Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सूत्र (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)) से उत्तर (26) है। परीक्षा में संघ का मान मिलने पर प्रतिच्छेद इसी तरह निकालें। / Using (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)), the answer is (26). In exams, find the intersection this way when the union is given.
एक सर्वेक्षण में (n(U)=180), (n(A)=82), (n(B)=76), (n(C)=69), (n\(A\cap B\)=34), (n\(B\cap C\)=29), (n\(C\cap A\)=27) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=82+76+69-34-29-27+12=149), इसलिए बाहर (180-149=31) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=82+76+69-34-29-27+12=149), so outside is (180-149=31). First find the union and then take the complement.
केवल (A) का भाग (n(A)-n\(A\cap B\)=37-19=18) है। वेन आरेख में साझा भाग को दोबारा नहीं गिनना चाहिए। / The only (A) part is (n(A)-n\(A\cap B\)=37-19=18). In a Venn diagram, the common part should not be counted twice.
यदि केवल (A) में (21), केवल (B) में (24), केवल (C) में (18), केवल \(A\cap B\) में (13), केवल \(B\cap C\) में (11), केवल \(C\cap A\) में (9) और तीनों में (7) तत्व हैं, तो ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्वों की संख्या कितनी है?
ठीक दो समुच्चयों में केवल दो-दो वाले क्षेत्र आते हैं, इसलिए (13+11+9=33) है। केंद्र \(A\cap B\cap C\) को ठीक दो में न गिनें। / Exactly two sets include only the pairwise-only regions, so (13+11+9=33). Do not count the centre \(A\cap B\cap C\) in exactly two.
पहले (n\(A\cup B\)=70+65-28=107), इसलिए बाहर का भाग (150-107=43) है। पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय घटाना याद रखें। / First (n\(A\cup B\)=70+65-28=107), so the outside part is (150-107=43). Remember to subtract from the universal set for a complement.
सूत्र से (72=(4x+5)+(3x+8)-(2x+1)=5x+12), इसलिए (x=12) है। बीजगणितीय वेन प्रश्न में संघ का सूत्र सीधे लगाएँ। / Using the formula, (72=(4x+5)+(3x+8)-(2x+1)=5x+12), so (x=12). In algebraic Venn questions, apply the union formula directly.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=48), (n(B)=50), (n(C)=44), (n\(A\cap B\)=20), (n\(B\cap C\)=18), (n\(C\cap A\)=16) और (n\(A\cap B\cap C\)=7) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना होगा?
सूत्र से (48+50+44-20-18-16+7=95) मिलता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / By the formula, (48+50+44-20-18-16+7=95). In three sets, the common triple part must be added back.
(3) के गुणज (20), (4) के गुणज (15), और (12) के गुणज (5) हैं, इसलिए संघ (30) और पूरक (60-30=30) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (3) are (20), multiples of (4) are (15), and multiples of (12) are (5), so the union is (30) and the complement is (60-30=30). Subtract common multiples once.
यदि (n\(A\cap B\cap C\)=9), केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (11), और केवल \(C\cap A\) में (13) तत्व हैं, तो (n(\(A\cap B\)\cup\(B\cap C\)\cup\(C\cap A\))) कितना है?
कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व (14+11+13+9=47) हैं। वेन आरेख में केंद्र को एक बार ही गिनें। / Elements in at least two sets are (14+11+13+9=47). In the Venn diagram, count the centre only once.
किसी में नहीं (n(\(A\cup B\cup C\)')=200-164=36) है। बाहर का क्षेत्र हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाकर मिलता है। / None of the sets is (n(\(A\cup B\cup C\)')=200-164=36). The outside region is always total universal set minus the union.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए प्रतिच्छेद (76-31-27=18) है। क्षेत्र आधारित प्रश्नों में वेन आरेख को भागों में बाँटें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the intersection is (76-31-27=18). For region-based questions, split the Venn diagram into parts.
वेन आरेख में (A) के केवल भाग में (23), (B) के केवल भाग में (17), (C) के केवल भाग में (19), केवल दो-दो के भागों में (8,9,10) और केंद्र में (5) हैं। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सभी अंदरूनी अलग क्षेत्रों का योग (23+17+19+8+9+10+5=91) है। अलग क्षेत्रों को एक-एक बार जोड़ना सही तरीका है। / The union is the sum of all disjoint inside regions (23+17+19+8+9+10+5=91). Add each separate region exactly once.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए (B-A) में (57-32=25) तत्व होंगे। उपसमुच्चय वाले आरेख में छोटा वृत्त बड़े के भीतर होता है। / Since \(A\subseteq B\), (B-A) has (57-32=25) elements. In subset diagrams, the smaller circle lies inside the larger one.
असंबद्ध समुच्चयों में (n\(A\cup B\)=41+39=80), इसलिए पूरक (20) है। असंबद्ध होने पर प्रतिच्छेद शून्य मानें। / For disjoint sets, (n\(A\cup B\)=41+39=80), so the complement is (20). When sets are disjoint, take the intersection as zero.
