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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\) और (f(x)=3x-4), तो (f^{-1}(8)) का मान क्या होगा?

If \(f:R\to R\) and (f(x)=3x-4), what is the value of (f^{-1}(8))?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(f^{-1}(8)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए (f(x)=8)। / (f^{-1}(8)) means the value of (x) for which (f(x)=8).

Step 2

Why this answer is correct

(3x-4=8) से (3x=12), इसलिए (x=4)। / From (3x-4=8), we get (3x=12), so (x=4).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखें। / To find an inverse value, first equate the original function to the given value.

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Question 2/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x^-2+2x), तो (f(x+1)-f(x)) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2+2x), what is (f(x+1)-f(x))?

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Correct Answer

A. (2x+3)

Step 1

Concept

(f(x+1)=(x+1)²+2(x+1)) लिखें। / Write (f(x+1)=(x+1)²+2(x+1)).

Step 2

Why this answer is correct

इसे सरल करने पर \(x^2+4x+3\) मिलता है और (f(x)=x^-2+2x)। / Simplifying gives \(x^2+4x+3\), and (f(x)=x^-2+2x).

Step 3

Exam Tip

अंतर लेने पर (2x+3) मिलता है। / Subtracting gives (2x+3).

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Question 3/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+2}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{x-1}{x+2}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (R-{-2})

Step 1

Concept

भिन्न में हर (x+2) है। / The denominator of the fraction is (x+2).

Step 2

Why this answer is correct

फलन परिभाषित रहने के लिए \(x+2\ne0\), इसलिए \(x\ne-2\)। / For the function to be defined, \(x+2\ne0\), so \(x\ne-2\).

Step 3

Exam Tip

हर को शून्य बनाने वाला मान प्रान्त से हटाया जाता है। / The value that makes the denominator zero is removed from the domain.

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Question 4/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-2x+3), तो (f) का परास क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-2x+3), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. \([2,\infty\))

Step 1

Concept

(x^-2-2x+3=(x-1)²+2) लिखें। / Write (x^-2-2x+3=(x-1)²+2).

Step 2

Why this answer is correct

((x-1)²\ge0), इसलिए (f(x)\ge2)। / Since ((x-1)²\ge0), we have (f(x)\ge2).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान (2) है, इसलिए परास \([2,\infty\)) है। / The minimum value is (2), so the range is \([2,\infty\)).

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Question 5/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=2x+1) और (g(x)=x^-2-1), तो (\(g\circ f\)(2)) का मान क्या होगा?

If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x^-2-1), what is the value of (\(g\circ f\)(2))?

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Correct Answer

A. (24)

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(2)=g(f(2)))। / (\(g\circ f\)(2)=g(f(2))).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=2\cdot2+1=5)। / (f(2)=2\cdot2+1=5).

Step 3

Exam Tip

(g(5)=5²-1=24), इसलिए उत्तर (24) है। / (g(5)=5²-1=24), so the answer is (24).

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Question 6/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x+3) और (g(x)=2x-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?

If (f(x)=x+3) and (g(x)=2x-1), what is (\(f\circ g\)(x))?

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Correct Answer

A. (2x+2)

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g(x)=2x-1) को (f) में रखें। / Put (g(x)=2x-1) into (f).

Step 3

Exam Tip

(f(2x-1)=2x-1+3=2x+2)। / (f(2x-1)=2x-1+3=2x+2).

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Question 7/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x^-2) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If (f(x)=x^-2) and (g(x)=x+1), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?

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Correct Answer

A. दोनों हमेशा समान नहीं हैंThey are not always equal

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)²)। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)²).

Step 2

Why this answer is correct

(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x^-2+1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x^-2+1).

Step 3

Exam Tip

दोनों व्यंजक सामान्यतः समान नहीं हैं, इसलिए क्रम का ध्यान रखें। / These expressions are generally not equal, so order matters.

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Question 8/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=5x-7), तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=5x-7), which statement is correct about (f)?

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Correct Answer

A. यह एक-एकी और आच्छादक हैIt is one-one and onto

Step 1

Concept

(5x-7) अलग-अलग (x) पर अलग-अलग मान देता है, इसलिए एक-एकी है। / (5x-7) gives different values for different (x), so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y+7}{5}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any real (y), choosing \(x=\frac{y+7}{5}\) gives (f(x)=y).

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह आच्छादक भी है। / Therefore it is onto as well.

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Question 9/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+1) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Which statement is correct about \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+1)?

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Correct Answer

A. यह न एक-एकी है न आच्छादकIt is neither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(1)=f(-1)=2), इसलिए यह एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=2), so it is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2+1\ge1\), इसलिए (0) जैसी वास्तविक संख्या छवि नहीं बन सकती। / Since \(x^2+1\ge1\), a real number like (0) cannot be an image.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह आच्छादक भी नहीं है। / Therefore it is not onto either.

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Question 10/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x^-2), तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x^-2), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकी और आच्छादकOne-one and onto

Step 1

Concept

\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग छवि देते हैं। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) इसी प्रान्त में है। / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों है। / Hence the function is both one-one and onto.

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Question 11/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to[0,\infty\)), (f(x)=x^-2), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If \(f:R\to[0,\infty\)), (f(x)=x^-2), which statement is correct about (f)?

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Correct Answer

A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहींIt is onto but not one-one

Step 1

Concept

हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) या \(x=-\sqrt{y}\) मिलता है, इसलिए परास पूरा सहप्रान्त है। / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) or \(x=-\sqrt{y}\) gives an input, so the range equals the codomain.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=1), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

सहप्रान्त बदलने से आच्छादकता बदल सकती है। / Changing the codomain can change onto status.

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Question 12/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\sqrt{x-2}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\sqrt{x-2}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. \([2,\infty\))

Step 1

Concept

वर्गमूल के अंदर (x-2) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। / The expression inside the square root, (x-2), must be non-negative.

Step 2

Why this answer is correct

\(x-2\ge0\) से \(x\ge2\) मिलता है। / \(x-2\ge0\) gives \(x\ge2\).

Step 3

Exam Tip

(x=2) पर मान (0) है, इसलिए (2) शामिल होगा। / At (x=2), the value is (0), so (2) is included.

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Question 13/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (\(1,\infty\))

Step 1

Concept

वर्गमूल के लिए \(x-1\ge0\) चाहिए। / For the square root, \(x-1\ge0\) is needed.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए यह शून्य नहीं हो सकता। / But \(\sqrt{x-1}\) is in the denominator, so it cannot be zero.

Step 3

Exam Tip

अतः (x-1>0), यानी प्रान्त (\(1,\infty\)) है। / Thus (x-1>0), so the domain is (\(1,\infty\)).

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Question 14/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{x+3}{x^-2-9}), तो वास्तविक प्रान्त क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x+3}{x^-2-9}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (R-{-3,3})

Step 1

Concept

हर (x^-2-9=(x-3)(x+3)) है। / The denominator is (x^-2-9=(x-3)(x+3)).

Step 2

Why this answer is correct

हर शून्य न हो, इसलिए \(x\ne3\) और \(x\ne-3\)। / The denominator must not be zero, so \(x\ne3\) and \(x\ne-3\).

Step 3

Exam Tip

ऊपर (x+3) कट सकता है, फिर भी मूल फलन में (x=-3) मान्य नहीं होगा। / Even if (x+3) cancels algebraically, (x=-3) is not allowed in the original function.

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Question 15/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=|x-2|), तो (f^{-1}({3})) कौन-सा समुच्चय है?

If (f(x)=|x-2|), what is the set (f^{-1}({3}))?

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Correct Answer

A. ({-1,5})

Step 1

Concept

(f^{-1}({3})) के लिए (|x-2|=3) हल करें। / For (f^{-1}({3})), solve (|x-2|=3).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x-2=3) या (x-2=-3) मिलता है। / This gives (x-2=3) or (x-2=-3).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=5) या (x=-1), अतः पूर्वछवि ({-1,5}) है। / Hence (x=5) or (x=-1), so the preimage is ({-1,5}).

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Question 16/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), तो (f) कैसा है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकी पर आच्छादक नहींOne-one but not onto

Step 1

Concept

(1,2,3) की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The images of (1,2,3) are distinct, so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(d) सहप्रान्त में है पर किसी की छवि नहीं है। / (d) is in the codomain but is not an image of any element.

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.

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Question 17/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलनों की संख्या कितनी है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many onto functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (6)

Step 1

Concept

कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / Total functions are \(2^3=8\).

Step 2

Why this answer is correct

आच्छादक न होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी अवयव केवल (a) पर जाएँ या केवल (b) पर जाएँ, ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions are those sending all elements only to (a) or only to (b), so there are (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए आच्छादक फलन (8-2=6) होंगे। / Hence onto functions are (8-2=6).

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Question 18/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (5) अवयव हैं, तो (A) से (B) में एक-एकी फलनों की संख्या कितनी है?

If (A) has (3) elements and (B) has (5) elements, how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (60)

Step 1

Concept

एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। / In a one-one function, the three inputs must have distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

पहले आगत के लिए (5), दूसरे के लिए (4), तीसरे के लिए (3) विकल्प हैं। / The first input has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).

Step 3

Exam Tip

कुल \(5\cdot4\cdot3=60\) फलन होंगे। / Total functions are \(5\cdot4\cdot3=60\).

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Question 19/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{a,b,c\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलन बन सकते हैं या नहीं?

