Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. प्रमाणों से उचित निष्कर्ष निकालना/Drawing valid conclusions from evidence
Explanation
Simple Explanation
तर्क प्रमाणों और आँकड़ों से उचित निष्कर्ष निकालने में सहायता करता है। परीक्षा में तर्क को निष्कर्ष निर्माण से जोड़ें। / Reasoning helps draw valid conclusions from evidence and data. Link reasoning with forming conclusions.
B. यह प्रमाण से उचित निष्कर्ष निकालने में सहायता करता है/It helps draw valid conclusions from evidence
Explanation
Simple Explanation
तर्क प्रमाणों को समझकर उचित निष्कर्ष तक पहुंचने में मदद करता है। तर्क और प्रमाण साथ काम करते हैं। / Reasoning helps interpret evidence and reach valid conclusions. Reasoning and evidence work together.
प्रभावशाली संचार तर्क और लाभ के माध्यम से सहमति बनाता है। परीक्षा में समझाने और दबाव डालने का अंतर रखें। / Persuasive communication builds agreement through logic and benefits. In exams distinguish persuasion from pressure.
A. वक्ता की छवि से प्रभावित मूल्यांकन/Evaluation influenced by the speaker's image
Explanation
Simple Explanation
विचार के बजाय व्यक्ति की लोकप्रियता से निर्णय पक्षपाती हो जाता है। परीक्षा में स्रोत की छवि और तर्क अलग रखें। / Judgment becomes biased when popularity matters more than the idea. Separate source image from reasoning in the exam.
D. स्वतंत्र प्रमाण का अभाव/Lack of independent evidence
Explanation
Simple Explanation
लोकप्रियता किसी विचार की सत्यता का प्रमाण नहीं होती। निर्णय के समर्थन में तथ्य और तर्क आवश्यक हैं। / Popularity does not prove that an idea is correct. Facts and reasoning are needed to support a decision.
B. अपर्याप्त प्रमाण से निष्कर्ष/Conclusion from insufficient evidence
Explanation
Simple Explanation
एक उदाहरण हमेशा सामान्य नियम को गलत सिद्ध नहीं करता। निष्कर्ष से पहले पर्याप्त प्रमाण जांचना चाहिए। / One example does not always disprove a general rule. Sufficient evidence should be checked before drawing a conclusion.
एक विशेष उदाहरण से सार्वभौमिक निष्कर्ष निकालना अतिसामान्यीकरण है। व्यापक दावे के लिए पर्याप्त प्रमाण चाहिए। / Drawing a universal conclusion from one special example is overgeneralisation. A broad claim requires sufficient evidence.
सामान्य नियम से विशेष उदाहरण की ओर बढ़ना सामान्य से विशेष क्रम है। इससे सिद्धांत का प्रयोग स्पष्ट होता है। / Moving from a general rule to a specific example is a general-to-specific pattern. It clarifies how the principle is applied.
उदाहरण और निष्कर्ष के बीच स्पष्ट तार्किक संबंध होना चाहिए। तर्क देते समय कारण और परिणाम का मेल जांचें। / A clear logical connection should exist between the example and conclusion. Check the link between reason and result while arguing.
A. हरा पीले और नीले के मिश्रण से बनता है/Green is made by mixing yellow and blue
Explanation
Simple Explanation
परंपरागत चित्रकला में हरा दो प्राथमिक रंगों से बनता है इसलिए वह द्वितीयक है। रंग का तापमान उसकी श्रेणी तय नहीं करता। / In traditional painting green is formed from two primaries and is therefore secondary. Colour temperature does not determine category.
D. भय के क्षण में मिले स्नेहपूर्ण संरक्षण से/Through affectionate protection received in a moment of fear
Explanation
Simple Explanation
केजिया पिता का स्नेह अनुभव करके समझती है। परीक्षा में direct experience को आधार लिखें। / Kezia understands father's affection by experiencing it. In exams write direct experience as the basis.
C. बच्चों के स्वास्थ्य, शिक्षा और गरिमा की रक्षा जरूरी है/Children's health, education, and dignity must be protected
Explanation
Simple Explanation
खतरनाक काम बच्चों के विकास और सुरक्षा को नुकसान पहुंचाता है। परीक्षा में बाल मजदूरी को शोषण से जोड़ें। / Hazardous work harms children's development and safety. Exam tip: connect child labour with exploitation.
A. ताकि निर्णय मनमाना न होकर निष्पक्ष और कानूनी हो/So decision is fair and legal, not arbitrary
Explanation
Simple Explanation
न्यायिक निर्णय तर्क और कानून पर आधारित होने चाहिए। परीक्षा में reasoned judgment याद रखें। / Judicial decisions should be based on reasoning and law. Exam tip: remember reasoned judgment.
B. मतदाता की अंतिम पसंद को दबाव से बचाना/To protect the voter’s final choice from pressure
Explanation
Simple Explanation
मतदान केंद्र पर प्रचार मतदाता को प्रभावित या दबाव में ला सकता है। परीक्षा में इसे स्वतंत्र पसंद की रक्षा से जोड़ें। / Campaigning at the polling station can influence or pressure voters. In exams, link it with protecting free choice.
A. इससे निर्णय आदेश की जगह तर्क से समझाए गए/It explained decisions through reason instead of mere orders
Explanation
Simple Explanation
सार्वजनिक तर्क से संविधान निर्माण अधिक पारदर्शी और लोकतांत्रिक बना। परीक्षा में तर्कपूर्ण बहस को लोकतंत्र की पहचान मानें। / Public reasoning made constitution-making more transparent and democratic. Exam tip: treat reasoned debate as a mark of democracy.
A. निर्णयों को तर्क और बहस से समझाया गया/Decisions were explained through reason and debate
Explanation
Simple Explanation
सार्वजनिक तर्क से निर्णय अधिक समझने योग्य और लोकतांत्रिक बने। परीक्षा में तर्क को लोकतांत्रिक बहस से जोड़ें। / Public reasoning made decisions more understandable and democratic. Exam tip: connect reasoning with democratic debate.
