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सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) लगाएं। परीक्षा में साझा भाग को दो बार गिनने की गलती न करें। / Use (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)). In exams, do not count the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=95-20=75), फिर (n\(A\cap B\)=48+39-75=12)। ऐसे प्रश्नों में बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=95-20=75), then (n\(A\cap B\)=48+39-75=12). In such questions, if the outside part is given, find the union first.
(n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15)। दिए गए तीन मानों से चौथा मान सीधे निकाला जा सकता है। / (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15). The fourth value can be found directly from the three given values.
पहले (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), इसलिए बाहर (80-64=16)। वेन आरेख में बाहर का क्षेत्र (U-\(A\cup B\)) होता है। / First (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), so outside is (80-64=16). In a Venn diagram, the outside region is (U-\(A\cup B\)).
केवल (A) का भाग (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18) है। आरेख बनाकर मध्य भाग घटाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Only (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18). Drawing the diagram and subtracting the middle part is the safest method.
संघ में तीन अलग-अलग क्षेत्र जुड़ते हैं, इसलिए (12+9+6=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ें। / The union is the sum of three separate regions, so (12+9+6=27). In Venn diagrams, add non-overlapping regions directly.
जब \(A\subseteq B\), तब (A) पूरा (B) के अंदर होता है, इसलिए (45-18=27)। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर बनता है। / When \(A\subseteq B\), all of (A) lies inside (B), so (45-18=27). In a subset Venn diagram, the smaller circle is inside the larger one.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (26+19=45)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (26+19=45). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
A. दोनों (A) और (B) में आने वाला साझा भाग/Common part in both (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) वे तत्व हैं जो दोनों समुच्चयों में साथ-साथ होते हैं। वेन आरेख में यह ओवरलैप क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\) contains elements that are in both sets together. In a Venn diagram, it is the overlap region.
(n\(A\cup B\)=52+44-21=75), इसलिए पूरक (100-75=25)। पूरक के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से घटाएं। / (n\(A\cup B\)=52+44-21=75), so the complement is (100-75=25). For complement, subtract from the universal set.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग (U) के बराबर होता है। वेन आरेख में वृत्त और उसके बाहर का भाग मिलकर पूरा आयत बनाते हैं। / A set and its complement together equal (U). In a Venn diagram, the circle and the outside part together form the whole rectangle.
किसी में भी नहीं (5) हैं, इसलिए (n\(A\cup B\)=55)। तब (n\(A\cap B\)=25+30-55=0)। / Neither is (5), so (n\(A\cup B\)=55). Then (n\(A\cap B\)=25+30-55=0).
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (40+32-18=54)। ऐसे प्रश्नों में दोनों पसंद करते हैं को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (40+32-18=54). In such questions, count those who like both only once.
केवल गणित (27-12=15) है। वेन आरेख में पहले बीच का भाग लिखें और फिर बचे हुए भाग निकालें। / Only Mathematics is (27-12=15). In a Venn diagram, write the middle part first and then find the remaining parts.
पूरा (A) दो भागों (A-B) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n(A)=16+11=27)। / Whole (A) is made of two parts (A-B) and \(A\cap B\). Hence (n(A)=16+11=27).
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए साझा भाग (48-20-13=15) होगा। अलग-अलग क्षेत्रों को मिलाना वेन आरेख का मुख्य नियम है। / The union has three separate parts, so the common part is (48-20-13=15). Combining separate regions is the main rule of Venn diagrams.
A. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) में वे तत्व होते हैं जो तीनों में मौजूद हों। तीन वृत्तों में यह सबसे बीच का साझा क्षेत्र है। / \(A\cap B\cap C\) contains elements present in all three sets. In three circles, it is the central common region.
सूत्र (30+28+24-10-8-6+4=62) देता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ना याद रखें। / The formula gives (30+28+24-10-8-6+4=62). For three sets, remember to add back the final common part.
