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दो तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में (\mathcal{P}(A)) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / The number of two-element subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, remember elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets.
\(A\cap B={3,4}\) है, इसलिए इसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। पहले प्रतिच्छेद निकालें, फिर घात समुच्चय की संख्या लगाएँ। / \(A\cap B={3,4}\), so its power set has \(2^2=4\) elements. First find the intersection, then apply the power set formula.
(A) में अभाज्य नहीं होने वाली संख्याएँ हैं, इसलिए (A') में (U) की अभाज्य संख्याएँ आएँगी। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं होता। / (A) contains the numbers that are not prime, so (A') contains the prime numbers of (U). Remember that (1) is not prime.
पूरक (A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। सार्वत्रिक समुच्चय हमेशा पहले देखें। / The complement (A') contains elements of (U) that are not in (A). Always check the universal set first.
(a) निश्चित है और (d,e) स्वतंत्र हैं। (b,c) के लिए कुल (4) विकल्पों में से दोनों साथ वाला विकल्प हटेगा, इसलिए \(3\times 2^2=12\)। / (a) is fixed and (d,e) are free. For (b,c), remove the one case where both are chosen, so the count is \(3\times 2^2=12\).
\({\emptyset,2}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। (1) और ({2}), (A) के तत्व नहीं हैं। / \({\emptyset,2}\) is a subset of (A), so it is an element of the power set. (1) and ({2}) are not elements of (A).
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) और \(A=\{-1,0,1\}\) है। इसलिए (A') में (5) तत्व हैं। / Here \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) and \(A=\{-1,0,1\}\). Hence (A') has (5) elements.
(\mathcal{P}(A)) के एकल तत्व वे उपसमुच्चय हैं जिनमें (1) तत्व है। उनकी संख्या \(\binom{5}{1}=5\) है। / Singleton elements of (\mathcal{P}(A)) are one-element subsets of (A). Their number is \(\binom{5}{1}=5\).
(\mathcal{P}(A)) का हर तत्व (A) का उपसमुच्चय होना चाहिए। (a) एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं। / Every element of (\mathcal{P}(A)) must be a subset of (A). (a) is an element, not a subset.
B. संयुक्त संख्याएँ और (1)/Composite numbers and (1)
Explanation
Simple Explanation
(A), (U) में उपस्थित अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ रहेंगी। / (A) is the set of prime numbers present in (U). So the complement contains (1) and composite numbers.
दिए गए घात समुच्चय में मूल समुच्चय का सबसे बड़ा उपसमुच्चय ({p,q}) है। इसलिए \(A=\{p,q\}\)। / The largest subset shown in the power set is ({p,q}), which is the original set. Hence \(A=\{p,q\}\).
A. बड़ा समुच्चय छोटा पूरक देता है/A larger set gives a smaller complement
Explanation
Simple Explanation
जब \(A\subseteq B\), तो (B) के बाहर की हर वस्तु (A) के बाहर भी होगी। पूरक लेने पर समावेशन उलट जाता है। / When \(A\subseteq B\), everything outside (B) is also outside (A). Inclusion reverses under complement.
कम से कम (3) तत्वों वाले उपसमुच्चय (3) या (4) तत्वों के होंगे। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\) है। / Subsets with at least (3) elements have (3) or (4) elements. The number is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\).
({2}), (A) का एक तत्व है, इसलिए उसका एकल उपसमुच्चय ({{2}}) घात समुच्चय में होगा। सेट और उसके तत्व में अंतर रखें। / ({2}) is an element of (A), so its singleton subset ({{2}}) is in the power set. Keep a clear difference between a set and its element.
A. सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय (-2) और (2)/All real numbers except (-2) and (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=4\) के हल (-2) और (2) हैं। \(\mathbb{R}\) में पूरक इन दोनों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। / The solutions of \(x^2=4\) are (-2) and (2). In \(\mathbb{R}\), the complement is all real numbers except these two.
यदि \(A=\emptyset\), तो (\mathcal{P}(A)={\emptyset}) है। इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) तत्व हैं। / If \(A=\emptyset\), then (\mathcal{P}(A)={\emptyset}). Hence (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) elements.
