Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
B. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients, check whether the value inside the root becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में मूल के अंदर का भाग पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं, यह देखें।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) are both irrational and different.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A common irrational factor can cancel in a quotient. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं और अलग-अलग हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में समान अपरिमेय गुणनखंड कट सकता है।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times27+111=3024+111=3135\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 111 is less than divisor 112, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(112\times27+111=3024+111=3135\)। चरण 3: शेषफल 111, भाजक 112 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(143\times23=3289\).
Step 3
Exam Tip
In least-value questions, taking the remainder as zero is the clearest method. चरण 1: संख्या \(143\times23+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(143\times23=3289\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेना सबसे साफ तरीका है।
Find the nearest lower multiple of 238 below 4961.
Step 2
Why this answer is correct
\(238\times20=4760\), so the remainder is (4961-4760=201).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is smaller than 238, this is the valid Euclidean form. चरण 1: 238 का 4961 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(238\times20=4760\), इसलिए शेषफल (4961-4760=201) है। चरण 3: शेषफल 238 से छोटा है, इसलिए यही वैध यूक्लिडीय रूप है।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(96\times31+95=2976+95=3071\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 95 is less than divisor 96, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(96\times31+95=2976+95=3071\)। चरण 3: शेषफल 95, भाजक 96 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(118\times19=2242\).
Step 3
Exam Tip
For least value questions, using remainder zero is the most direct method. चरण 1: संख्या \(118\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(118\times19=2242\) है। चरण 3: न्यूनतम मान के प्रश्न में शेषफल शून्य रखना सबसे सीधा तरीका है।
Find the nearest lower multiple of 173 below 3876.
Step 2
Why this answer is correct
\(173\times22=3806\), so the remainder is (3876-3806=70).
Step 3
Exam Tip
In a valid answer, the remainder must be less than 173. चरण 1: 173 का 3876 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(173\times22=3806\), इसलिए शेषफल (3876-3806=70) है। चरण 3: वैध उत्तर में शेषफल 173 से छोटा होना चाहिए।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(76\times24+75=1824+75=1899\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 75 is less than divisor 76, so this form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(76\times24+75=1824+75=1899\)। चरण 3: शेषफल 75, भाजक 76 से छोटा है, इसलिए यह रूप वैध है।
The number is of the form \(64\times37+r\), where \(0\le r<64\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 63, so the number is (2368+63=2431).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, take the remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(64\times37+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<64\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 63 होगा, इसलिए संख्या (2368+63=2431) है। चरण 3: अधिकतम मान के लिए शेषफल को भाजक से एक कम लें।
Find the nearest lower multiple of 156 below 2547.
Step 2
Why this answer is correct
\(156\times16=2496\), so the remainder is (2547-2496=51).
Step 3
Exam Tip
In a valid Euclidean form, the remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: 156 का 2547 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(156\times16=2496\), इसलिए शेषफल (2547-2496=51) है। चरण 3: वैध यूक्लिडीय रूप में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(45\times16+44=720+44=764\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 44 is less than divisor 45, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(45\times16+44=720+44=764\)। चरण 3: शेषफल 44, भाजक 45 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
For the least value, (r=0), so the number is \(57\times18=1026\).
Step 3
Exam Tip
For a minimum value, start with remainder zero. चरण 1: संख्या \(57\times18+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(57\times18=1026\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल हमेशा शून्य मानकर शुरू करें।
Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times15+31=480+31=511\).
Step 3
Exam Tip
Remainder 31 is less than divisor 32, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(32\times15+31=480+31=511\)। चरण 3: शेषफल 31, भाजक 32 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
The number is of the form \(31\times27+r\), where \(0\le r<31\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 30, so the number is (837+30=867).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, take the remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(31\times27+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<31\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 30 होगा, इसलिए संख्या (837+30=867) है। चरण 3: अधिकतम मान के लिए शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें।
The greatest value of (r) is 20, so the number is (651+20=671).
Step 3
Exam Tip
In such questions, take the maximum remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(21\times31+r\) होगी। चरण 2: (r) का सबसे बड़ा मान 20 है, इसलिए संख्या (651+20=671) होगी। चरण 3: ऐसे सवालों में अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें।
For the least value, take (r=0), so the number is \(21\times31=651\).
