\).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए कोई वास्तविक संख्या हटेगी नहीं। हर को शून्य बनाने वाली वास्तविक संख्या ही हटाई जाती है। / The denominator \(x^2+1\) is never (0), so no real number is excluded. Only real zeros of the denominator are removed.
क्योंकि \(x^2+1>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है, (f) और (g) दोनों पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित हैं। अतः (fg=1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर है। / Since \(x^2+1>0\) for every real (x), both (f) and (g) are defined on all \(\mathbb{R}\). Hence (fg=1) on all \(\mathbb{R}\).
(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। जोड़ में अंशों को सही तरह जोड़ें। / (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). Add the numerators correctly after taking the common denominator.
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), जहाँ \(x\neq0\)। पहचान का प्रयोग गणना को छोटा करता है। / (f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), where \(x\neq0\). Using an identity makes the calculation shorter.
(f(0)=5) और (g(0)=5), इसलिए ((fg)(0)=25)। (fg) में दोनों मानों का गुणन करें। / (f(0)=5) and (g(0)=5), so ((fg)(0)=25). In (fg), multiply the two function values.
(f=(x-2)(x-3)), पर (x=2) डोमेन में नहीं है। अतः केवल (x=3) पर भागफल शून्य होगा। / (f=(x-2)(x-3)), but (x=2) is not in the domain. Hence the quotient is zero only at (x=3).
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x\ge2\) और हर \(x-5\neq0\) चाहिए। इसलिए \( [2,\infty\)-{5} ) सही है। / For \(\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\), and the denominator needs \(x-5\neq0\). Hence \( [2,\infty\)-{5} ) is correct.
(f-g+h=x-2-2x+1=(x-1)2)। तीन फलनों के बीजगणित में चिन्हों का क्रम सावधानी से रखें। / (f-g+h=x-2-2x+1=(x-1)2). In algebra of three functions, keep the signs in order carefully.
\(f-g=\frac{4}{x}\) और (f+g=2), इसलिए \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\)। पहचान (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) बहुत उपयोगी है। / Here \(f-g=\frac{4}{x}\) and (f+g=2), so \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\). The identity (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) is very useful.
(f) के लिए (x>0) और (g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, अतः प्रतिच्छेद \( [1,\infty\) ) है। गुणन में भी दोनों फलनों का साझा डोमेन लें। / For (f), (x>0), and for (g), \(x\ge1\). Their intersection is \( [1,\infty\) ). For product also, take the common domain of both functions.
समीकरण (x-2-4-(|x|-2)=0) से \(x^2-|x|-2=0\) मिलता है। (t=|x|) रखने पर (t=2) नहीं, बल्कि सीधे केस से (x=-1,2) मिलते हैं। / The equation (x-2-4-(|x|-2)=0) gives \(x^2-|x|-2=0\). Solving by cases gives (x=-1,2).
\(f+g=2x^2+2q\), इसलिए (2q=10) और (q=5)। समान पदों के गुणांक मिलाना सबसे साफ तरीका है। / \(f+g=2x^2+2q\), so (2q=10) and (q=5). Comparing coefficients of like terms is the cleanest method.
A. समान नियम और समान डोमेन होने पर/when they have same rule and same domain
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x-1) केवल \(x\neq-1\) पर है, जबकि (g) पूरे \(\mathbb{R}\) पर है। समान फलन के लिए नियम के साथ डोमेन भी समान होना चाहिए। / (f(x)=x-1) only for \(x\neq-1\), while (g) is on all \(\mathbb{R}\). Equal functions must have both the same rule and the same domain.
दोनों फलनों में (x=-1) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। इसलिए (f-g) का डोमेन \( \mathbb{R}-{-1,1} \) है। / In both functions, (x=-1) and (x=1) are not allowed. Hence the domain of (f-g) is \( \mathbb{R}-{-1,1} \).
(f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (0) केवल (x=1) पर होता है। पूर्ण वर्ग देखकर शून्य जल्दी मिल जाता है। / (f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) only at (x=1). A perfect square helps identify the zero quickly.
मूल के लिए \(x\ge -3\) और हर के लिए \(x\ne 2\) चाहिए। गुणन में भी दोनों फलनों का सामान्य प्रांत लिया जाता है। / The root needs \(x\ge -3\) and the denominator needs \(x\ne 2\). For a product, take the common domain of both functions.
