proof of irrationality se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
A. \(n\) एक पूर्ण वर्ग है/\(n\) is a perfect square
Explanation
Simple Explanation
यदि \(n=k^2\), जहाँ \(k\) पूर्णांक है, तो \(\sqrt{n}=k\), जो परिमेय है। केवल सम या भाज्य होना पर्याप्त नहीं है; जैसे \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम देखें। / If \(n=k^2\) for an integer \(k\), then \(\sqrt{n}=k\), which is rational. Being even or composite alone is not enough; for example, \(\sqrt{6}\) is irrational. Exam tip: in prime factorisation, all exponents must be even for a perfect square.
A. 1.732 केवल \(\sqrt{3}\) का सन्निकट मान है, उसका सटीक मान नहीं है।/1.732 is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value.
Explanation
Simple Explanation
1.732 एक सीमित दशमलव सन्निकटन है। वास्तव में \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। इसलिए \(\frac{1732}{1000}\) परिमेय है, पर वह \(\sqrt{3}\) नहीं है। परीक्षा में सन्निकट और सटीक मान में अंतर रखें। / 1.732 is a terminating decimal approximation. In fact, \(1.732^2=2.999824\), not 3. Thus \(\frac{1732}{1000}\) is rational, but it is not equal to \(\sqrt{3}\). Exam tip: distinguish an approximate decimal from an exact value.
A. उसने सन्निकट मान को ठीक मान मान लिया है/She has treated an approximation as an exact value.
Explanation
Simple Explanation
\(1.732\), \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है, ठीक मान नहीं; क्योंकि \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। 3 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: \(=\) और \(\approx\) का अंतर अवश्य पहचानें। / \(1.732\) is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value, since \(1.732^2=2.999824\), not 3. As 3 is not a perfect square, \(\sqrt{3}\) is irrational. Exam tip: always distinguish \(=\) from \(\approx\).
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, क्योंकि 3 पूर्ण वर्ग नहीं है; इसका अभाज्य गुणनखंड 3 की घात 1 है, जो विषम है। \(\sqrt{9}=3\) परिमेय है। परीक्षा में जाँचें कि सभी घातें सम हैं या नहीं। / \(\sqrt{3}\) is irrational because 3 is not a perfect square: its prime factor 3 has exponent 1, which is odd. In contrast, \(\sqrt{9}=3\) is rational. Exam tip: a perfect square has only even prime exponents.
अभाज्य गुणनखंड के नियम के अनुसार, यदि अभाज्य संख्या 3, p² को विभाजित करती है, तो 3, p को भी विभाजित करेगी। √3 के प्रमाण में p² = 3q² से यही निष्कर्ष मिलता है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए यह नियम वर्ग पर भी लागू होता है। / By the prime-factor property, if the prime 3 divides p², then 3 must divide p. In the proof for √3, this follows from p² = 3q². Exam tip: remember that a prime divisor of a square is also a divisor of its base.
A. इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है/Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है। \(\sqrt{2}\) असांत और अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है; विकल्प D परिमेय संख्या का लक्षण है। परीक्षा-युक्ति: ‘अनावर्ती’ शब्द पहचानें। / A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. \(\sqrt{2}\) is non-terminating and non-recurring, so it is irrational; option D describes a rational decimal. Exam tip: look for “non-recurring”.
3 एक अभाज्य संख्या है।
b-2=3a-2 से 3,
b-2 को विभाजित करता है; अभाज्य भाजक गुण से 3,
b को भी विभाजित करेगा। इससे न्यूनतम रूप की धारणा पर विरोधाभास बनता है। परीक्षा में अभाज्य संख्या का यह गुण स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime,
b-2=3a-2 shows that 3 divides
b-2. By the prime divisor property, 3 must divide
b. This leads to a contradiction with the lowest-form assumption. In exams, state the prime-property step explicitly.