If \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{a,b,c\}\), can onto functions from (A) to (B) exist?

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Correct Answer

A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैंNo, because the domain has fewer elements than the codomain

Step 1

Concept

आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ प्रान्त में केवल (2) अवयव हैं, जबकि सहप्रान्त में (3) अवयव हैं। / Here the domain has only (2) elements, while the codomain has (3).

Step 3

Exam Tip

दो आगत तीन अलग छवियों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Two inputs cannot cover three distinct codomain elements, so no onto function exists.

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Question 20/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3-1), तो (f^{-1}(7)) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3-1), what is (f^{-1}(7))?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(f^{-1}(7)) के लिए \(x^3-1=7\) हल करें। / To find (f^{-1}(7)), solve \(x^3-1=7\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3=8\), इसलिए (x=2)। / \(x^3=8\), so (x=2).

Step 3

Exam Tip

घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है। / For a cubic function, the real cube root can be taken directly.

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Question 21/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{2x+1}{3}), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If (f(x)=\frac{2x+1}{3}), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\frac{3x-1}{2}\)

Step 1

Concept

\(y=\frac{2x+1}{3}\) लिखें। / Write \(y=\frac{2x+1}{3}\).

Step 2

Why this answer is correct

(3y=2x+1), इसलिए \(x=\frac{3y-1}{2}\)। / Then (3y=2x+1), so \(x=\frac{3y-1}{2}\).

Step 3

Exam Tip

(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{3x-1}{2})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{3x-1}{2}).

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Question 22/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x^-2) को (R) से (R) में माना जाए, तो प्रतिलोम फलन क्यों नहीं बनता?

If (f(x)=x^-2) is considered from (R) to (R), why does an inverse function not exist?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं हैBecause it is not one-one

Step 1

Concept

प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (f(1)=f(-1)=1), जबकि \(1\ne-1\)। / Here (f(1)=f(-1)=1), while \(1\ne-1\).

Step 3

Exam Tip

एक ही छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता। / Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function.

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Question 23/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x|), तो (f^{-1}({2})) क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x|), what is (f^{-1}({2}))?

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Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

पूर्वछवि निकालने के लिए (|x|=2) हल करें। / To find the preimage, solve (|x|=2).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x=2) या (x=-2) मिलता है। / This gives (x=2) or (x=-2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (f^{-1}({2})={-2,2}) है। / Therefore (f^{-1}({2})={-2,2}).

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Question 24/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4x+5), तो न्यूनतम मान क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4x+5), what is the minimum value?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

(x^-2-4x+5=(x-2)²+1) लिखें। / Write (x^-2-4x+5=(x-2)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

((x-2)²\ge0), इसलिए (f(x)\ge1)। / Since ((x-2)²\ge0), (f(x)\ge1).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान (1) होगा, जो (x=2) पर मिलता है। / The minimum value is (1), attained at (x=2).

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Question 25/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4x+5), तो परास कौन-सा है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4x+5), what is the range?

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Correct Answer

A. \([1,\infty\))

Step 1

Concept

फलन को ((x-2)²+1) के रूप में लिखें। / Write the function as ((x-2)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग का मान शून्य या धनात्मक होता है। / A square is zero or positive.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सबसे छोटा मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। / Therefore the least value is (1), and the range is \([1,\infty\)).

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Question 26/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{x}{x+1}), तो (f(x)=1) का कोई वास्तविक हल है या नहीं?

If (f(x)=\frac{x}{x+1}), does (f(x)=1) have a real solution?

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Correct Answer

A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं हैNo, it has no real solution

Step 1

Concept

\(\frac{x}{x+1}=1\) मानें। / Assume \(\frac{x}{x+1}=1\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x=x+1) मिलता है, जो असंभव है। / This gives (x=x+1), which is impossible.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) इस फलन के परास में नहीं आता। / Therefore (1) is not in the range of this function.

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Question 27/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{x}{x+1}), तो इस फलन का परास कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{x}{x+1}), what is the range of this function?

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Correct Answer

A. (R-{1})

Step 1

Concept

\(y=\frac{x}{x+1}\) लिखें। / Write \(y=\frac{x}{x+1}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x+1)=x) से \(x=\frac{y}{1-y}\) मिलता है, यदि \(y\ne1\)। / From (y(x+1)=x), we get \(x=\frac{y}{1-y}\), if \(y\ne1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (1) नहीं। / Hence every real (y) is possible except (1).

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Question 28/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों आच्छादक हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both onto, what can be said about \(g\circ f\)?

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Correct Answer

A. आच्छादकOnto

Step 1

Concept

(g) आच्छादक है, इसलिए (C) का हर अवयव (B) के किसी अवयव की छवि है। / Since (g) is onto, every element of (C) is the image of some element of (B).

Step 2

Why this answer is correct

(f) आच्छादक है, इसलिए वह (B) के हर जरूरी अवयव तक पहुँच सकता है। / Since (f) is onto, it can reach every needed element of (B).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(g\circ f\) भी (A) से (C) पर आच्छादक होगा। / Therefore \(g\circ f\) is onto from (A) to (C).

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Question 29/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एक-एकी हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what can be said about \(g\circ f\)?

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Correct Answer

A. एक-एकीOne-one

Step 1

Concept

मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).

Step 2

Why this answer is correct

(g) एक-एकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)).

Step 3

Exam Tip

(f) एक-एकी है, इसलिए \(a_1=a_2\), अतः संयुक्त फलन एक-एकी है। / Since (f) is one-one, \(a_1=a_2\), so the composite is one-one.

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Question 30/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f) और (g) एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं, तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?

If (f) and (g) are inverses of each other, what is (\(f\circ g\)(x))?

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Correct Answer

A. (x)

Step 1

Concept

प्रतिलोम फलनों का संयुक्त फलन पहचान फलन देता है। / The composition of inverse functions gives the identity function.

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। / This means applying (g) first and then (f) returns the original value.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)। / Therefore (\(f\circ g\)(x)=x).

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Question 31/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x^-2-1) और (f(a)=8), जहाँ (a>0), तो (a) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2-1) and (f(a)=8), where (a>0), what is (a)?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

(f(a)=a^-2-1) है। / (f(a)=a^-2-1).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2-1=8\) से \(a^2=9\) मिलता है। / From \(a^2-1=8\), we get \(a^2=9\).

Step 3

Exam Tip

(a>0) दिया है, इसलिए (a=3) होगा। / Since (a>0), (a=3).

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Question 32/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+1) एक-एकी है, तो (k) के लिए कौन-सी शर्त चाहिए?

If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+1), is one-one, what condition is needed on (k)?

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Correct Answer

A. \(k\ne0\)

Step 1

Concept

यदि (k=0), तो (f(x)=1) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (k=0), then (f(x)=1) becomes a constant function.

Step 2

Why this answer is correct

स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। / A constant function is not one-one.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(k\ne0\) होने पर रैखिक फलन एक-एकी रहेगा। / Therefore, for the linear function to be one-one, \(k\ne0\).

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Question 33/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+3) आच्छादक है, तो (k) के लिए सही शर्त कौन-सी है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+3), is onto, what is the correct condition on (k)?

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Correct Answer

A. \(k\ne0\)

Step 1

Concept

यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (3) रहेगा। / If (k=0), the function always has value (3).

Step 2

Why this answer is correct

तब परास केवल ({3}) होगा, पूरा (R) नहीं। / Then the range is only ({3}), not all of (R).

Step 3

Exam Tip

इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore, onto requires \(k\ne0\).

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Question 34/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{x-2}{x+2}), तो कौन-सा मान (f) के परास में नहीं आएगा?

If (f(x)=\frac{x-2}{x+2}), which value will not be in the range of (f)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

\(y=\frac{x-2}{x+2}\) लिखें। / Write \(y=\frac{x-2}{x+2}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x+2)=x-2) से (x(y-1)=-2-2y) मिलता है। / From (y(x+2)=x-2), we get (x(y-1)=-2-2y).

Step 3

Exam Tip

(y=1) रखने पर असंभव स्थिति बनती है, इसलिए (1) परास में नहीं है। / Putting (y=1) leads to an impossible statement, so (1) is not in the range.

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Question 35/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{x-2}{x+2}), तो वास्तविक परास क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x-2}{x+2}), what is the real range?

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Correct Answer

A. (R-{1})

Step 1

Concept

\(y=\frac{x-2}{x+2}\) मानें। / Let \(y=\frac{x-2}{x+2}\).

Step 2

Why this answer is correct

हल करने पर (x=\frac{-2(1+y)}{y-1}) मिलता है, जो \(y\ne1\) पर संभव है। / Solving gives (x=\frac{-2(1+y)}{y-1}), which is possible when \(y\ne1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) को छोड़कर सभी वास्तविक मान परास में आते हैं। / Hence all real values except (1) are in the range.

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Question 36/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x^-2) और प्रान्त ({-3,-2,-1,0,1,2,3}) है, तो परास में कितने अवयव होंगे?

If (f(x)=x^-2) and the domain is ({-3,-2,-1,0,1,2,3}), how many elements are in the range?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

दिए गए अवयवों के वर्ग (9,4,1,0,1,4,9) हैं। / The squares of the given elements are (9,4,1,0,1,4,9).

Step 2

Why this answer is correct

परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। / Repeated values are written only once in the range.