(1) को निश्चित रखकर शेष (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाली गिनती में बाकी तत्व स्वतंत्र होते हैं। / Fix (1), and the remaining two elements may be chosen or not chosen in \(2^2=4\) ways. With a fixed element, the rest are independent.
यदि \(A\subseteq B\), तो (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चयों में भी यही समावेशन रहता है। / If \(A\subseteq B\), every subset of (A) is also a subset of (B). So the same inclusion holds for power sets.
योग (3) वाले उपसमुच्चय ({3},{0,3},{1,2},{0,1,2}) हैं। इसलिए कुल (4) हैं। / The subsets with sum (3) are ({3},{0,3},{1,2},{0,1,2}). Hence there are (4).
(3) के गुणज (3,6,9,12) हैं, इसलिए (A) में (4) तत्व हैं। (U) में (12) तत्व हैं, अतः (A') में (8) तत्व होंगे। / The multiples of (3) are (3,6,9,12), so (A) has (4) elements. Since (U) has (12) elements, (A') has (8) elements.
(\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}) है। ({m,n}) के तत्व (m,n) इसमें नहीं हैं, इसलिए यह इसका उपसमुच्चय नहीं है। / (\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}). The elements (m,n) are not in it, so ({m,n}) is not its subset.
\(2^n=64\), इसलिए (n=6) है। (3)-तत्वीय उपसमुच्चय \(\binom{6}{3}=20\) होंगे। / Since \(2^n=64\), (n=6). The number of (3)-element subsets is \(\binom{6}{3}=20\).
(2,5) निश्चित हैं और (1) निषिद्ध है। शेष (3,4) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (2,5) are fixed and (1) is forbidden. The remaining (3,4) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
(A) में (U) की सम संख्याएँ हैं। पूरक में (U) की विषम संख्याएँ रहेंगी। / (A) contains the even numbers of (U). Its complement contains the odd numbers of (U).
विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\) हैं। (n>0) में आधे उपसमुच्चय विषम आकार के होते हैं। / Odd-sized subsets are \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\). For (n>0), half the subsets have odd size.
हर तत्व के लिए तीन स्थितियाँ हैं: (X) में, केवल (Y) में, या दोनों से बाहर। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / For each element there are three choices: in (X), only in (Y), or outside both. Thus the total is \(3^3=27\).
\(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\) है। पूरक ({1,5,7,11}) है, इसलिए (4) तत्व हैं। / \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\). Its complement is ({1,5,7,11}), so it has (4) elements.
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय (4) उपसमुच्चयों से बनता है। यहाँ \(\emptyset\) भी (A) का एक तत्व है। / A two-element set has (4) subsets in its power set. Here \(\emptyset\) is also an element of (A).
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और ठीक (2) तत्व वाले \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए उत्तर (64-15=49) है। / Total subsets are \(2^6=64\), and exactly two-element subsets are \(\binom{6}{2}=15\). So the answer is (64-15=49).
B. जो कोई भी विषय नहीं पढ़ते/Students studying neither subject
Explanation
Simple Explanation
\(A'\cap B'\) में वे छात्र हैं जो (A) में भी नहीं और (B) में भी नहीं हैं। यह न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों को दर्शाता है। / \(A'\cap B'\) contains students not in (A) and not in (B). It represents students studying neither Mathematics nor Physics.
(4) निश्चित है और (1) नहीं लेना है। शेष (2,3) के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। / (4) is fixed and (1) is excluded. The remaining (2,3) give \(2^2=4\) choices.
रिक्त समुच्चय का पूरक पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है। इसलिए (A'=U)। / The complement of the empty set is the whole universal set. Hence (A'=U).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, अकेले तत्व नहीं। (1) को ({1}) लिखने पर वह घात समुच्चय का तत्व होगा। / A power set contains subsets, not bare elements. (1) would need to be written as ({1}) to be an element of the power set.
(A), (U) में (A') के बाहर बचे तत्वों का समुच्चय है। इसलिए \(A=\{a,c,e\}\)। / (A) is the set of elements left in (U) outside (A'). Therefore \(A=\{a,c,e\}\).
(5) तत्वों वाले समुच्चय के कुल (32) उपसमुच्चय हैं। इनमें आधे यानी (16) सम आकार के होते हैं। / A set with (5) elements has (32) subsets. Half of them, (16), have even cardinality.
