Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\frac{g}{f}=\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), पर \(x\ne -2\)। रद्द किए गए गुणनखंड का शून्य भी हटाएँ। / (\frac{g}{f}=\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but \(x\ne -2\). Exclude the zero of the cancelled factor too.
अंश के मूल से \(2x-3\ge 0\) और हर के मूल से (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ) है। / The numerator root needs \(2x-3\ge 0\), and the denominator root needs (7-x>0). Therefore the domain is \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ).
भाजक (g(x)=x+1) है, इसलिए \(x\ne -1\)। अंश के लिए कोई अतिरिक्त वास्तविक प्रतिबंध नहीं है। / The denominator is (g(x)=x+1), so \(x\ne -1\). The numerator gives no additional real restriction.
भाजक \(\sqrt{x-2}\) है, इसलिए (x-2>0) चाहिए। भागफल में हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator is \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0). In a quotient, the denominator cannot be zero.
भाजक \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) होना चाहिए। भागफल में हर कभी (0) नहीं हो सकता। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0). In a quotient, the denominator can never be (0).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। भागफल में भाजक फलन शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\) and the denominator needs \(x\ne 4\). In a quotient, the denominator function must not be zero.
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x\ge2\) और हर \(x-5\neq0\) चाहिए। इसलिए \( [2,\infty\)-{5} ) सही है। / For \(\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\), and the denominator needs \(x-5\neq0\). Hence \( [2,\infty\)-{5} ) is correct.
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए कोई वास्तविक संख्या हटेगी नहीं। हर को शून्य बनाने वाली वास्तविक संख्या ही हटाई जाती है। / The denominator \(x^2+1\) is never (0), so no real number is excluded. Only real zeros of the denominator are removed.
हर (g(x)) है, इसलिए \(\sqrt{x-1}\neq0\) और (x>1) चाहिए। भाग में हर वाले मूल को शून्य नहीं होने देना है। / The denominator is (g(x)), so \(\sqrt{x-1}\neq0\) and (x>1) are required. In division, the denominator radical cannot be zero.
(g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, और तब (f(x)\neq0) अपने आप सत्य है। इसलिए डोमेन \( [1,\infty\) ) है। / For (g), \(x\ge1\) is needed, and then (f(x)\neq0) is automatically true. Hence the domain is \( [1,\infty\) ).
(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), पर (h(x)\neq0) से \(x\neq\pm2\) है। सरलीकरण के बाद भी मूल हर की रोक बनी रहती है। / (\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), but (h(x)\neq0) gives \(x\neq\pm2\). The original denominator restriction remains after simplification.
हर जगह (g(x)\neq0) चाहिए, और \(x^2-4=0\) से \(x=\pm2\) मिलते हैं। भाग वाले प्रश्नों में हर के शून्य हमेशा हटाएं। / We need (g(x)\neq0), and \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm2\). In quotient questions, always exclude zeros of the denominator.
भाग में (g(x)\ne 0) चाहिए, इसलिए \(x+1\ne 0\) और \(x\ne -1\)। अंश शून्य हो सकता है। / In division, (g(x)\ne 0), so \(x+1\ne 0\) and \(x\ne -1\). The numerator may be zero.
quotient में denominator (g(x)=x) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\neq 0\)। simplify करने से पहले restriction लगाएं। / In a quotient, the denominator (g(x)=x) must not be zero, so \(x\neq 0\). Apply the restriction before simplifying.
\(\frac{g}{f}\) में हर (f(x)=x+1) है, इसलिए (x=-1) हटेगा। भागफल में हर वाले फलन को ध्यान से देखें। / In \(\frac{g}{f}\), the denominator is (f(x)=x+1), so (x=-1) is excluded. Identify the denominator function carefully.
भागफल में (g(x)\ne 0) होना चाहिए। (x-5=0) से (x=5), इसलिए (5) हटेगा। / For a quotient, (g(x)\ne 0) is required. Since (x-5=0) gives (x=5), exclude (5).
