Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल \( \binom{11}{5} \) से (A,B) दोनों न होने वाले \( \binom{9}{5} \) घटाएँ, उत्तर (336) है। कम से कम एक के लिए पूरक सबसे सरल है। / Subtract \( \binom{9}{5} \), where neither (A) nor (B) is selected, from total \( \binom{11}{5} \), giving (336). For at least one, complement is simplest.
सभी उपसमुच्चय \(2^6\) हैं, खाली चयन हटाने पर (63) मिलते हैं। कम से कम एक में खाली स्थिति घटाना याद रखें। / There are \(2^6\) subsets, and removing the empty selection gives (63). For at least one, remember to subtract the empty case.
कम से कम एक (4) के लिए कुल \(4^5\) में से बिना (4) वाले \(3^5\) घटाएँ। कम से कम वाले सवालों में पूरक विधि आसान होती है। / For at least one (4), subtract the \(3^5\) arrangements with no (4) from all \(4^5\). The complement method is easy for at-least questions.
कुल \(2^4=16\) फलन हैं और केवल सभी मान (0) वाला (1) फलन हटेगा। इसलिए (15) फलन हैं। / There are \(2^4=16\) total functions, and only the all-zero function is excluded. Hence there are (15) functions.
कम से कम एक (45+40-30=55) है। प्रतिच्छेद को दो बार गिनने से बचने के लिए घटाते हैं। / At least one is (45+40-30=55). The intersection is subtracted to avoid double counting.
कम से कम एक का अर्थ संघ है, इसलिए (40+28+12=80) है। केवल और दोनों वाले भागों को अलग-अलग जोड़ें। / At least one means the union, so (40+28+12=80). Add the only regions and the both region separately.
यदि केवल (A), केवल (B), केवल (C), ठीक दो समुच्चयों में और तीनों समुच्चयों में क्रमशः (16), (19), (14), (27), (8) तत्व हैं, तो कम से कम एक समुच्चय में कुल कितने तत्व हैं?
कम से कम एक का अर्थ संघ है, इसलिए (16+19+14+27+8=84)। वेन आरेख में सभी अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / At least one means the union, so (16+19+14+27+8=84). In a Venn diagram, add all inside regions.
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (40+32-18=54)। ऐसे प्रश्नों में दोनों पसंद करते हैं को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (40+32-18=54). In such questions, count those who like both only once.
कुल \(2^5=32\) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों न होने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए (32-8=24)। / There are \(2^5=32\) total subsets, and \(2^3=8\) subsets contain neither (a) nor (b). Thus (32-8=24).
कुल subsets \(2^5=32\) हैं और (a,b) दोनों न रखने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए उत्तर (32-8=24) है। / Total subsets are \(2^5=32\), and subsets containing neither (a,b) are \(2^3=8\). Therefore the answer is (32-8=24).
कुल subsets \(2^6=64\) हैं और (2,4) दोनों न होने वाले subsets \(2^4=16\) हैं, इसलिए उत्तर (48) है। परीक्षा में at least one के लिए complement method तेज है। / Total subsets are \(2^6=64\), and subsets containing neither (2) nor (4) are \(2^4=16\), so the answer is (48). In exams, use complement method for at least one.
कुल उपसमुच्चय (64) हैं और जिनमें (1,2) दोनों नहीं हैं वे \(2^4=16\) हैं। इसलिए उत्तर (64-16=48) है। / There are (64) total subsets, and those containing neither (1) nor (2) are \(2^4=16\). Hence the answer is (64-16=48).
कुल उपसमुच्चय (32) हैं। (2) और (3) दोनों न लेने वाले \(2^3=8\) हैं, इसलिए उत्तर (24) है। / There are (32) total subsets. Those containing neither (2) nor (3) are \(2^3=8\), so the answer is (24).
कुल (8) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों को न रखने वाले (2) हैं। इसलिए (8-2=6) उपसमुच्चय सही हैं। / There are (8) total subsets and (2) subsets contain neither (a) nor (b). So (8-2=6) subsets are correct.
कुल उपसमुच्चय \,\(2^4=16\) होते हैं। हम पूरक पद्धति से गिन सकते हैं: उन उपसमुच्चयों की संख्या जो दोनों a और b को बाहर रखते हैं मतलब केवल c और d पर निर्भर हैं, यानी \,\(2^2=4\)। इसलिए कम-से-कम एक a या b वाले उपसमुच्चय = \(16-4=12\)। वैकल्पिक रूप से इनक्लूज़न‑एक्सक्लूज़न: a वाले \(2^3\), b वाले \(2^3\) और दोनों वाले \(2^2\) → \(8+8-4=12\)। सामान्य गलती: 10 प्राप्त करने वाले विद्यार्थी अक्सर 'ठीक एक' और 'दोनों' को ठीक से जोड़‑घटाते नहीं हैं। परीक्षात्मक सुझाव: कम्प्लीमेंटरी काउंटिंग या inclusion–exclusion दोनों से उत्तर की जाँच कर लें। / Total subsets are \(2^4=16\). Use complementary counting: subsets that exclude both a and b depend only on c and d, giving \(2^2=4\). Thus subsets with at least one of a or b = \(16-4=12\). By inclusion–exclusion: subsets containing a (\(2^3\)) plus containing b (\(2^3\)) minus containing both (\(2^2\)) → \(8+8-4=12\). Common mistake: getting 10 often means miscounting 'exactly one' versus 'at least one'. Exam tip: verify with both complementary method and inclusion–exclusion to avoid such errors.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और जिनमें (p,q) दोनों नहीं हैं वे \(2^2=4\) हैं। अतः उत्तर (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those containing neither (p) nor (q) are \(2^2=4\). Hence the answer is (16-4=12).