Step 3

Exam Tip

परास ({0,1,4,9}) है, इसलिए (4) अवयव हैं। / The range is ({0,1,4,9}), so it has (4) elements.

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Question 37/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b\}\), और \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b)\}\), तो (f) कैसा है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b\}\), and \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. आच्छादक पर एक-एकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

(a) और (b) दोनों छवि के रूप में मिलते हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। / Both (a) and (b) appear as images, so the function is onto.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (2) दोनों (a) पर जाते हैं, इसलिए एक-एकी नहीं है। / Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

आच्छादक और एक-एकी को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Onto and one-one should be checked separately.

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Question 38/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x^-2+1) और (g(x)=\sqrt{x-1}), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2+1) and (g(x)=\sqrt{x-1}), what is (\(g\circ f\)(x))?

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Correct Answer

A. \(\sqrt{x^2}\)

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g) में (x) के स्थान पर \(x^2+1\) रखें। / Put \(x^2+1\) in place of (x) in (g).

Step 3

Exam Tip

(g(f(x))=\sqrt{\(x^2+1\)-1}=\sqrt{x^-2})। / (g(f(x))=\sqrt{\(x^2+1\)-1}=\sqrt{x^-2}).

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Question 39/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\sqrt[3]{x}\)

Step 1

Concept

\(y=x^3\) लिखें। / Write \(y=x^3\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x=\sqrt[3]{y}\) मिलेगा। / Then \(x=\sqrt[3]{y}\).

Step 3

Exam Tip

(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).

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Question 40/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x^-2), तो (f^{-1}(9)) क्या होगा?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x^-2), what is (f^{-1}(9))?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

(f^{-1}(9)) के लिए \(x^2=9\) हल करें। / To find (f^{-1}(9)), solve \(x^2=9\).

Step 2

Why this answer is correct

वास्तविक हल (x=3) और (x=-3) होते हैं। / The real solutions are (x=3) and (x=-3).

Step 3

Exam Tip

प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है। / Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid.

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Question 41/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2), तो (f^{-1}({4})) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2), what is (f^{-1}({4}))?

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Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

पूर्वछवि के लिए \(x^2=4\) हल करें। / For the preimage, solve \(x^2=4\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x=2) या (x=-2) मिलता है। / This gives (x=2) or (x=-2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (f^{-1}({4})={-2,2}) है। / Therefore (f^{-1}({4})={-2,2}).

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Question 42/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=x^-2-3x+2), तो (f(0), f(1), f(2)) में से कौन-से मान शून्य हैं?

If (f(x)=x^-2-3x+2), which of (f(0), f(1), f(2)) are zero?

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Correct Answer

A. (f(1)) और (f(2))(f(1)) and (f(2))

Step 1

Concept

(f(x)=x^-2-3x+2=(x-1)(x-2))। / (f(x)=x^-2-3x+2=(x-1)(x-2)).

Step 2

Why this answer is correct

(x=1) और (x=2) पर गुणनफल शून्य होगा। / At (x=1) and (x=2), the product becomes zero.

Step 3

Exam Tip

(x=0) पर (f(0)=2), इसलिए वह शून्य नहीं है। / At (x=0), (f(0)=2), so it is not zero.

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Question 43/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x|+2), तो परास क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x|+2), what is the range?

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Correct Answer

A. \([2,\infty\))

Step 1

Concept

\(|x|\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(|x|\ge0\) for every real (x).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(|x|+2\ge2\)। / Therefore \(|x|+2\ge2\).

Step 3

Exam Tip

(x=0) पर न्यूनतम मान (2) मिलता है, अतः परास \([2,\infty\)) है। / At (x=0), the minimum value (2) is obtained, so the range is \([2,\infty\)).

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Question 44/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x|+2), तो यह आच्छादक क्यों नहीं है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x|+2), why is it not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि (1) इसकी छवि नहीं हो सकताBecause (1) cannot be its image

Step 1

Concept

(|x|+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (|x|+2) is always at least (2).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रान्त (R) में (1) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain (R) contains (1), but it cannot be the image of any (x).

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.

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Question 45/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (A) में (5) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?

If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (5) elements, how many elements will (B) have?

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Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

उभयैक फलन में हर अवयव का मिलान ठीक एक-एक तरीके से होता है। / In a bijective function, elements are matched exactly one-to-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.

Step 3

Exam Tip

(A) में (5) अवयव हैं, अतः (B) में भी (5) होंगे। / Since (A) has (5) elements, (B) also has (5).

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Question 46/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to A\) ऐसे हैं कि \(g\circ f=I_A\) और \(f\circ g=I_B\), तो (g) क्या है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to A\) satisfy \(g\circ f=I_A\) and \(f\circ g=I_B\), what is (g)?

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Correct Answer

A. (f) का प्रतिलोमInverse of (f)

Step 1

Concept

दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। / Both compositions give identity functions.

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को उलटते हैं। / This means (f) and (g) undo each other's action.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(g=f^{-1}\) होगा। / Therefore \(g=f^{-1}\).

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Question 47/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=2x+5), तो (f^{-1}(13)) का मान क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=2x+5), what is the value of (f^{-1}(13))?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(f^{-1}(13)) का अर्थ है वह (x), जिसके लिए (f(x)=13)। / (f^{-1}(13)) means the value of (x) for which (f(x)=13).

Step 2

Why this answer is correct

(2x+5=13) से (2x=8), इसलिए (x=4)। / From (2x+5=13), we get (2x=8), so (x=4).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम मान निकालते समय मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखें। / While finding an inverse value, equate the original function to the given value.

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Question 48/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=x^-2-3x), तो (f(x+2)-f(x)) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2-3x), what is (f(x+2)-f(x))?

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Correct Answer

A. (4x-2)

Step 1

Concept

(f(x+2)=(x+2)²-3(x+2)) लिखें। / Write (f(x+2)=(x+2)²-3(x+2)).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर \(x^2+x-2\) मिलता है। / Simplifying gives \(x^2+x-2\).

Step 3

Exam Tip

अब (x^-2+x-2-\(x^2-3x\)=4x-2)। / Now (x^-2+x-2-\(x^2-3x\)=4x-2).

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Question 49/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{x+4}{x-3}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{x+4}{x-3}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (R-{3})

Step 1

Concept

भिन्न में हर (x-3) है। / The denominator of the fraction is (x-3).

Step 2

Why this answer is correct

हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x-3\ne0\)। / The denominator cannot be zero, so \(x-3\ne0\).

Step 3

Exam Tip

(x=3) को हटाकर बाकी सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त में रहेंगी। / Removing (x=3), all other real numbers remain in the domain.

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Question 50/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+4x+7), तो (f) का परास क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+4x+7), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. \([3,\infty\))

Step 1

Concept

(x^-2+4x+7=(x+2)²+3) लिखें। / Write (x^-2+4x+7=(x+2)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

((x+2)²\ge0), इसलिए (f(x)\ge3)। / Since ((x+2)²\ge0), (f(x)\ge3).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान (3) है, अतः परास \([3,\infty\)) है। / The minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)).

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Question 51/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=3x-2) और (g(x)=x+5), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?

If (f(x)=3x-2) and (g(x)=x+5), what is (\(f\circ g\)(x))?

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Correct Answer

A. (3x+13)

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g(x)=x+5) को (f) में रखें। / Put (g(x)=x+5) into (f).

Step 3

Exam Tip

(f(x+5)=3(x+5)-2=3x+13)। / (f(x+5)=3(x+5)-2=3x+13).

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Question 52/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=x^-2+2) और (g(x)=x-1), तो (\(f\circ g\)(x)) तथा (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If (f(x)=x^-2+2) and (g(x)=x-1), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?

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Correct Answer

A. दोनों सामान्यतः समान नहीं हैंThey are generally not equal

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(x-1)=(x-1)²+2)। / (\(f\circ g\)(x)=f(x-1)=(x-1)²+2).

Step 2

Why this answer is correct

(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2+2\)=x^-2+1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2+2\)=x^-2+1).

Step 3

Exam Tip

दोनों व्यंजक सामान्यतः अलग हैं, इसलिए संयुक्त फलन में क्रम महत्वपूर्ण है। / The expressions are generally different, so order is important in composition.

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Question 53/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=7x+2), तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=7x+2), which statement is correct about (f)?

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Correct Answer

A. यह एक-एकी और आच्छादक हैIt is one-one and onto

Step 1

Concept

(7x+2) में (x) बदलने पर मान भी अलग बदलता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / In (7x+2), different (x) values give different outputs, so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(y\in R\) के लिए \(x=\frac{y-2}{7}\) लिया जा सकता है। / For any \(y\in R\), choose \(x=\frac{y-2}{7}\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर वास्तविक (y) छवि बनता है और फलन आच्छादक है। / Thus every real (y) is an image, so the function is onto.

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Question 54/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-5) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Which statement is correct about \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-5)?

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Correct Answer

A. यह न एक-एकी है न आच्छादकIt is neither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(2)=f(-2)=-1), इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। / (f(2)=f(-2)=-1), so the function is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2-5\ge-5\), इसलिए (-6) जैसी संख्या छवि नहीं बन सकती। / Since \(x^2-5\ge-5\), a number like (-6) cannot be an image.

Step 3

Exam Tip

अतः यह आच्छादक भी नहीं है। / Hence it is not onto either.

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Question 55/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-1), तो (f) कैसा है?

