Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-4}{x-2}=x+2) पर \(x\ne 2\)। सरल करने के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-4}{x-2}=x+2) but \(x\ne 2\). Even after simplifying do not forget the original denominator restriction.
भाग देने पर \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\) मिलता है। मूल (g) के लिए \(x\ne -1\) भी जरूरी है। / Dividing gives \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\). The original (g) also requires \(x\ne -1\).
(f) के लिए \(x\ne 3\), (g) के लिए \(x\ne 0\), और भाजक (g(x)\ne 0) से \(x\ne 3\)। सभी प्रतिबंध मिलाकर \(x\ne 0,3\) मिलते हैं। / (f) needs \(x\ne 3\), (g) needs \(x\ne 0\), and divisor (g(x)\ne 0) gives \(x\ne 3\). Together, \(x\ne 0,3\).
सरलीकरण के बाद भी मूल हर \(x-2\ne 0\) होना चाहिए। रद्द करने से हटे हुए मान वापस प्रांत में नहीं आते। / Even after simplification, the original denominator must satisfy \(x-2\ne 0\). Cancelled denominator values do not return to the domain.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+2\ge0\) और \(6-x\ge0\), इसलिए \(-2\le x\le6\)। हर (f(x)+g(x)) इस अंतराल में (0) नहीं होता, इसलिए कोई बिंदु हटता नहीं है। / For both square roots, \(x+2\ge0\) and \(6-x\ge0\), so \(-2\le x\le6\). The denominator (f(x)+g(x)) is never (0) on this interval, so no point is removed.
(\frac{f}{g}=\frac{(x-3)2}{x-3}=x-3), जहाँ \(x\ne3\)। (x=5) पर मान (2) है। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-3)2}{x-3}=x-3), where \(x\ne3\). At (x=5), the value is (2).
(\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}) है, पर (x=-2) पर मूल हर (0) है। कटाव के बाद भी वह बिंदु प्रांत में वापस नहीं आता। / (\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}), but at (x=-2) the original denominator is (0). Cancellation does not bring that point back into the domain.
(f) के लिए \(x\ge4\) और (g) के लिए \(x\ne6\)। \(\frac{f}{g}\) में (g(x)\ne0) भी चाहिए, पर \(\frac{1}{x-6}\) कभी (0) नहीं होता। / For (f), \(x\ge4\), and for (g), \(x\ne6\). In \(\frac{f}{g}\), (g(x)\ne0) is also needed, but \(\frac{1}{x-6}\) is never (0).
\(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\)। मूल फलनों के कारण \(x\ne0,-1\) रहेगा। / \(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\). Because of the original functions, \(x\ne0,-1\) remains.
(\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2})। दोनों मूल फलनों के प्रतिबंध \(x\ne\pm2\) रहेंगे। / (\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2}). The restrictions \(x\ne\pm2\) from the original functions remain.
हर में \(\sqrt{x+2}\) है, इसलिए (x+2>0) चाहिए। अतः (x>-2), भले ही अंश कहीं भी परिभाषित हो। / The denominator is \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. Hence (x>-2), regardless of where the numerator is defined.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए भागफल (x-3) है और (x=2) निषिद्ध है। गुणनखंडन के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध रखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3) and (x=2) is excluded. Keep the original denominator restriction after factorization.
(\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), पर (x=-2) निषिद्ध रहेगा। कटाव के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / (\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but (x=-2) remains excluded. Do not forget the original denominator restriction after cancellation.