B. (U) में अपूर्ण वर्ग संख्याएँ/Non-perfect-square numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) के पूर्ण वर्ग (1,4,9) हैं। पूरक में (U) की बाकी अपूर्ण वर्ग संख्याएँ होंगी। / (A) contains the perfect squares (1,4,9) in (U). Its complement contains the remaining non-perfect-square numbers in (U).
({a,b}) को रखना जरूरी है और (c) वैकल्पिक है। इसलिए ({a,b}) और ({a,b,c}), कुल (2) हैं। / ({a,b}) must be included and (c) is optional. Thus ({a,b}) and ({a,b,c}), total (2), work.
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं। (A) सम अंकों का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम अंक हैं। / All digits are from (0) to (9). (A) is the set of even digits, so the complement is the odd digits.
(1,2) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं। शेष (3,4) के लिए \(2^2\) तरीके, इसलिए कुल (8) हैं। / There are (2) ways to choose exactly one of (1,2). The remaining (3,4) give \(2^2\) choices, so total (8).
(A) में (100) तक की प्राकृतिक संख्याएँ हैं। \(\mathbb{N}\) में पूरक (100) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। / (A) contains natural numbers up to (100). In \(\mathbb{N}\), the complement is natural numbers greater than (100).
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) तत्व हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) तत्व बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) elements.
असंयुक्त उपसमुच्चय में (x) और (z) नहीं आ सकते। केवल (y,w) चुने जा सकते हैं, इसलिए \(2^2=4\) हैं। / A disjoint subset cannot contain (x) or (z). Only (y,w) may be chosen, so there are \(2^2=4\).
(A) में (1,3,7,9) हैं। इसलिए पूरक (2) या (5) से विभाज्य तत्व ({2,4,5,6,8,10}) हैं। / (A) contains (1,3,7,9). So the complement is the elements divisible by (2) or (5): ({2,4,5,6,8,10}).
(A) के सभी तत्व सम हैं, इसलिए (\mathcal{P}(A)) के हर उपसमुच्चय में केवल सम संख्याएँ होंगी। कुल संख्या \(2^5=32\) है। / All elements of (A) are even, so every subset in (\mathcal{P}(A)) contains only even numbers. The total number is \(2^5=32\).
(1) निश्चित है और (2) नहीं लेना है, इसलिए (3,4,5) में से (2) तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (1) is fixed and (2) is excluded, so choose (2) elements from (3,4,5). The count is \(\binom{3}{2}=3\).
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\) है। आकार आधारित प्रश्नों में संयोजन लगाएँ। / The number is \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\). Use combinations for size-based subset questions.
\(A\cap B\) में (6) के गुणज (6,12,18,24) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक में (24-4=20) तत्व होंगे। / \(A\cap B\) contains the multiples of (6): (6,12,18,24), so it has (4) elements. The complement has (24-4=20) elements.
(4) से विभाज्य तत्व (4,8,12) हैं। पूरक में (U) के बाकी तत्व आएँगे। / The elements divisible by (4) are (4,8,12). The complement contains the remaining elements of (U).
\({\emptyset,{a}}\), (A) का उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय आते हैं। / \({\emptyset,{a}}\) is a subset of (A). A power set always contains subsets of the original set.
A. \({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) या (x>3})/\({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) or (x>3})
Explanation
Simple Explanation
पूरक में वे पूर्णांक होंगे जो दिए गए अंतराल के बाहर हैं। सीमा मान (-2) और (3) (A) में हैं इसलिए पूरक में नहीं होंगे। / The complement contains integers outside the given interval. The endpoints (-2) and (3) are in (A), so they are not in the complement.
(\mathcal{P}(A)) स्वयं (256) तत्वों वाला समुच्चय है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^{256}\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}(A)) itself is a set with (256) elements. Its power set therefore has \(2^{256}\) elements.
(1) निश्चित है और (6) निषिद्ध है। शेष चार तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। / (1) is fixed and (6) is forbidden. The remaining four elements are free, so there are \(2^4=16\) subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total subsets. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) non-empty proper subsets.
केवल रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा (U) होता है। पूरक वाले प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय याद रखें। / Only the empty set has the whole (U) as its complement. Always remember the universal set in complement questions.