A. (n(A)-n\(A\cap B\)-n\(A\cap C\)+n\(A\cap B\cap C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल (A) निकालते समय \(A\cap B\) और \(A\cap C\) घटते हैं, लेकिन केंद्रीय भाग दो बार घट जाता है इसलिए एक बार जोड़ते हैं। यही समावेशन-बहिष्करण का प्रयोग है। / While finding only (A), subtract \(A\cap B\) and \(A\cap C\), but the central part is subtracted twice, so add it once. This is inclusion-exclusion in use.
केवल (A=42-15-18+7=16)। तीन वृत्तों में केंद्रीय भाग का समायोजन जरूरी है। / Only (A=42-15-18+7=16). In three circles, adjustment of the central part is necessary.
केवल (A) और (B) के लिए केंद्रीय भाग घटाएं, (14-5=9)। जोड़ी वाले क्षेत्र में तीनों का साझा भाग शामिल होता है। / For only (A) and (B), subtract the central part, (14-5=9). A pairwise intersection includes the common part of all three.
किसी में नहीं (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14) है। बाहर का भाग हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाकर मिलता है। / None is (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14). The outside part is always found by subtracting the union from the universal set.
A. (A) का वह भाग जो (B) में नहीं है/Part of (A) that is not in (B)
Explanation
Simple Explanation
(A-B) का अर्थ (A) में मौजूद लेकिन (B) में अनुपस्थित तत्व हैं। वेन आरेख में यह केवल (A) वाला क्षेत्र है। / (A-B) means elements present in (A) but absent in (B). In a Venn diagram, it is the only (A) region.
A. (A-B) और (B-A) का संयुक्त क्षेत्र/Combined region of (A-B) and (B-A)
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे तत्व होते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. So the common part is not included.
सममित अंतर \(A\triangle B\) दो अलग क्षेत्रों (A-B) और (B-A) का योग है। इसलिए (23+31=54)। / The symmetric difference \(A\triangle B\) is the sum of the two separate regions (A-B) and (B-A). Hence (23+31=54).
ठीक एक समुच्चय (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46) है। संघ में साझा भाग भी शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46). The union includes the common part, so remove it.
यदि \(A\subseteq B\), तो (B) में (A) पहले से शामिल है। इसलिए संघ केवल (B) बनता है। / If \(A\subseteq B\), then (B) already contains (A). Hence the union is just (B).
जब (A) पूरी तरह (B) में है, तो साझा भाग (A) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानकर सूत्र के बिना उत्तर मिल सकता है। / When (A) is fully inside (B), the common part is (A) itself. Recognizing subset relation can give the answer without formula.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। वेन आरेख में उनके वृत्त अलग-अलग बनते हैं। / Disjoint sets have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). In a Venn diagram, their circles are separate.
असंबद्ध समुच्चयों में हर तत्व ठीक एक ही समुच्चय में होता है, इसलिए (20+25=45)। यहां साझा भाग शून्य है। / In disjoint sets, every element is in exactly one of the sets, so (20+25=45). Here the common part is zero.
दोनों समुच्चयों में केवल (2) समान है। प्रतिच्छेद में वही तत्व लिखें जो दोनों में हों। / Only (2) is common to both sets. In intersection, write only the elements that are in both.
संघ में (A) और (B) के सभी अलग तत्व आते हैं। दोहराए गए (c) को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of (A) and (B). Write the repeated (c) only once.
पूरक \(A^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए उत्तर ({2,4,6}) है। / The complement \(A^c\) contains elements of (U) that are not in (A). Hence the answer is ({2,4,6}).
(A-B) में (A) के वे तत्व होते हैं जो (B) में नहीं हैं। (4) और (5) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). (4) and (5) are common, so they are removed.
(B-A) में (B) के वे तत्व हैं जो (A) में नहीं हैं। यहां केवल (t) ऐसा तत्व है। / (B-A) contains elements of (B) that are not in (A). Here only (t) is such an element.