Step 3
Exam Tip
For the least possible number, use remainder zero. चरण 1: संख्या \(=21\times31+r\), जहाँ \(0\le r<21\)। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(21\times31=651\) है। चरण 3: सबसे छोटा मान निकालते समय शेषफल शून्य लें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(18\times24+17=432+17=449\).
Step 3
Exam Tip
Finally check that remainder 17 is less than divisor 18. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(18\times24+17=432+17=449\)। चरण 3: अंतिम जांच करें कि शेषफल 17, भाजक 18 से छोटा है।
Since (280) is greater than (275), the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the quotient whose product does not exceed the dividend. चरण 1: \(28 \times 9=252\) और \(28 \times 10=280\) है। चरण 2: (280), (275) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) है। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
The quotient is the greatest integer whose product with the divisor does not exceed the dividend. चरण 1: \(33 \times 30=990\) और \(33 \times 31=1023\) है। चरण 2: (1023) बड़ा है, इसलिए भागफल (30) होगा। चरण 3: भागफल वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
The product equals the dividend, so the quotient is (23).
Step 3
Exam Tip
When the remainder is (0), the chosen multiplier is the correct quotient. चरण 1: \(23 \times 23=529\) मिलता है। चरण 2: गुणनफल भाज्य के बराबर है, इसलिए भागफल (23) है। चरण 3: जब शेषफल (0) हो, तो चुना गया गुणक ही सही भागफल होता है।
Since (455) is greater than (437), the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
Checking the next multiple helps in choosing the quotient. चरण 1: \(35 \times 12=420\) और \(35 \times 13=455\) है। चरण 2: (455), (437) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) होगा। चरण 3: भागफल चुनने में अगले गुणज की जाँच मदद करती है।
B. भागफल (12), शेषफल (18)/Quotient (12), remainder (18)
Step 1
Concept
\(19 \times 12=228\) and \(19 \times 13=247\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (247) is greater, the remainder is (246-228=18).
Step 3
Exam Tip
If the next multiple is greater, use the previous multiple. चरण 1: \(19 \times 12=228\) और \(19 \times 13=247\) है। चरण 2: (247) बड़ा है, इसलिए (246-228=18) शेषफल होगा। चरण 3: अगला गुणज बड़ा हो तो पिछले गुणज का प्रयोग करें।
A. भागफल (13), शेषफल (1)/Quotient (13), remainder (1)
Step 1
Concept
\(12 \times 13=156\) and \(12 \times 14=168\).
Step 2
Why this answer is correct
(156) is the nearest smaller multiple of (12), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In the correct answer, the remainder must be less than the divisor and not negative. चरण 1: \(12 \times 13=156\) और \(12 \times 14=168\) है। चरण 2: (156), (157) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: सही उत्तर में शेषफल भाजक से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
If the product is exactly equal to the dividend, that multiplier is the quotient and the remainder is (0). चरण 1: \(37 \times 27=999\) है। चरण 2: इसलिए भागफल (27) और शेषफल (0) है। चरण 3: यदि गुणनफल बिल्कुल भाज्य के बराबर हो, तो भागफल वही और शेषफल (0) होता है।
The number multiplied with (8) is (9), so (9) is the quotient.
Step 3
Exam Tip
To identify the quotient, look at the multiplier written with the divisor. चरण 1: (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (8) के साथ गुणा होने वाली संख्या (9) है, इसलिए (9) भागफल है। चरण 3: भागफल को पहचानने के लिए भाजक के साथ लिखे गुणक को देखें।
Since (324) is greater than (310), the quotient is (11).
Step 3
Exam Tip
Always check the next multiple when choosing the quotient. चरण 1: \(27 \times 11=297\) और \(27 \times 12=324\) है। चरण 2: (324), (310) से बड़ा है, इसलिए भागफल (11) होगा। चरण 3: भागफल चुनने में अगला गुणज जरूर जाँचें।
A. भागफल (12), शेषफल (2)/Quotient (12), remainder (2)
Step 1
Concept
\(11 \times 12=132\) and \(11 \times 13=143\).
Step 2
Why this answer is correct
(132) is the nearest smaller multiple of (11), so the remainder is (134-132=2).