A. उद्योग रोजगार देता है जिससे कामगार बसावट बढ़ सकती है/Industry provides jobs so worker settlement can increase
Explanation
Simple Explanation
औद्योगिक रोजगार लोगों को आकर्षित करके स्थानीय घनत्व बढ़ा सकता है। परीक्षा में उद्योग को मानवीय कारक लिखें। / Industrial employment can attract people and raise local density. Exam tip: write industry as a human factor.
A. ग्रामीण बसावट अक्सर जल उपजाऊ भूमि और कृषि अवसरों से जुड़ी होती है/Rural settlement is often linked with water fertile land and agricultural opportunities
Explanation
Simple Explanation
ग्रामीण जनसंख्या में कृषि योग्य भूमि और जल प्रमुख भूमिका निभाते हैं। परीक्षा में ग्रामीण वितरण को कृषि से जोड़ें। / Cultivable land and water play a major role in rural population. Exam tip: connect rural distribution with farming.
A. पश्चिमी घाट अरब सागर के बहुत निकट समानांतर चलते हैं/Western Ghats run very close and parallel to the Arabian Sea
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट समुद्र के पास होने से मैदान को फैलने की जगह कम मिलती है। परीक्षा में पर्वत और समुद्र के बीच की दूरी को चौड़ाई से जोड़ें। / The Western Ghats lie close to the sea so the plain gets little space to spread. Exam tip: link the distance between mountain and sea with width.
A. यह बंगाल की खाड़ी से जुड़े पूर्वी तट का भाग है/It is part of the eastern coast linked with Bay of Bengal
Explanation
Simple Explanation
कोरोमंडल तट पूर्वी तट का भाग है और बंगाल की खाड़ी के चक्रवातों से प्रभावित हो सकता है। परीक्षा में तट की दिशा और समुद्री क्षेत्र जोड़ें। / Coromandel Coast is part of the eastern coast and can be affected by Bay of Bengal cyclones. Exam tip: connect coastal direction with sea area.
D. भारत (N) अक्षांश और (E) देशांतर में है इसलिए उत्तरी-पूर्वी गोलार्ध में है/India is in (N) latitude and (E) longitude so it is in the Northern-Eastern Hemisphere
Explanation
Simple Explanation
भारत भूमध्य रेखा के उत्तर और प्रधान मध्यान्ह रेखा के पूर्व में है। परीक्षा में (N) और (E) से गोलार्ध पहचानें। / India lies north of the Equator and east of the Prime Meridian. Exam tip: identify hemispheres through (N) and (E).
A. पूर्वाग्रह पर आधारित अमानवीय सामान्यीकरण/Inhuman generalisation based on prejudice
Explanation
Simple Explanation
नाजियों ने कुछ समूहों को जन्मजात अपराधी बताकर दमन को सही ठहराया। परीक्षा में इसे नस्ली पूर्वाग्रह की भाषा मानें। / Nazis justified repression by calling some groups born criminals. Exam tip: treat this as the language of racial prejudice.
A. लगातार पदों के अंतर समान नहीं हैं/The differences between consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
समानांतर श्रेणी में प्रत्येक लगातार पदों का अंतर समान होना चाहिए। यहाँ \(7-3=4\), \(11-7=4\), लेकिन \(16-11=5\) है। केवल पदों का बढ़ना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में अंतर जाँचें। / In an AP, the difference between every pair of consecutive terms must be the same. Here \(7-3=4\), \(11-7=4\), but \(16-11=5\). Increasing terms alone do not make an AP. Exam tip: check consecutive differences first.
एक विद्यार्थी कहता है कि वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{14}\) के बाद अगली कर्ण की लंबाई \(\sqrt{14}+1\) होगी। उसके कथन में त्रुटि दिखाने वाला सही तर्क कौन-सा है?
A. नई कर्ण का वर्ग \(14+1=15\) है, इसलिए उसकी लंबाई \(\sqrt{15}\) है।/The square of the new hypotenuse is \(14+1=15\), so its length is \(\sqrt{15}\).
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में नई कर्ण के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ: \(h^2=14+1=15\), इसलिए \(h=\sqrt{15}\)। \(\sqrt{14}+1\) लेना गलत है। परीक्षा में पहले कर्ण का वर्ग लिखें। / Apply Pythagoras to the new hypotenuse: \(h^2=14+1=15\), so \(h=\sqrt{15}\). Directly adding 1 to \(\sqrt{14}\) is invalid. Exam tip: add squares, not lengths.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी ने
t\(\sqrt{17}\) वाले रेखाखंड पर 1 इकाई का लंब खींचकर नई कर्ण को \(\sqrt{19}\) बताया। उसके तर्क में क्या त्रुटि है?
A. नई कर्ण \(\sqrt{18}\) होगी; \(\sqrt{19}\) पाने के लिए पिछले रेखाखंड की लंबाई \(\sqrt{18}\) होनी चाहिए।/The new hypotenuse will be \(\sqrt{18}\); to obtain \(\sqrt{19}\), the previous segment must have length \(\sqrt{18}\).
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण का वर्ग \((\sqrt{17})^2+1^2=17+1=18\) है, इसलिए कर्ण \(\sqrt{18}\) होगी। \(\sqrt{19}\) के लिए \(\sqrt{18}\) पर 1 इकाई का लंब लें। परीक्षा में कर्ण का वर्ग पहले निकालें। / By Pythagoras’ theorem, the square of the new hypotenuse is \((\sqrt{17})^2+1^2=17+1=18\), so it is \(\sqrt{18}\), not \(\sqrt{19}\). To construct \(\sqrt{19}\), start with \(\sqrt{18}\). Exam tip: add 1 to the radicand at each step.