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं। / Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
कम से कम (6) तत्वों का अर्थ (6) या (7) तत्व है। संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\) है। / At least (6) elements means (6) or (7) elements. The count is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\).
(0) को निश्चित रखने पर शेष चार तत्वों में से सम संख्या चुननी होगी। संख्या \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\) है। / After fixing (0), an even number of the remaining four elements must be chosen. The count is \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\).
(U) में (26) वर्ण हैं और (V) में (5) स्वर हैं। पूरक में (26-5=21) व्यंजन होंगे। / (U) has (26) letters and (V) has (5) vowels. The complement has (26-5=21) consonants.
({a,d}) से असंयुक्त उपसमुच्चय केवल (b,c) से बनेंगे, जो \(2^2=4\) हैं। इसलिए असंयुक्त नहीं होने वाले (16-4=12) हैं। / Subsets disjoint from ({a,d}) are formed only from (b,c), so there are \(2^2=4\). Hence not disjoint subsets are (16-4=12).
कुल उपसमुच्चय (32) हैं। (2) और (3) दोनों न लेने वाले \(2^3=8\) हैं, इसलिए उत्तर (24) है। / There are (32) total subsets. Those containing neither (2) nor (3) are \(2^3=8\), so the answer is (24).
घात समुच्चय बराबर होने पर मूल समुच्चय भी बराबर होते हैं। क्योंकि मूल समुच्चय स्वयं अपने घात समुच्चय का तत्व होता है। / If power sets are equal, the original sets are also equal. This is because each original set is an element of its own power set.
(20) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं, इसलिए (|A|=4)। अतः (|A'|=20-4=16)। / The perfect squares up to (20) are (1,4,9,16), so (|A|=4). Thus (|A'|=20-4=16).
(r,s) निश्चित हैं और (v) नहीं लेना है। शेष (t,u) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (r,s) are fixed and (v) is excluded. The remaining (t,u) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
\(x^2<25\) के लिए (U) में (0,1,2,3,4) आते हैं। इसलिए पूरक ({5,6,7,8,9}) है। / In (U), \(x^2<25\) gives (0,1,2,3,4). Therefore the complement is ({5,6,7,8,9}).
(Y=A) निश्चित है, इसलिए (X), (A) का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। (X) के \(2^4=16\) विकल्प हैं। / (Y=A) is fixed, so (X) can be any subset of (A). There are \(2^4=16\) choices for (X).
(|\mathcal{P}(B)|=32) और (|\mathcal{P}(A)|=16) है। क्योंकि \(A\subset B\), अंतर में (32-16=16) तत्व होंगे। / (|\mathcal{P}(B)|=32) and (|\mathcal{P}(A)|=16). Since \(A\subset B\), the difference has (32-16=16) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। \(A\cap B={2,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) तत्व हैं। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={2,4}\), the complement has (10-2=8) elements.
(A) में दो अलग तत्व हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। / (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence (|\mathcal{P}(A)|=22=4).
A. वे त्रिभुज जो समबाहु नहीं हैं/Triangles that are not equilateral
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर लिया जाता है। इसलिए (E') सभी ऐसे त्रिभुज हैं जो समबाहु नहीं हैं। / Complement is always taken inside the universal set. So (E') is all triangles that are not equilateral.
कुल उपसमुच्चय \(2^7=128\) हैं और ठीक (5) तत्व वाले \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए उत्तर (128-21=107) है। / Total subsets are \(2^7=128\), and exactly (5)-element subsets are \(\binom{7}{5}=21\). So the answer is (128-21=107).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Hence the complement has (30-20=10) numbers.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और (e) निश्चित है। (c,d) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\times2^2=8\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and (e) is fixed. (c,d) are free, so \(2\times2^2=8\).
(U) में (11) तत्व हैं और \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) में (5) तत्व हैं। इसलिए (A') में (6) तत्व हैं। / (U) has (11) elements and \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) has (5) elements. So (A') has (6) elements.
ऐसे उपसमुच्चय में (3) होना चाहिए और (4) नहीं होना चाहिए। (1,2) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। / Such a subset must contain (3) and must not contain (4). (1,2) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B'\subseteq A'\) मिलता है। / Inclusion reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B'\subseteq A'\).