If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-1), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकी और आच्छादकOne-one and onto

Step 1

Concept

अलग-अलग (x) के लिए (x-1) अलग-अलग होता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / For different (x), (x-1) is different, so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\ge0\) के लिए (x=y+1), जो प्रान्त \([1,\infty\)) में है। / For every \(y\ge0\), (x=y+1), which lies in the domain \([1,\infty\)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक भी है। / Hence the function is onto as well.

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Question 56/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to[4,\infty\)), (f(x)=x^-2+4), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If \(f:R\to[4,\infty\)), (f(x)=x^-2+4), which statement is correct about (f)?

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Correct Answer

A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहींIt is onto but not one-one

Step 1

Concept

हर \(y\ge4\) के लिए \(x=\sqrt{y-4}\) या \(x=-\sqrt{y-4}\) मिल सकता है, इसलिए आच्छादक है। / For every \(y\ge4\), \(x=\sqrt{y-4}\) or \(x=-\sqrt{y-4}\) can be chosen, so it is onto.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=f(-1)=5), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=5), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

सहप्रान्त बदलने से आच्छादकता की स्थिति बदल सकती है। / Changing the codomain can change onto status.

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Question 57/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\sqrt{2x-6}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\sqrt{2x-6}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. \([3,\infty\))

Step 1

Concept

वर्गमूल के अंदर (2x-6) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। / The expression inside the square root, (2x-6), must be non-negative.

Step 2

Why this answer is correct

\(2x-6\ge0\) से \(x\ge3\) मिलता है। / From \(2x-6\ge0\), we get \(x\ge3\).

Step 3

Exam Tip

(x=3) पर मान (0) है, इसलिए (3) शामिल होगा। / At (x=3), the value is (0), so (3) is included.

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Question 58/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (\(-2,\infty\))

Step 1

Concept

वर्गमूल के लिए \(x+2\ge0\) चाहिए। / For the square root, \(x+2\ge0\) is needed.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन वही वर्गमूल हर में है, इसलिए वह शून्य नहीं हो सकता। / But the same square root is in the denominator, so it cannot be zero.

Step 3

Exam Tip

अतः (x+2>0), यानी प्रान्त (\(-2,\infty\)) है। / Thus (x+2>0), so the domain is (\(-2,\infty\)).

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Question 59/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{x-4}{x^-2-16}), तो वास्तविक प्रान्त क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x-4}{x^-2-16}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (R-{-4,4})

Step 1

Concept

हर (x^-2-16=(x-4)(x+4)) है। / The denominator is (x^-2-16=(x-4)(x+4)).

Step 2

Why this answer is correct

हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x\ne4\) और \(x\ne-4\)। / The denominator cannot be zero, so \(x\ne4\) and \(x\ne-4\).

Step 3

Exam Tip

भले ही (x-4) कटे, मूल फलन में (x=4) मान्य नहीं होगा। / Even if (x-4) cancels, (x=4) is not valid in the original function.

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Question 60/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=|x+1|), तो (f^{-1}({4})) कौन-सा समुच्चय है?

If (f(x)=|x+1|), what is the set (f^{-1}({4}))?

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Correct Answer

A. ({-5,3})

Step 1

Concept

पूर्वछवि के लिए (|x+1|=4) हल करें। / To find the preimage, solve (|x+1|=4).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x+1=4) या (x+1=-4) मिलता है। / This gives (x+1=4) or (x+1=-4).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=3) या (x=-5), अतः पूर्वछवि ({-5,3}) है। / Thus (x=3) or (x=-5), so the preimage is ({-5,3}).

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Question 61/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r,s,t\}\), और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,s)\}\), तो (f) कैसा है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r,s,t\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,s)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकी पर आच्छादक नहींOne-one but not onto

Step 1

Concept

(1,2,3,4) की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The images of (1,2,3,4) are distinct, so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(t) सहप्रान्त में है पर किसी की छवि नहीं है। / (t) is in the codomain but is not an image.

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.

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Question 62/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलनों की संख्या कितनी है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many onto functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (14)

Step 1

Concept

कुल फलन \(2^4=16\) होंगे। / Total functions are \(2^4=16\).

Step 2

Why this answer is correct

आच्छादक न होने वाले फलन दो हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (a) या केवल (b) पर जाते हैं। / There are two non-onto functions, where all elements go only to (a) or only to (b).

Step 3

Exam Tip

इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) होंगे। / Therefore onto functions are (16-2=14).

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Question 63/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (A) में (2) अवयव और (B) में (5) अवयव हैं, तो (A) से (B) में एक-एकी फलनों की संख्या कितनी है?

If (A) has (2) elements and (B) has (5) elements, how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (20)

Step 1

Concept

एक-एकी फलन में दोनों आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, the two inputs must have distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

पहले आगत के लिए (5) विकल्प और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। / The first input has (5) choices and the second has (4) choices.

Step 3

Exam Tip

कुल \(5\cdot4=20\) एक-एकी फलन होंगे। / Total one-one functions are \(5\cdot4=20\).

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Question 64/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{a,b,c,d\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलन बन सकते हैं या नहीं?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{a,b,c,d\}\), can onto functions from (A) to (B) exist?

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Correct Answer

A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैंNo, because the domain has fewer elements than the codomain

Step 1

Concept

आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ प्रान्त में (3) अवयव हैं, पर सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। / Here the domain has (3) elements, but the codomain has (4).

Step 3

Exam Tip

तीन आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Three inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists.

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Question 65/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3+2), तो (f^{-1}(10)) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3+2), what is (f^{-1}(10))?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(f^{-1}(10)) के लिए \(x^3+2=10\) हल करें। / To find (f^{-1}(10)), solve \(x^3+2=10\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3=8\), इसलिए (x=2)। / \(x^3=8\), so (x=2).

Step 3

Exam Tip

घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है। / For a cubic function, the real cube root can be taken directly.

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Question 66/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{3x-2}{4}), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If (f(x)=\frac{3x-2}{4}), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\frac{4x+2}{3}\)

Step 1

Concept

\(y=\frac{3x-2}{4}\) लिखें। / Write \(y=\frac{3x-2}{4}\).

Step 2

Why this answer is correct

(4y=3x-2), इसलिए \(x=\frac{4y+2}{3}\)। / Then (4y=3x-2), so \(x=\frac{4y+2}{3}\).

Step 3

Exam Tip

(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{3})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{3}).

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Question 67/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+2x), तो प्रतिलोम फलन क्यों नहीं बनता?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+2x), why does an inverse function not exist?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं हैBecause it is not one-one

Step 1

Concept

प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\ne-2\)। / (f(0)=0) and (f(-2)=0), while \(0\ne-2\).

Step 3

Exam Tip

एक छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता। / Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function.

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Question 68/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x-3|), तो (f^{-1}({2})) क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x-3|), what is (f^{-1}({2}))?

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Correct Answer

A. ({1,5})

Step 1

Concept

पूर्वछवि के लिए (|x-3|=2) हल करें। / To find the preimage, solve (|x-3|=2).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x-3=2) या (x-3=-2) मिलता है। / This gives (x-3=2) or (x-3=-2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=5) या (x=1), अतः पूर्वछवि ({1,5}) है। / Hence (x=5) or (x=1), so the preimage is ({1,5}).

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Question 69/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+6x+10), तो न्यूनतम मान क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+6x+10), what is the minimum value?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

(x^-2+6x+10=(x+3)²+1) लिखें। / Write (x^-2+6x+10=(x+3)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

((x+3)²\ge0), इसलिए (f(x)\ge1)। / Since ((x+3)²\ge0), (f(x)\ge1).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान (1) है, जो (x=-3) पर मिलता है। / The minimum value is (1), attained at (x=-3).

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Question 70/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+6x+10), तो परास कौन-सा है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+6x+10), what is the range?

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Correct Answer

A. \([1,\infty\))

Step 1

Concept

फलन को ((x+3)²+1) के रूप में लिखें। / Write the function as ((x+3)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग का मान हमेशा (0) या उससे अधिक होता है। / A square is always (0) or more.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सबसे छोटा मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। / Therefore the least value is (1), and the range is \([1,\infty\)).

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Question 71/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{2x}{x-1}), तो (f(x)=2) का कोई वास्तविक हल है या नहीं?

If (f(x)=\frac{2x}{x-1}), does (f(x)=2) have a real solution?

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Correct Answer

A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं हैNo, it has no real solution

Step 1

Concept

\(\frac{2x}{x-1}=2\) मानें। / Assume \(\frac{2x}{x-1}=2\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (2x=2x-2) मिलता है, जो असंभव है। / This gives (2x=2x-2), which is impossible.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (2) इस फलन के परास में नहीं आता। / Therefore (2) is not in the range of this function.

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Question 72/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{2x}{x-1}), तो इस फलन का परास कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{2x}{x-1}), what is the range of this function?

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Correct Answer

A. (R-{2})

Step 1

Concept

\(y=\frac{2x}{x-1}\) लिखें। / Write \(y=\frac{2x}{x-1}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x-1)=2x) से \(x=\frac{y}{y-2}\), यदि \(y\ne2\)। / From (y(x-1)=2x), we get \(x=\frac{y}{y-2}\), if \(y\ne2\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (2) नहीं। / Hence every real (y) is possible except (2).

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Question 73/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों उभयैक हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both bijective, what can be said about \(g\circ f\)?

