यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) हो, तो \(\mathcal{P}(A)\) के कितने उपसमुच्चयों का आकार सम होगा?

Correct Answer: B. 16. Explanation: किसी n-तत्व वाले समुच्चय के लिए सम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है \(\sum_{k\,\text{even}} {n\choose k}\)। इसके अलावा पहचान है \(\sum_{k\,\text{even}} {n\choose k}=2^{n-1}\) जब \(n\ge 1\)। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए संख्या \(2^{4}=16\)। वैकल्पिक रूप से सीधे जोड़ें: \({5\choose0}+{5\choose2}+{5\choose4}=1+10+5=16\)। गलत विकल्पों में से 32 कुल उपसमुच्चयों की संख्या है (यह सम व विषम दोनों मिलाकर है), इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी n के लिए सम आकार वाले उपसमुच्चयों के लिए तेज़ सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें। / For a set with n elements, the number of even-sized subsets is \(\sum_{k\text{ even}}{n\choose k}\), and the standard identity gives \(\sum_{k\text{ even}}{n\choose k}=2^{n-1}\) for \(n\ge1\). With \(n=5\) this is \(2^{4}=16\). Alternatively compute \({5\choose0}+{5\choose2}+{5\choose4}=1+10+5=16\). Note that 32 is the total number of subsets (both even and odd), so 32 is incorrect. Exam tip: use the identity \(\sum_{k\text{ even}}{n\choose k}=2^{n-1}\) to answer such questions quickly.