Step 3
Exam Tip
The remainder in the answer must always be less than the divisor. चरण 1: \(11 \times 12=132\) और \(11 \times 13=143\) है। चरण 2: (132), (134) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (134-132=2) है। चरण 3: उत्तर में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
\(17 \times 13=221\), which is greater than (208), so the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
While choosing the quotient, also check the next multiple. चरण 1: \(17 \times 12=204\) है। चरण 2: \(17 \times 13=221\), जो (208) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) है। चरण 3: भागफल चुनते समय अगले गुणज को भी जाँचें।
The number multiplied with (9) is (8), so the quotient is (8).
Step 3
Exam Tip
The quotient is written as the multiplier of the divisor. चरण 1: रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (9) के साथ गुणा होने वाली संख्या (8) है, इसलिए भागफल (8) है। चरण 3: भागफल हमेशा भाजक के साथ गुणा होकर लिखा जाता है।
A. भागफल (4), शेषफल (1)/Quotient (4), remainder (1)
Step 1
Concept
\(25 \times 4=100\).
Step 2
Why this answer is correct
(101-100=1), so the quotient is (4) and the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
The remainder should be neither negative nor equal to the divisor. चरण 1: \(25 \times 4=100\) है। चरण 2: (101-100=1), इसलिए भागफल (4) और शेषफल (1) है। चरण 3: शेषफल न तो ऋणात्मक होना चाहिए और न ही भाजक के बराबर।
Since (96) is greater than (95), the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
The quotient is the greatest integer whose product with the divisor does not exceed the dividend. चरण 1: \(12 \times 7=84\) और \(12 \times 8=96\) है। चरण 2: (96), (95) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल सबसे बड़ा ऐसा पूर्णांक होता है जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
(259) is greater than (250), so the quotient is (6).
Step 3
Exam Tip
Checking the next multiple helps choose the correct quotient. चरण 1: \(37 \times 6=222\) और \(37 \times 7=259\)। चरण 2: (259) (250) से बड़ा है, इसलिए भागफल (6) होगा। चरण 3: अगला गुणज जाँचने से भागफल सही चुना जाता है।
B. भागफल (12), शेषफल (5)/Quotient (12), remainder (5)
Step 1
Concept
\(30 \times 12=360\).
Step 2
Why this answer is correct
(365-360=5), so the quotient is (12) and the remainder is (5).
Step 3
Exam Tip
Keeping the remainder smaller than the divisor decides whether the answer is valid. चरण 1: \(30 \times 12=360\)। चरण 2: (365-360=5), इसलिए भागफल (12) और शेषफल (5) है। चरण 3: शेषफल को भाजक से छोटा रखना उत्तर की वैधता तय करता है।
\(17 \times 7=119\) and \(17 \times 8=136\), which is greater than (126). So the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
The quotient is the greatest integer for which the product does not exceed the number. चरण 1: (17) के गुणज देखें। चरण 2: \(17 \times 7=119\) और \(17 \times 8=136\), जो (126) से बड़ा है। इसलिए भागफल (7) है। चरण 3: भागफल सबसे बड़ा ऐसा पूर्णांक होता है जिससे गुणनफल संख्या से अधिक न हो।
A. भागफल (7), शेषफल (8)/Quotient (7), remainder (8)
Step 1
Concept
Dividing (71) by (9), we get \(9 \times 7=63\).