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Correct Answer

A. उभयैकBijective

Step 1

Concept

उभयैक का अर्थ एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। / Bijective means both one-one and onto.

Step 2

Why this answer is correct

दो एक-एकी फलनों का संयुक्त फलन एक-एकी होता है और दो आच्छादक फलनों का संयुक्त फलन आच्छादक होता है। / The composite of two one-one functions is one-one, and the composite of two onto functions is onto.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(g\circ f\) उभयैक होगा। / Therefore \(g\circ f\) is bijective.

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Question 74/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(g\circ f\) एक-एकी है, तो (f) के बारे में कौन-सा कथन निश्चित रूप से सही है?

If \(g\circ f\) is one-one, which statement is definitely true about (f)?

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Correct Answer

A. (f) एक-एकी है(f) is one-one

Step 1

Concept

मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Suppose (f\(a_1\)=f\(a_2\)).

Step 2

Why this answer is correct

तब (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), यानी (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).

Step 3

Exam Tip

\(g\circ f\) एक-एकी है, इसलिए \(a_1=a_2\), अतः (f) एक-एकी है। / Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\), so (f) is one-one.

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Question 75/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f) और (g) प्रतिलोम फलन हैं, तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?

If (f) and (g) are inverse functions, what is (\(g\circ f\)(x))?

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Correct Answer

A. (x)

Step 1

Concept

प्रतिलोम फलन एक-दूसरे की क्रिया को उलट देते हैं। / Inverse functions undo each other's action.

Step 2

Why this answer is correct

पहले (f) और फिर (g) लगाने पर मूल मान वापस आता है। / Applying (f) first and then (g) brings the original value back.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (\(g\circ f\)(x)=x)। / Therefore (\(g\circ f\)(x)=x).

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Question 76/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=x^-2+2) और (f(a)=18), जहाँ (a>0), तो (a) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2+2) and (f(a)=18), where (a>0), what is (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(f(a)=a^-2+2) है। / (f(a)=a^-2+2).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2+2=18\) से \(a^2=16\)। / From \(a^2+2=18\), we get \(a^2=16\).

Step 3

Exam Tip

(a>0) दिया है, इसलिए (a=4)। / Since (a>0), (a=4).

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Question 77/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx-5) एक-एकी है, तो (k) के लिए कौन-सी शर्त चाहिए?

If \(f:R\to R\), (f(x)=kx-5), is one-one, what condition is needed on (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(k\ne0\)

Step 1

Concept

यदि (k=0), तो (f(x)=-5) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (k=0), then (f(x)=-5) becomes a constant function.

Step 2

Why this answer is correct

स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। / A constant function is not one-one.

Step 3

Exam Tip

इसलिए रैखिक फलन के एक-एकी होने के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore the linear function is one-one when \(k\ne0\).

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Question 78/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx-1) आच्छादक है, तो (k) के लिए सही शर्त कौन-सी है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=kx-1), is onto, what is the correct condition on (k)?

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Correct Answer

A. \(k\ne0\)

Step 1

Concept

यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (-1) रहेगा। / If (k=0), the function always has value (-1).

Step 2

Why this answer is correct

तब परास केवल ({-1}) होगा, पूरा (R) नहीं। / Then the range is only ({-1}), not all of (R).

Step 3

Exam Tip

इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore onto requires \(k\ne0\).

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Question 79/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{x+1}{x-2}), तो कौन-सा मान (f) के परास में नहीं आएगा?

If (f(x)=\frac{x+1}{x-2}), which value will not be in the range of (f)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

\(y=\frac{x+1}{x-2}\) लिखें। / Write \(y=\frac{x+1}{x-2}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x-2)=x+1) से (x(y-1)=2y+1) मिलता है। / From (y(x-2)=x+1), we get (x(y-1)=2y+1).

Step 3

Exam Tip

(y=1) रखने पर असंभव स्थिति बनती है, इसलिए (1) परास में नहीं है। / Putting (y=1) gives an impossible statement, so (1) is not in the range.

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Question 80/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{x+1}{x-2}), तो वास्तविक परास क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x+1}{x-2}), what is the real range?

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Correct Answer

A. (R-{1})

Step 1

Concept

\(y=\frac{x+1}{x-2}\) मानें। / Let \(y=\frac{x+1}{x-2}\).

Step 2

Why this answer is correct

हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-1}\) मिलता है, यदि \(y\ne1\)। / Solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), if \(y\ne1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) को छोड़कर सभी वास्तविक मान परास में आते हैं। / Hence all real values except (1) are in the range.

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Question 81/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=|x|) और प्रान्त ({-4,-2,0,2,4}) है, तो परास में कितने अवयव होंगे?

If (f(x)=|x|) and the domain is ({-4,-2,0,2,4}), how many elements are in the range?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

दिए गए अवयवों के परम मान (4,2,0,2,4) हैं। / The absolute values of the given elements are (4,2,0,2,4).

Step 2

Why this answer is correct

परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। / Repeated values are written only once in the range.

Step 3

Exam Tip

परास ({0,2,4}) है, इसलिए (3) अवयव हैं। / The range is ({0,2,4}), so it has (3) elements.

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Question 82/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b),(5,c)\}\), तो (f) कैसा है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b),(5,c)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. आच्छादक पर एक-एकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

(a,b,c) तीनों छवि के रूप में मिलते हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। / All three elements (a,b,c) appear as images, so the function is onto.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (2) दोनों (a) पर जाते हैं, इसलिए एक-एकी नहीं है। / Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में सहप्रान्त के हर अवयव और अलग छवियों दोनों की जाँच करें। / In such questions, check both codomain coverage and distinct images.

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Question 83/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=x^-2-4) और (g(x)=\sqrt{x+4}), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2-4) and (g(x)=\sqrt{x+4}), what is (\(g\circ f\)(x))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\sqrt{x^2}\)

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g) में (x) के स्थान पर \(x^2-4\) रखें। / Put \(x^2-4\) in place of (x) in (g).

Step 3

Exam Tip

(g(f(x))=\sqrt{\(x^2-4\)+4}=\sqrt{x^-2})। / (g(f(x))=\sqrt{\(x^2-4\)+4}=\sqrt{x^-2}).

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Question 84/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3+5), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3+5), what is (f^{-1}(x))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\sqrt[3]{x-5}\)

Step 1

Concept

\(y=x^3+5\) लिखें। / Write \(y=x^3+5\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3=y-5\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y-5}\)। / Then \(x^3=y-5\), so \(x=\sqrt[3]{y-5}\).

Step 3

Exam Tip

(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5}).

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Question 85/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x^-2+1), तो (f^{-1}(10)) क्या होगा?

If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x^-2+1), what is (f^{-1}(10))?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

(f^{-1}(10)) के लिए \(x^2+1=10\) हल करें। / To find (f^{-1}(10)), solve \(x^2+1=10\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। / \(x^2=9\), so (x=3) or (x=-3).

Step 3

Exam Tip

प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है। / Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid.

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Question 86/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+1), तो (f^{-1}({5})) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+1), what is (f^{-1}({5}))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

पूर्वछवि के लिए \(x^2+1=5\) हल करें। / For the preimage, solve \(x^2+1=5\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x^2=4\) मिलता है। / This gives \(x^2=4\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=2) या (x=-2), अतः पूर्वछवि ({-2,2}) है। / Hence (x=2) or (x=-2), so the preimage is ({-2,2}).

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Question 87/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=x^-2-5x+6), तो (f(2), f(3), f(4)) में से कौन-से मान शून्य हैं?

If (f(x)=x^-2-5x+6), which of (f(2), f(3), f(4)) are zero?

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Correct Answer

A. (f(2)) और (f(3))(f(2)) and (f(3))

Step 1

Concept

(f(x)=x^-2-5x+6=(x-2)(x-3))। / (f(x)=x^-2-5x+6=(x-2)(x-3)).

Step 2

Why this answer is correct

(x=2) और (x=3) पर गुणनफल शून्य होगा। / At (x=2) and (x=3), the product becomes zero.

Step 3

Exam Tip

(x=4) पर (f(4)=2), इसलिए वह शून्य नहीं है। / At (x=4), (f(4)=2), so it is not zero.

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Question 88/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), तो परास क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), what is the range?

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Correct Answer

A. \([1,\infty\))

Step 1

Concept

\(|x-4|\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(|x-4|\ge0\) for every real (x).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(|x-4|+1\ge1\)। / Therefore \(|x-4|+1\ge1\).

Step 3

Exam Tip

(x=4) पर न्यूनतम मान (1) मिलता है, अतः परास \([1,\infty\)) है। / At (x=4), the minimum value (1) is obtained, so the range is \([1,\infty\)).

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Question 89/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), तो यह आच्छादक क्यों नहीं है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), why is it not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि (0) इसकी छवि नहीं हो सकताBecause (0) cannot be its image

Step 1

Concept

(|x-4|+1) का मान हमेशा (1) या उससे बड़ा होता है। / The value of (|x-4|+1) is always at least (1).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रान्त (R) में (0) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain (R) contains (0), but it cannot be the image of any (x).

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.

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Question 90/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (B) में (8) अवयव हैं, तो (A) में कितने अवयव होंगे?

If \(f:A\to B\) is bijective and (B) has (8) elements, how many elements will (A) have?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.

Step 3

Exam Tip

(B) में (8) अवयव हैं, अतः (A) में भी (8) होंगे। / Since (B) has (8) elements, (A) also has (8).