({3,4}) (A) का एक तत्व है, इसलिए उसका एकल उपसमुच्चय ({{3,4}}) घात समुच्चय में होगा। / ({3,4}) is one element of (A), so its singleton subset ({{3,4}}) is in the power set.
(|A|=5) और (|B|=3), इसलिए \(|A\times B|=15\) है। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^{15}\) तत्व होंगे। / (|A|=5) and (|B|=3), so \(|A\times B|=15\). Therefore its power set has \(2^{15}\) elements.
(A) में (U) की विषम संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (U) की सम संख्याएँ ({2,4,6,8}) होंगी। / (A) contains the odd numbers of (U). Therefore the complement is the even numbers of (U): ({2,4,6,8}).
ऐसे उपसमुच्चय केवल \(\emptyset\) और ({1}) हैं। शर्तों में खाली समुच्चय को भी गिनना न भूलें। / The only such subsets are \(\emptyset\) and ({1}). Do not forget to count the empty set in condition-based questions.
(2) (A) में शामिल है, इसलिए पूरक में (2) नहीं आएगा। \(\mathbb{R}\) में पूरक (\(2,\infty\)) है। / (2) is included in (A), so it is not in the complement. In \(\mathbb{R}\), the complement is (\(2,\infty\)).
(a) को हटाने पर (5) तत्व बचते हैं। उनमें से ठीक (3) चुनने के \(\binom{5}{3}=10\) तरीके हैं। / After excluding (a), (5) elements remain. Choosing exactly (3) of them gives \(\binom{5}{3}=10\) ways.
(A\cap B=\(A'\cup B'\)') है। \(A'\cup B'={1,2,4,7,8}\), इसलिए पूरक ({3,5,6}) है। / (A\cap B=\(A'\cup B'\)'). Since \(A'\cup B'={1,2,4,7,8}\), the complement is ({3,5,6}).
(A) में कम से कम एक विषम संख्या है, इसलिए उपसमुच्चयों के योग सम और विषम बराबर संख्या में होंगे। कुल (32) हैं, अतः सम योग वाले (16) हैं। / Since (A) has at least one odd number, subsets with even and odd sums are equal in number. Total subsets are (32), so even-sum subsets are (16).
(10) के गुणज (10,20,30,40,50) हैं, इसलिए (|A|=5)। (A') में (45) तत्व हैं, अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{45})। / The multiples of (10) are (10,20,30,40,50), so (|A|=5). (A') has (45) elements, hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{45}).
({1,2,3}) के उपसमुच्चय में (1) नहीं होना चाहिए। केवल (2,3) से बनने वाले \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलेंगे। / The subset of ({1,2,3}) must not contain (1). Subsets formed only from (2,3) give \(2^2=4\) choices.
A. (U) में (1) और संयुक्त संख्याएँ/(1) and composite numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) की अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ होंगी। / (A) contains the prime numbers of (U). Therefore the complement contains (1) and composite numbers.
(A'={e,f,g,h}) और (B'={a,b,g,h}) हैं। केवल एक में आने वाले तत्व (a,b,e,f) हैं, इसलिए (4) तत्व हैं। / (A'={e,f,g,h}) and (B'={a,b,g,h}). Elements in exactly one are (a,b,e,f), so there are (4).
(1,2,3) में से कम से कम दो चुनने के \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) तरीके हैं। शेष तीन तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times2^3=32\) है। / Choosing at least two from (1,2,3) gives \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) ways. The remaining three elements are free, so the count is \(4\times2^3=32\).
क्योंकि \(2^{n(A)}=64\), इसलिए (n(A)=6) और (n(A')=10-6=4)। परीक्षा में पहले आधार समुच्चय को पहचानें। / Since \(2^{n(A)}=64\), (n(A)=6), so (n(A')=10-6=4). In exams, identify the universal set first.
(16) के भाजक (1,2,4,8,16) हैं, इसलिए (A') में (11) तत्व हैं। अतः (n(\mathcal{P}(B))=2^{11}=2048)। / The divisors of (16) are (1,2,4,8,16), so (A') has (11) elements. Hence (n(\mathcal{P}(B))=2^{11}=2048).
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({1,{2}}) में केवल (A) के तत्व हैं। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({1,{2}}) contains only elements of (A).