Step 2
Why this answer is correct
(71-63=8), so the quotient is (7) and the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: (71) को (9) से भाग देने पर \(9 \times 7=63\) मिलता है। चरण 2: (71-63=8), इसलिए भागफल (7) और शेषफल (8) है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जाँचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
A. भागफल (9), शेषफल (6)/Quotient (9), remainder (6)
Step 1
Concept
Compare with the form (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
(16) is the divisor, (9) is the quotient, and (6) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Remainder (6) is less than (16), so the form is correct. चरण 1: रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (16) भाजक है, (9) भागफल है और (6) शेषफल है। चरण 3: शेषफल (6), (16) से छोटा है, इसलिए रूप सही है।
(130) is greater than (121), so the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, always take the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10 \times 12=120\) और \(10 \times 13=130\) है। चरण 2: (130), (121) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) है। चरण 3: भागफल के लिए हमेशा निकटतम छोटा गुणज लें।
(112) is greater than (99), so the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, choose a multiple less than or equal to the dividend. चरण 1: \(14 \times 7=98\) और \(14 \times 8=112\) है। चरण 2: (112), (99) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल के लिए भाज्य से छोटा या बराबर गुणज चुनें।
(35-32=3), so (r=3). चरण 1: \(4 \times 8=32\) और \(4 \times 9=36\) है। चरण 2: (36), (35) से बड़ा है, इसलिए (q=8) होगा। चरण 3: (35-32=3), इसलिए (r=3) है।
(120) is greater than (112), so the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
While choosing the quotient, do not take a multiple greater than the dividend. चरण 1: \(15 \times 7=105\) और \(15 \times 8=120\) है। चरण 2: (120), (112) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल चुनते समय भाज्य से बड़ा गुणज नहीं लेना चाहिए।
(76-72=4), so the quotient is (8) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
In exams, finally check that the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(9 \times 8=72\) और \(9 \times 9=81\) है। चरण 2: (76-72=4), इसलिए भागफल (8) और शेषफल (4) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम जांच करें कि शेषफल भाजक से छोटा है।
Since (28) is greater than (27), the quotient is (6).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, choose a multiple that does not exceed the dividend. चरण 1: \(4\times6=24\) और \(4\times7=28\) है। चरण 2: (28), (27) से बड़ा है, इसलिए भागफल (6) होगा। चरण 3: भागफल के लिए ऐसा गुणज चुनें जो भाज्य से अधिक न हो।
A. भागफल (11), शेषफल (1)/Quotient (11), remainder (1)
Step 1
Concept
\(9\times11=99\).
Step 2
Why this answer is correct
(100-99=1), so the quotient is (11) and the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
Do not accept options with an oversized remainder in Euclid’s lemma. चरण 1: \(9\times11=99\) है। चरण 2: (100-99=1), इसलिए भागफल (11) और शेषफल (1) है। चरण 3: बड़े शेषफल वाले विकल्प को यूक्लिड प्रमेय में स्वीकार न करें।
The division is exact, so the quotient is (12) and the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Strong multiplication tables make such questions quick. चरण 1: \(7\times12=84\) है। चरण 2: विभाजन पूरा है, इसलिए भागफल (12) और शेषफल (0) है। चरण 3: गुणन तालिका मजबूत हो तो ऐसे प्रश्न तुरंत हल होते हैं।
The quotient is decided by the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10\times10=100\) है। चरण 2: \(101=10\times10+1\), इसलिए भागफल (10) है। चरण 3: शेषफल छोटा हो तो भी भागफल निकटतम छोटे गुणज से तय होता है।
In \(12\times4\), the number (4) is in the place of the quotient.
Step 3
Exam Tip
Match the whole form to identify divisor and quotient. चरण 1: (a=bq+r) में (q) भागफल है। चरण 2: \(12\times4\) में (4) भागफल के स्थान पर है। चरण 3: भाजक और भागफल को पहचानते समय पूरे रूप को मिलाएं।
A. भागफल (5), शेषफल (5)/Quotient (5), remainder (5)
Step 1
Concept
We can write \(35=6\times5+5\).
Step 2
Why this answer is correct
The quotient is (5) and the remainder is (5), which is less than (6).
Step 3
Exam Tip
The remainder must never be equal to or greater than the divisor. चरण 1: \(35=6\times5+5\) लिखा जा सकता है। चरण 2: यहां भागफल (5) और शेषफल (5) है, जो (6) से छोटा है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर या उससे बड़ा नहीं होना चाहिए।
(50) is greater than (47), so the quotient is (4).
Step 3
Exam Tip
Decide the quotient using the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10 \times 4=40\) और \(10 \times 5=50\) है। चरण 2: (50), (47) से बड़ा है, इसलिए भागफल (4) होगा। चरण 3: भागफल निकटतम छोटे गुणज से तय करें।
(60) is greater than (58), so the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the quotient so that the product does not exceed the dividend. चरण 1: \(6 \times 9=54\) और \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (60), (58) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) होगा। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणज भाज्य से बड़ा न हो।
(45) is greater than (44), so the quotient is (4).