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Question 91/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to A\) ऐसे हैं कि \(f\circ g=I_B\) और \(g\circ f=I_A\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to A\) satisfy \(f\circ g=I_B\) and \(g\circ f=I_A\), what is correct about (f)?

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Correct Answer

A. (f) उभयैक है और \(g=f^{-1}\)(f) is bijective and \(g=f^{-1}\)

Step 1

Concept

दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। / Both compositions give identity functions.

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। / This means (f) and (g) completely undo each other's action.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (f) उभयैक है और (g), (f) का प्रतिलोम है। / Therefore (f) is bijective and (g) is the inverse of (f).

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Question 92/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=4x+7), तो (f^{-1}(23)) का मान क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=4x+7), what is the value of (f^{-1}(23))?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(f^{-1}(23)) का अर्थ है वह (x), जिसके लिए (f(x)=23)। / (f^{-1}(23)) means the value of (x) for which (f(x)=23).

Step 2

Why this answer is correct

(4x+7=23) से (4x=16), इसलिए (x=4)। / From (4x+7=23), we get (4x=16), so (x=4).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम मान निकालते समय मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखकर हल करें। / To find an inverse value, equate the original function to the given value and solve.

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Question 93/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2-4x), तो (f(x+1)-f(x)) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2-4x), what is (f(x+1)-f(x))?

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Correct Answer

A. (2x-3)

Step 1

Concept

(f(x+1)=(x+1)²-4(x+1)) लिखें। / Write (f(x+1)=(x+1)²-4(x+1)).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर \(x^2-2x-3\) मिलता है। / Simplifying gives \(x^2-2x-3\).

Step 3

Exam Tip

अब (x^-2-2x-3-\(x^2-4x\)=2x-3) होगा। / Now (x^-2-2x-3-\(x^2-4x\)=2x-3).

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Question 94/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{x-5}{x+4}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{x-5}{x+4}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (R-{-4})

Step 1

Concept

फलन में हर (x+4) है। / The denominator of the function is (x+4).

Step 2

Why this answer is correct

हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x+4\ne0\)। / The denominator cannot be zero, so \(x+4\ne0\).

Step 3

Exam Tip

(x=-4) को हटाकर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त में रहेंगी। / Removing (x=-4), all other real numbers remain in the domain.

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Question 95/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-6x+11), तो (f) का परास क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-6x+11), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. \([2,\infty\))

Step 1

Concept

(x^-2-6x+11=(x-3)²+2) लिखें। / Write (x^-2-6x+11=(x-3)²+2).

Step 2

Why this answer is correct

((x-3)²\ge0), इसलिए (f(x)\ge2)। / Since ((x-3)²\ge0), (f(x)\ge2).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान (2) है, इसलिए परास \([2,\infty\)) है। / The minimum value is (2), so the range is \([2,\infty\)).

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Question 96/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=2x+1) और (g(x)=x^-2+3), तो (\(g\circ f\)(1)) का मान क्या होगा?

If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x^-2+3), what is the value of (\(g\circ f\)(1))?

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Correct Answer

A. (12)

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(1)=g(f(1))) होता है। / (\(g\circ f\)(1)=g(f(1))).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=2\cdot1+1=3)। / (f(1)=2\cdot1+1=3).

Step 3

Exam Tip

(g(3)=3²+3=12), इसलिए मान (12) है। / (g(3)=3²+3=12), so the value is (12).

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Question 97/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=5x+1) और (g(x)=x-4), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?

If (f(x)=5x+1) and (g(x)=x-4), what is (\(f\circ g\)(x))?

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Correct Answer

A. (5x-19)

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g(x)=x-4) को (f) में रखें। / Put (g(x)=x-4) into (f).

Step 3

Exam Tip

(f(x-4)=5(x-4)+1=5x-19)। / (f(x-4)=5(x-4)+1=5x-19).

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Question 98/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2-1) और (g(x)=x+2), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If (f(x)=x^-2-1) and (g(x)=x+2), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?

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Correct Answer

A. दोनों सामान्यतः समान नहीं हैंThey are generally not equal

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)²-1)। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x^-2+1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x^-2+1).

Step 3

Exam Tip

दोनों व्यंजक सामान्यतः अलग हैं, इसलिए संयुक्त फलन में क्रम का ध्यान रखें। / The expressions are generally different, so order matters in composition.

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Question 99/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=9x-4), तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=9x-4), which statement is correct about (f)?

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Correct Answer

A. यह एक-एकी और आच्छादक हैIt is one-one and onto

Step 1

Concept

(9x-4) अलग-अलग (x) पर अलग-अलग मान देता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / (9x-4) gives different outputs for different (x), so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(y\in R\) के लिए \(x=\frac{y+4}{9}\) लिया जा सकता है। / For any \(y\in R\), choose \(x=\frac{y+4}{9}\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर वास्तविक (y) छवि बनता है और फलन आच्छादक है। / Hence every real (y) is an image, so the function is onto.

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Question 100/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+2x+2) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Which statement is correct about \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+2x+2)?

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Correct Answer

A. यह न एक-एकी है न आच्छादकIt is neither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(0)=2) और (f(-2)=2), इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। / (f(0)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(x^-2+2x+2=(x+1)²+1), इसलिए परास \([1,\infty\)) है। / (x^-2+2x+2=(x+1)²+1), so the range is \([1,\infty\)).

Step 3

Exam Tip

सहप्रान्त (R) होने पर (0) छवि नहीं बनता, इसलिए फलन आच्छादक भी नहीं है। / With codomain (R), (0) is not an image, so the function is not onto either.

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Question 101/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x+1), तो (f) कैसा है?

If \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x+1), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकी और आच्छादकOne-one and onto

Step 1

Concept

अलग-अलग (x) के लिए (x+1) अलग-अलग होता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / For different (x), (x+1) is different, so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\ge0\) के लिए (x=y-1), जो प्रान्त \([-1,\infty\)) में है। / For every \(y\ge0\), (x=y-1), which lies in the domain \([-1,\infty\)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक भी है। / Hence the function is onto as well.

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Question 102/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to[2,\infty\)), (f(x)=x^-2+2), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If \(f:R\to[2,\infty\)), (f(x)=x^-2+2), which statement is correct about (f)?

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Correct Answer

A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहींIt is onto but not one-one

Step 1

Concept

हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) या \(x=-\sqrt{y-2}\) लिया जा सकता है, इसलिए आच्छादक है। / For every \(y\ge2\), \(x=\sqrt{y-2}\) or \(x=-\sqrt{y-2}\) can be chosen, so it is onto.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=f(-1)=3), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=3), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

सहप्रान्त को सही पढ़ना आच्छादकता जाँचने में बहुत जरूरी है। / Reading the codomain correctly is very important while checking onto.

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Question 103/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\sqrt{3x-12}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\sqrt{3x-12}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. \([4,\infty\))

Step 1

Concept

वर्गमूल के अंदर (3x-12) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। / The expression inside the square root, (3x-12), must be non-negative.

Step 2

Why this answer is correct

\(3x-12\ge0\) से \(x\ge4\) मिलता है। / From \(3x-12\ge0\), we get \(x\ge4\).

Step 3

Exam Tip

(x=4) पर मान (0) है, इसलिए (4) शामिल होगा। / At (x=4), the value is (0), so (4) is included.

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Question 104/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{1}{\sqrt{5-x}}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{1}{\sqrt{5-x}}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (\(-\infty,5\))

Step 1

Concept

वर्गमूल के लिए \(5-x\ge0\) चाहिए। / For the square root, \(5-x\ge0\) is needed.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन यह वर्गमूल हर में है, इसलिए शून्य नहीं हो सकता। / But this square root is in the denominator, so it cannot be zero.

Step 3

Exam Tip

अतः (5-x>0), यानी (x<5), इसलिए प्रान्त (\(-\infty,5\)) है। / Thus (5-x>0), meaning (x<5), so the domain is (\(-\infty,5\)).

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Question 105/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{x+2}{x^-2-4}), तो वास्तविक प्रान्त क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x+2}{x^-2-4}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. (R-{-2,2})

Step 1

Concept

हर (x^-2-4=(x-2)(x+2)) है। / The denominator is (x^-2-4=(x-2)(x+2)).

Step 2

Why this answer is correct

हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x\ne2\) और \(x\ne-2\)। / The denominator cannot be zero, so \(x\ne2\) and \(x\ne-2\).

Step 3

Exam Tip

ऊपर (x+2) कट सकता है, फिर भी मूल फलन में (x=-2) मान्य नहीं है। / Even if (x+2) cancels, (x=-2) is not valid in the original function.

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Question 106/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=|x-5|), तो (f^{-1}({3})) कौन-सा समुच्चय है?

If (f(x)=|x-5|), what is the set (f^{-1}({3}))?

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Correct Answer

A. ({2,8})

Step 1

Concept

पूर्वछवि के लिए (|x-5|=3) हल करें। / To find the preimage, solve (|x-5|=3).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x-5=3) या (x-5=-3) मिलता है। / This gives (x-5=3) or (x-5=-3).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=8) या (x=2), अतः पूर्वछवि ({2,8}) है। / Hence (x=8) or (x=2), so the preimage is ({2,8}).

