यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो \(\mathcal{P}(A)\) में ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जिनमें 1 अवश्य है पर 4 नहीं है?

Correct Answer: A. 4. Explanation: पावर सेट में किसी भी उपसमुच्चय के लिए हर तत्व के दो स्थिति हो सकती हैं: शामिल या शामिल नहीं। प्रश्न में 1 अवश्यक है और 4 निष्कासित है, इसलिए 2 और 3 के बारे में कोई बाधा नहीं — वे स्वतंत्र हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। निकटभ्रमित विकल्प C (8) तब आता है जब तीन स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (\(2^{3}\)), और विकल्प B (6) किसी नियमित पावर-ऑफ-2 गणना का परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: पहले सुनिश्चित और निष्कासित तत्व हाथ से अलग कर लें, फिर बचे हुए तत्वों पर \(2^{n}\) लागू करें। / In a power set each element is either present or absent. Here 1 must be present and 4 must be absent, so only elements 2 and 3 are free to be chosen or not. That gives \(2\) choices for each of the 2 free elements, so total subsets = \(2^{2}=4\). The closest distractor C (8) would correspond to mistakenly treating three elements as free (\(2^{3}\)), while B (6) is not a valid power-of-2 count for independent inclusion/exclusion. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count the remaining free elements and use \(2^{n}\).