एक विद्यार्थी वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{13}\) बनाने के लिए \(\sqrt{12}\) वाले बिंदु पर 1 इकाई का लंब खींचता है और उसके सिरे को मूल बिंदु से मिलाता है। उसका तर्क सही है क्योंकि नए कर्ण का वर्ग क्या होगा?
पिछला कर्ण \(\sqrt{12}\) और नया लंब 1 इकाई है। पाइथागोरस के अनुसार नए कर्ण का वर्ग \((\sqrt{12})^2+1^2=12+1=13\) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{13}\) है। परीक्षा में वर्गों का योग लें, लंबाइयों का नहीं। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{12}\) and the new perpendicular side is 1 unit. By Pythagoras, its square is \((\sqrt{12})^2+1^2=12+1=13\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{13}\). Exam tip: add squares of perpendicular sides.
A. 1.732 केवल \(\sqrt{3}\) का सन्निकट मान है, उसका सटीक मान नहीं है।/1.732 is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value.
Explanation
Simple Explanation
1.732 एक सीमित दशमलव सन्निकटन है। वास्तव में \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। इसलिए \(\frac{1732}{1000}\) परिमेय है, पर वह \(\sqrt{3}\) नहीं है। परीक्षा में सन्निकट और सटीक मान में अंतर रखें। / 1.732 is a terminating decimal approximation. In fact, \(1.732^2=2.999824\), not 3. Thus \(\frac{1732}{1000}\) is rational, but it is not equal to \(\sqrt{3}\). Exam tip: distinguish an approximate decimal from an exact value.
A. उसने सन्निकट मान को ठीक मान मान लिया है/She has treated an approximation as an exact value.
Explanation
Simple Explanation
\(1.732\), \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है, ठीक मान नहीं; क्योंकि \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। 3 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: \(=\) और \(\approx\) का अंतर अवश्य पहचानें। / \(1.732\) is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value, since \(1.732^2=2.999824\), not 3. As 3 is not a perfect square, \(\sqrt{3}\) is irrational. Exam tip: always distinguish \(=\) from \(\approx\).
A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है/Because divisibility reasoning gives a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। (3) से विभाज्यता और सहभाज्य विरोधाभास सही प्रमाण हैं। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
एक विद्यार्थी दावा करता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=2q^2\) से केवल \(p\) सम होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी के तर्क में क्या त्रुटि है?
B. \(p=2k\) रखने पर \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है; इसलिए \(p\) तथा \(q\) सह-अभाज्य नहीं हो सकते।/On putting \(p=2k\), \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is also even; hence \(p\) and \(q\) cannot be coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(p\) सम होने पर \(p=2k\) लिखते हैं। तब \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में वर्ग की समता से संख्या की समता निष्कर्षित करें। / If \(p\) is even, write \(p=2k\). Then \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. Thus both have factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: use the fact that an even square has an even root.
A. \(1.732\) को सटीक मान मानना गलत है; यह केवल सन्निकट मान है।/Treating \(1.732\) as an exact value is wrong; it is only an approximation.
Explanation
Simple Explanation
\(1.732^2=2.999824\ne3\), इसलिए 1.732 केवल सन्निकट मान है, सटीक नहीं। दशमलव बिंदु से संख्या अपरिमेय नहीं होती। परीक्षा में दावे को वर्ग करके जाँचें। / Because \(1.732^2=2.999824\ne3\), 1.732 is an approximation, not the exact value. A decimal point does not make a number irrational. Exam tip: square a claimed exact value.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, और वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) प्राप्त करता है। अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए निम्न में से कौन-सा तर्क सही है?
B. \(p^2\) सम होने से \(p\) सम है; \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है/Since \(p^2\) is even, \(p\) is even; putting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even
Explanation
Simple Explanation
चूँकि \(p^2\) सम है, \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है; यह सह-अभाज्य होने का विरोध है। टिप: भिन्न को पहले सरलतम रूप में लें। / Since \(p^2\) is even, \(p\) must be even. Put \(p=2k\): then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: begin with the fraction in lowest terms.
एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। \(a^2=3b^2\) मिलने पर वह कहता है कि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं। इस निष्कर्ष को सही ठहराने के लिए कौन-सा तर्क आवश्यक है?
B. पहले \(3\mid a^2\) से \(a=3k\) लें, फिर प्रतिस्थापन से \(b^2=3k^2\) पाकर \(3\mid b\) सिद्ध करें।/First use \(3\mid a^2\) to write \(a=3k\), then substitute to get \(b^2=3k^2\) and prove \(3\mid b\).
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से \(3\mid a^2\), अतः 3 अभाज्य होने के कारण \(3\mid a\)। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid b\)। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन का चरण अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), \(3\mid a^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(b^2=3k^2\), hence \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: always show the substitution step.
A. तर्क अधूरा है; केवल अनंत दशमलव पर्याप्त नहीं है, उसका अनावर्ती होना या विरोधाभास द्वारा प्रमाण आवश्यक है।/The reasoning is incomplete; an infinite decimal alone is insufficient, and non-repetition or a proof by contradiction is needed.
Explanation
Simple Explanation
केवल अनंत दशमलव पर्याप्त नहीं है, क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) परिमेय है। \(\sqrt{2}\) के लिए अनावर्ती दशमलव या सह-अभाज्य भिन्न मानकर विरोधाभास चाहिए। परीक्षा में अनंत और अनावर्ती में अंतर रखें। / An infinite decimal alone is insufficient because \(1/3=0.333\ldots\) is rational. For \(\sqrt{2}\), establish non-repetition or derive a contradiction from a lowest-term fraction. Exam tip: distinguish infinite decimals from non-repeating decimals.