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Question 107/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{u,v,w,z\}\), और \(f=\{(1,u),(2,v),(3,w)\}\), तो (f) कैसा है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{u,v,w,z\}\), and \(f=\{(1,u),(2,v),(3,w)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकी पर आच्छादक नहींOne-one but not onto

Step 1

Concept

(1,2,3) की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The images of (1,2,3) are distinct, so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(z) सहप्रान्त में है पर किसी की छवि नहीं है। / (z) is in the codomain but is not an image.

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.

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Question 108/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलनों की संख्या कितनी है?

If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many onto functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (30)

Step 1

Concept

कुल फलन \(2^5=32\) होंगे। / Total functions are \(2^5=32\).

Step 2

Why this answer is correct

आच्छादक न होने वाले दो फलन हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (a) या केवल (b) पर जाते हैं। / There are two non-onto functions, where all elements go only to (a) or only to (b).

Step 3

Exam Tip

इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) होंगे। / Therefore onto functions are (32-2=30).

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Question 109/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (6) अवयव हैं, तो (A) से (B) में एक-एकी फलनों की संख्या कितनी है?

If (A) has (3) elements and (B) has (6) elements, how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (120)

Step 1

Concept

एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। / In a one-one function, the three inputs must have distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

पहले आगत के लिए (6), दूसरे के लिए (5), तीसरे के लिए (4) विकल्प हैं। / The first input has (6) choices, the second has (5), and the third has (4).

Step 3

Exam Tip

कुल \(6\cdot5\cdot4=120\) एक-एकी फलन होंगे। / Total one-one functions are \(6\cdot5\cdot4=120\).

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Question 110/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{a,b,c,d\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलन बन सकते हैं या नहीं?

If \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{a,b,c,d\}\), can onto functions from (A) to (B) exist?

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Correct Answer

A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैंNo, because the domain has fewer elements than the codomain

Step 1

Concept

आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ प्रान्त में (2) अवयव हैं और सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। / Here the domain has (2) elements and the codomain has (4) elements.

Step 3

Exam Tip

दो आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Two inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists.

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Question 111/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3-4), तो (f^{-1}(4)) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3-4), what is (f^{-1}(4))?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(f^{-1}(4)) के लिए \(x^3-4=4\) हल करें। / To find (f^{-1}(4)), solve \(x^3-4=4\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3=8\), इसलिए (x=2)। / \(x^3=8\), so (x=2).

Step 3

Exam Tip

घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है। / For a cubic function, the real cube root can be taken directly.

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Question 112/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{5x+1}{2}), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If (f(x)=\frac{5x+1}{2}), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\frac{2x-1}{5}\)

Step 1

Concept

\(y=\frac{5x+1}{2}\) लिखें। / Write \(y=\frac{5x+1}{2}\).

Step 2

Why this answer is correct

(2y=5x+1), इसलिए \(x=\frac{2y-1}{5}\)। / Then (2y=5x+1), so \(x=\frac{2y-1}{5}\).

Step 3

Exam Tip

(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5}).

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Question 113/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-6x), तो प्रतिलोम फलन क्यों नहीं बनता?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-6x), why does an inverse function not exist?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं हैBecause it is not one-one

Step 1

Concept

प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=0) और (f(6)=0), जबकि \(0\ne6\)। / (f(0)=0) and (f(6)=0), while \(0\ne6\).

Step 3

Exam Tip

एक ही छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता। / Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function.

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Question 114/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x+4|), तो (f^{-1}({6})) क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x+4|), what is (f^{-1}({6}))?

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Correct Answer

A. ({-10,2})

Step 1

Concept

पूर्वछवि के लिए (|x+4|=6) हल करें। / To find the preimage, solve (|x+4|=6).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (x+4=6) या (x+4=-6) मिलता है। / This gives (x+4=6) or (x+4=-6).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=2) या (x=-10), अतः पूर्वछवि ({-10,2}) है। / Hence (x=2) or (x=-10), so the preimage is ({-10,2}).

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Question 115/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-8x+20), तो न्यूनतम मान क्या है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-8x+20), what is the minimum value?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(x^-2-8x+20=(x-4)²+4) लिखें। / Write (x^-2-8x+20=(x-4)²+4).

Step 2

Why this answer is correct

((x-4)²\ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। / Since ((x-4)²\ge0), (f(x)\ge4).

Step 3

Exam Tip

न्यूनतम मान (4) है, जो (x=4) पर मिलता है। / The minimum value is (4), attained at (x=4).

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Question 116/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-8x+20), तो परास कौन-सा है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-8x+20), what is the range?

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Correct Answer

A. \([4,\infty\))

Step 1

Concept

फलन को ((x-4)²+4) के रूप में लिखें। / Write the function as ((x-4)²+4).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग का मान हमेशा (0) या उससे अधिक होता है। / A square is always (0) or more.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सबसे छोटा मान (4) है और परास \([4,\infty\)) है। / Therefore the least value is (4), and the range is \([4,\infty\)).

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Question 117/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{3x}{x+2}), तो (f(x)=3) का कोई वास्तविक हल है या नहीं?

If (f(x)=\frac{3x}{x+2}), does (f(x)=3) have a real solution?

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Correct Answer

A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं हैNo, it has no real solution

Step 1

Concept

\(\frac{3x}{x+2}=3\) मानें। / Assume \(\frac{3x}{x+2}=3\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (3x=3x+6) मिलता है, जो असंभव है। / This gives (3x=3x+6), which is impossible.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (3) इस फलन के परास में नहीं आता। / Therefore (3) is not in the range of this function.

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Question 118/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{3x}{x+2}), तो इस फलन का परास कौन-सा है?

If (f(x)=\frac{3x}{x+2}), what is the range of this function?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (R-{3})

Step 1

Concept

\(y=\frac{3x}{x+2}\) लिखें। / Write \(y=\frac{3x}{x+2}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x+2)=3x) से \(x=\frac{-2y}{y-3}\), यदि \(y\ne3\)। / From (y(x+2)=3x), we get \(x=\frac{-2y}{y-3}\), if \(y\ne3\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (3) नहीं। / Hence every real (y) is possible except (3).

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Question 119/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(g\circ f\) आच्छादक है, तो (g) के बारे में कौन-सा कथन निश्चित रूप से सही है?

If \(g\circ f\) is onto, which statement is definitely true about (g)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (g) आच्छादक है(g) is onto

Step 1

Concept

\(g\circ f\) आच्छादक होने पर अंतिम सहप्रान्त का हर अवयव छवि बनता है। / If \(g\circ f\) is onto, every element of the final codomain is an image.

Step 2

Why this answer is correct

वह छवि (g) के द्वारा ही मिलती है। / That final image is produced through (g).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (g) भी अपने सहप्रान्त के हर अवयव तक पहुँचता है, अतः (g) आच्छादक है। / Therefore (g) reaches every element of its codomain, so (g) is onto.

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Question 120/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f) और (g) प्रतिलोम फलन हैं, तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?

If (f) and (g) are inverse functions, what is (\(f\circ g\)(x))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (x)

Step 1

Concept

प्रतिलोम फलन एक-दूसरे की क्रिया को उलट देते हैं। / Inverse functions undo each other's action.

Step 2

Why this answer is correct

पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। / Applying (g) first and then (f) brings the original value back.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)। / Therefore (\(f\circ g\)(x)=x).

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Question 121/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2-3) और (f(a)=13), जहाँ (a>0), तो (a) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2-3) and (f(a)=13), where (a>0), what is (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(f(a)=a^-2-3) है। / (f(a)=a^-2-3).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2-3=13\) से \(a^2=16\)। / From \(a^2-3=13\), we get \(a^2=16\).

Step 3

Exam Tip

(a>0) दिया है, इसलिए (a=4)। / Since (a>0), (a=4).

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Question 122/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+8) एक-एकी है, तो (k) के लिए कौन-सी शर्त चाहिए?

If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+8), is one-one, what condition is needed on (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(k\ne0\)

Step 1

Concept

यदि (k=0), तो (f(x)=8) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (k=0), then (f(x)=8) becomes a constant function.

Step 2

Why this answer is correct

स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। / A constant function is not one-one.

Step 3

Exam Tip

इसलिए रैखिक फलन के एक-एकी होने के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore the linear function is one-one when \(k\ne0\).

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Question 123/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+6) आच्छादक है, तो (k) के लिए सही शर्त कौन-सी है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+6), is onto, what is the correct condition on (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(k\ne0\)

Step 1

Concept

यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (6) रहेगा। / If (k=0), the function always has value (6).

Step 2

Why this answer is correct

तब परास केवल ({6}) होगा, पूरा (R) नहीं। / Then the range is only ({6}), not all of (R).

Step 3

Exam Tip

इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore onto requires \(k\ne0\).

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Question 124/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{x-3}{x+1}), तो कौन-सा मान (f) के परास में नहीं आएगा?

If (f(x)=\frac{x-3}{x+1}), which value will not be in the range of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

\(y=\frac{x-3}{x+1}\) लिखें। / Write \(y=\frac{x-3}{x+1}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x+1)=x-3) से (x(y-1)=-3-y) मिलता है। / From (y(x+1)=x-3), we get (x(y-1)=-3-y).

Step 3

Exam Tip

(y=1) रखने पर असंभव स्थिति बनती है, इसलिए (1) परास में नहीं है। / Putting (y=1) gives an impossible statement, so (1) is not in the range.

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Question 125/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{x-3}{x+1}), तो वास्तविक परास क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x-3}{x+1}), what is the real range?