केवल एक विषय ((72-38)+(64-38)=60) है। ठीक एक में साझा भाग को दोनों तरफ से घटाएँ। / Exactly one subject is ((72-38)+(64-38)=60). For exactly one, subtract the common part from both sides.
पहले (n\(A\cap B\)=45+52-73=24), फिर (n\(A\triangle B\)=73-24=49) है। सममित अंतर में साझा भाग शामिल नहीं होता। / First (n\(A\cap B\)=45+52-73=24), then (n\(A\triangle B\)=73-24=49). The symmetric difference excludes the common part.
(n\(A\cap B\)=58-21=37), इसलिए (n\(A\cup B\)=58+49-37=70) और बाहर (40) नहीं बल्कि (110-70=40) होगा। सही विकल्पों में त्रुटि से बचने के लिए गणना जाँचें। / (n\(A\cap B\)=58-21=37), so (n\(A\cup B\)=58+49-37=70) and outside is (110-70=40). Check calculations carefully to avoid option traps.
\(A\cap B\) में (58-21=37) तत्व हैं, इसलिए संघ (70) और पूरक (40) है। पहले आरेख के अंदर के क्षेत्र भरें फिर बाहर का भाग निकालें। / \(A\cap B\) has (58-21=37) elements, so the union is (70) and the complement is (40). Fill inner regions first and then find the outside part.
तीन विषयों के सर्वे में (n(M)=60), (n(P)=54), (n(C)=50), (n\(M\cap P\)=25), (n\(P\cap C\)=22), (n\(C\cap M\)=20), (n\(M\cap P\cap C\)=10) है। केवल (M) पढ़ने वाले कितने हैं?
केवल (M=60-25-20+10=25) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को घटाने के बाद वापस जोड़ना पड़ता है। / Only (M=60-25-20+10=25). In three sets, the centre is subtracted twice and must be added back.
यदि केवल (A) में (12), केवल (B) में (15), केवल (C) में (18), केवल \(A\cap B\) में (9), केवल \(B\cap C\) में (7), केवल \(C\cap A\) में (6), और \(A\cap B\cap C\) में (4) हैं, तो (n(A\cap\(B\cup C\))) कितना है?
(A\cap\(B\cup C\)) में \(A\cap B\), \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए (9+6+4=19) है। केवल (A) इसमें शामिल नहीं होगा। / (A\cap\(B\cup C\)) includes \(A\cap B\), \(A\cap C\), and the centre, so (9+6+4=19). The only (A) region is not included.
(A-\(B\cup C\)) का अर्थ (A) में रहकर (B) और (C) से बाहर होना है। वेन आरेख में यह केवल (A) वाला क्षेत्र है। / (A-\(B\cup C\)) means being in (A) but outside both (B) and (C). In the Venn diagram, it is the only (A) region.
A. (A) और (B) दोनों वृत्तों का पूरा अंदरूनी भाग/Entire inside of both (A) and (B) circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cup B\) का अर्थ (A) या (B) या दोनों है। इसलिए दोनों वृत्तों के सभी अंदरूनी क्षेत्र छायांकित होंगे। / \(A\cup B\) means (A) or (B) or both. Therefore, all inside regions of both circles are shaded.
यदि (A) का पूरा भाग (B) से साझा है, तो (A) पूरी तरह (B) के अंदर है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / If all of (A) is common with (B), then (A) lies completely inside (B). Hence \(A\subseteq B\) is correct.
(n(A)=95-47=48) और (n(B)=95-52=43), इसलिए संघ (48+43-18=73) नहीं बल्कि (73) है। विकल्पों से मिलान करते समय सूत्र दोबारा देखें। / (n(A)=95-47=48) and (n(B)=95-52=43), so the union is (48+43-18=73), not (66). Recheck the formula before matching options.
(n(A)=48), (n(B)=43), इसलिए (n\(A\cup B\)=48+43-18=73) है। पूरक से मूल समुच्चय निकालना पहला कदम रखें। / (n(A)=48), (n(B)=43), so (n\(A\cup B\)=48+43-18=73). First obtain the original set sizes from complements.
संघ के तीन अलग भाग (24), (31) और (16) हैं, जिनका योग (71) है। वेन आरेख में अलग-अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ सकते हैं। / The three disjoint parts of the union are (24), (31), and (16), whose sum is (71). In a Venn diagram, separate regions can be added directly.
संघ (52+47-25=74) है, इसलिए बाहर (90-74=16) है। ऐसे प्रश्नों में किसी भी नहीं का अर्थ पूरक होता है। / The union is (52+47-25=74), so outside is (90-74=16). In such questions, neither means the complement.
कम से कम एक का अर्थ संघ है, इसलिए (40+28+12=80) है। केवल और दोनों वाले भागों को अलग-अलग जोड़ें। / At least one means the union, so (40+28+12=80). Add the only regions and the both region separately.
तीन समुच्चयों का संघ (30+34+36-8-10-6+0=76) है। यदि केंद्र खाली हो तो अंतिम जोड़ (0) रखें। / The union of three sets is (30+34+36-8-10-6+0=76). If the centre is empty, keep the final addition as (0).