A. आवर्ती अनंत दशमलव भी परिमेय होते हैं।/Repeating infinite decimals can be rational.
Explanation
Simple Explanation
केवल अनंत दशमलव होना अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता, क्योंकि \(0.\overline{3}=1/3\) अनंत होते हुए भी परिमेय है। \(\sqrt{2}\) के लिए अनावर्तीता या विरोधाभास-प्रमाण चाहिए। टिप: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / An infinite decimal alone does not prove irrationality: \(0.\overline{3}=1/3\) is infinite but rational. For \(\sqrt{2}\), establish non-repetition or use contradiction. Exam tip: every recurring decimal is rational.
A. परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है।/The sum of a rational number and an irrational number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(7+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय संख्या 7 घटाने पर \(\sqrt{2}\) भी परिमेय मिलता। यह \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / If \(7+\sqrt{2}\) were rational, subtracting the rational number 7 would make \(\sqrt{2}\) rational. This contradicts the proven irrationality of \(\sqrt{2}\). Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त करता है। वह सीधे लिखता है कि \(q\) 3 से विभाज्य है। उसके तर्क को सही बनाने के लिए कौन-सा कथन आवश्यक है?
A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) मिलता है।/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); substituting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) है। अभाज्य 3 के गुण से \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम पहले लिखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); put \(p=3k\) to obtain \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divides-square rule first.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार 1.732... है और समाप्त नहीं होता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?
A. केवल असांत दशमलव प्रसार से संख्या अपरिमेय सिद्ध नहीं होती, क्योंकि परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार आवर्ती हो सकता है।/A non-terminating decimal alone does not prove irrationality, because a rational number may have a recurring decimal expansion.
Explanation
Simple Explanation
असांत दशमलव पर्याप्त प्रमाण नहीं है; \(\frac{1}{3}=0.333...\) असांत लेकिन परिमेय है। अपरिमेय दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। परीक्षा में दोनों शर्तें याद रखें। / A non-terminating decimal is not sufficient: \(\frac{1}{3}=0.333...\) is non-terminating but rational. An irrational decimal is non-terminating and non-recurring. Exam tip: check recurrence too.
B. परिमेय संख्या का वर्ग परिमेय होता है, पर किसी संख्या का वर्ग परिमेय होने से वह संख्या परिमेय होना आवश्यक नहीं है/The square of a rational number is rational, but a number need not be rational merely because its square is rational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) का वर्ग \(2\) परिमेय है, पर इसका प्रतिलोम निष्कर्ष सही नहीं है। यदि \(\sqrt{2}=p/q\) सरल रूप में मानें, तो \(p^2=2q^2\) से \(p\) और \(q\) दोनों सम मिलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा में प्रतिलोम तर्क से बचें। / Although \((\sqrt{2})^2=2\) is rational, the converse statement is invalid. Assuming \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms gives \(p^2=2q^2\), making both \(p\) and \(q\) even—a contradiction. Exam tip: check whether a converse is justified.
A. अनंत दशमलव प्रसार होना अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता, क्योंकि दशमलव आवर्ती भी हो सकता है/A non-terminating decimal does not prove irrationality, because it may be recurring
Explanation
Simple Explanation
अनंत दशमलव प्रसार अपने-आप अपरिमेय नहीं होता। उदाहरण के लिए, \(1/3=0.333\ldots\) अनंत और आवर्ती है, फिर भी परिमेय है। \(\sqrt{3}\) का प्रसार अनंत और अनावर्ती है; परीक्षा में दोनों गुण जाँचें। / A non-terminating decimal is not automatically irrational. For example, \(1/3=0.333\ldots\) is non-terminating but recurring, so it is rational. The decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is non-terminating and non-recurring; check both features in exams.
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है। / Prime factor (3) appears in the square only if it appears in the number. Therefore (p) is divisible by (3).
B. परिमेय संख्या का वर्गमूल परिमेय होना आवश्यक नहीं है; \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/The square root of a rational number need not be rational; \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता। यदि \(\sqrt{3}=p/q\) न्यूनतम रूप में हो, तो \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) और फिर \(q\) को विभाजित करेगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल अक्सर अपरिमेय होता है। / The square root of a rational number is not always rational. If \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest form, then \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\) and then \(q\), a contradiction. Exam tip: the square root of a non-perfect-square integer is irrational.
A. किसी संख्या का निकटतम दशमलव मान परिमेय होने से मूल संख्या परिमेय सिद्ध नहीं होती।
Explanation
Simple Explanation
\(1.7^2=2.89\) केवल \(\sqrt{3}\) का एक सन्निकट मान दिखाता है, बराबरी नहीं। परिमेयता सिद्ध करने के लिए \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) का प्रमाण चाहिए; निकटता पर्याप्त नहीं। परीक्षा टिप: “निकट” और “बराबर” में अंतर जाँचें। / \(1.7^2=2.89\) gives only an approximation to \(\sqrt{3}\), not equality. To prove rationality, one must establish \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\); closeness is insufficient. Exam tip: always distinguish “approximately equal” from “equal.”
C. कैलकुलेटर का मान सन्निकट होता है; \(\sqrt{2}\) का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।
Explanation
Simple Explanation
कैलकुलेटर 1.414 को केवल सन्निकट मान के रूप में दिखाता है, सटीक मान के रूप में नहीं। \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\) अनंत तथा अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। परीक्षा में प्रदर्शित दशमलव और सटीक दशमलव में अंतर रखें। / A calculator shows 1.414 only as an approximation, not as the exact value. \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\) is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Exam tip: never treat a rounded display as proof of rationality.