A. यदि \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय है।/If \(n\) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{n}\) परिमेय होने पर उसे \(p/q\) के रूप में लिखा जा सकता है; तब \(nq^2=p^2\) होता है। अभाज्य गुणनखंडों की घातें सम होने से \(n\) पूर्ण वर्ग होना चाहिए। उदाहरण: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानें। / If \(\sqrt{n}=p/q\), then \(nq^2=p^2\). Since every prime exponent in a square is even, \(n\) must be a perfect square. Thus \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: first check whether the integer is a perfect square.
एक विद्यार्थी कहता है, “यदि किसी वर्ग का क्षेत्रफल परिमेय है, तो उसकी भुजा भी परिमेय होगी।” निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण उसके कथन को गलत सिद्ध करता है?
B. क्षेत्रफल \(2\,\text{cm}^2\), भुजा \(\sqrt{2}\,\text{cm}\)/Area \(2\,\text{cm}^2\), side \(\sqrt{2}\,\text{cm}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग की भुजा \(s\) के लिए \(s^2=A\) होता है। \(A=2\) होने पर \(s=\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है। इसलिए परिमेय क्षेत्रफल से परिमेय भुजा आवश्यक नहीं। परीक्षा में क्षेत्रफल का वर्गमूल लें। / For a square, \(s^2=A\). When \(A=2\), the side is \(s=\sqrt{2}\), which is irrational. Hence, a rational area need not give a rational side. In exams, first take the square root of the area.
A. किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग परिमेय हो सकता है, इसलिए यह तर्क गलत है।/The square of an irrational number can be rational, so this argument is invalid.
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या का वर्ग परिमेय होने से वह संख्या परिमेय नहीं हो जाती। उदाहरण के लिए, \((\sqrt{3})^2=3\), फिर भी \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। विकल्प B इसी गलत निष्कर्ष को मानता है। परीक्षा में वर्गमूल के लिए पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / A rational square does not guarantee that the original number is rational. For example, \((\sqrt{3})^2=3\), yet \(\sqrt{3}\) is irrational. Option B makes this incorrect inference. Exam tip: check whether the number under a square root is a perfect square.
50 पूर्ण वर्ग नहीं है और \(50=25\times2\) होने से \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए \(\sqrt{50}\) भी अपरिमेय है। 16, 36 और 64 पूर्ण वर्ग हैं। परीक्षा टिप: पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / 50 is not a perfect square, and \(50=25\times2\), so \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(\sqrt{50}\) is also irrational. In contrast, 16, 36, and 64 are perfect squares. Exam tip: check for perfect squares first.
A. किसी संख्या का निकटतम दशमलव मान परिमेय होने से मूल संख्या परिमेय सिद्ध नहीं होती।
Explanation
Simple Explanation
\(1.7^2=2.89\) केवल \(\sqrt{3}\) का एक सन्निकट मान दिखाता है, बराबरी नहीं। परिमेयता सिद्ध करने के लिए \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) का प्रमाण चाहिए; निकटता पर्याप्त नहीं। परीक्षा टिप: “निकट” और “बराबर” में अंतर जाँचें। / \(1.7^2=2.89\) gives only an approximation to \(\sqrt{3}\), not equality. To prove rationality, one must establish \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\); closeness is insufficient. Exam tip: always distinguish “approximately equal” from “equal.”
A. 3 के निकट होने वाला वर्ग यह सिद्ध नहीं करता कि उसका वर्गमूल परिमेय है
Explanation
Simple Explanation
\(1.7^2=2.89\) केवल 3 का एक निकट मान देता है, बराबरी नहीं। किसी परिमेय संख्या का वर्ग 3 के ठीक बराबर होना चाहिए। वास्तव में \(1.7=17/10\) है, पर उसका वर्ग \(289/100\) है। परीक्षा में ‘निकट’ और ‘बराबर’ में अंतर अवश्य जाँचें। / \(1.7^2=2.89\) is only close to 3, not equal to it. A rational number would need to have square exactly 3. In fact, \(1.7=17/10\), and its square is \(289/100\). Exam tip: never treat an approximation as an exact proof.
