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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 16

एक विद्यार्थी कहता है, “3 एक परिमेय संख्या है, इसलिए \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा।” उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?

A student says, “3 is a rational number, so \(\sqrt{3}\) must also be rational.” What is the main error in the student's reasoning?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. परिमेय संख्या का वर्गमूल परिमेय होना आवश्यक नहीं है; \(\sqrt{3}\) अपरिमेय हैThe square root of a rational number need not be rational; \(\sqrt{3}\) is irrational

Explanation

Simple Explanation

परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता। यदि \(\sqrt{3}=p/q\) न्यूनतम रूप में हो, तो \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) और फिर \(q\) को विभाजित करेगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल अक्सर अपरिमेय होता है। / The square root of a rational number is not always rational. If \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest form, then \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\) and then \(q\), a contradiction. Exam tip: the square root of a non-perfect-square integer is irrational.

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Correct Answer: B. परिमेय संख्या का वर्गमूल परिमेय होना आवश्यक नहीं है; \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / The square root of a rational number need not be rational; \(\sqrt{3}\) is irrational. Explanation: परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता। यदि \(\sqrt{3}=p/q\) न्यूनतम रूप में हो, तो \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) और फिर \(q\) को विभाजित करेगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल अक्सर अपरिमेय होता है। / The square root of a rational number is not always rational. If \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest form, then \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\) and then \(q\), a contradiction. Exam tip: the square root of a non-perfect-square integer is irrational.