A. 3 के निकट होने वाला वर्ग यह सिद्ध नहीं करता कि उसका वर्गमूल परिमेय है
Explanation
Simple Explanation
\(1.7^2=2.89\) केवल 3 का एक निकट मान देता है, बराबरी नहीं। किसी परिमेय संख्या का वर्ग 3 के ठीक बराबर होना चाहिए। वास्तव में \(1.7=17/10\) है, पर उसका वर्ग \(289/100\) है। परीक्षा में ‘निकट’ और ‘बराबर’ में अंतर अवश्य जाँचें। / \(1.7^2=2.89\) is only close to 3, not equal to it. A rational number would need to have square exactly 3. In fact, \(1.7=17/10\), and its square is \(289/100\). Exam tip: never treat an approximation as an exact proof.
A. केवल अनंत दशमलव प्रसार अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता; प्रसार आवर्ती भी हो सकता है, जैसे \(1/3 / An infinite decimal expansion alone does not prove irrationality; it may be recurring, as in \(1
Explanation
Simple Explanation
अनंत दशमलव प्रसार मात्र से संख्या अपरिमेय नहीं होती, क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) परिमेय है। \(\sqrt{3}\) के लिए मानते हैं \(p/q\) सरलतम रूप में है; तब 3 से \(p\) और \(q\) दोनों विभाज्य निकलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: “अनंत” और “अनावर्ती” में अंतर याद रखें। / An infinite decimal alone does not imply irrationality: \(1/3=0.333\ldots\) is rational. For \(\sqrt{3}\), assume \(p/q\) is in lowest terms; the proof shows that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, a contradiction. Exam tip: distinguish non-terminating recurring decimals from non-recurring decimals.
B. एक सीमित दशमलव सन्निकटन किसी संख्या के परिमेय होने को सिद्ध नहीं करता/A finite decimal approximation does not prove that a number is rational
Explanation
Simple Explanation
\(1.732\), \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है, उसका ठीक मान नहीं। वास्तव में \((1.732)^2=2.999824\ne3\)। परिमेयता के लिए दशमलव प्रसार का ठीक-ठीक समाप्त या आवर्ती होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सन्निकटन को कभी प्रमाण न मानें। / \(1.732\) is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value. In fact, \((1.732)^2=2.999824\ne3\). A rational number must have an exact terminating or recurring decimal expansion. Exam tip: never treat an approximation as a proof.
A. 1.732, \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है; यह उसका सटीक मान नहीं है।/1.732 is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value.
Explanation
Simple Explanation
1.732, \(\sqrt{3}\) का सटीक मान नहीं, केवल निकटतम दशमलव मान है। जाँचें: \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है। परीक्षा में सन्निकट मान को वास्तविक मान न मानें। / 1.732 is not the exact value of \(\sqrt{3}\); it is only an approximation. Check: \(1.732^2=2.999824\), not 3. The decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is non-terminating and non-repeating. In exams, do not treat an approximate value as an exact value.
B. केवल पूर्ण वर्ग वाले पूर्णांकों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं; \(3\) पूर्ण वर्ग नहीं है।/Only perfect-square integers have integer square roots; \(3\) is not a perfect square.
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है; केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। मानें \(\sqrt{3}=p/q\); तब \(p^2=3q^2\), जिससे \(p\) और फिर \(q\) 3 से विभाज्य होंगे—विरोधाभास। परीक्षा में पूर्ण वर्ग और अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / Being an integer is not enough; only perfect squares have integer square roots. If \(\sqrt{3}=p/q\), then \(p^2=3q^2\), so both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, a contradiction. Exam tip: check perfect squares and prime factors.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है, क्योंकि \(1.414\) को \(\frac{1414}{1000}\) के रूप में लिखा जा सकता है। उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?
A. \(1.414\), \(\sqrt{2}\) का केवल सन्निकट दशमलव मान है/\(1.414\) is only an approximate decimal value of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(1.414\) एक समाप्त दशमलव है, इसलिए वह परिमेय है; पर यह \(\sqrt{2}\) के बराबर नहीं है। जाँचें: \(1.414^2=1.999396\ne2\)। अतः यह केवल सन्निकट मान है। परीक्षा में ‘लगभग’ और ‘बराबर’ में अंतर रखें। / \(1.414\) is a terminating decimal and hence rational, but it is not exactly equal to \(\sqrt{2}\). Check: \(1.414^2=1.999396\ne2\). Thus it is only an approximation. In exams, distinguish “approximately equal” from “equal.”
C. असमाप्य दशमलव आवर्ती होने पर परिमेय हो सकता है; अपरिमेयता के लिए अनावर्ती दशमलव या विरोधाभास द्वारा प्रमाण चाहिए।
Explanation
Simple Explanation
केवल असमाप्य होना पर्याप्त नहीं है: \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\) परिमेय है। \(\sqrt{2}\) का दशमलव अनावर्ती है, या मानक प्रमाण में न्यूनतम रूप वाली भिन्न मानकर विरोधाभास मिलता है। परीक्षा टिप: असमाप्य और अनावर्ती में अंतर याद रखें। / Being non-terminating alone is not enough: \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\) is rational. The decimal expansion of \(\sqrt{2}\) is non-repeating, or a lowest-form fraction assumption gives a contradiction. Exam tip: distinguish non-terminating from non-terminating non-repeating decimals.
A. परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है; \(\sqrt{2}\) असांत और अनावर्ती है।/A rational number has a terminating or repeating decimal expansion; \(\sqrt{2}\) is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
1.414 केवल \(\sqrt{2}\) का सन्निकट मान है, प्रमाण नहीं। इसका प्रसार \(1.414213...\) असांत और अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में सन्निकटन को वास्तविक दशमलव प्रसार न मानें। / 1.414 is only an approximation of \(\sqrt{2}\), not proof of rationality. Its expansion \(1.414213...\) is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Exam tip: do not confuse an approximation with the actual decimal expansion.
A. परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है।/The sum or difference of a rational number and an irrational number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(5-\sqrt{7}\) परिमेय हो। तब \(5-(5-\sqrt{7})=\sqrt{7}\) भी परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। अतः यह अंतर अपरिमेय है। परीक्षा में परिमेय ± अपरिमेय को अपरिमेय मानें। / If \(5-\sqrt{7}\) were rational, then \(5-(5-\sqrt{7})=\sqrt{7}\) would also be rational, which is impossible. Hence the difference is irrational. Exam tip: rational ± irrational is irrational.
रीमा कहती है कि \(0.999\ldots\), 1 से छोटा है क्योंकि \(0.9, 0.99, 0.999\) आदि सभी 1 से छोटे हैं। उसके तर्क की त्रुटि को कौन-सा कथन सबसे सही ढंग से स्पष्ट करता है?
C. अनंत योग \(0.9+0.09+0.009+\ldots\) का मान 1 है, अतः \(0.999\ldots=1\)/The infinite sum \(0.9+0.09+0.009+\ldots\) equals 1, so \(0.999\ldots=1\).
Explanation
Simple Explanation
\(0.9+0.09+\cdots\) एक गुणोत्तर श्रेणी है: \(S=\frac{0.9}{1-0.1}=1\)। प्रत्येक सीमित रूप 1 से छोटा है, पर उनकी सीमा 1 है। परीक्षा में \(\ldots\) को अनंत प्रक्रिया मानें। / \(0.9+0.09+\cdots\) is a geometric series: \(S=\frac{0.9}{1-0.1}=1\). Every finite truncation is below 1, but their limit is 1. In exams, treat \(\ldots\) as an infinite process.
B. रीमा का निष्कर्ष गलत है, क्योंकि \(2.7^2=7.29>7\); अतः \(\sqrt{7}<2.7\)।/Reema’s conclusion is wrong because \(2.7^2=7.29>7\); therefore, \(\sqrt{7}<2.7\).
Explanation
Simple Explanation
रीमा ने 2.7 का वर्ग गलत निकाला। \(2.7^2=7.29\), जो 7 से बड़ा है; इसलिए धनात्मक वर्गमूल \(\sqrt{7}\), 2.7 से छोटा होगा। परीक्षा में दशमलव के दोनों ओर की संख्याओं का वर्ग लेकर तुलना करें। / Reema squared 2.7 incorrectly. Since \(2.7^2=7.29\), which is greater than 7, the positive square root \(\sqrt{7}\) must be less than 2.7. Exam tip: compare squares of nearby positive decimals to locate a square root.
A. यह आत्मनिर्भर उद्योग बढ़ा सकती थी लेकिन संरक्षणवाद से दक्षता समस्या आ सकती थी/It could grow self reliant industry but protectionism could create efficiency problems
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन के उद्देश्य और सीमाएं दोनों समझें। परीक्षा में लाभ और आलोचना साथ लिखें। / Understand both aims and limits of import substitution. For exams write benefits and criticism together.
A. आयात प्रतिस्थापन घरेलू बाजार सुरक्षा पर और निर्यातोन्मुख विकास वैश्विक बाजार प्रतिस्पर्धा पर जोर देता है/Import substitution stresses domestic market protection while export oriented development stresses global market competition
Explanation
Simple Explanation
दोनों विकास रणनीतियां अलग आर्थिक रास्ते दिखाती हैं। परीक्षा में लाभ और सीमा दोनों समझें। / Both development strategies show different economic paths. For exams understand benefits and limits of both.
A. संरक्षण से घरेलू उद्योग बचता है पर दक्षता और प्रतिस्पर्धा की समस्या आ सकती है/Protection saves domestic industry but can create efficiency and competition problems
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन के लाभ और सीमाएं दोनों समझना जरूरी है। परीक्षा में संतुलित मूल्यांकन करें। / It is necessary to understand both benefits and limits of import substitution. For exams make a balanced evaluation.
A. क्योंकि संरक्षण से दक्षता और प्रतिस्पर्धा की समस्या पैदा हो सकती थी/Because protection could create problems of efficiency and competition
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन आत्मनिर्भरता के लिए था लेकिन उसकी सीमाएं भी थीं। परीक्षा में लाभ और आलोचना दोनों लिखें। / Import substitution aimed at self reliance but also had limits. For exams write both benefits and criticism.
A. संरक्षण से दक्षता और वैश्विक प्रतिस्पर्धा की समस्या आ सकती थी/Protection could create problems of efficiency and global competition
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन आत्मनिर्भरता के लिए था पर उसकी सीमाएं भी थीं। परीक्षा में लाभ और आलोचना दोनों लिखें। / Import substitution aimed at self reliance but also had limits. For exams write both benefits and criticism.
A. विदेशी उद्योगों पर निर्भरता आर्थिक कमजोरी पैदा कर सकती है/Dependence on foreign industries can create economic weakness
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन घरेलू उद्योग और आत्मनिर्भरता की नीति थी। परीक्षा में इसके लाभ और सीमा दोनों लिखें। / Import substitution was a policy of domestic industry and self reliance. For exams write both benefits and limits.
A. विदेशी उद्योगों पर निर्भरता आर्थिक कमजोरी पैदा कर सकती है/Dependence on foreign industries can create economic weakness
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन घरेलू उद्योग और आत्मनिर्भरता बढ़ाने का प्रयास था। परीक्षा में लाभ और सीमा दोनों लिखें। / Import substitution was an attempt to increase domestic industry and self reliance. For exams write both benefits and limits.
A. विदेशी उद्योगों पर निर्भरता घटाने की इच्छा/Desire to reduce dependence on foreign industries
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन घरेलू उद्योग को मजबूत करने की नीति थी। परीक्षा में इसे आर्थिक आत्मनिर्भरता से जोड़ें। / Import substitution was a policy to strengthen domestic industry. For exams connect it with economic self reliance.