Step 3
Exam Tip
While choosing the quotient, do not take a multiple greater than the dividend. चरण 1: \(9 \times 4=36\) और \(9 \times 5=45\) है। चरण 2: (45), (44) से बड़ा है, इसलिए भागफल (4) होगा। चरण 3: भागफल चुनते समय भाज्य से बड़ा गुणज न लें।
The number multiplied with the divisor is the quotient. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: \(81=10 \times 8+1\) में (q=8) है। चरण 3: गुणा में भाजक के बाद आने वाली संख्या भागफल होती है।
The number is of the form \(87\times46+r\), where \(0\le r<87\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 86, so the number is (4002+86=4088).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, the remainder is always one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(87\times46+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<87\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 86 है, इसलिए संख्या (4002+86=4088) है। चरण 3: अधिकतम मान में शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लिया जाता है।
The number has the form \(73\times41+r\), where \(0\le r<73\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 72, so the number is (2993+72=3065).
Step 3
Exam Tip
For the greatest number, take the remainder one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(73\times41+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<73\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 72 है, इसलिए संख्या (2993+72=3065) है। चरण 3: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल को भाजक से एक कम लें।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(91\times28=2548\).
Step 3
Exam Tip
In minimum value questions, taking remainder zero gives the answer quickly. चरण 1: संख्या \(91\times28+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(91\times28=2548\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेने से उत्तर तुरंत मिलता है।
The number has the form \(39\times22+r\), where \(0\le r<39\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 38, so the number is (858+38=896).
Step 3
Exam Tip
For the greatest number, take the remainder one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(39\times22+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<39\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 38 होगा, इसलिए संख्या (858+38=896) है। चरण 3: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल भाजक से एक कम लें।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(46\times19=874\).
Step 3
Exam Tip
For minimum value questions, taking remainder zero is the safest method. चरण 1: संख्या \(46\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(46\times19=874\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल शून्य लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
\(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be less than 84 for the form to be valid. चरण 1: 84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। चरण 3: अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है।
The greatest multiple not exceeding 314 is 297, so the remainder is 17.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor. चरण 1: \(27\times11=297\) और \(27\times12=324\) है। चरण 2: 314 से कम सबसे बड़ा गुणज 297 है, इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या भाजक से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
By the division lemma, number \(=37\times18+r\), where \(0\le r<37\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 36, so the number is (666+36=702).
Step 3
Exam Tip
The greatest remainder is always one less than the divisor. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय से संख्या \(=37\times18+r\), जहाँ \(0\le r<37\)। चरण 2: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल 36 होगा, इसलिए संख्या (666+36=702) नहीं, बल्कि \(37\times18=666\) और (666+36=702)। चरण 3: अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से 1 कम होता है।
Matching words with symbols before calculation reduces mistakes. चरण 1: भाज्य निकालने के लिए (a=bq+r) का प्रयोग करें। चरण 2: \(a=17 \times 11+9=187+9=196\)। चरण 3: शब्दों को प्रतीकों से मिलाकर गणना करने से गलती कम होती है।
First match the given words with symbols, then calculate. चरण 1: भाज्य के लिए (a=bq+r) लगाएं। चरण 2: \(a=15 \times 7+4=105+4=109\)। चरण 3: दिए गए शब्दों को पहले प्रतीकों से मिलाएं, फिर गणना करें।
To find the number, first multiply the divisor and quotient, then add the remainder. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) का प्रयोग करें। चरण 2: \(a=12 \times 9+5=108+5=113\)। चरण 3: संख्या निकालते समय पहले भाजक और भागफल का गुणा करें, फिर शेषफल जोड़ें।
In such questions, first multiply the divisor and quotient, then add the remainder. चरण 1: रूप (a=bq+r) का प्रयोग करें। चरण 2: \(a=9 \times 4+2=36+2=38\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले भाजक और भागफल का गुणा करें फिर शेषफल जोड़ें।
You can check the result by dividing it again by (9). चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें। चरण 2: \(a=9 \times 5+7=45+7=52\)। चरण 3: मिले हुए उत्तर को फिर (9) से भाग देकर जाँच सकते हैं।
In such questions, multiply the divisor and quotient first, then add the remainder. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) का उपयोग करें। चरण 2: \(a=7 \times 11+4=77+4=81\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले भाजक और भागफल का गुणा करें, फिर शेषफल जोड़ें।
Since (3) is less than (7), (q=7,\ r=3) is correct.