({1,2}) में (1) है, लेकिन (1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / ({1,2}) contains (1), but (1) itself is not an element of (A). Elements of a power set are always subsets of the original set.
(12) के भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं, इसलिए बाकी तत्व पूरक में आएंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के संदर्भ में लें। / The divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12), so the remaining elements form the complement. Always take complement with respect to (U).
\(2^{n(A)}=32\), इसलिए (n(A)=5) और (n(A')=8)। (A') के (2)-तत्वीय उपसमुच्चय \(\binom{8}{2}=28\) होंगे। / Since \(2^{n(A)}=32\), (n(A)=5) and (n(A')=8). The number of (2)-element subsets of (A') is \(\binom{8}{2}=28\).
यदि दो समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय समान हैं, तो मूल समुच्चय भी समान होंगे। यह घात समुच्चय की एक महत्वपूर्ण परीक्षा-युक्ति है। / If two sets have exactly the same subsets, the original sets must be equal. This is an important power set result for exams.
(4) के (5) और (6) के (3) गुणज हैं, जबकि (12) का केवल (1) साझा गुणज है। इसलिए संघ में (7) तत्व और पूरक में (20-7=13) तत्व होंगे। / There are (5) multiples of (4) and (3) multiples of (6), with (1) common multiple of (12). So the union has (7) elements and the complement has (20-7=13) elements.
यहां \(2^{2^{n(A)}}=16=2^4\), इसलिए \(2^{n(A)}=4\) और (n(A)=2)। घात समुच्चय पर घात समुच्चय में दो बार सूत्र लगाएं। / Here \(2^{2^{n(A)}}=16=2^4\), so \(2^{n(A)}=4\) and (n(A)=2). Apply the power set formula twice.
\(A\cup B={a,b,c,e}\), इसलिए (U) में बचा तत्व (d) है। पूरक निकालने से पहले संघ पूरा करें। / \(A\cup B={a,b,c,e}\), so the only remaining element in (U) is (d). Find the union before taking complement.
उचित उपसमुच्चय की संख्या \(2^{n(A)}-1\) होती है, इसलिए \(2^{n(A)}=6\)। घात समुच्चय में मूल समुच्चय भी शामिल होता है। / The number of proper subsets is \(2^{n(A)}-1\), so \(2^{n(A)}=6\). The power set also includes the original set itself.
A. ऐसा कोई सीमित समुच्चय नहीं है/No such finite set exists
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(2^n-1=5\) से \(2^n=6\) मिलता है, जो (2) की घात नहीं है। ऐसे प्रश्न में संख्या की सम्भवता भी जांचें। / Because \(2^n-1=5\) gives \(2^n=6\), which is not a power of (2). In such questions, also check whether the number is possible.
(1) से (20) तक (8) अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए (A') में (12) तत्व हैं। अतः (n(\mathcal{P}(A'))=2^{12}=4096)। / There are (8) primes from (1) to (20), so (A') has (12) elements. Hence (n(\mathcal{P}(A'))=2^{12}=4096).
(\mathcal{P}(A)) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं, सामान्य तत्व नहीं। इसलिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) गलत है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets, not ordinary elements. Therefore \(1\in\mathcal{P}(A)\) is false.
(A'={2,4,6,8}) और (B'={1,4,6,7}), अतः प्रतिच्छेद ({4,6}) है। ऐसे प्रश्न में दोनों पूरक अलग निकालें। / (A'={2,4,6,8}) and (B'={1,4,6,7}), so the intersection is ({4,6}). Find both complements separately.
समीकरण \(2^m=m+12\) है और (m=4) रखने पर (16=16) मिलता है। छोटी पूर्ण संख्याएं जांचना तेज तरीका है। / The equation is \(2^m=m+12\), and (m=4) gives (16=16). Testing small integers is a quick method.
A. सभी विषम प्राकृतिक संख्याएं/All odd natural numbers
Explanation
Simple Explanation
जब \(U=\mathbb{N}\) है, तो पूरक केवल प्राकृतिक संख्याओं के अंदर लिया जाएगा। इसलिए सम प्राकृतिक संख्याओं का पूरक विषम प्राकृतिक संख्याएं हैं। / When \(U=\mathbb{N}\), complement is taken only within natural numbers. Thus the complement of even natural numbers is odd natural numbers.