A. \(A\cap B\) को छोड़कर (U) का बाकी भाग/All of (U) except \(A\cap B\)
Explanation
Simple Explanation
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ साझा भाग का पूरक है। इसलिए (U) में साझा भाग को छोड़कर सब शामिल होगा। / (\(A\cap B\)^c) means the complement of the common part. So it includes everything in (U) except the common part.
संघ के पूरक में दोनों से बाहर का भाग आता है, इसलिए (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c)। वेन आरेख से यह नियम आसानी से दिखता है। / The complement of a union is the region outside both sets, so (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c). This rule is easy to see from a Venn diagram.
साझा भाग के बाहर का क्षेत्र \(A^c\cup B^c\) होता है। पूरक लेते समय संघ और प्रतिच्छेद आपस में बदल जाते हैं। / The region outside the common part is \(A^c\cup B^c\). While taking complements, union and intersection interchange.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। (n\(A\cup B\)=65+58-29=94), इसलिए उत्तर (120-94=26)। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). (n\(A\cup B\)=65+58-29=94), so the answer is (120-94=26).
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (75-18=57)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (75-18=57). Here the complement of only the common part is asked.
केवल एक (=(36-20)+(42-20)=38)। सीधे (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) भी लगा सकते हैं। / Exactly one (=(36-20)+(42-20)=38). You can also use (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)).
कम से कम एक (31+29-11=49) है, इसलिए कोई नहीं (65-49=16)। सर्वे प्रश्नों में पहले संघ निकालना उपयोगी है। / At least one is (31+29-11=49), so neither is (65-49=16). In survey questions, finding the union first is useful.
\(A\cup B\) में पूरा (A) और (B-A) शामिल है, इसलिए (46+26=72)। अतः साझा भाग पहले से (A) में है और अतिरिक्त मान (0) निकलता है। / \(A\cup B\) contains all of (A) and (B-A), so (46+26=72). Thus the common part is already inside (A), and the extra value is (0).
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+12+22+8=60)। वेन आरेख में कोई क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+12+22+8=60). In a Venn diagram, no region should be missed.
संघ (14+9+17=40) है, इसलिए बाहर (55-40=15)। बाहर का क्षेत्र संघ का पूरक होता है। / The union is (14+9+17=40), so outside is (55-40=15). The outside region is the complement of the union.
तीन समुच्चयों के वेन आरेख में (n\(A\cap B\)=12), (n\(B\cap C\)=13), (n\(C\cap A\)=10) और (n\(A\cap B\cap C\)=4) है। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
ठीक दो (=(12-4)+(13-4)+(10-4)=23)। हर जोड़ी से केंद्रीय भाग घटाना जरूरी है। / Exactly two (=(12-4)+(13-4)+(10-4)=23). The central part must be subtracted from each pair.
यदि (n(A)=25), (n(B)=22), (n(C)=19), (n\(A\cap B\)=7), (n\(B\cap C\)=6), (n\(C\cap A\)=5), (n\(A\cap B\cap C\)=2) और (n(U)=60) है, तो किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (25+22+19-7-6-5+2=50) है, इसलिए कोई नहीं (60-50=10)। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ें। / The union is (25+22+19-7-6-5+2=50), so none is (60-50=10). In three sets, add back the final common part.
यदि केवल (A=11), केवल (B=13), केवल (C=9), केवल \(A\cap B=5\), केवल \(B\cap C=4\), केवल \(C\cap A=6\) और \(A\cap B\cap C=3\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सभी सात अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (11+13+9+5+4+6+3=51)। अलग-अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (11+13+9+5+4+6+3=51). Add each separate region only once.
\(A\cap B^c\) का अर्थ (A) में और (B) के बाहर है, इसलिए यह (A-B) है। पूरक चिन्ह देखकर बाहर वाले भाग को पहचानें। / \(A\cap B^c\) means inside (A) and outside (B), so it is (A-B). Notice the complement sign to identify the outside part.