सरलीकरण के बाद भी मूल हर \(x-2\ne 0\) होना चाहिए। रद्द करने से हटे हुए मान वापस प्रांत में नहीं आते। / Even after simplification, the original denominator must satisfy \(x-2\ne 0\). Cancelled denominator values do not return to the domain.
(f(4)=1) और (g(4)=9), इसलिए ((f-g)(4)=1-9=-8)। मान निकालते समय पहले अलग-अलग फलनों के मान निकालें। / (f(4)=1) and (g(4)=9), so ((f-g)(4)=1-9=-8). Find individual function values first.
दोनों हरों के कारण \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\) चाहिए। गुणन (1) बनता है पर प्रतिबंध बने रहते हैं। / The denominators require \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). The product becomes (1), but the restrictions remain.
मूल के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\), और \(x\ne 0\)। योग का प्रांत दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The root needs \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\), and \(x\ne 0\). The domain of the sum is the intersection.
\(2f=2x^2+4x\) और (3g=9x-15), इसलिए अंतर \(2x^2-5x+15\) है। संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / \(2f=2x^2+4x\) and (3g=9x-15), so the difference is \(2x^2-5x+15\). Watch signs carefully.
समान हर ((x+1)(x-1)) लेने पर अंश ((x-1)+(x+1)=2x) मिलता है। हर के शून्य मान हटाना न भूलें। / With common denominator ((x+1)(x-1)), the numerator is ((x-1)+(x+1)=2x). Do not forget excluded denominator values.
\(x^2+\frac{1}{x}=2\) को (x) से गुणा करने पर \(x^3+1=2x\) मिलता है। \(x\ne 0\) शर्त जरूरी है। / Multiplying \(x^2+\frac{1}{x}=2\) by (x) gives \(x^3+1=2x\). The condition \(x\ne 0\) is necessary.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। भागफल में भाजक फलन शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\) and the denominator needs \(x\ne 4\). In a quotient, the denominator function must not be zero.
(f(-2)=0) और (g(-2)=3), इसलिए गुणन (0) है। यदि किसी एक गुणक का मान (0) हो, तो गुणनफल (0) होता है। / (f(-2)=0) and (g(-2)=3), so the product is (0). If one factor value is (0), the product is (0).
(f) के लिए \(x\ne 3\), (g) के लिए \(x\ne 0\), और भाजक (g(x)\ne 0) से \(x\ne 3\)। सभी प्रतिबंध मिलाकर \(x\ne 0,3\) मिलते हैं। / (f) needs \(x\ne 3\), (g) needs \(x\ne 0\), and divisor (g(x)\ne 0) gives \(x\ne 3\). Together, \(x\ne 0,3\).
पहले मूल के लिए \(x\ge 2\) और दूसरे के लिए \(x\ge -2\) चाहिए। प्रतिच्छेद \( [2,\infty\) ) है। / The first root needs \(x\ge 2\) and the second needs \(x\ge -2\). Their intersection is \( [2,\infty\) ).
(x-2-3x+2=(x-1)(x-2)), पर (x=1) हटेगा। सरलीकृत रूप के साथ प्रांत प्रतिबंध लिखना जरूरी है। / (x-2-3x+2=(x-1)(x-2)), but (x=1) is excluded. Always write the domain restriction with a simplified form.
((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1) नहीं, सही योग (x-2+2x=x(x+2)) का न्यूनतम (-1) होता है। ध्यान दें \(2x-1+x^2+1=x^2+2x\)। / ((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), so the minimum is (-1). Be careful because \(2x-1+x^2+1=x^2+2x\).
(f(2)=3) और (g(2)=3), इसलिए योग (6) है। पहले फलनों के मान निकालना गलती घटाता है। / (f(2)=3) and (g(2)=3), so the sum is (6). Finding function values first reduces mistakes.
(x=0) दोनों फलनों के प्रांत में है और (f(0)g(0)=(-1)(-1)=1)। पहले जांचें कि दिया मान प्रांत में है या नहीं। / (x=0) is in both domains and (f(0)g(0)=(-1)(-1)=1). First check whether the given value is in the domain.
\(\sqrt{4-x}\) के लिए \(x\le 4\), और \(\sqrt{x}\) हर में होने से (x>0)। प्रतिच्छेद ( (0,4] ) है। / \(\sqrt{4-x}\) needs \(x\le 4\), and \(\sqrt{x}\) in the denominator needs (x>0). The intersection is ( (0,4] ).