तीन तत्वों वाले समुच्चय के एक-तत्वीय उपसमुच्चय (3) होते हैं। ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / A set with (3) elements has (3) singleton subsets. All of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
ठीक (2) तत्व चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। घात समुच्चय में सभी आकारों के उपसमुच्चय होते हैं। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{4}{2}=6\). The power set contains subsets of every size.
\(U={1,\ldots,9}\) और \(x^2<20\) के लिए \(A=\{1,2,3,4\}\) है। बाकी ({5,6,7,8,9}) पूरक है। / \(U={1,\ldots,9}\), and \(x^2<20\) gives \(A=\{1,2,3,4\}\). The remaining set ({5,6,7,8,9}) is the complement.
(1) को निश्चित रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाले प्रश्न में बाकी तत्वों पर घात लगाएं। / Fix (1), then each of the remaining (2) elements may be chosen or not, giving \(2^2=4\) subsets. For a fixed element, take powers over the remaining elements.
(p) को बाहर रखकर केवल (q,r,s) से उपसमुच्चय बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\)। किसी तत्व को हटाने पर शेष तत्वों की शक्ति लें। / Excluding (p), subsets are formed only from (q,r,s), so \(2^3=8\). When one element is forbidden, take the power of the remaining elements.
(A) में (5) तत्व हैं और (U) में (15), इसलिए (A') में (10) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^{10}=1024\) तत्व हैं। / (A) has (5) elements and (U) has (15), so (A') has (10) elements. Therefore its power set has \(2^{10}=1024\) elements.
A. \({1,2}\in A\) और \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1,2}\in A\) and \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1,2}) (A) का एक तत्व है और साथ ही (A) का उपसमुच्चय भी है। इसलिए यह (A) में भी है और (\mathcal{P}(A)) में भी है। / ({1,2}) is an element of (A) and also a subset of (A). Hence it belongs to both (A) and (\mathcal{P}(A)).
(A) वही तत्व होंगे जो (U) में हैं पर (A') में नहीं हैं। इसलिए \(A=\{1,3,5\}\)। / (A) contains elements that are in (U) but not in (A'). Therefore \(A=\{1,3,5\}\).
कम से कम (4) तत्वों वाले उपसमुच्चय (4)-तत्वीय और (5)-तत्वीय होंगे। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / Subsets with at least (4) elements are (4)-element and (5)-element subsets. The count is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
विषम आकार (1) और (3) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\) है। आकार के आधार पर उपसमुच्चय गिनें। / The odd sizes are (1) and (3), so the count is \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\). Count subsets by their sizes.
(A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चय का संबंध भी उसी दिशा में रहता है। / Every subset of (A) is also a subset of (B). Therefore the power set relation remains in the same direction.
(2) के (15), (5) के (6), और (10) के (3) गुणज हैं, इसलिए संघ में (18) तत्व हैं। पूरक में (30-18=12) तत्व होंगे। / There are (15) multiples of (2), (6) multiples of (5), and (3) multiples of (10), so the union has (18) elements. The complement has (30-18=12) elements.
(1) निश्चित है और (4) बाहर है, इसलिए (2,3) स्वतंत्र हैं। कुल \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (1) is fixed and (4) is excluded, so (2,3) are free. Thus there are \(2^2=4\) subsets.
पूरक एक-तत्वीय होने के लिए मूल उपसमुच्चय में (3) तत्व होने चाहिए। ऐसे उपसमुच्चय \(\binom{4}{3}=4\) हैं। / For the complement to be singleton, the original subset must have (3) elements. There are \(\binom{4}{3}=4\) such subsets.
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय स्वयं रिक्त समुच्चय है। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\varnothing}\) है। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore its power set is \({\varnothing}\).
\(A=\{2,3,4,6,8,9,10\}\), इसलिए बची संख्याएं ({1,5,7}) हैं। या का अर्थ संघ होता है। / \(A=\{2,3,4,6,8,9,10\}\), so the remaining numbers are ({1,5,7}). The word or means union.
संख्या \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\) है। ऐसे प्रश्नों में आकारों को अलग-अलग जोड़ें। / The count is \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\). In such questions, add the required sizes separately.