सूत्र में (118=45+50+55-18-20-16+x), इसलिए (x=22) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाना आसान है। / Using the formula (118=45+50+55-18-20-16+x), so (x=22). Let the unknown centre be (x) to form an equation easily.
(30=(3x+2)+(2x+5)-(x+1)=4x+6), इसलिए (x=6) है। बीजगणितीय वेन प्रश्न में पहले संघ का सूत्र लगाएँ। / (30=(3x+2)+(2x+5)-(x+1)=4x+6), so (x=6). In algebraic Venn questions, first apply the union formula.
संघ (2x+3+x+7+x-1=4x+9=45), इसलिए (x=9) है। अलग क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (2x+3+x+7+x-1=4x+9=45), so (x=9). The sum of disjoint regions directly gives the union.
\(B\cap C\) में (6) और (12) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद के लिए दोनों शर्तें साथ में पूरी होनी चाहिए। / \(B\cap C\) contains (6) and (12), so the count is (2). For intersection, both conditions must be satisfied together.
(A-B) में वे अभाज्य होंगे जो विषम नहीं हैं, इसलिए केवल (2) बचेगा। समुच्चय अंतर में दूसरे समुच्चय के तत्व हटा दें। / (A-B) contains primes that are not odd, so only (2) remains. In set difference, remove the elements of the second set.
(2) के गुणज (15), (5) के गुणज (6), और (10) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (15+6-3=18) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (2) are (15), multiples of (5) are (6), and multiples of (10) are (3), so the union is (15+6-3=18). Subtract common multiples once.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(4,6)=12) के गुणज होंगे, जो (12,24,36,48) हैं। इसलिए संख्या (4) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12), namely (12,24,36,48). Hence the count is (4).
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग (14+22+18+11=65) है। बाहर का भाग भी (U) में शामिल होता है। / The universal set is the sum of all regions (14+22+18+11=65). The outside region is also included in (U).
दोनों केवल भागों का योग संघ से प्रतिच्छेद घटाकर (84-27=57) है। यह सममित अंतर की संख्या भी है। / The sum of the two only regions is union minus intersection (84-27=57). This is also the size of the symmetric difference.
ठीक एक (=(92-51)+(78-51)=68) है। दोनों रखने वालों को ठीक एक में नहीं गिना जाता। / Exactly one is ((92-51)+(78-51)=68). People having both are not counted in exactly one.
कम से कम एक (45+40-30=55) है। प्रतिच्छेद को दो बार गिनने से बचने के लिए घटाते हैं। / At least one is (45+40-30=55). The intersection is subtracted to avoid double counting.
जब संघ पूरे (U) के बराबर हो, तो संघ के बाहर कोई तत्व नहीं रहता। इसलिए (\(A\cup B\)') खाली होगा। / When the union equals the whole (U), no element remains outside the union. Therefore, (\(A\cup B\)') is empty.
A. नहीं, (A) और (C) अतिव्यापी हो सकते हैं/No, (A) and (C) may overlap
Explanation
Simple Explanation
(B) दोनों से अलग हो सकता है, लेकिन (A) और (C) आपस में मिल सकते हैं। वेन आरेख में स्वतंत्र संबंधों को अलग-अलग समझें। / (B) can be separate from both, while (A) and (C) may still overlap. In Venn diagrams, understand independent relations separately.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B') है। यह नियम असंबद्ध और सामान्य दोनों स्थितियों में सही है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). This rule is true for both disjoint and general cases.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (35+32-60=7) होगा। यदि योग (U) से अधिक हो तो उतना अतिव्यापन अनिवार्य है। / The minimum intersection is (35+32-60=7). If the sum exceeds (U), that much overlap is necessary.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय जितना हो सकता है, यानी (64)। यह तब होगा जब \(B\subseteq A\) हो सकता है। / The minimum union can be as small as the larger set, which is (64). This happens when \(B\subseteq A\) is possible.
प्रतिच्छेद का अधिकतम मान छोटे समुच्चय से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए (39) है। अधिकतम अतिव्यापन में छोटा समुच्चय बड़े में समा सकता है। / The maximum intersection cannot exceed the smaller set, so it is (39). In maximum overlap, the smaller set can lie inside the larger set.
पहले (n\(A\cap B\)=30+28-52=6), फिर (A-B=30-6=24) है। अंतर निकालने से पहले साझा भाग पहचानें। / First (n\(A\cap B\)=30+28-52=6), then (A-B=30-6=24). Identify the common part before finding difference.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी वेन क्षेत्रों की जानकारी नहीं मिलती। संघ के लिए साझा और केवल क्षेत्रों का पूरा विवरण चाहिए। / These differences do not give all Venn regions. To find the union, complete information about common and only regions is needed.
केवल \(A\cap B\) में (14-6=8) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में केंद्र भी शामिल होता है। / Only \(A\cap B\) has (14-6=8) elements. A two-set intersection includes the centre also.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों, इसलिए तीनों (140-65-51=24) है। क्षेत्र-आधारित योग प्रश्नों में हिस्सों को अलग रखें। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (140-65-51=24). In region-sum questions, keep the parts separate.
