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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 39

यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) और \(g(x)=x^2+1\) हैं, तो गुणनफल फलन \((fg)(x)\) का परिसर क्या है?

If \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) and \(g(x)=x^2+1\), what is the range of the product function \((fg)(x)\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\{1\}\)

Explanation

Simple Explanation

दोनों फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\) है। चूँकि \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता, यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान हमेशा 1 रहता है। इसलिए परिसर केवल \(\{1\}\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का गुणनफल सरल करके स्थिर फलन पहचानें। / The product is \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\). Since \(x^2+1\) is never zero, the product is defined for every real \(x\), but its value is always 1. Hence, its range is only \(\{1\}\). Exam tip: simplify the product first and check whether it becomes a constant function.

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यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) और \(g(x)=x^2+1\) हैं, तो गुणनफल फलन \((fg)(x)\) का परिसर क्या है? / If \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) and \(g(x)=x^2+1\), what is the range of the product function \((fg)(x)\)?

Correct Answer: A. \(\{1\}\). Explanation: दोनों फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\) है। चूँकि \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता, यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान हमेशा 1 रहता है। इसलिए परिसर केवल \(\{1\}\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का गुणनफल सरल करके स्थिर फलन पहचानें। / The product is \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\). Since \(x^2+1\) is never zero, the product is defined for every real \(x\), but its value is always 1. Hence, its range is only \(\{1\}\). Exam tip: simplify the product first and check whether it becomes a constant function.