(f(1)=2) और (g(1)=2), इसलिए दोनों अनुपात (1) हैं। भागफल प्रश्न में भाजक का मान शून्य नहीं होना चाहिए। / (f(1)=2) and (g(1)=2), so both ratios are (1). In quotient questions, the denominator value must be non-zero.
((f+g)(x)=x-2-5x+6=\(x-\frac{5}{2}\)2-\frac{1}{4})। अतः न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है। / ((f+g)(x)=x-2-5x+6=\(x-\frac{5}{2}\)2-\frac{1}{4}). Hence the minimum value is \(-\frac{1}{4}\).
A. (f(x)=g(x)) पर \(x\ne 3\)/(f(x)=g(x)) but \(x\ne 3\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+3) बनता है, पर (x=3) पर मूल फलन परिभाषित नहीं है। समान सूत्र और समान फलन में प्रांत भी मिलना चाहिए। / (f(x)) simplifies to (x+3), but the original function is not defined at (x=3). Same formula and same function require matching domains.
पहले फलन में \(x^2-4\ne 0\) से \(x\ne \pm2\), और दूसरे में \(x\ne 2\)। संयुक्त प्रांत \( \mathbb{R}\setminus{-2,2} \) है। / The first function gives \(x^2-4\ne 0\), so \(x\ne \pm2\), and the second gives \(x\ne 2\). The common domain is \( \mathbb{R}\setminus{-2,2} \).
(x-3-x-2=x-2(x-1)=0), इसलिए (x=0) या (x=1)। गुणनखंड करने से हल तेजी से मिलते हैं। / (x-3-x-2=x-2(x-1)=0), so (x=0) or (x=1). Factoring gives solutions quickly.
अंश ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) है। समान हर बनाते समय पूरे वर्ग ध्यान से खोलें। / The numerator is ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8). Expand both squares carefully while taking a common denominator.
((f-g)(x)=x-2+(a-b)x-1), इसलिए (a-b=-5)। दिए विकल्पों में केवल ((2,7)) सही है। / ((f-g)(x)=x-2+(a-b)x-1), so (a-b=-5). Among the options, only ((2,7)) works.
भाग देने पर \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\) मिलता है। मूल (g) के लिए \(x\ne -1\) भी जरूरी है। / Dividing gives \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\). The original (g) also requires \(x\ne -1\).
\(x^2=|x|\) में \(t=|x|\ge 0\) रखने पर \(t^2=t\), इसलिए (t=0) या (t=1)। अतः (x=-1,0,1) हैं। / In \(x^2=|x|\), put \(t=|x|\ge 0\), so \(t^2=t\). Thus (t=0) or (t=1), giving (x=-1,0,1).
((fg)(x)=\sqrt{(x+1)(2-x)}) और अंदर का द्विघात अधिकतम \(\frac{9}{4}\) है। इसलिए अधिकतम \(\frac{3}{2}\) है। / ((fg)(x)=\sqrt{(x+1)(2-x)}), and the quadratic inside has maximum \(\frac{9}{4}\). Therefore the maximum is \(\frac{3}{2}\).
((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}) नहीं, सही स्थिर मान से न्यूनतम \(-\frac{5}{4}\) है। विकल्पों में त्रुटि जांचें। / ((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}), so the minimum is \(-\frac{5}{4}\). Check options carefully.
(f(x)=x-1) पर (x=-1) परिभाषित नहीं है। इसलिए समान मान केवल (f) के प्रांत में मिलते हैं। / (f(x)=x-1), but (x=-1) is not defined. Hence equal values occur only in the domain of (f).
पहले हर से \(x\ne -2\) और दूसरे हर से \(x\ne 0\) मिलता है। योग का प्रांत दोनों प्रतिबंधों को साथ रखता है। / The first denominator gives \(x\ne -2\), and the second gives \(x\ne 0\). The domain of the sum keeps both restrictions.
((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), इसलिए शून्य (x=-2) पर है। पूर्ण वर्ग पहचान परीक्षा में उपयोगी है। / ((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), so the zero is at (x=-2). Perfect square identity is useful in exams.
अंश ((x-1)2-(x+1)2=-4x) है। ऋण चिह्न और वर्ग विस्तार ध्यान से करें। / The numerator is ((x-1)2-(x+1)2=-4x). Handle the negative sign and square expansion carefully.