A. घरेलू उद्योग संरक्षण के साथ प्रतिस्पर्धा और दक्षता की समस्या आ सकती थी/Along with protection domestic industry could face competition and efficiency problems
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन आत्मनिर्भरता के लिए था लेकिन इसकी सीमाएं भी थीं। परीक्षा में नीति के लाभ और सीमा दोनों समझें। / Import substitution aimed at self reliance but had limits too. For exams understand both benefits and limits of policy.
A. घरेलू उद्योग बढ़ाकर विदेशी वस्तुओं पर निर्भरता घटाना/Reducing dependence on foreign goods by increasing domestic industry
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन आत्मनिर्भर विकास की नीति से जुड़ा था। परीक्षा में इसे स्वतंत्रता बाद आर्थिक योजना से जोड़ें। / Import substitution was linked with self reliant development policy. For exams connect it with post independence planning.
A. विदेशी औद्योगिक वस्तुओं पर निर्भरता/Dependence on foreign industrial goods
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन घरेलू उद्योग बनाने की नीति थी। परीक्षा में इसे आर्थिक आत्मनिर्भरता से जोड़ें। / Import substitution was a policy to build domestic industry. For exams connect it with economic self reliance.
A. घरेलू उद्योग विकसित कर विदेशी वस्तुओं पर निर्भरता घटाने के लिए/To develop domestic industry and reduce dependence on foreign goods
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन का उद्देश्य घरेलू उत्पादन को बढ़ाना था। परीक्षा में इसे स्वतंत्रता बाद आर्थिक नीति से जोड़ें। / The aim of import substitution was to increase domestic production. For exams connect it with post independence economic policy.
A. विदेशी वस्तुओं की जगह घरेलू उत्पादन बढ़ाना/Increasing domestic production instead of foreign goods
Explanation
Simple Explanation
आयात प्रतिस्थापन से देश घरेलू उद्योग विकसित करना चाहते थे। परीक्षा में इसे स्वतंत्रता बाद आर्थिक नीति से जोड़ें। / Through import substitution countries wanted to develop domestic industries. For exams connect it with post independence economic policy.
A. क्रमागत पदों के अंतर 3, 4, 3 हैं; इसलिए यह AP नहीं है।/The differences between consecutive terms are 3, 4, 3; therefore, it is not an AP.
Explanation
Simple Explanation
AP में हर दो क्रमागत पदों का अंतर समान होना चाहिए। यहाँ 5−2=3, 9−5=4 और 12−9=3 हैं, जो समान नहीं हैं। परीक्षा में बढ़ते पदों के बजाय पहले अंतर जाँचें। / In an AP, the difference between every pair of consecutive terms must be the same. Here, 5−2=3, 9−5=4, and 12−9=3, so the sequence is not an AP. Exam tip: check consecutive differences first.
पहले समीकरण से x=18-2y प्राप्त होता है। इसे दूसरे समीकरण 4x-y=9 में रखने पर 4(18-2y)-y=9, अर्थात 72-9y=9। इसलिए 9y=63 और y=7। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-टिप: प्रतिस्थापन विधि में किसी एक समीकरण से एक चर का मान निकालकर उसे दूसरे समीकरण में अवश्य रखें। / From the first equation, x=18-2y. Substituting this in the second equation gives 4(18-2y)-y=9, or 72-9y=9. Thus, 9y=63 and y=7. Therefore, option B is correct. Exam tip: In the substitution method, express one variable in terms of the other and substitute it into the remaining equation carefully.
पहले समीकरण से (y=4x-11)। इसे दूसरे में रखने पर (14x=62) नहीं बल्कि (14x=62), इसलिए \(x=\frac{31}{7}\) नहीं; सरल विकल्पों से बचने के लिए पुनः जांच करें। / From the first equation, (y=4x-11). Substitution must be checked in both equations before selecting an option.
यदि संख्याएं (x,y) हों तो (x+y=23) और (x-y=7)। जोड़ने पर (2x=30), इसलिए बड़ी संख्या (15) है। / Let the numbers be (x,y), so (x+y=23) and (x-y=7). Adding gives (2x=30), so the greater number is (15).
दूसरे समीकरण से (x=11-y) रखकर (33-5y=4) नहीं बल्कि (33-3y-2y=4) मिलता है, इसलिए \(y=\frac{29}{5}\) नहीं होगा; सही जांच जरूरी है। / Substitute (x=11-y) carefully in the first equation; incorrect simplification changes the answer. Always check the obtained values in both equations.
दूसरे समीकरण से (y=19-4x) रखकर हल करने पर (x=4) और (y=3) मिलता है। परीक्षा में पहले सरल चर को अलग करें। / From the second equation, put (y=19-4x), giving (x=4) and (y=3). In exams, isolate the easier variable first.
(y=2x+1) रखने पर (3x+1=10), इसलिए (x=3) और (y=7)। दिए गए रूप (y=) में हो तो सीधे रखें। / Putting (y=2x+1) gives (3x+1=10), so (x=3) and (y=7). If (y=) form is given, substitute directly.
(x-y=1) से (y=x-1), इसलिए (2x+x-1=11) और हल ( (4,3) ) है। परीक्षा में पहले आसान चर अलग करें। / From (x-y=1), (y=x-1), so (2x+x-1=11) and the solution is ( (4,3) ). In exams, isolate the easier variable first.
(y=x+3) रखने पर (2x+3=17), इसलिए (x=7) और (y=10)। प्रतिस्थापन के बाद बने एक चर के समीकरण को हल करें। / Putting (y=x+3) gives (2x+3=17), so (x=7) and (y=10). Solve the one-variable equation formed after substitution.
दूसरे समीकरण \(x-y=2\) से \(y=x-2\) प्राप्त होता है। इसे \(2x+y=16\) में रखने पर \(2x+(x-2)=16\), अर्थात \(3x=18\), इसलिए \(x=6\) मिलता है। अब \(y=x-2=4\)। अतः हल \((6,4)\) है। विकल्प \((5,6)\) में \(x-y=-1\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँचें। / From the second equation, \(x-y=2\), we get \(y=x-2\). Substituting this into \(2x+y=16\) gives \(2x+(x-2)=16\), so \(3x=18\) and hence \(x=6\). Then \(y=x-2=4\). Therefore, the solution is \((6,4)\). For \((5,6)\), \(x-y=-1\), so it does not satisfy the second equation. Exam tip: verify the ordered pair in both original equations.
