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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Hard Level 11

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे कितने क्रमित युग्म \((X,Y)\) हैं जिनमें \(X\subseteq Y\subseteq A\) और \(Y=A\) है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many ordered pairs \((X,Y)\) are there such that \(X\subseteq Y\subseteq A\) and \(Y=A\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 16

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(Y\) की मान्यता \(A\) के रूप में निश्चित है, अतः \(X\) किसी भी तरह का \(A\) का उपसमुच्चय हो सकता है। किसी n-तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=4\) है, इसलिए संभावनाएँ \(2^4=16\) हैं। विकल्प B (8) आम त्रुटि है — कुछ विद्यार्थी आधे उपसमुच्चयों को मात्र समझ लेते हैं; वास्तविकता में सभी उपसमुच्चय गिने जाते हैं। परीक्षा टिप: जब कोई सेट निश्चित हो (यहाँ \(Y=A\)), तो केवल \(X\) के उपसमुच्चयों की संख्या गिनें और फार्मूला \(2^n\) प्रयोग करें। / Here \(Y\) is fixed as \(A\), so \(X\) can be any subset of \(A\). The number of subsets of an n-element set is \(2^n\). With \(n=4\), there are \(2^4=16\) choices for \(X\), hence 16 ordered pairs. Option B (8) is a common mistake — students sometimes (incorrectly) count only half the subsets. Option D (32) would correspond to \(2^5\), which is not relevant here. Exam tip: if one component (here \(Y\)) is fixed, count subsets of the other using \(2^n\).

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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे कितने क्रमित युग्म \((X,Y)\) हैं जिनमें \(X\subseteq Y\subseteq A\) और \(Y=A\) है? / If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many ordered pairs \((X,Y)\) are there such that \(X\subseteq Y\subseteq A\) and \(Y=A\)?

Correct Answer: C. 16. Explanation: यहाँ \(Y\) की मान्यता \(A\) के रूप में निश्चित है, अतः \(X\) किसी भी तरह का \(A\) का उपसमुच्चय हो सकता है। किसी n-तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=4\) है, इसलिए संभावनाएँ \(2^4=16\) हैं। विकल्प B (8) आम त्रुटि है — कुछ विद्यार्थी आधे उपसमुच्चयों को मात्र समझ लेते हैं; वास्तविकता में सभी उपसमुच्चय गिने जाते हैं। परीक्षा टिप: जब कोई सेट निश्चित हो (यहाँ \(Y=A\)), तो केवल \(X\) के उपसमुच्चयों की संख्या गिनें और फार्मूला \(2^n\) प्रयोग करें। / Here \(Y\) is fixed as \(A\), so \(X\) can be any subset of \(A\). The number of subsets of an n-element set is \(2^n\). With \(n=4\), there are \(2^4=16\) choices for \(X\), hence 16 ordered pairs. Option B (8) is a common mistake — students sometimes (incorrectly) count only half the subsets. Option D (32) would correspond to \(2^5\), which is not relevant here. Exam tip: if one component (here \(Y\)) is fixed, count subsets of the other using \(2^n\).