Which option gives the correct reasoning from (p²) to (p) in the proof of (√3)?कौन-सा विकल्प (√3) के प्रमाण में (p²) से (p) तक सही तर्क बताता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: If (p²) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)यदि (p²) 3 से विभाज्य है तो (p) 3 से विभाज्य है
The governing fact is Euclid’s lemma for a prime: if a prime divides the square of an integer, it divides that integer itself. In the √3 proof, the equation p² = 3q² shows that 3 divides p². Because 3 is prime, it follows that 3 divides p, so p can be written as p = 3k. This is the required step and makes option B correct. The conclusion does not say that p is divisible by 2, equal to zero, or equal to q. After this step, substitution is used to show that q is also divisible by 3, producing the contradiction with lowest terms.यहाँ प्रयुक्त मुख्य नियम यह है कि यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है। √3 के प्रमाण में p² = 3q² से स्पष्ट है कि 3, p² को विभाजित करता है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए 3, p को भी विभाजित करेगा और p = 3k लिखा जा सकता है। यही आवश्यक तर्क है, इसलिए विकल्प B सही है। इससे p के 2 से विभाज्य होने, p के शून्य होने या p = q होने का निष्कर्ष नहीं निकलता। आगे p = 3k को मूल समीकरण में रखने पर q भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है और दोनों में सामान्य गुणनखंड मिलने से सरलतम भिन्न की धारणा का विरोधाभास प्राप्त होता है।
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