शब्द sets में अलग-अलग अक्षर (s,e,t) हैं, इसलिए (A) में (3) तत्व हैं। घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The word sets has distinct letters (s,e,t), so (A) has (3) elements. The power set has \(2^3=8\) elements.
\(x^2=x\) से (x=0) या (x=1), इसलिए \(A=\{0,1\}\)। (A') में (4) तत्व हैं, अतः \(2^4=16\)। / \(x^2=x\) gives (x=0) or (x=1), so \(A=\{0,1\}\). (A') has (4) elements, hence \(2^4=16\).
(a) और (b) निश्चित हैं, बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / (a) and (b) are fixed, and the remaining (3) elements are free. Therefore there are \(2^3=8\) subsets.
(1) से (25) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25) हैं, यानी (5) तत्व। इसलिए (n(A')=25-5=20)। / The perfect squares from (1) to (25) are (1,4,9,16,25), giving (5) elements. Thus (n(A')=25-5=20).
(3) तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। उचित उपसमुच्चय में स्वयं (A) नहीं आता, इसलिए (7) हैं। / A set with (3) elements has \(2^3=8\) subsets. A proper subset excludes (A) itself, so there are (7).
(2) को निश्चित रखने पर बाकी (3) से विषम संख्या तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=4\) है। / After fixing (2), choose an odd number of elements from the remaining (3). The count is \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=4\).
\(A\cap B={3,4}\), इसलिए इसका पूरक (U) में बाकी सभी तत्व हैं। प्रतिच्छेद का पूरक लेते समय पहले साझा तत्व निकालें। / \(A\cap B={3,4}\), so its complement is all other elements in (U). For complement of an intersection, first find the common elements.
(U) में (-3) से (3) तक पूर्णांक हैं और (A) में (0,1,2,3) हैं। इसलिए पूरक ({-3,-2,-1}) है। / (U) has integers from (-3) to (3), and (A) has (0,1,2,3). Thus the complement is ({-3,-2,-1}).
(A) के उपसमुच्चयों में केवल \(\varnothing\) ही (A) से असंयुक्त है। असंयुक्त का अर्थ साझा तत्व न होना है। / Among subsets of (A), only \(\varnothing\) is disjoint from (A). Disjoint means having no common element.
कुल उपसमुच्चय (64) हैं और जिनमें (1,2) दोनों नहीं हैं वे \(2^4=16\) हैं। इसलिए उत्तर (64-16=48) है। / There are (64) total subsets, and those containing neither (1) nor (2) are \(2^4=16\). Hence the answer is (64-16=48).
A. क्योंकि \(A'\subseteq U\)/Because \(A'\subseteq U\)
Explanation
Simple Explanation
किसी भी पूरक (A') के सभी तत्व (U) के अंदर ही होते हैं। इसलिए \(A'\subseteq U\) से \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\) मिलता है। / Every complement (A') contains elements only from (U). Thus \(A'\subseteq U\) gives \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\).
कोई समुच्चय अपने पूरक के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि तब वह अपने ही प्रत्येक तत्व को रखेगा और नहीं भी रखेगा। इसलिए संख्या (0) है। / No set can be equal to its complement because each element would have to be both included and not included. Therefore the count is (0).
(18) के अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं, इसलिए (A) में (2) तत्व हैं। (A') में (16) तत्व होंगे और \(2^{16}=65536\)। / The prime factors of (18) are (2) and (3), so (A) has (2) elements. (A') has (16) elements and \(2^{16}=65536\).
पूरक स्थिति है कि (1) नहीं है और (5) है, जिसके \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। कुल (32) में से (8) घटाने पर (24) मिलते हैं। / The opposite condition is not containing (1) and containing (5), which gives \(2^3=8\) subsets. Subtracting from (32) gives (24).
A. यह सत्य है क्योंकि (A'=B)/It is true because (A'=B)
Explanation
Simple Explanation
(A) सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए (A') (U) में विषम संख्याएं हैं, जो (B) है। समान मूल समुच्चय के घात समुच्चय भी समान होते हैं। / (A) is the set of even numbers, so (A') in (U) is the set of odd numbers, which is (B). Equal original sets have equal power sets.