Step 3
Exam Tip
Reject negative remainders or remainders equal to the divisor. चरण 1: \(7\times7=49\) और (52-49=3)। चरण 2: (3), (7) से छोटा है, इसलिए (q=7,\ r=3) सही है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक के बराबर शेषफल को तुरंत गलत मानें।
Inside, \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), and applying the power (-2) gives \(\dfrac{1}{a^4b^6}\). In exams, simplify the inside part first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{1}{a^4b^6},\). Inside, \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), and applying the power (-2) gives \(\dfrac{1}{a^4b^6}\). In exams, simplify the inside part first.
Step 3
Exam Tip
अंदर \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), और (-2) घात लगाने पर \(\dfrac{1}{a^4b^6}\) मिलता है। परीक्षा में अंदर का भाग पहले सरल करें।
\(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), so the whole square is \(x^4y^2\). In exams, simplify a negative exponent by moving its position.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,x^4y^2,\). \(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), so the whole square is \(x^4y^2\). In exams, simplify a negative exponent by moving its position.
Step 3
Exam Tip
\(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), इसलिए पूरा वर्ग \(x^4y^2\) है। परीक्षा में ऋणात्मक घातांक को स्थान बदलकर सरल करें।
When bases are the same in division, exponents are subtracted, so \(\frac{10^8}{10^5}=10^3\). Subtract the lower exponent from the upper exponent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(10^3\). When bases are the same in division, exponents are subtracted, so \(\frac{10^8}{10^5}=10^3\). Subtract the lower exponent from the upper exponent.
Step 3
Exam Tip
समान आधार में भाग करने पर घातें घटती हैं इसलिए \(\frac{10^8}{10^5}=10^3\)। भाग में ऊपर की घात से नीचे की घात घटाएँ।
For division with the same base, the denominator exponent is subtracted from the numerator exponent. Thus \(\frac{d^r}{d^s}=d^{r-s}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(d^{r-s}\). For division with the same base, the denominator exponent is subtracted from the numerator exponent. Thus \(\frac{d^r}{d^s}=d^{r-s}\).
Step 3
Exam Tip
समान आधार के भाग में ऊपर की घात से नीचे की घात घटती है। इसलिए \(\frac{d^r}{d^s}=d^{r-s}\) है।
When the base is the same, exponents are subtracted, so \(\frac{8^7}{8^4}=8^3\). Subtract exponents for same-base division.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(8^3\). When the base is the same, exponents are subtracted, so \(\frac{8^7}{8^4}=8^3\). Subtract exponents for same-base division.
Step 3
Exam Tip
समान आधार में भाग करने पर घातें घटती हैं इसलिए \(\frac{8^7}{8^4}=8^3\)। भाग में आधार समान हो तो घात घटाएँ।
In division with the same base, exponents are subtracted, so \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\). The condition \(a\neq0\) is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(a^{m-n}\). In division with the same base, exponents are subtracted, so \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\). The condition \(a\neq0\) is important.
Step 3
Exam Tip
समान आधार के भाग में घातें घटती हैं इसलिए \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)। शर्त \(a\neq0\) जरूरी है।
When the base is same, exponents are subtracted, so \(\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4\). For same-base division, subtract exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(5^4\). When the base is same, exponents are subtracted, so \(\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4\). For same-base division, subtract exponents.
Step 3
Exam Tip
एक ही आधार में भाग करने पर घातें घटती हैं इसलिए \(\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4\)। भाग में आधार समान हो तो घात घटाएँ।
B. अपरिमेय क्योंकि यह \(\sqrt{5}\) के बराबर है/Irrational because it equals \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even after division check the remaining radical. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: हर से भाग देने पर भी बचा हुआ वर्गमूल जांचना जरूरी है।
A. (x) अपरिमेय है और \(x^2\) परिमेय है/(x) is irrational and \(x^2\) is rational
Step 1
Concept
\(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\), which is irrational because \(\frac{3}{2}\) is not a perfect square of a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=\frac{3}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can sometimes be rational. चरण 1: \(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\) है, जो अपरिमेय है क्योंकि \(\frac{3}{2}\) परिमेय पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: \(x^2=\frac{3}{2}\), जो परिमेय है। चरण 3: किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
Rationalize the denominator of \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}), and the denominator is (6-2=4), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Multiplying by the conjugate is effective in such quotients. चरण 1: \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) में हर को संयुग्मी से परिमेय करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}) और नीचे (6-2=4), इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 3: भाग में संयुग्मी से गुणा करना प्रभावी तरीका है।
\(\frac{18}{5}\) is not a perfect square of a rational number, so the result is irrational.