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Correct Answer

A. (R-{1})

Step 1

Concept

\(y=\frac{x-3}{x+1}\) मानें। / Let \(y=\frac{x-3}{x+1}\).

Step 2

Why this answer is correct

हल करने पर \(x=\frac{-3-y}{y-1}\) मिलता है, यदि \(y\ne1\)। / Solving gives \(x=\frac{-3-y}{y-1}\), if \(y\ne1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) को छोड़कर सभी वास्तविक मान परास में आते हैं। / Hence all real values except (1) are in the range.

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Question 126/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2) और प्रान्त ({-4,-1,0,1,4}) है, तो परास में कितने अवयव होंगे?

If (f(x)=x^-2) and the domain is ({-4,-1,0,1,4}), how many elements are in the range?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

दिए गए अवयवों के वर्ग (16,1,0,1,16) हैं। / The squares of the given elements are (16,1,0,1,16).

Step 2

Why this answer is correct

परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। / Repeated values are written only once in the range.

Step 3

Exam Tip

परास ({0,1,16}) है, इसलिए (3) अवयव हैं। / The range is ({0,1,16}), so it has (3) elements.

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Question 127/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)\}\), तो (f) कैसा है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. आच्छादक पर एक-एकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

(a,b,c) तीनों छवि के रूप में मिलते हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। / All three elements (a,b,c) appear as images, so the function is onto.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (3) दोनों (b) पर जाते हैं, इसलिए एक-एकी नहीं है। / Both (2) and (3) map to (b), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

फलन की प्रकृति तय करते समय परास और दोहराई हुई छवियाँ दोनों देखें। / While deciding the type, check both the range and repeated images.

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Question 128/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2-9) और (g(x)=\sqrt{x+9}), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?

If (f(x)=x^-2-9) and (g(x)=\sqrt{x+9}), what is (\(g\circ f\)(x))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\sqrt{x^2}\)

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g) में (x) के स्थान पर \(x^2-9\) रखें। / Put \(x^2-9\) in place of (x) in (g).

Step 3

Exam Tip

(g(f(x))=\sqrt{\(x^2-9\)+9}=\sqrt{x^-2})। / (g(f(x))=\sqrt{\(x^2-9\)+9}=\sqrt{x^-2}).

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Question 129/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3-7), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3-7), what is (f^{-1}(x))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\sqrt[3]{x+7}\)

Step 1

Concept

\(y=x^3-7\) लिखें। / Write \(y=x^3-7\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3=y+7\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y+7}\)। / Then \(x^3=y+7\), so \(x=\sqrt[3]{y+7}\).

Step 3

Exam Tip

(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7}).

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Question 130/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:[0,\infty\)\to[5,\infty)), (f(x)=x^-2+5), तो (f^{-1}(14)) क्या होगा?

If \(f:[0,\infty\)\to[5,\infty)), (f(x)=x^-2+5), what is (f^{-1}(14))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

(f^{-1}(14)) के लिए \(x^2+5=14\) हल करें। / To find (f^{-1}(14)), solve \(x^2+5=14\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। / \(x^2=9\), so (x=3) or (x=-3).

Step 3

Exam Tip

प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है। / Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid.

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Question 131/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4), तो (f^{-1}({12})) क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4), what is (f^{-1}({12}))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-4,4})

Step 1

Concept

पूर्वछवि के लिए \(x^2-4=12\) हल करें। / For the preimage, solve \(x^2-4=12\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x^2=16\) मिलता है। / This gives \(x^2=16\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=4) या (x=-4), अतः पूर्वछवि ({-4,4}) है। / Hence (x=4) or (x=-4), so the preimage is ({-4,4}).

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Question 132/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2-7x+12), तो (f(3), f(4), f(5)) में से कौन-से मान शून्य हैं?

If (f(x)=x^-2-7x+12), which of (f(3), f(4), f(5)) are zero?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(3)) और (f(4))(f(3)) and (f(4))

Step 1

Concept

(f(x)=x^-2-7x+12=(x-3)(x-4))। / (f(x)=x^-2-7x+12=(x-3)(x-4)).

Step 2

Why this answer is correct

(x=3) और (x=4) पर गुणनफल शून्य होगा। / At (x=3) and (x=4), the product becomes zero.

Step 3

Exam Tip

(x=5) पर (f(5)=2), इसलिए वह शून्य नहीं है। / At (x=5), (f(5)=2), so it is not zero.

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Question 133/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x+3|+2), तो परास क्या होगा?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x+3|+2), what is the range?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \([2,\infty\))

Step 1

Concept

\(|x+3|\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(|x+3|\ge0\) for every real (x).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(|x+3|+2\ge2\)। / Therefore \(|x+3|+2\ge2\).

Step 3

Exam Tip

(x=-3) पर न्यूनतम मान (2) मिलता है, अतः परास \([2,\infty\)) है। / At (x=-3), the minimum value (2) is obtained, so the range is \([2,\infty\)).

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Question 134/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x+3|+2), तो यह आच्छादक क्यों नहीं है?

If \(f:R\to R\), (f(x)=|x+3|+2), why is it not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि (1) इसकी छवि नहीं हो सकताBecause (1) cannot be its image

Step 1

Concept

(|x+3|+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (|x+3|+2) is always at least (2).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रान्त (R) में (1) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain (R) contains (1), but it cannot be the image of any (x).

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.

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Question 135/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (A) में (9) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?

If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (9) elements, how many elements will (B) have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (9)

Step 1

Concept

उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.

Step 3

Exam Tip

(A) में (9) अवयव हैं, अतः (B) में भी (9) होंगे। / Since (A) has (9) elements, (B) also has (9).

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Question 136/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to A\) ऐसे हैं कि \(g\circ f=I_A\) और \(f\circ g=I_B\), तो (g) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to A\) satisfy \(g\circ f=I_A\) and \(f\circ g=I_B\), what is correct about (g)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(g=f^{-1}\)

Step 1

Concept

दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। / Both compositions give identity functions.

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। / This means (f) and (g) completely undo each other's action.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (g), (f) का प्रतिलोम है और \(g=f^{-1}\) होगा। / Therefore (g) is the inverse of (f), so \(g=f^{-1}\).

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Question 137/137 Medium Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\sqrt{x+1}) और (g(x)=\frac{1}{x-2}), तो (\(g\circ f\)(x)) का वास्तविक प्रान्त कौन-सा होगा?

If (f(x)=\sqrt{x+1}) and (g(x)=\frac{1}{x-2}), what is the real domain of (\(g\circ f\)(x))?

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Correct Answer

A. \([-1,\infty\)-{3})

Step 1

Concept

पहले (f(x)=\sqrt{x+1}) के लिए \(x+1\ge0\), इसलिए \(x\ge-1\)। / First, for (f(x)=\sqrt{x+1}), we need \(x+1\ge0\), so \(x\ge-1\).

Step 2

Why this answer is correct

(\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}) होगा, इसलिए हर शून्य नहीं होना चाहिए। / (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}), so the denominator must not be zero.

Step 3

Exam Tip

\(\sqrt{x+1}=2\) से (x=3), अतः प्रान्त \([-1,\infty\)-{3}) है। / \(\sqrt{x+1}=2\) gives (x=3), hence the domain is \([-1,\infty\)-{3}).

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Functions Medium Quiz

यदि \(f:R\to R\) और (f(x)=3x-4), तो (f^{-1}(8)) का मान क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=x-2+2x), तो (f(x+1)-f(x)) क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+2}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2-2x+3), तो (f) का परास क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=2x+1) और (g(x)=x-2-1), तो (\(g\circ f\)(2)) का मान क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=x+3) और (g(x)=2x-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=x-2) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=5x-7), तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x-2+1) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2), तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:R\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=\sqrt{x-2}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=\frac{x+3}{x-2-9}), तो वास्तविक प्रान्त क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(x)=|x-2|), तो (f^{-1}({3})) कौन-सा समुच्चय है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलनों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (5) अवयव हैं, तो (A) से (B) में एक-एकी फलनों की संख्या कितनी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{a,b,c\}\), तो (A) से (B) में आच्छादक फलन बन सकते हैं या नहीं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-3-1), तो (f^{-1}(7)) क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

यदि (f(x)=x^-2+2x), तो (f(x+1)-f(x)) क्या होगा?

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-2x+3), तो (f) का परास क्या है?

यदि (f(x)=2x+1) और (g(x)=x^-2-1), तो (\(g\circ f\)(2)) का मान क्या होगा?

यदि (f(x)=x^-2) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2+1) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x^-2), तो (f) कैसा है?

यदि \(f:R\to[0,\infty\)), (f(x)=x^-2), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

यदि (f(x)=\frac{x+3}{x^-2-9}), तो वास्तविक प्रान्त क्या होगा?

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-3-1), तो (f^{-1}(7)) क्या होगा?

यदि (f(x)=x^-2) को (R) से (R) में माना जाए, तो प्रतिलोम फलन क्यों नहीं बनता?

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4x+5), तो न्यूनतम मान क्या है?

यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x^-2-4x+5), तो परास कौन-सा है?

यदि (f(x)=x^-2-1) और (f(a)=8), जहाँ (a>0), तो (a) क्या होगा?

यदि (f(x)=x^-2) और प्रान्त ({-3,-2,-1,0,1,2,3}) है, तो परास में कितने अवयव होंगे?

यदि (f(x)=x^-2+1) और (g(x)=\sqrt{x-1}), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?