दिए गए समीकरण \(\sqrt{3}=\frac{r}{s}\) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(3=\frac{r^2}{s^2}\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(s^2\) से गुणा करने पर \(r^2=3s^2\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B में अनुपात उलट जाता है। परीक्षा टिप: भिन्न वाले समीकरण का वर्ग करने के बाद हर हटाने के लिए दोनों पक्षों को हर के वर्ग से गुणा करें। / Squaring both sides of \(\sqrt{3}=\frac{r}{s}\) gives \(3=\frac{r^2}{s^2}\). Multiplying both sides by \(s^2\) gives \(r^2=3s^2\), so option C is correct. In option B, the relationship is reversed. Exam tip: after squaring an equation involving a fraction, multiply by the square of the denominator to remove the fraction.
A. किसी पूर्णांक का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता; \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना आवश्यक नहीं है। \(\sqrt{2}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा टिप: केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। / Being an integer does not guarantee that its square root is rational. \(\sqrt{2}\) cannot be written as a ratio of two integers, so it is irrational. Exam tip: only perfect squares have integer square roots.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{3}\) is not rational
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या वह संख्या होती है जिसे \(p/q\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ \(p,q\) पूर्णांक हों और \(q\ne0\)। इसलिए \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध होने का सीधा निष्कर्ष है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। यह न तो पूर्णांक है, न शून्य और न ही ऋणात्मक; वास्तव में \(\sqrt{3}>0\)। परीक्षा टिप: “अपरिमेय” का अर्थ हमेशा “परिमेय नहीं” याद रखें। / An irrational number cannot be written in the form \(p/q\), where \(p\) and \(q\) are integers and \(q\ne0\). Hence, proving that \(\sqrt{3}\) is irrational directly means that \(\sqrt{3}\) is not rational. It is neither an integer nor zero nor negative; in fact, \(\sqrt{3}>0\). Exam tip: remember that “irrational” means “not rational.”
1 इकाई भुजा वाले एक वर्ग की विकर्ण की लंबाई \(\sqrt{2}\) इकाई है। एक विद्यार्थी इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखना चाहता है। कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. यह संभव नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।/This is not possible because \(\sqrt{2}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से \(d^2=1^2+1^2=2\), इसलिए \(d=\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) को पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। दोनों सम होने पर भिन्न सरल नहीं रहती। परीक्षा टिप: विकर्ण के लिए पहले \(d^2\) लिखें। / By Pythagoras’ theorem, \(d^2=1^2+1^2=2\), so \(d=\sqrt{2}\). It cannot be written as a ratio of integers. If both terms are even, the fraction is not in lowest form. Exam tip: write \(d^2\) first for a square’s diagonal.
A. परिमेय संख्या सिद्ध करने के लिए अंश और हर दोनों पूर्णांक होने चाहिए; यहाँ \(\sqrt{12}\) पूर्णांक नहीं है/To establish rationality, both the numerator and denominator must be integers; here \(\sqrt{12}\) is not an integer.
Explanation
Simple Explanation
समानता सही है, क्योंकि \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)। परिमेय संख्या के लिए \(a/b\) में \(a,b\) पूर्णांक होने चाहिए; यहाँ हर अपरिमेय है। परीक्षा में हर की प्रकृति जाँचें। / The equality is correct because \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\). However, a rational number must be expressed as \(a/b\) with integers \(a,b\); the denominator here is irrational. Check the denominator in such claims.
\(\sqrt{3}+5\) अपरिमेय है। यदि यह परिमेय होता, तो इसमें से परिमेय 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय हो जाता, जो गलत है। अन्य विकल्पों के मान क्रमशः 3, 1 और 5 हैं। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{3}+5\) is irrational. If it were rational, subtracting the rational number 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible. The other expressions equal 3, 1, and 5. Exam tip: a rational number plus an irrational number is always irrational.