भाजक \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) होना चाहिए। भागफल में हर कभी (0) नहीं हो सकता। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0). In a quotient, the denominator can never be (0).
(f(1)=-1) और (g(1)=4), इसलिए ((fg)(1)=-4)। उत्पाद फलन में मानों को गुणा करें, सूत्रों को नहीं जोड़ें। / (f(1)=-1) and (g(1)=4), so ((fg)(1)=-4). For a product function, multiply values, do not add formulas.
((fg)(x)=1) हर वास्तविक (x) के लिए है। स्थिर फलन का परिसर केवल वही एक मान होता है। / ((fg)(x)=1) for every real (x). The range of a constant function contains only that one value.
पहले मूल से \(x\ge 0\) और दूसरे से \(x\le 1\) मिलता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद ( [0,1] ) है। / The first root gives \(x\ge 0\), and the second gives \(x\le 1\). Their intersection is ( [0,1] ).
((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) का न्यूनतम (0) होने के लिए विविक्तकर (0) होगा। इसलिए ((p+2)2=20)। / For ((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) to have minimum (0), its discriminant must be (0). Hence ((p+2)2=20).
(f(x)=x-2) पर (x=-2) हटता है, इसलिए अंतर (0) सभी \(x\ne -2\) पर है। प्रांत प्रतिबंध उत्तर का हिस्सा है। / (f(x)=x-2), but (x=-2) is excluded, so the difference is (0) for all \(x\ne -2\). Domain restriction is part of the answer.
((f-g)(x)=x-2-4), इसलिए \(x^2-4>0\) से (|x|>2)। द्विघात असमिका में संख्या रेखा उपयोगी है। / ((f-g)(x)=x-2-4), so \(x^2-4>0\) gives (|x|>2). A number line is useful for quadratic inequalities.
\(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\), पर \(x\ne 1\)। सरलीकरण के बाद भी पुराना प्रतिबंध रहता है। / \(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\), but \(x\ne 1\). The original restriction remains after simplification.
\(\frac{x^2+1}{x^2-1}>1\) से \(\frac{2}{x^2-1}>0\), अतः \(x^2-1>0\)। हर का संकेत जांचना जरूरी है। / \(\frac{x^2+1}{x^2-1}>1\) gives \(\frac{2}{x^2-1}>0\), so \(x^2-1>0\). Checking the denominator sign is essential.
(f(0)=2) और (g(0)=2), इसलिए अंतर (0) है। मापांक में अंदर का मान पहले रखें फिर धनात्मक दूरी लें। / (f(0)=2) and (g(0)=2), so the difference is (0). In modulus, substitute first and then take positive distance.
\(\frac{x+1}{x-1}=1\) से (x+1=x-1), जो असंभव है। साथ ही \(x\ne 1\) शर्त रहती है। / \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives (x+1=x-1), which is impossible. Also, the condition \(x\ne 1\) remains.
भाजक \(\sqrt{x-2}\) है, इसलिए (x-2>0) चाहिए। भागफल में हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator is \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0). In a quotient, the denominator cannot be zero.
((f+g)(x)=4x-2), इसलिए (4x-2=0) से \(x=\frac{1}{2}\)। रैखिक समीकरण में संकेत जल्दी जांचें। / ((f+g)(x)=4x-2), so (4x-2=0) gives \(x=\frac{1}{2}\). Check signs quickly in linear equations.
भाजक (g(x)=x+1) है, इसलिए \(x\ne -1\)। अंश के लिए कोई अतिरिक्त वास्तविक प्रतिबंध नहीं है। / The denominator is (g(x)=x+1), so \(x\ne -1\). The numerator gives no additional real restriction.
मूल से \(x\ge -4\) और हर से \(x\ne 1\) मिलता है। योग के लिए दोनों शर्तें साथ लागू होती हैं। / The root gives \(x\ge -4\), and the denominator gives \(x\ne 1\). Both conditions apply together for the sum.
अंश के मूल से \(2x-3\ge 0\) और हर के मूल से (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ) है। / The numerator root needs \(2x-3\ge 0\), and the denominator root needs (7-x>0). Therefore the domain is \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ).
((f+g)(x)=x-2-2x-1=(x-1)2-2), इसलिए न्यूनतम मान (-2) है। पूर्ण वर्ग विधि ऐसे प्रश्नों में तेज होती है। / ((f+g)(x)=x-2-2x-1=(x-1)2-2), so the minimum value is (-2). Completing the square is fast for such questions.
