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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, और वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) प्राप्त करता है। अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए निम्न में से कौन-सा तर्क सही है?

A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, and on squaring obtains \(p^2=2q^2\). Which reasoning correctly proves irrationality?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. \(p^2\) सम होने से \(p\) सम है; \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता हैSince \(p^2\) is even, \(p\) is even; putting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even

Explanation

Simple Explanation

चूँकि \(p^2\) सम है, \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है; यह सह-अभाज्य होने का विरोध है। टिप: भिन्न को पहले सरलतम रूप में लें। / Since \(p^2\) is even, \(p\) must be even. Put \(p=2k\): then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: begin with the fraction in lowest terms.

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एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, और वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) प्राप्त करता है। अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए निम्न में से कौन-सा तर्क सही है? / A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, and on squaring obtains \(p^2=2q^2\). Which reasoning correctly proves irrationality?

Correct Answer: B. \(p^2\) सम होने से \(p\) सम है; \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है / Since \(p^2\) is even, \(p\) is even; putting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even. Explanation: चूँकि \(p^2\) सम है, \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है; यह सह-अभाज्य होने का विरोध है। टिप: भिन्न को पहले सरलतम रूप में लें। / Since \(p^2\) is even, \(p\) must be even. Put \(p=2k\): then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: begin with the fraction in lowest terms.