Step 3
Exam Tip
In quotients of radicals, check whether the fraction inside is a perfect square. चरण 1: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{18}{5}}\) है। चरण 2: \(\frac{18}{5}\) किसी परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए परिणाम अपरिमेय है। चरण 3: भाग वाले मूलों में अंदर के भिन्न को पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह देखें।
For (a=50,b=2), it becomes \(\sqrt{25}=5\), which is rational, so it should not be selected.
Step 3
Exam Tip
For an irrational quotient, \(\frac{a}{b}\) should not be a perfect square; none of the listed options gives that. चरण 1: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) है। चरण 2: (a=50,b=2) पर \(\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\), यह परिमेय है; इसलिए इसे नहीं चुनना चाहिए। चरण 3: सही अपरिमेय के लिए भागफल पूर्ण वर्ग न हो, जैसे यहाँ दिए विकल्पों में कोई अपरिमेय परिणाम नहीं बनता।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=6\sqrt{2}\), so \(\frac{y}{\sqrt{2}}=6\).
Step 3
Exam Tip
First add like surds, then divide. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(y=6\sqrt{2}\), इसलिए \(\frac{y}{\sqrt{2}}=6\)। चरण 3: पहले समान मूल वाले पदों को जोड़ें, फिर भाग दें।
The nearest lower multiple below 6789 is 6751, so the remainder is (6789-6751=38).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 157. चरण 1: \(157\times43=6751\) और \(157\times44=6908\) है। चरण 2: 6789 से छोटा निकट गुणज 6751 है, इसलिए शेषफल (6789-6751=38) है। चरण 3: ऋणात्मक या 157 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
The nearest lower multiple below 4097 is 3973, so the remainder is (4097-3973=124).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 137. चरण 1: \(137\times29=3973\) और \(137\times30=4110\) है। चरण 2: 4097 से छोटा निकट गुणज 3973 है, इसलिए शेषफल (4097-3973=124) है। चरण 3: ऋणात्मक या 137 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
The nearest lower multiple below 2026 is 1958, so the remainder is (2026-1958=68).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 89. चरण 1: \(89\times22=1958\) और \(89\times23=2047\) है। चरण 2: 2026 से छोटा निकट गुणज 1958 है, इसलिए शेषफल (2026-1958=68) है। चरण 3: ऋणात्मक या 89 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
The nearest lower multiple of 23 below 511 is 506, so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor. चरण 1: \(23\times22=506\) और \(23\times23=529\) है। चरण 2: 511 से छोटा निकट गुणज 506 है, इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल मानक रूप में स्वीकार न करें।
The nearest lower multiple of 17 below 352 is 340, so the remainder is 12.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 17. चरण 1: \(17\times20=340\) और \(17\times21=357\) है। चरण 2: 352 से छोटा निकट गुणज 340 है, इसलिए शेषफल 12 है। चरण 3: ऋणात्मक या 17 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
The remainder must be less than (39). चरण 1: \(39 \times 2=78\) और \(39 \times 3=117\) है। चरण 2: (117) बड़ा है, इसलिए (q=2) और (r=100-78=22)। चरण 3: शेषफल (39) से छोटा होना चाहिए।
To find the unknown quotient, subtract the remainder first. चरण 1: (a=bq+r) में मान रखें: (108=15q+3)। चरण 2: (105=15q), इसलिए (q=7)। चरण 3: अज्ञात भागफल निकालते समय पहले शेषफल घटाएं।
The number multiplied with (47) is (13), so (13) is the quotient.
Step 3
Exam Tip
To identify the quotient, look at the multiplier written with the divisor. चरण 1: (a=bq+r) में (q) भागफल होता है। चरण 2: (47) के साथ गुणा होने वाली संख्या (13) है, इसलिए (13) भागफल है। चरण 3: भागफल पहचानने के लिए भाजक के साथ लिखे गुणक को देखें।