दिया है \(3x+y=10\) और \(x=2\)। \(x\) के स्थान पर 2 रखने पर \(3(2)+y=10\), अर्थात \(6+y=10\)। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(y=4\) प्राप्त होता है। \(y=3\) रखने पर बायाँ पक्ष 9 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद समीकरण को सरल करके अज्ञात पद को अकेला करें। / Given \(3x+y=10\) and \(x=2\), substitute 2 for \(x\): \(3(2)+y=10\), so \(6+y=10\). Subtracting 6 from both sides gives \(y=4\). If \(y=3\), the left-hand side becomes 9, so it is not correct. Exam tip: after substitution, simplify the equation and isolate the unknown term.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=3)। परीक्षा में पहले जोड़कर आसान चर निकालें। / Adding both equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=3). In exams, first eliminate the easy variable.
A. यह (y)-अक्ष पर कटान है और यहाँ y ≠ 0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है/It is a y-axis intercept with y ≠ 0, so 7 is not a zero
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद का शून्यक उस बिंदु का x‑निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता है, अर्थात् उस बिंदु का y‑निर्देशांक 0 होना चाहिए। बिंदु (0, 7) x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष पर है (y=7), इसलिए 7 शून्यक नहीं है। सबसे करीब भ्रामक विकल्प (C) गलत है क्योंकि y‑अक्ष कटान का x=0 होता है पर y शून्य होना अनिवार्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले उसका दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) corresponds to an x-coordinate where the graph meets the x-axis, so the y-coordinate must be 0. The point (0, 7) lies on the y-axis with y = 7, not on the x-axis, therefore 7 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because a y-intercept has x = 0 but its y need not be 0. Exam tip: always check that the second coordinate (y) equals 0 before calling an x-value a zero.
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। / Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें। / Do not say only odd; mention primality for a complete proof.
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5k), फिर (q=5r), इसलिए सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास/From \(p^2=5q^2\), (p=5k), then (q=5r), so contradiction with coprime condition
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है और (p=5k)। / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है, यानी (q=5r)। / Substitution gives (q) also divisible by (5), so (q=5r).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (5) contradicts the coprime condition.
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/\(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। / If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें। / Do not directly write (p=2q); first use divisibility.
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
A. \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है/\(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(n^2=5k^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(n^2=5k^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(n^2\) (5) से विभाज्य है और अभाज्य नियम से (n) भी (5) से विभाज्य होगा। / So \(n^2\) is divisible by (5), and by the prime rule (n) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर सही नियम लगाएं। / Apply the correct rule from square to original number.
A. यह जीवन की बुनियादी जरूरत पर गरीबों से भी कर वसूलता था/It taxed even the poor on a basic necessity of life
Step 1
Concept
नमक जीवन की जरूरी वस्तु थी। / Salt was a basic necessity.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी वस्तु पर कर गरीबों के लिए भी बोझ बनता था इसलिए गांधीजी ने इसे अन्याय का प्रतीक बनाया। / Taxing it burdened even the poor, so Gandhi made it a symbol of injustice.
Step 3
Exam Tip
कर की नैतिक आलोचना को समझें। / Understand the moral criticism of taxation.
A. लाभ होने पर भी गलत निर्णय को अस्वीकार करना/Rejecting a wrong decision even when it gives benefit
Explanation
Simple Explanation
Moral reasoning सही और गलत का विचार करके निर्णय लेना है। परीक्षा में ethical choice को moral aim से जोड़ें। / Moral reasoning means deciding after thinking about right and wrong. In exams, connect ethical choice with moral aim.
A. विद्यार्थी नियम और fair play सोचकर लाभकारी cheating से इंकार करता है/A student refuses beneficial cheating by thinking about rules and fair play
Explanation
Simple Explanation
Moral reasoning सही-गलत पर विचार करके निर्णय लेना है। परीक्षा में इसे ethical decision-making का आधार समझें। / Moral reasoning means deciding after thinking about right and wrong. In exams, understand it as the base of ethical decision-making.
A. वहाँ पूरे वर्ष उच्च तापमान और कोई वास्तविक शुष्क महीना नहीं होता/It has high temperature all year and no real dry month
Explanation
Simple Explanation
एएफ सदाबहार वर्षावन जलवायु है जिसमें वर्ष भर नमी रहती है। परीक्षा में एएफ को वर्षा की निरंतरता से पहचानें। / Af is evergreen rainforest climate with moisture throughout the year. Exam tip: identify Af by continuous rainfall.
A. आवरण सतह की ऊष्मा हानि घटाकर अत्यधिक शीतलन कम कर सकता है/Cover can reduce surface heat loss and limit extreme cooling
Explanation
Simple Explanation
फसल आवरण सूक्ष्म जलवायु को थोड़ा गर्म रख सकता है। परीक्षा में frost protection को heat-loss control से जोड़ें। / Crop cover can keep the microclimate slightly warmer. Exam tip: connect frost protection with heat-loss control.
A. निचले समतापमंडल में मौसम विक्षोभ अपेक्षाकृत कम होता है/Weather disturbance is relatively lower in the lower stratosphere
Explanation
Simple Explanation
तूफानी बादल क्षोभमंडल में बनते हैं और उनके ऊपर समतापमंडल अधिक स्थिर होता है। उड़ान प्रश्नों में स्थिरता संकेत देखें। / Storm clouds form in the troposphere, and the stratosphere above is more stable. In flight questions, look for the clue of stability.
